高考数学微专题集极化恒等式从入门到精通(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集极化恒等式从入门到精通(原卷版+解析)，共28页。试卷主要包含了初识极化恒等式，经典例题，极化恒等式中的转化思想，专题强化训练等内容，欢迎下载使用。
一、初识极化恒等式
我们知道，对于任意，恒有，将实数中的结论类比到平面向量中，有类似结论：
，①
，②
将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．
平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义．
几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
正因为极化恒等式可以有效地建立向量的数量积与几何图形长度大小的关联，可以搭建代数与几何的桥梁，因此极化恒等式在解决向量数量积问题中占据着重要的作用．
【类型一】两向量共同的起点为动点
在面积为2的平行四边形中，点P为直线上的动点，则的最小值是_______．
解：取的中点O，
则．
如图所示，当点P运动到点H且使与时，等号成立，故有最小值为．
【类型二】两向量终点均为动点
已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为_________．
解：取的中点N，连结，取其中点D，如图所示，则：
．
当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动．由外接圆半径为1，可求得，从而．所以的最小值是，故所求最小值为．
【类型三】两向量的起点和终点均为动点
如图，已知是边长为的正三角形，为的外接圆O的一条直径，M为的边上的动点，则的最大值为________．
解：由已知易求得外接圆半径为2．因为圆心O是的中点，所以：
．
当M为正三角形三边的中点时，最小值均为1，故的最大值为3．
二、经典例题
例1 已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值．
解：令（其中），则三点共线（如图），从而的几何意义表示点到直线的距离为，这说明是等边三角形，为边上的高，故．
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离．
即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值．
例2 已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，求证：（是抛物线过点的切线）．
解析：由极化恒等式知，由于是固定的，故当最小时，最小．因此，本题等价于在抛物线上找一点使得最小．如图所示，以点为圆心，逐步增大圆的半径，当圆刚好碰到抛物线时那个点恰为圆与抛物线的公共切点，故（是抛物线过点的切线）．
三、极化恒等式中的转化思想
1、化动为定，破不定之惑
一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村．
例1：已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
解析：此题符合运用极化恒等式速解平面向量问题的基本要求，但在具体使用中遇到了点是运动的点这一特殊情况，动点问题是突破极化恒等式应用的瓶颈．结合条件中是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，通过极化恒等式，不妨将的最值问题转化为圆心距的最值问题，这样问题便可迎刃而解．
如图所示，在上，不妨取的中点，则．
设圆的半径为，而，则：
．
因此的取值范围是．
反思：极化恒等式的应用，由一般的直接运用到结合具体问题的巧用，需要学生恰当地运用转化思想，注意化动为定，特别是要结合题中的隐性特征进行转化处理，如此题中圆的半径是“定”这一重要信息的使用至关重要；化动为定可破不定之惑，也可使一些压轴问题成为得分题．
2、化动为静，破多动点之惑
极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解．
例2：如图，圆为的内切圆，已知，过圆心的直线交圆于两点，则的取值范围是_________．
解析：此题初看也是可以使用极化恒等式求解平面向量问题，但学生一经分析便遇到了两个动点的困难，成了许多学生的“拦路虎”，即便学生掌握了极化恒等式的知识和方法，也无法突破这个困惑．因此学生需要结合转化思想，挖掘题中静态条件进行突破．此题中圆是相对静态的，若能将，则为定，为动，、呈现动态但都涉及一个定点C，再结合圆的特征，可得，则动态问题转化为静态问题，多动点之惑得以化解．
