高考数学微专题集专题3：函数的零点问题(原卷版+解析)

这是一份高考数学微专题集专题3：函数的零点问题(原卷版+解析)，共33页。

考法一： 由函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围
[规律方法]已知函数零点个数（方程的根）求参数值（或范围）常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
例1．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】∵的定义域为，，
∴函数至少存在一个零点可化为函数至少有一个零点；
即方程有解，则，
；
故当时，，当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
故；
又∵当时，，
故；故选：A．
例2．已知函数的定义域为R，且对任意都满足，当时，．（其中e为自然对数的底数），若函数与的图象恰有两个交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
答案：A
【解析】由函数则函数的图象关于x＝1对称，
如图所示：
由于和函数的图象只有两个交点，
设，图象上的切点，所以，则，
所以曲线的切线方程为，把代入可得，
则，结合图象，要使图象有两个交点，则或．故选：A．
例3．定义：如果函数在区间上存在，，满足，，则称函数在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】∵函数，∴，
∵函数是区间上的双中值函数，
∴区间上存在，，
满足，即方程在区间有两个解，
令，对称轴，
则，解得．
∴实数t的取值范围是．故选：A．
【点睛】本题难点主要为借助“双中值函数”的定义，将问题转化为方程在区间有两个解，由二次函数零点分布问题可知函数应满足，进而解得.
【针对训练】
1．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
2．已知函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（ ）
①是区间上的平均值函数，0是它的均值点；
②函数在区间上是平均值函数，它的均值点是5；
③函数在区间（其中）上都是平均值函数；
④若函数是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是
A．1B．2C．3D．4
考法二：讨论函数零点个数
[规律方法] 利用导数来探讨函数零点（或函数的图象与函数的图象的交点问题），有以下几个步骤：
①构造函数；
②求导；
③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.
例4．已知函数，a是常数，且．
（Ⅰ）讨论零点的个数；
（Ⅱ）证明：，．
【解析】（Ⅰ），
解得x＝0，或
①a＝1时，，若，，，
若，，．有一个零点，
②时，，
由上表可知，在区间有一个零点x＝0，
，又，
任取，，
在区间有一个零点，从而有两个零点，
③a＝2时，，在上单调递增，有一个零点x＝0，
④时，，
由上表可知，在区间有一个零点x＝0，在区间有一个零点，从而有两个零点
（Ⅱ）证明：取a＝2，由（1）知在上单调递增，
取，则，化简得，
取，由（1）知在区间上单调递减，
取，由得，
即，综上，，．
例5．已知函数，
（i）当a为何值时，x轴为曲线的切线；
（ii）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
【解析】（i）．
设曲线与x轴相切于点，则，，
∴，解得，．
因此当时，x轴为曲线的切线；
（ii）当时，，∴函数，
故在时无零点
当x＝1时，若，则，
∴，故x＝1是函数的一个零点；
若，则，∴，
故x＝1不是函数的零点；
当时，，因此只考虑在内的零点个数即可．
①当或时，在内无零点，因此在区间内单调，
而，，∴当时，函数在区间内有一个零点，
当时，函数在区间内没有零点．
②当时，函数在内单调递减，在内单调递增，
故当时，取得最小值．
若，即，则在内无零点．
若，即，则在内有唯一零点．
若，即，由，，
∴当时，在内有两个零点．
当时，在内有一个零点．
综上可得：时，函数有一个零点．
当时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，函数有三个零点．
【点睛】本题重难点在当时，对参数a的分类讨论，由函数， 分别讨论当或，，，时，在内零点的情况.
【针对训练】
4．已知函数．
（1）当a为何值时，x轴为曲线的切线；
（2）设函数，讨论在区间（0，1）上零点的个数．
5．已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.
【强化训练】
6．若存在正实数m，使得关于x的方程有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
7．已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
8．若关于x的方程有三个不相等的实数解，且，其中m∈R，e为自然对数的底数，则的值为（ ）
A．1+mB．eC．m-1D．1
9．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数m的取值范围是
A．B．C．D．
11．已知函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
12．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若且有两个零点，求的取值范围.
