新高考高中数学核心知识点全透视专题7.1任意角的三角函数(精讲精析篇)(原卷版+解析)

这是一份新高考高中数学核心知识点全透视专题7.1任意角的三角函数(精讲精析篇)(原卷版+解析)，共25页。试卷主要包含了1任意角的三角函数，任意角的概念、弧度制， 三角函数，三角恒等式的证明一般有三种方法，已知是第四象限角，等内容，欢迎下载使用。

一、核心素养
1．将象限角及终边相同的角综合考查，凸显数学抽象、直观想象和数学运算的核心素养．
2．结合方程、基本不等式、二次函数的最值及弧度制的应用考查弧长公式、面积公式及最值问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养．
3．将三角函数的定义、三角函数符号的判断综合考查，凸显数学抽象、直观想象、数学运算的核心素养．
4.利用同角三角函数基本关系式解决条件求值问题，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
5．把诱导公式与同角三角函数基本关系综合考查，凸显逻辑推理、数学运算的核心素养．
二、考试要求
1.任意角的概念、弧度制
(1)了解任意角的概念.
(2)了解弧度制的概念,能进行弧度与角度的互化.
2. 三角函数
（1）理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义.
（2）理解同角三角函数的基本关系式：sin2 α＋cs2 α＝1，eq \f (sin α,cs α)＝tan α.
（3）能利用单位圆中的三角函数线推导出eq \f (π,2)±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式,
三、主干知识梳理
（一）象限角及终边相同的角
（1）任意角、角的分类：
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
(2)终边相同的角：
终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．
（二）弧度制、扇形的弧长及面积公式
（1）弧度制：
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角．
②规定：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零，|α|＝eq \f(l,r)，l是以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r为半径．
③用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制．比值eq \f(l,r)与所取的r的大小无关，仅与角的大小有关．
（2）弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
（3）弧度制下l＝|α|·r，S＝eq \f(1,2)lr，此时α为弧度．扇形面积公式，扇形中弦长公式，扇形弧长公式在角度制下，弧长l＝eq \f(nπr,180)，扇形面积S＝eq \f(nπr2,360)，此时n为角度，它们之间有着必然的联系．
（三）任意角的三角函数
1.任意角的三角函数定义：
设α是一个任意角，角α的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么
（1）点P的纵坐标叫角α的正弦函数，记作sin α＝y；
（2）点P的横坐标叫角α的余弦函数，记作cs α＝x；
（3）点P的纵坐标与横坐标之比叫角α的正切函数，记作tan α＝eq \f(y,x).它们都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数．
将正弦函数、余弦函数和正切函数统称为三角函数，通常将它们记为： 正弦函数y＝sinx，x∈R； 余弦函数 y＝csx，x∈R； 正切函数 y＝tanx，x≠eq \f(π,2)＋kπ（k∈Z）．
2.三角函数在各象限内的符号口诀是：一全正、二正弦、三正切、四余弦
（四）同角三角函数
1.同角三角函数的基本关系式
(1)平方关系：sin2α＋cs2α＝1(α∈R)．
(2)商数关系：tan α＝eq \f(sin α,cs α)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α≠kπ＋\f(π,2)，k∈Z)).
2.三角函数求值与化简必会的三种方法
(1)弦切互化法:主要利用公式tan α=;形如,等类型可进行弦化切.
(2)“1”的灵活代换法: 等.
(3)和积转换法:利用的关系进行变形、转化.
（五）诱导公式
六组诱导公式
对于角“eq \f(kπ,2)±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，“奇变偶不变”是指“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变”．“符号看象限”是指“在α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号”
一、命题规律
1.客观题主要考查三角函数的定义，图象与性质，同角三角函数关系，诱导公式，和、差、倍角公式，正、余弦定理等知识.
2.解答题涉及知识点较为综合．涉及三角函数图象与性质、三角恒等变换与解三角形知识较为常见.
二、真题展示
1．（2023·湖南·高考真题）已知，且为第四象限角，则____________
2.（2023·江苏·高考真题）已知，且，则的值是_________.
考点01 象限角及终边相同的角
【典例1】（2023·山东·高考真题）终边在轴的正半轴上的角的集合是（ ）
A．B．
C．D．
【方法技巧】
象限角的两种判断方法
(1)图象法：在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角．
(2)转化法：先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α＜360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角．
【典例2】若是第三象限的角, 则是 （ ）
A. 第一或第二象限的角 B. 第一或第三象限的角 C. 第二或第三象限的角 D. 第二或第四象限的角
【总结提升】
象限角与轴线角(终边在坐标轴上的角)的集合表示
(1)象限角：
(2)轴线角：
考点02 弧度制、扇形的弧长及面积公式
【典例3】（2023·江苏·高一课时练习）一扇形的周长为20cm，当扇形的半径和圆心角各取何值时，这个扇形的面积最大？并求此扇形的最大面积．
【总结提升】
应用弧度制解决问题的方法
(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度；
(2)求扇形面积最大值的问题时，常转化为二次函数的最值问题，利用配方法使问题得到解决；
(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时，要合理地利用圆心角所在的三角形．
考点03 三角函数的定义
【典例4】（全国高考真题））若，且，则是（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
【典例5】已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cs α≤0，sin α>0，则实数a的取值范围是( )
A．(－2,3] B．(－2,3)
C．[－2,3) D．[－2,3]
【典例6】（江西高考真题）已知角的顶点为坐标原点，始边为x轴的正半轴，若是角终边上一点，且，则y=_______.