圆O的半径为1，考虑到P、Q两点都是动点，不妨将，这样一转化，，，而，若，则．
若Q在的投影为的中点时，，
因此的取值范围是．
反思：遇到多动点问题时，学生要考虑“化动为静”的策略，如此题先将点P过渡转化到点C，余下一个动点Q，则问题便可如例1进行处理，这样的处理手段实际上是一个逐渐将多动点化为少动点的过程，这是一个重要的解题思想，即转化思想．
3、化曲为直，破最值之惑
极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解．
例3：在中，，若点A、B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，的最大值是_____________．
分析：初看此题，学生一般想通过极化恒等式进行处理，不妨取的中点为M，得等式，但在如何处理时，陷入困境．分析原因是在变化，使得长度不定，但与直角三角形的斜边中点有一定的关联，不妨取中点为N，得，再结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），最大值可求．
如图所示，不妨取的中点为M，的中点为N，则由极化恒等式可得，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于，答案为18．
反思：这是一个运用极化恒等式求最值的典型示例，这类问题的处理除理解和掌握极化恒等式的基本性质还不够，还需要灵活地运用有关边长关系或隐性条件，再结合定理性质，最值问题便可突破化解．
4、化普通为特殊，破极限之惑
平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立．
例4：在锐角中，已知，则的取值范围是____________．
解析：考虑到题中的形式，学生一般是想通过极化恒等式进行处理．由题意，取的中点为M，立即可得等式，但要突破显得困难重重．此题的突破关键在于“锐角”两个字，锐角的极限状态就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理．
如图，取的中点M，可得，应长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为，此时；
过点C作，垂足为C，此时，，
因此，故取值范围是．
反思：破解这类问题，因通过极化恒等式转化后，线段的最值求解没有一定的现成条件可以推理，对学生往往会造成困惑，突破的关键是“化一般为特殊，破极限之惑”，要注意从极限位置入手，理解极限时的特殊状态，问题的化解会有意想不到的效果．
四、专题强化训练
1．设向量满足， ，则=
A．1B．2C．3D．5
2．设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）
A．B．C．D．
3．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A．2B．3C．6D．8
4．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1B．2C．D．
5．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
6．在中，则_________.
7．在锐角三角形中，已知，，则的取值范围为_________.
8．如图放置的边长为的正方形的顶点A,D分别在轴、轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为__________．
9．在正三角形中，是上的点，，则________ ．
10．若平面向量满足：；则的最小值是_________
11．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______.
12．已知向量，若对任意单位向量，均有,则的最大值是 ．
13．如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________.
14．如图，△是边长为的等边三角形，P是以C为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围为__________.
15．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____.
极化恒等式从入门到精通
极化恒等式从入门到精通
一、初识极化恒等式