13．已知函数.
（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论方程根的个数.
专题3：函数的零点问题
专题3：函数的零点问题
专题阐述：考查题型有小题也有大题，作为解答题时难度较大.导数可以把函数、方程、不等式等有机地联系在一起.解决函数的零点或方程的根的问题，在解题过程中要注意转化与化归、函数与方程、数形结合、分类讨论思想的应用.此类试题一般以含参数的三次式、分式、以e为底的指数式或对数式及三角函数式结构的函数零点或方程根的形式出现，是近几年高考命题热点.主要有两种考查类型：
（1）确定函数零点（图象交点及方程根）的个数问题；
（2）根据函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围问题.
考法一： 由函数零点（图象交点及方程根）的个数求参数的值或取值范围
[规律方法]已知函数零点个数（方程的根）求参数值（或范围）常用方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.
例1．设函数，记，若函数至少存在一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】∵的定义域为，，
∴函数至少存在一个零点可化为函数至少有一个零点；
即方程有解，则，
；
故当时，，当时，；
则在上单调递增，在上单调递减，
故；
又∵当时，，
故；故选：A．
例2．已知函数的定义域为R，且对任意都满足，当时，．（其中e为自然对数的底数），若函数与的图象恰有两个交点，则实数m的取值范围是（ ）
A．或 B． C． D．
答案：A
【解析】由函数则函数的图象关于x＝1对称，
如图所示：
由于和函数的图象只有两个交点，
设，图象上的切点，所以，则，
所以曲线的切线方程为，把代入可得，
则，结合图象，要使图象有两个交点，则或．故选：A．
例3．定义：如果函数在区间上存在，，满足，，则称函数在区间上的一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数t的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
答案：A
【解析】∵函数，∴，
∵函数是区间上的双中值函数，
∴区间上存在，，
满足，即方程在区间有两个解，
令，对称轴，
则，解得．
∴实数t的取值范围是．故选：A．
【点睛】本题难点主要为借助“双中值函数”的定义，将问题转化为方程在区间有两个解，由二次函数零点分布问题可知函数应满足，进而解得.
【针对训练】
1．设函数（其中为自然对数的底数），若函数至少存在一个零点，则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
2．已知函数与函数的图象有两个不同的交点，则实数m取值范围为（ ）
A．B．
C．D．
3．定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点．则下列叙述正确的个数是（ ）
①是区间上的平均值函数，0是它的均值点；
②函数在区间上是平均值函数，它的均值点是5；
③函数在区间（其中）上都是平均值函数；
④若函数是区间上的平均值函数，则实数m的取值范围是
A．1B．2C．3D．4
考法二：讨论函数零点个数
[规律方法] 利用导数来探讨函数零点（或函数的图象与函数的图象的交点问题），有以下几个步骤：
①构造函数；
②求导；
③研究函数的单调性和极值（必要时要研究函数图象端点的极限情况）；
④画出函数的草图，观察与轴的交点情况，列不等式；
⑤解不等式得解.
探讨函数的零点个数，往往从函数的单调性和极值入手解决问题，结合零点存在性定理求解.