【典例7】（2023·江苏·高一课时练习）设角的终边经过点（），求和的值.
【总结提升】
1.已知角终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后利用三角函数的定义求解．
2.已知角的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后利用三角函数的定义求解相关的问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角的三角函数值．
考点04 同角三角函数的基本关系式
【典例8】（2023·金华市江南中学高一月考）已知=2，则tanx=____，sinxcsx=____.
【典例9】（2023·江苏·高一课时练习）已知tanα＝2，求sinα和csα的值．
【规律方法】
1.同角三角函数关系式的三种应用方法--“弦切互化法”、““1”的灵活代换法”、“和积转换法”
(1)利用sin2α＋cs2α＝1可实现α的正弦、余弦的互化，注意等；
(2)由一个角的任一三角函数值可求出这个角的另外两个三角函数值，因为利用“平方关系”公式，需求平方根，会出现两解，需根据角所在的象限判断符号，当角所在的象限不明确时，要进行分类讨论．
2. 利用eq \f(sinα,csα)＝tanα可以实现角α的弦切互化．
（1）若已知tanα＝m，求形如eq \f(asinα＋bcsα,csinα＋dcsα)(或eq \f(asin2α＋bcs2α,csin2α＋dcs2α))的值，其方法是将分子、分母同除以csα(或cs2α)转化为tanα的代数式，再求值，如果先求出sinα和csα的值再代入，那么运算量会很大，问题的解决就会变得繁琐．
（2）形如asin2α＋bsinαcsα＋ccs2α通常把分母看作1，然后用sin2α＋cs2α代换，分子、分母同除以cs2α再求解．
考点05 sinαcsα与sinαcsα的关系及应用
【典例10】（2023·江苏·高一课时练习）已知，若是第二象限角，则的值为__________.
【典例11】（2023·永州市第四中学高一月考）已知.试用k表示的值.
【总结提升】
(1)应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋csα，sinαcsα，sinα－csα这三个式子，利用(sinα±csα)2＝1±2sinαcsα，可以知一求二．
(2)注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cs2α，sin2α＝1－cs2α，cs2α＝1－sin2α.
考点06 诱导公式及其应用
【典例12】(2023·全国高考真题（文））已知θ是第四象限角，且sin（θ+）=，则tan（θ–）= .
【典例13】（2023·永州市第四中学高一月考）已知是第四象限角，.
（1）化简.
（2）若，求的值.
【总结提升】
1.用诱导公式求值时,要善于观察所给角之间的关系,利用整体代换的思想简化解题过程.常见的互余关系有-α与+α,+α与-α,+α与-α等,常见的互补关系有-θ与+θ,+θ与-θ,+θ与-θ等.
2. 利用诱导公式化简求值的步骤:(1)负化正;(2)大化小;(3)小化锐;(4)锐求值.
考点07 同角公式、诱导公式的综合应用
【典例14】（2023·内蒙古·海拉尔第二中学高三月考（理））已知，则＝（ ）
A．-7B．C．D．5
【典例15】（2023·山东诸城�高一期中）已知，且是第________象限角.
从①一，②二，③三，④四，这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下问题：
（1）求的值；
（2）化简求值：.
【规律方法】
1.利用诱导公式化简三角函数的基本思路:(1)分析结构特点,选择恰当公式;(2)利用公式化成单角三角函数;(3)整理得最简形式.
2.化简要求:(1)化简过程是恒等变形;(2)结果要求项数尽可能少,次数尽可能低,结构尽可能简单,能求值的要求出值.
3.三角恒等式的证明一般有三种方法：①一端化简等于另一端；②两端同时化简使之等于同一个式子；③作恒等式两端的差式使之为0．
4证明条件恒等式，一般有两种方法：一是在从被证等式一边推向另一边的适当时候将条件代入，推出被证等式的另一边，这种方法称作代入法；二是直接将条件等式变形，变形为被证的等式，这种方法称作推出法，证明条件等式时，不论使用哪一种方法，都要依据要证的目标的特征进行变形．
巩固提升
1．（2023·甘肃省会宁县第四中学高二期末（文））的值为（ ）
A．B．C．D．
2．（2023·昆明市官渡区第一中学高一月考）若－