我们知道，对于任意，恒有，将实数中的结论类比到平面向量中，有类似结论：
，①
，②
将两式相减可得，这个等式在数学上我们称为极化恒等式．
极化恒等式表明，向量的数量积可以由向量的模来表示，可以建立起向量与几何长度之间的等量关系．
平面向量是沟通代数与几何的桥梁，是数形结合的完美典范．对于极化恒等式，可以借助图形给出它的两个几何意义．
几何解释1（平行四边形模型）以，为一组邻边构造平行四边形，，则，由，得．即“从平行四边形一个顶点出发的两个边向量的数量积是和对角线长与差对角线长平方差的”．
几何解释2（三角形模型）在平行四边形模型结论的基础上，若设M为对角线的交点，则由变形为，得，该等式即是极化恒等式在三角形中的体现，也是我们最常用的极化恒等式的几何模型．
正因为极化恒等式可以有效地建立向量的数量积与几何图形长度大小的关联，可以搭建代数与几何的桥梁，因此极化恒等式在解决向量数量积问题中占据着重要的作用．
【类型一】两向量共同的起点为动点
在面积为2的平行四边形中，点P为直线上的动点，则的最小值是_______．
解：取的中点O，
则．
如图所示，当点P运动到点H且使与时，等号成立，故有最小值为．
【类型二】两向量终点均为动点
已知点O为坐标原点，为圆的内接正三角形，则的最小值为_________．
解：取的中点N，连结，取其中点D，如图所示，则：
．
当正沿圆周运动时，点D在以M圆心，以为半径的小圆上运动．由外接圆半径为1，可求得，从而．所以的最小值是，故所求最小值为．
【类型三】两向量的起点和终点均为动点
如图，已知是边长为的正三角形，为的外接圆O的一条直径，M为的边上的动点，则的最大值为________．
解：由已知易求得外接圆半径为2．因为圆心O是的中点，所以：
．
当M为正三角形三边的中点时，最小值均为1，故的最大值为3．
二、经典例题
例1 已知中，，且的最小值为，若为边上任意一点，求的最小值．
解：令（其中），则三点共线（如图），从而的几何意义表示点到直线的距离为，这说明是等边三角形，为边上的高，故．
取的中点，则由向量极化恒等式可得，
其中为点到边的距离．
即当点在垂足（非端点）处时，达到最小值．
例2 已知直线与抛物线交于两点，为的中点，为抛物线上一个动点，若满足，求证：（是抛物线过点的切线）．
解析：由极化恒等式知，由于是固定的，故当最小时，最小．因此，本题等价于在抛物线上找一点使得最小．如图所示，以点为圆心，逐步增大圆的半径，当圆刚好碰到抛物线时那个点恰为圆与抛物线的公共切点，故（是抛物线过点的切线）．
三、极化恒等式中的转化思想
1、化动为定，破不定之惑
一般地，使用极化恒等式化解平面向量数量积问题具有较好的效果，但有些极化恒等式问题因涉及动点问题或运动变化等因素，使得问题的化解增加了难度，有时甚至会使极化恒等式的功效发挥不了，使解题者陷入困境．但若能将动态问题定态化处理，那么问题便可柳暗花明又一村．
例1：已知的斜边的长为4，设是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围是（ ）．
A． B． C． D．
解析：此题符合运用极化恒等式速解平面向量问题的基本要求，但在具体使用中遇到了点是运动的点这一特殊情况，动点问题是突破极化恒等式应用的瓶颈．结合条件中是以为圆心，1为半径的圆上的任意一点，通过极化恒等式，不妨将的最值问题转化为圆心距的最值问题，这样问题便可迎刃而解．
如图所示，在上，不妨取的中点，则．
设圆的半径为，而，则：
．
因此的取值范围是．
反思：极化恒等式的应用，由一般的直接运用到结合具体问题的巧用，需要学生恰当地运用转化思想，注意化动为定，特别是要结合题中的隐性特征进行转化处理，如此题中圆的半径是“定”这一重要信息的使用至关重要；化动为定可破不定之惑，也可使一些压轴问题成为得分题．
2、化动为静，破多动点之惑
极化恒等式使用的难点是动点问题，而其中涉及多个动点问题则是难上加难，让许多学生束手无策，使平面向量问题的难度增加，因此寻求破解的方法和策略显得尤其重要．一般地，可以通过将动态问题静态化来处理，这样的策略可以使得多动点问题转化为少动点问题，通过这样类似的转化直至降到一个动点问题或定点问题，然后再采用“化动为定”的策略，问题便迎刃而解．
例2：如图，圆为的内切圆，已知，过圆心的直线交圆于两点，则的取值范围是_________．
解析：此题初看也是可以使用极化恒等式求解平面向量问题，但学生一经分析便遇到了两个动点的困难，成了许多学生的“拦路虎”，即便学生掌握了极化恒等式的知识和方法，也无法突破这个困惑．因此学生需要结合转化思想，挖掘题中静态条件进行突破．此题中圆是相对静态的，若能将，则为定，为动，、呈现动态但都涉及一个定点C，再结合圆的特征，可得，则动态问题转化为静态问题，多动点之惑得以化解．