例4．已知函数，a是常数，且．
（Ⅰ）讨论零点的个数；
（Ⅱ）证明：，．
【解析】（Ⅰ），
解得x＝0，或
①a＝1时，，若，，，
若，，．有一个零点，
②时，，
由上表可知，在区间有一个零点x＝0，
，又，
任取，，
在区间有一个零点，从而有两个零点，
③a＝2时，，在上单调递增，有一个零点x＝0，
④时，，
由上表可知，在区间有一个零点x＝0，在区间有一个零点，从而有两个零点
（Ⅱ）证明：取a＝2，由（1）知在上单调递增，
取，则，化简得，
取，由（1）知在区间上单调递减，
取，由得，
即，综上，，．
例5．已知函数，
（i）当a为何值时，x轴为曲线的切线；
（ii）用表示m，n中的最小值，设函数，讨论零点的个数．
【解析】（i）．
设曲线与x轴相切于点，则，，
∴，解得，．
因此当时，x轴为曲线的切线；
（ii）当时，，∴函数，
故在时无零点
当x＝1时，若，则，
∴，故x＝1是函数的一个零点；
若，则，∴，
故x＝1不是函数的零点；
当时，，因此只考虑在内的零点个数即可．
①当或时，在内无零点，因此在区间内单调，
而，，∴当时，函数在区间内有一个零点，
当时，函数在区间内没有零点．
②当时，函数在内单调递减，在内单调递增，
故当时，取得最小值．
若，即，则在内无零点．
若，即，则在内有唯一零点．
若，即，由，，
∴当时，在内有两个零点．
当时，在内有一个零点．
综上可得：时，函数有一个零点．
当时，有一个零点；
当或时，有两个零点；
当时，函数有三个零点．
【点睛】本题重难点在当时，对参数a的分类讨论，由函数， 分别讨论当或，，，时，在内零点的情况.
【针对训练】
4．已知函数．
（1）当a为何值时，x轴为曲线的切线；
（2）设函数，讨论在区间（0，1）上零点的个数．
5．已知函数，.
（1）当为何值时，轴为曲线的切线；
（2）用表示、中的最大值，设函数，当时，讨论零点的个数.
【强化训练】
6．若存在正实数m，使得关于x的方程有两个不同的根，其中e为自然对数的底数，则实数a的取值范围是
A．B．
C．D．
7．已知函数,若存在,使得关于的方程有解,其中为自然对数的底数则实数的取值范围是
A．B．
C．D．
8．若关于x的方程有三个不相等的实数解，且，其中m∈R，e为自然对数的底数，则的值为（ ）
A．1+mB．eC．m-1D．1
9．已知函数若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，则m的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
10．已知函数，若有且仅有两个整数使得，则实数m的取值范围是
A．B．C．D．
11．已知函数
（Ⅰ）讨论的单调性；
（Ⅱ）若有两个零点，求的取值范围.
12．已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）设，若且有两个零点，求的取值范围.
13．已知函数.
（1）若函数在定义域内是增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，讨论方程根的个数.
参考答案：
1．D
【详解】令,则，设，令， ，则，发现函数在上都是单调递增，在上都是单调递减，故函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点需满足，即．应选答案D．
点睛：解答本题时充分运用等价转化与化归的数学思想，先将函数解析式中的参数分离出来，得到，然后构造函数，分别研究函数， 的单调性，从而确定函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，得，所以函数至少存在一个零点等价于，即．使得问题获解．
2．D
分析：将问题转化为方程，在分离参数，再将问题转化为两个函数图象有两个不同交点，利用导数研究函数的单调性，并作出草图可解.
【详解】由题意得：，则，
问题转化为y＝m和有2个交点，而，
在和上，递增，在上，递减，
当x趋于正无穷大时，无限接近于0，且，，，作出函数的图象，如图所示：
观察图象得：函数和的图象有2个不同的交点时，
实数.
故选：D．
3．C
分析：由平均值函数定义直接计算均值点可判断①②；取求均值点可判断③；按照平均值函数定义列方程求解，根据均值点在区间上可判断④.
【详解】根据题意，依次分析题目中的四个结论：
对于①，若是区间上的平均值函数，设其均值点为n，
则有，解可得n＝0，即0是它的均值点，①正确；
对于②，若函数在区间上是平均值函数，设其均值点为n，
则有，解可得n＝5或－1（舍），即5是它的均值点，②正确，
对于③，取，则由平均值函数定义可得，解得，，故③错误；
对于④，若函数是区间上的平均值函数，
则关于x的方程在内有实数根，
而，解得x＝m－1，x＝1（舍），
则x＝m－1必为均值点，即，即实数m的取值范围是，④正确；
其中①②④正确.
