江苏省射阳中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题

这是一份江苏省射阳中学2023-2024学年高二下学期6月期末考试数学试题，共5页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分：150分 时间：120分钟
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知随机变量X∼N(2,σ2)，P(X<1)=0.3，则P(x<3)=（ ）
A．0.2B．0.3C．0.7D．0.8
2．已知a=(2,-1,3)，b=(-4,2,x)，且a⊥b，则x=（ ）
A．2B．3C．52D．103
3．过两点A(m​2+2,m​2-3)、B(3-m-m​2,2m)的直线l的倾斜角为45​∘，则m的值为（ ）
A．-2或-1B．-1C．12D．-2
4．已知二项式(a+b)n中第k项与第m项的二项式系数相等，则n的值是（ ）
A．k+m-2B．k+m-1C．k+mD．k+m+2
5．已知P(AB)=310，P(A)=35，则P(B|A)等于（ ）
A．950B．12C．910D．14
6．某校联欢会原定的3个节目已排成节目单，开演前又增加了2个新节目，如果将这2个新节目插入节目单中，那么不同的插法种数为（ ）
A．12B．20C．36D．120
7．定义在R上的可导函数f(x)满足f​'(x)<1，若f(m)-f(1-2m)≥3m-1，则m的取值范围是（ ）
A．(-∞,-1]B．(-∞,13]C．[-1,+∞)D．[-13,+∞)
8．已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2=60​∘，|PF1|=3|PF2|，则C的离心率为（ ）
A．72B．132C．7D．13
二、多选题（每题6分，共18分.全对6分、部分选对得部分分、错选不得分）
9．设数列{an}满足：a1=1，且对任意的n∈N*，都有an+1=2an+1，Sn为数列{an}的前n项和，则（ ）
A．{an}为等比数列B．an=2​n-1C．{1an+1}为等比数列D．Sn=2​n-n
10．高二（16）班有四名男生，三名女生排队照相，七个人排成一排，则下列说法正确的是（ ）
A．如果四名男生必须连排在一起，那么有720种不同排法
B．如果三名女生必须连排在一起，那么有576种不同排法
C．如果女生不能站在两端，那么有1440种不同排法
D．如果三个女生中任何两个均不能排在一起，那么有1440种不同排法
11．已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，点E，F分别为BB1，CD的中点，则下列说法正确的是（ ）
A．D1F⊥平面ADEB．BD与平面A1C1D所成角的余弦值为33
C．二面角A1-BD-C1的正弦值为13D．点B到平面B1CD1的距离为33
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．已知ξ服从正态分布N(1,2​2)，且p(-1≤ξ≤1)=0.3，则p(ξ>3)= .
13．高二（1）班准备组织一场辩论赛，共有六名同学报名参加。将他们随机平均分为两组，其中甲、乙两名同学不在同一组的概率为 .
14．已知f(x)=ex(x-1)，若函数g(x)=mx，对于任意的x1∈[2,2]，总存在x2∈[1,2]，使得f(x1)>g(x2)则实数m的取值范围是 .
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．（本小题满分13分）
如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E为BC的中点，点M在BD1上，EM⊥AD.
（1）求证：M为BD1的中点；
（2）求直线EM与平面MCD所成角的大小.
16．（本小题满分15分）
已知圆M过A(2,-2)，B(10,4)，且圆心M在直线y=x上.
（1）求圆M的标准方程；
（2）过点(0,-4)的直线m截圆M所得弦长为45，求直线m的方程；
17．（本小题满分15分）
为提高学生学习的数学的兴趣，江苏省兴化中学拟开设《数学史》、《微积分先修课程》、《数学探究》、《数学建模》四门校本选修课程，甲、乙、丙三位同学打算在上述四门课程中随机选择一门进行学习，已知三人选择课程时互不影响，且每人选择每一门课程都是等可能的.
（1）求三位同学选择的课程互不相同的概率；
（2）求甲、乙两位同学不能选择同一门课程，求三人共有多少种不同的选课种数；
（3）若至少有两位同学选择《数学史》，求三人共有多少种不同的选课种数.
18．（本小题满分17分）
已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为63.
（1）证明：a=3b；
（2）若点M(910,-310)在椭圆C的内部，过点M的直线l交椭圆C于P、Q两点，M为线段PQ的中点，且OP⊥OQ.
①求直线l的方程；
②求椭圆C的标准方程.
19．（本小题满分17分）
数列{an}中，a1=-12，2an=an-1-n-1(n≥2,n∈N*)，设bn=an+n.
（1）求证：数列{bn}是等比数列；
（2）求数列{nbn}的前n项和Tn；
（3）若cn=(12)n-an，Pn为数列{cn2+cn+1cn2+cn}的前n项和，求不超过P2021的最大的整数.
【参考答案】
高二年级第二学期期末考试
数学试题
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．C 2．D 3．D 4．A 5．B 6．B 7．B 8．A
二、多选题（每题6分，共18分.全对6分、部分选对得部分分、错选不得分）
9．BC 10．CD 11．ABD
三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分）
12．0.2
13．35
14．(-∞,-12)∪(1,+∞)
四、解答题（本大题共5个小题，共77分）
15．（1） 证明连接CD1.
