高考数学微专题集专题01同构法初探(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题01同构法初探(原卷版+解析)，共22页。试卷主要包含了同构的前半生，同构的概念等内容，欢迎下载使用。
一、同构的前半生
同构式源于指对跨阶的问题，如与属于跨阶函数，
可通过指对跨阶函数进行同构，即，
通常选取这三个函数为母函数，进行同构式的构造．下面借助一道例题来阐释如何以上述母函数构造同构式：
【例1】已知，不等式对任意的实数恒成立，求实数a的最小值．
【解析】观察不等式可知，原不等式中有类似于与的形式，属于跨阶函数，
∴，
同构，等价于，
∵，在上单调递增，
∴，
∴．
【点评】该题原不等式中既含有指数又含有对数，属于指对数混合型不等式．一般解法是求导根据函数单凋性求范围，但本解法将不等式变形，将形如“”的对数函数转化为形如“”的指数函数，使得不等式两边都为结构，构造新函数再根据的单调性求参数范围．
二、同构的概念
通过前面两个例题的同构过程，可得同构过程，先通过观察原不等式的结构，再对不等式进行变形转化，最后找到这个函数的模型，即找到不等式两边对应的同一个函数，将问题化繁为简．像这种找到函数模型的方法，我们就称为同构法．同构思路可表示为：若能等价变形为，然后判断的单调性，利用函数单调性去掉外函数f，转化为解不等式．
简单地说：同构的两个特征：一个是，一个式子中出现两个变量；另一个是，适当变形后，两边式子结构相同．
【例2】若，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】原不等式等价变形为
同构函数，可知在定义域上单调递增
∴
∴
对于有正有负，所以C、D错误；
∵，故A正确，B错误．
【点评】该不等式两边都是含xy的指数，且两边底数不相同．符合同构法的特征，将不等式变形，使得两边各含一个变量，变形后发现，不等式两边的结构相同且都为“”的形式，因此找到这个函数的原型，同构函数，判断函数单调性，根据单调性判断出含x与y的大小关系．
专题强化训练
1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
2．完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；
3．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是.
A．B．C．D．
4．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．
6．已知是函数的零点，则_______．
7．已知方程有3个实数根，则实数a的取值范围是：______．
8．已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．
9．已知实数，满足，，则______.
10．如果，那么的取值范围是_______．
11．比较．
12．已知函数,其中．求证：．
13．证明：．
14．设实数，若对任意的，关于x的不等式恒成立，证明的最小值为．
15．若a是方程 的根，证明：a也是方程的根．
16．已知函数，，设，其中，若恒成立，求的取值范围．
专题01同构法初探
专题01 同构法初探
一、同构的前半生
同构式源于指对跨阶的问题，如与属于跨阶函数，
可通过指对跨阶函数进行同构，即，
通常选取这三个函数为母函数，进行同构式的构造．下面借助一道例题来阐释如何以上述母函数构造同构式：
【例1】已知，不等式对任意的实数恒成立，求实数a的最小值．
【解析】观察不等式可知，原不等式中有类似于与的形式，属于跨阶函数，
∴，
同构，等价于，
∵，在上单调递增，
∴，
∴．
【点评】该题原不等式中既含有指数又含有对数，属于指对数混合型不等式．一般解法是求导根据函数单凋性求范围，但本解法将不等式变形，将形如“”的对数函数转化为形如“”的指数函数，使得不等式两边都为结构，构造新函数再根据的单调性求参数范围．
二、同构的概念
通过前面两个例题的同构过程，可得同构过程，先通过观察原不等式的结构，再对不等式进行变形转化，最后找到这个函数的模型，即找到不等式两边对应的同一个函数，将问题化繁为简．像这种找到函数模型的方法，我们就称为同构法．同构思路可表示为：若能等价变形为，然后判断的单调性，利用函数单调性去掉外函数f，转化为解不等式．
简单地说：同构的两个特征：一个是，一个式子中出现两个变量；另一个是，适当变形后，两边式子结构相同．
【例2】若，则（ ）
A． B． C． D．
【解析】原不等式等价变形为
同构函数，可知在定义域上单调递增
∴
∴
对于有正有负，所以C、D错误；
∵，故A正确，B错误．
【点评】该不等式两边都是含xy的指数，且两边底数不相同．符合同构法的特征，将不等式变形，使得两边各含一个变量，变形后发现，不等式两边的结构相同且都为“”的形式，因此找到这个函数的原型，同构函数，判断函数单调性，根据单调性判断出含x与y的大小关系．
专题强化训练
1．对下列不等式或方程进行同构变形，并写出相应的同构函数．
(1)；
(2)；
(3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)；
(8)．
2．完成下列各问
（1）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（2）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（3）已知函数，若恒成立，则正数a的取值范围是_______；
（4）已知不等式对任意正数x恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（5）已知函数，其中，若恒成立，则实数a与b的大小关系是_______；
（6）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（7）已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是_______；
（8）已知不等式，对恒成立，则k的最大值为_______；
（9）若不等式对恒成立，则实数a的取值范围是_______；
3．已知函数，若不等式在上恒成立，则实数的取值范围是.