故选：C．
4．(1) (2)见解析
分析：（1）求得的导数，设切点为，可得，解方程可得所求值；（2）求的解析式和导数，讨论当时，当时，当时，结合函数的单调性和函数零点存在定理，即可得到所求零点个数．
【详解】（1）的导数为，
设切点为，可得，
即，
解得；
（2），
当时，，在（0，1）递增，可得
，，有一个零点；
当时，，在（0，1）递减，，
在（0，1）无零点；
当时，在（0，）递增，在（，1）递减，
可得在（0，1）的最大值为，
①若＜0，即，在（0，1）无零点；
②若=0，即，在（0，1）有一个零点；
③若＞0，即，
当时，在（0，1）有两个零点；
当时，在（0，1）有一个零点；
综上可得，a＜时，在（0，1）无零点；
当a=或a≥时，在（0，1）有一个零点；
当＜a＜时，在（0，1）有两个零点．
【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，最值极值以及函数的零点问题，考查导数的几何意义的应用，考查分类讨论思想方法和运算能力，综合性较强．
5．（1）；（2）见解析.
分析：（1）设切点坐标为，然后根据可解得实数的值；
（2）令，，然后对实数进行分类讨论，结合和的符号来确定函数的零点个数.
【详解】（1），，
设曲线与轴相切于点，则，
即，解得.
所以，当时，轴为曲线的切线；
（2）令，，
则，，由，得.
当时，，此时，函数为增函数；当时，，此时，函数为减函数.
，.
①当，即当时，函数有一个零点；
②当，即当时，函数有两个零点；
③当，即当时，函数有三个零点；
④当，即当时，函数有两个零点；
⑤当，即当时，函数只有一个零点.
综上所述，当或时，函数只有一个零点；
当或时，函数有两个零点；
当时，函数有三个零点.
【点睛】本题考查了利用导数的几何意义研究切线方程和利用导数研究函数的单调性与极值，关键是分类讨论思想的应用，属难题．
6．B
分析：根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程的有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解即可.
【详解】由题意得，
令，则，
当时，，当时，，
所以，所以，
而时，，则要满足，解得，故选B.
【点睛】本题主要考查了函数与方程的综合应用问题，其中解答中根据函数与方程的关系将方程进行转化，利用换元法转化为方程的有解，构造函数求函数的导数，利用函数极值和单调性的关系进行求解是解答的关键，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，属于中档试题
7．D
【详解】分析：由题得，令，，
利用导数性质能求出实数的取值范围．
详解：由，得，
得，即，
令，，则，
显然是函数的唯一零点，易得，∴，即.
故选D.
点睛：本题考查实数的取值范围的求法解题时要认真审题，注意导数性质、构造法的合理运用．，属中档题，
8．D
分析：令，则有，即，作出函数的图象，结合图象可得关于的方程一定有两个实根，，，且，，即可求解.
【详解】由方程可得.
令，则有，即.
令函数，则.
∴在上单调递增，在上单调递减.
作出图象如下：
要使关于额方程有三个不相等的实数解，，且
结合图象可得关于关于的方程一定有两个实根，，，且，，，.
∴
∵
∴
故选D.
【点睛】利用函数零点的情况求参数值或取值范围的方法
(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围； (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域(最值)问题加以解决；
(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解.
9．D
分析：根据题意，作出函数与的图像，然后通过数形结合求出答案.
【详解】函数的图像如下图所示：
若关于x的方程恰有三个不相等的实数解，
则函数的图像与直线有三个交点，
若直线经过原点时，m＝0，
若直线与函数的图像相切，令，令.
故.