在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为BC⊥平面CDD1C1，所以BC⊥CD1.
因为EM⊥AD，AD//BC，所以EM⊥BC.
所以EM//CD1.
因为E为BC的中点，所以M为BD1的中点.
（2） 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，DA，DC，DD1两两互相垂直，
如图建立空间直角坐标系D-xyz.
则D(0,0,0)，C(0,2,0)，E(1,2,0)，M(1,1,1).
所以DC=(0,2,0)，DM=(1,1,1)，EM=(0,-1,1).
设平面MCD的法向量为m=(x,y,z)，
则m⋅DC→=0,m⋅DM→=0,即y=0,x+y+z=0.
令x=1，则z=-1.于是m=(1,0,-1).设直线EM与平面MCD所成的角为θ，则sinθ=|cs⟨m,EM⟩|=|m⋅EM||m||EM|=12
所以直线EM与平面MCD所成角的大小为30​∘.
16．（1） ∵圆心M在直线y=x上，∴设圆M的标准方程为：(x-a)​2+(y-a)​2=r​2，
∵圆M过点A(2,-2)，B(10,4)，∴2-a2+-2-a2=r210-a2+4-a2=r2，解得a=4r=6
∴圆M的标准方程为(x-4)​2+(y-4)​2=36
（2） ①当斜率不存在时，直线m的方程为：x=0，直线m截圆M所得弦长为l=2r2-d2=45，符合题意
②当斜率存在时，设直线m:y=kx-4，圆心M到直线m的距离为d=|4k-4-4|k2+1=|4k-8|k2+1
∴根据垂径定理可得，r​2=(452)​2+d​2，∴(|4k-8|k2+1)2=16，解得k=34
∴直线m的方程为3x-4y-16=0或x=0.
17．（1） 三位同学选择课程共有4​3=64种情况：三位同学选择课程互不相同共有A4​3=24种情况，所以概率为A4343=38
（2） 甲乙两位同学选择同一门课程共有4​2=16种情况，总共4​3=64种情况，所以甲乙两位同学不能选择同一门课程共有64-16=48种情况.
（3） ①有两位同学选择《数学史》共有C3​2×C3​1=9，②有三位同学选择《数学史》共有1种情况，所有共有9+1=10种…………10分
18．（1） ∵e=ca=c2a2=a2-b2a2=1-(ba)2=63，∴ba=33，因此，a=3b；
（2） ① 由（1）知，椭圆C的方程为x23b2+y2b2=1，即x​2+3y​2=3b​2，当(910,-315)在椭圆C的内部时，(910)​2+3⋅(-310)​2<3b​2，可得b>3310.
设点P(x1,y1)、Q(x2,y2)，则{x1+x22=910y1+y22=-310，所以，y1+y2x1+x2=-39，
由已知可得x​12+3y​12=3b​2x2​2+3y2​2=3b​2，两式作差得(x1+x2)(x1-x2)+3(y1+y2)(y1-y2)=0，
所以y1-y2x1-x2=-x1+x23(y1+y2)=-13×(-93)=3，
所以，直线l方程为y-(-310)=3(x-910)，即y=3x-3.
所以，直线l的方程为3x-y-3=0；
② 联立x​2+3y​2=3b​2y=3(x-1)，消去y可得10x​2-18x+9-3b​2=0.
Δ=182-40(9-3b2)=120b2-36>0，
由韦达定理可得x1+x2=95，x1x2=9-3b​210，
又∵OP⊥OQ，而OP=(x1,y1)，OQ=(x2,y2)，
∴OP⋅OQ=x1x2+y1y2=x1x2+3(x1-1)⋅3(x2-1)=4x1x2-3(x1+x2)+3
=2(9-3b2)-27+155=6-6b25=0.
解得b​2=1合乎题意，故a2=3b2=3，
因此，椭圆C的方程为x​23+y​2=1.
19．（1） 将2an=an-1-n-1两边都加2n，得2(an+n)=an-1+(n-1)，而a1+1=12，
即有an+nan-1+(n-1)=12，又bn=an+n，则bnbn-1=12(n≥2,n∈N*)，b1=a1+1=12，所以数列{bn}是首项为12，公比为12的等比数列；
（2） 由（1）知，bn=(12)​n，则nbn=n⋅(12)n=n2n，
Tn=12+222+323+424+⋯+n-12n-1+n2n，
12Tn=122+223+324+425+⋯+n-12n+n2n+1，
因此，12Tn=12+122+123+124+⋯+12n-n2n+1=1-12n-n2n+1，
所以Tn=2-2+n2n；
（3） 由（2）知bn=(12)n，于是得an=bn-n=(12)n-n，则cn=n，
因此，cn2+cn+1cn2+cn=n2+n+1n2+n=1+1n(n+1)=1+1n-1n+1，
P2021=(1+11-12)+(1+12-13)+(1+13-14)+⋯+(1+12020-12021)+(1+12021-12022)=2022-12022
所以不超过P2021的最大的整数是2021.