A．B．C．D．
4．已知不等式对恒成立，则实数a的最小值为（ ）
A．B．C．D．
5．已知不等式，对恒成立，则a的取值范围是______．
6．已知是函数的零点，则_______．
7．已知方程有3个实数根，则实数a的取值范围是：______．
8．已知实数a，b(0，2)，且满足，则a＋b的值为_______．
9．已知实数，满足，，则______.
10．如果，那么的取值范围是_______．
11．比较．
12．已知函数,其中．求证：．
13．证明：．
14．设实数，若对任意的，关于x的不等式恒成立，证明的最小值为．
15．若a是方程 的根，证明：a也是方程的根．
16．已知函数，，设，其中，若恒成立，求的取值范围．
参考答案：
1．(1)，.
(2)，.
(3)，.
(4)，.
(5)，.
(6)，.
(7)，.
(8)，.
分析：（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）根据给定的不等式或等式，利用等式不等式性质、指对数式互化变形成不等号或等号两边结构相同的形式，再构建函数作答.
(1)
显然，则，.
(2)
显然，则，.
(3)
显然，则，.
(4)
显然，则
，.
(5)
，.
(6)
，，.
(7)
，.
(8)
，.
2． ； ； ； ； ； ； ； ; .
分析：（1）根据不等式的结构特征构造函数,转化成恒成立问题，利用参数分离进行求解.
（2）（3）（4）（5）（9）利用，构造不等式形式，以及利用放缩法，采用参数分离的方式进行求解.
（5）（6）（7）（8）分离参数后利用进行进行求解.
【详解】解析：（1），
．又，，令，得或，令，得，所以在，递减，在递增，
所以，当时，，时，
（2），
当时，原不等式恒成立；
当时，，由于，
当且仅当等号成立，所以．
（3），
当时，原不等式恒成立；
当时，，由（1）中可得，当时，等号成立，
所以，当且仅当等号成立，
所以．
（4），由于，所以．
（5）．
由于，当且仅当等号成立，所以．
（6），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．
（7），由于，两者都是当且仅当等号成立，则，所以．
（8），由于，两者都是当且仅当等号成立，所以，则，所以．
（9），当且仅当，即时等号成立．由有解，
，，易知在上递增，在递减，
所以
故答案为:；；；；；；；；
【点睛】考查不等式恒成立问题的解法，运用导数求单调性以及最值，以及运用，这些常用不等式，适当放缩.考查运算能力和灵活构造处理函数以及不等式等做题能力.
3．C
分析：将不等式变形后，构造函数g(x)，结合选项对m讨论，利用导数分析函数的单调性及函数值的分布情况，对选项排除验证即可．
【详解】原不等式转化为>0在上恒成立，
记g(x)＝，
由基本初等函数的图象及导数的几何意义可知，
y=x+1与y=x-1分别为y=与y=的切线，
即,(x=0时等号成立)，（x=1时等号成立），可得(x=0时等号成立)，
∴m时，在上恒成立，
又在上恒成立，
∴在上恒成立，
∴m时符合题意，排除A、B；
当m>0时，验证C选项是否符合，只需代入m=3，此时g(x)＝，
则，此时0，
令)在上单调递增，且，∴在上恒成立，即在上单调递增，而0，∴在上恒成立，
∴g(x)在上单调递增,又g(0)=0，∴g(x)在上恒成立，
即m=3符合题意，排除D,
故选C.
【点睛】本题考查了导数的应用，考查了函数的单调性、最值问题，考查了分类讨论思想，注意小题小做的技巧，是一道综合题．
4．C
分析：先利用同构变形得到，构造函数，，
结合其单调性和求解的是a的最小值，考虑两种情况，进行求解，最终求得实数a的最小值.
【详解】因为，
所以，
即，
构造函数，
所以
，
令，解得：，令，解得：，
故在上单调递减，在上单调递增，
当时，与1的大小不定，但当实数a最小时，只需考虑其为负数的情况，此时
因为当时，单调递减，
故，
两边取对数得：
，
令，则，
令得：，令得：，
所以在单调递增，在单调递减，
所以
故a的最小值是．
故选：C
【点睛】同构法针对与不等式或者等式中同时出现指数函数与对数函数时，要将两边变形得到结构相同，再构造函数进行求解.