圆O的半径为1，考虑到P、Q两点都是动点，不妨将，这样一转化，，，而，若，则．
若Q在的投影为的中点时，，
因此的取值范围是．
反思：遇到多动点问题时，学生要考虑“化动为静”的策略，如此题先将点P过渡转化到点C，余下一个动点Q，则问题便可如例1进行处理，这样的处理手段实际上是一个逐渐将多动点化为少动点的过程，这是一个重要的解题思想，即转化思想．
3、化曲为直，破最值之惑
极化恒等式问题的破解之中，有些问题涉及动点的运动状态是一个曲线状态或曲折状态，如果直接运用极化恒等式往往使学生无从下手，一筹莫展，而对这类问题突破的基本原则或策略应是“化曲为直”，主要是借助有关平面几何性质将“曲折问题”得以化解．
例3：在中，，若点A、B分别在直角坐标系的两坐标轴上运动时，的最大值是_____________．
分析：初看此题，学生一般想通过极化恒等式进行处理，不妨取的中点为M，得等式，但在如何处理时，陷入困境．分析原因是在变化，使得长度不定，但与直角三角形的斜边中点有一定的关联，不妨取中点为N，得，再结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），最大值可求．
如图所示，不妨取的中点为M，的中点为N，则由极化恒等式可得，结合三角形边长关系（两边之和大于第三边），对于，答案为18．
反思：这是一个运用极化恒等式求最值的典型示例，这类问题的处理除理解和掌握极化恒等式的基本性质还不够，还需要灵活地运用有关边长关系或隐性条件，再结合定理性质，最值问题便可突破化解．
4、化普通为特殊，破极限之惑
平面向量极化恒等式应用问题，如果涉及的几何图形具有一般性，那么这类问题就更有“拦路虎”功能．解题的一个重要策略是取问题极限状态或特殊位置法进行，极限状态问题的化解是解决一般性问题的特殊情况，当然也要验证特殊状态位置是运动状态的两个极限，否则就不一定成立．
例4：在锐角中，已知，则的取值范围是____________．
解析：考虑到题中的形式，学生一般是想通过极化恒等式进行处理．由题意，取的中点为M，立即可得等式，但要突破显得困难重重．此题的突破关键在于“锐角”两个字，锐角的极限状态就是直角，要注意从特殊状态来研究一般状态，即化普通状态为特殊状态进行极限化处理．
如图，取的中点M，可得，应长度变化的极限位置是为直角三角形时的状态，而成为直角的可能有两种情况，即为直角和为直角．下面分两种情况进行分析：过点C作，垂足为，此时；
过点C作，垂足为C，此时，，
因此，故取值范围是．
反思：破解这类问题，因通过极化恒等式转化后，线段的最值求解没有一定的现成条件可以推理，对学生往往会造成困惑，突破的关键是“化一般为特殊，破极限之惑”，要注意从极限位置入手，理解极限时的特殊状态，问题的化解会有意想不到的效果．
四、专题强化训练
1．设向量满足， ，则=
A．1B．2C．3D．5
2．设，是边上一定点，满足，且对于边上任一点P，恒有.则（ ）
A．B．C．D．
3．若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上点的任意一点，则的最大值为
A．2B．3C．6D．8
4．已知，是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量满足，则的最大值是
A．1B．2C．D．
5．已知是边长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是
A．B．C．D．
6．在中，则_________.
7．在锐角三角形中，已知，，则的取值范围为_________.
8．如图放置的边长为的正方形的顶点A,D分别在轴、轴正半轴（含原点）滑动，则的最大值为__________．
9．在正三角形中，是上的点，，则________ ．
10．若平面向量满足：；则的最小值是_________
11．如图，在中，是的中点，是上的两个三等分点，， ，则 的值是_______.
12．已知向量，若对任意单位向量，均有,则的最大值是 ．
13．如图在平行四边形中，已知，，，，则的值是______________.
14．如图，△是边长为的等边三角形，P是以C为圆心、1为半径的圆上的任意一点，则的取值范围为__________.
15．在平行四边形ABCD中, AD = 1, , E为CD的中点. 若, 则AB的长为_____.
参考答案：
1．A
【详解】因为，，两式相加得：，所以，故选A.
考点：本小题主要考查平面向量的模、平面向量的数量积等平面向量知识，熟练基础知识与基本题型是解答好本类题目的关键．
2．D
分析：取的中点D，由极化恒等式可得，，从而可得，即可得出，由，得出答案.