故选：D．
10．B
【详解】由得：，即
设，
则
由可得，即
由可得，即
即当时，函数取得极大值
在同一平面直角坐标系中作出，的大致图象如图所示：
当时，满足的整数解超过两个，不满足条件
当时，要使的整数解只有两个，则需满足
，即，解得
即
即实数的取值范围为
故选
点睛：本题主要考查的知识点是函数，不等式的性质，利用数形结合以及构造法求解，根据不等式的关系转化两个函数的大小关系，构造函数，，利用的整数解只有两个，建立不等式关系进行求解即可，解决本题的关键是利用数形结合建立不等关系．
11．(Ⅰ)见解析（Ⅱ）.
分析：（Ⅰ）对函数求导，讨论当时，时，时，时，由导数大于0，可得增区间，由导数小于0，可得减区间；（Ⅱ）由（Ⅰ）的单调区间，对讨论，结合单调性和函数值的变化特点，即可得到所求范围．
【详解】（Ⅰ）由题，
（1）当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增；
（2）当时，故时，,函数单调递增，时，,函数单调递减，时，,函数单调递增；
（3）当时，恒成立，函数单调递增；
（4）当时，故时，函数单调递增，
时，函数单调递减，
时，函数单调递增；
（Ⅱ）当时，有唯一零点不符合题意；
由（Ⅰ）知：当时，故时，函数单调递减，时，函数单调递增，时，；时，，必有两个零点；
当时，故时，函数单调递增，
时，函数单调递减，时，函数单调递增，,函数至多有一个零点；
当时，函数单调递增，函数至多有一个零点；
当时，故时，函数单调递增，时，函数单调递减，时，函数单调递增，，函数至多有一个零点；
综上所述：当时，函数有两个零点.
【点睛】本题主要考查利用导数求单调区间、应用导数研究函数的零点问题以及分类讨论思想.本题覆盖面广，对考生计算能力要求较高，是一道难题，解答本题，准确求导数是基础，恰当分类讨论是关键，易错点是分类讨论不全面、不彻底、不恰当，或因复杂式子变形能力差，而错漏百出．本题能较好的考查考生的逻辑思维能力、基本计算能力、分类讨论思想等．
12．（1）当时，在上是增函数；当时，在，上是增函数，在上是减函数.（2）
【解析】（1）求定义域以及导数，对参数进行分类讨论，求解对应情况下的单调性即可；
（2）由（1）中所得，可知的解析式，根据的单调性，将零点问题转化为图像相交的问题，数形结合，求解参数范围.
【详解】（1）的定义域为，，
，
对于，，
当时，，
则在上是增函数.
当时，
对于，有，则在上是增函数.
当时，
令，得或，
令，得，
所以在，上是增函数，
在上是减函数.
综上，当时，在上是增函数；
当时，在，上是增函数，
在上是减函数.
（2）由已知可得，
因为，所以，而，所以，
所以，所以在上单调递增.
所以.
故有两个零点，等价于
=在内有两个零点.
等价于有两根，
显然不是方程的根，
因此原方程可化为，
设，，
由解得，或
由解得，
故在上单调递减，在上单调递增.
其图像如下所示：
所以，
所以，
所以.
【点睛】本题考查利用导数对含参函数的单调性进行讨论，以及函数零点问题的处理，数形结合是本题的关键.
13．（1）；（2）.
分析：（1）由题意可知对任意的恒成立，由参变量分离法得出，求得函数在区间上的最大值，由此可得出实数的取值范围；
（2）构造函数，分和，利用导数分析函数的单调性与极值，结合零点存在定理可判断出函数的零点个数，由此可得出结论.
【详解】（1），定义域为，
由题意知对任意的恒成立，
即，，故.
因此，实数的取值范围是；
（2），即，设，
则，
当时，，函数在上单调递增，
，，故函数有唯一零点；
当时，，
令，得或；令，得.
函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，
极大值为，
设，则恒成立，
故函数单调递增，故，
故函数在上无零点.
，，
故函数在上有唯一零点.
综上所述，当时，方程有且仅有一个根.
【点睛】本题考查利用函数在区间上的单调性求参数，同时也考查了利用导数研究函数的零点个数，考查分析问题和解决问题的能力，属于难题.