5．
分析：由题意可得，，即，构造函数，由其在上为增函数，，则，再构造函数，利用导数求出其最大值即可
【详解】因为，对恒成立，
所以，，
所以，
所以，
所以，
令，则
因为在上为增函数，
所以，
所以，
令，则，
当时，，当时，，
所以当时，取得最大值，即，
所以，所以，
所以a的取值范围是
故答案为：
6．2
分析：根据零点定义可得，整理可得，根据此时可得成立，代入化简即可得解.
【详解】根据题意可得，
整理可得，
可得当，即成立，
又，
代入可得.
故答案为：.
7．
分析：令，则由零点的个数可得导数有两个不同的零点，利用导数讨论导函数的单调性后可求参数的取值范围.
【详解】令，，
因为有三个不同的零点，
故有两个不同的零点，
，
令，则，
当时，；当时，；
故在上为减函数，在上为增函数，
故即.
当，因为且，
故在上有一个零点，
而且，，
而，故在为减函数，
故，
故在上有且只有一个零点，
又时，，当时，，
故在上为增函数，在上为减函数，其中，
而，
故，
而，因为，，
所以，故，而，
故在上有且只有一个零点，
而，因为，
故在上有且只有一个零点，
结合可得当时，有三个不同的零点，
故答案为：.
【点睛】思路点睛：含参数的零点问题，注意利用导数讨论函数的单调性，同时要结合零点存在定理来判断函数值的符号.
8．2
分析：由，且a，b(0，2)，化简为：，设，则在上递增，由，得a＋b的值.
【详解】由，化简为：，即，
设，则在上递增，因为a，b(0，2)，所以2-b(0，2)，
且，所以，即.
故答案为2
【点睛】本题考查了等式的化简，构造函数，利用函数的单调性求值的问题，属于中档题.
9．
分析：由已知条件考虑将两个等式转化为统一结构形式，令，得到，研究函数的单调性，求出关系，即可求解.
【详解】实数，满足，，
，，则，
，
所以在单调递增，而，
.
故答案为:.
【点睛】本题考查函数单调性应用，换元法是解题的关键，构造函数是难点，属于中档题.
10．
分析：将不等式化简，构造函数根据单调性求解
【详解】，
即，
令，
在上单调递减，
则可化为，
解得．
故答案为：
11．
分析：比较的两个数的结构为，同时取自然对数即比较，等价于比较，构造函数求解．
【详解】解：令，
则，
当时，，
所以在上单调递减，
所以，即，
得，
所以．
12．证明见解析
分析：构造函数，换元后得到，，利用导函数求得单调性和极值，最值，证明出不等式.
【详解】证明：
，
令，，则，
因为，所以令得：，
令得：，
在上递减，在上递增，
故在处取得极小值，也是最小值，
易知，
故．
13．证明见解析
分析：根据对数恒等式及不等式（取等号）进行放缩即可证明.
【详解】设，则.
令，即，解得，
当时，；
当时，；
所以函数在上单调递增，在上单调递减.
当时，取得极小值，也为最小值.
，即（当时取等号），
由，得，
由（当时取等号），得
所以（当时取等号）
所以
，
即证．
【点睛】解决此类问题的关键就是利用对数恒等式及不等式式（取等号）进行放缩即可.
14．证明见解析
分析：根据对数恒等式及函数的单调性得在上恒成立，利用分离参数法得在恒成立，再利用导数法求函数的最值即可求解.
【详解】
令，
，
，
所以在上单调递增；
，即
令，，则
当时，在上单调递减；
当时，函数取的最大值为
，即，
即证，实数的最小值为．
【点睛】解决此类问题运用同构原理，根据对数恒等式及单调性，再结合解决函数横成立的问题的方法即可.
15．证明见解析
分析：利用指数式与对数式的相互转化，使等式两边达到结构统一，然后同构函数，研究同构函数的性质得出结论.
【详解】证明：由已知得，则．
令，得．令，
易得在上单调递增．
即，易知，
由在上单调递增得，
所以，
得，所以a也是方程的根．
16．
分析：分析可得，其中，令，利用导数求得，利用导数求出函数在上的最大值，即可解得正实数的取值范围.
【详解】解：由，
，所以，，其中，
令，其中，则对任意的恒成立，
所以，函数在上单调递增，则当时，，
令，其中，，令可得，列表如下：
所以，函数在处取得极大值，亦即最大值，即，
所以，，解得.
【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解：
（1），；
（2），；
（3），；
（4），.
增
极大值
减