【详解】如图，取的中点D，
由极化恒等式可得：，
同理，，由于，
则，所以，
因为，D是的中点，于是.
故选：D.
3．C
【详解】由椭圆方程得F(－1,0)，设P(x0，y0)，
则＝(x0，y0)·(x0＋1，y0)＝＋x0＋
∵P为椭圆上一点，∴＋＝1.
∴＝＋x0＋3＝＋x0＋3＝(x0＋2)2＋2.
∵－2≤x0≤2.
∴的最大值在x0＝2时取得，且最大值等于6.
4．C
【详解】试题分析：由于垂直，不妨设，，，则，
，表示到原点的距离，表示圆心，为半径的圆，因此的最大值，故答案为C．
考点：平面向量数量积的运算．
5．B
分析：根据条件建立坐标系，求出点的坐标，利用坐标法结合向量数量积的公式进行计算即可．
【详解】建立如图所示的坐标系，以中点为坐标原点，
则，，，
设，则，，，
则
当，时，取得最小值，
故选：．
6．
分析：直接构造极化恒等式的结构，即可求解.
【详解】解析：即为和的和向量；即为和的差向量，所以原问题可转化成两向量和向量模与两向量差向量模的比.再观察条件，若利用极化恒等式可将原条件转化如下：.所以，所以，即.所以.
故答案为：3
7．
分析：因为，故以B为原点，BA所在的直线为x轴建立坐标系，则C(1,)，设点A(x,0)，分析图象可得x的取值范围，则根据数量积的公式可得的表达式，然后根据二次函数的性质求出值域即可.
【详解】
以B为原点，BA所在的直线为x轴建立坐标系，如图.
因为，，所以C(1,)，设点，
又△ABC是锐角三角形，所以，
所以 ，即A在如图的线段DE上（不与D，E重合），所以.
则.
所以的取值范围.
故答案为：.
【点睛】方法点睛：平面向量的数量积计算问题，往往有两种形式：一是利用数量积的定义式；二是利用数量积的坐标运算公式.涉及几何图形的问题，先建立适当的平面直角坐标系，可起到化繁为简的妙用. 利用向量夹角公式、模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题、线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．列出方程组求解未知数.
8．2
分析：设,根据三角形的边角关系求得，，利用平面向量的数量积公式以及正弦函数的最值求解即可.
【详解】设
由于，故
又因为，，所以
， 则
同理可得


当时，的最大值为2.
故本题的正确答案为2.
【点睛】本题主要考查了平面向量的数量积公式以及正弦型函数的最值，属于中档题.
9．
【详解】试题分析：根据正三角形的性质以及向量的数量积的定义式，结合向量的特点，可以确定，故答案为．
考点：平面向量基本定理，向量的数量积，正三角形的性质．
10．
【详解】试题分析：因为，所以，，－8，所以
，即的最小值是．
考点：不本题主要考查平面向量模的计算，数量积．
点评：简单题，涉及平面向量模的计算问题，往往要“化模为方”．
11．
【详解】因为，
，
因此，
【考点】向量数量积
【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加、减法的平行四边形法则进行求解．
12．
【详解】试题分析：，即最大值为.
【考点】平面向量的数量积．
【易错点睛】在两边同时平方，转化为的过程中，很容易忘记右边的进行平方而导致错误．
13．22
分析：根据基底表示再根据向量数量积化简，即得结果.
【详解】
【点睛】用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决．
14．
分析：取的中点D，连接，利用向量数量积的运算律有，进而可得，结合几何图形即可求的范围.
【详解】如图，取的中点D，连接.
∵，，则，
∴，
∴，，
∴的取值范围为.
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：利用向量数量积的运算律得，进而有，即可求数量积的范围.
15．
【详解】设AB的长为，因为，，所以
==+1+=1，
解得，所以AB的长为.
【考点定位】本小题主要考查平面向量的数量积等基础知识，熟练平面向量的基础知识是解答好本类题目的关键.