2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点01集合(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点01集合(精讲)(原卷版+解析)，共51页。试卷主要包含了集合与元素等内容，欢迎下载使用。
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
注：1、空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集．
2、子集的个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
3.集合的基本运算
注：1、Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
2、从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？
等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
3、五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．
1．（2023•天津）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}
2．（2023•北京）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤2}
3．（2023•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
4．（2023•乙卷）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（ ）
A．∅B．SC．TD．Z
5．（2023•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}
6．（2023•乙卷）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（ ）
A．{5}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，3，4}
7．（2023•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
8．（2023•山东）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}
9．（2023•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
10．（2023•新课标Ⅱ）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，3} B．{﹣2，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，3} D．{﹣2，﹣1，0，2，3}
考点一 集合的含义
解题方略：
与集合中元素有关的问题的求解策略
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
（一）求集合的元素
【例1-1】(2023·安徽省芜湖市教育局高三期末（文））集合中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
【例1-2】(2023·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【例1-3】(2023·宁夏银川·一模（文））已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【题组练透】
1、(2023·海南·模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
2、(2023·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
3、(2023·全国·高三专题练习）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
集合元素的互异性
【例1-4】(2023·全国·高三专题练习）已知、，若，则的值为（ ）
A．B．0C．D．或
【例1-5】(2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【题组练透】
1、(2023·浙江·高三专题练习）由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2B．3C．4D．5
2、已知集合，若，则___________.
3、(2023·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．
根据集合元素的个数求参数
【例1-6】(2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____．
【例1-7】【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【例1-8】(2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x∈N|18
【题组练透】
1、(2023·浙江·高三专题练习）若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
2、(2023·全国·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
3、(2023·浙江·高三专题练习）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
考点二 集合间的基本关系
解题方略：
集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
两种方法：
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
一个关键：
关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
2．根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
（一）集合间基本关系的判定
【例2-1】(2023·广西桂林·二模（文））已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．∅
【例2-2】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则 （ ）
A．AB．BC．ND．
【例2-3】(2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【题组练透】
1、(2023·北京密云·高三期中）已知集合，且，则可以是（ ）
A．B．C．D．
2、(2023·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））设集合，则（ ）
A．B．C． D．
3、(2023·新疆·模拟预测（理））已知集合，，全集，则（ ）
A．B．C．D．
根据两集合的关系求参数
【例2-4】(2023·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是（ ）
A．B．C．D．
【例2-5】(2023·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【例2-6】(2023·全国·高三专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x4}，若，则实数a的取值范围是________．
【例2-7】(2023·北京市十一学校高三阶段练习）设集合，满足，则实数a的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【例2-8】(2023·全国·高三专题练习）已知，若，则实数的取值范围为（ ）
A．B．
C． D．
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，若，则（ ）
A．1B．0或1或3C．0或3D．1或3
2、(2023·海南海口·模拟预测）已知集合，，若，则实数a＝（ ）
A．2B．1C．0D．-1
3、(2023·湖南湘潭·三模）已知集合，，若，则m的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
（真）子集的个数
【例2-9】(2023·安徽·模拟预测（理））设集合，，则的子集个数为（ ）
A．B．C．D．
【例2-10】(2023·全国·模拟预测）已知集合，，则集合B的子集的个数是（ ）
A．3B．4C．8D．16
【例2-11】(2023·新疆·二模（理））已知集合，则的真子集共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．7个
【例2-12】(2023·全国·高三专题练习）集合满足，则集合的个数有________个.
【题组练透】
1、(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则的子集个数为（ ）
A．4B．6C．8D．9
2、(2023·吉林白山·三模（理））已知集合，，则集合的子集有（ ）
A．2个B．4个C．8个D．16个
3、(2023·黑龙江齐齐哈尔·二模（理））设集合，则集合M的真子集个数为（ ）
A．16B．15C．8D．7
4、(2023·河北·高三阶段练习）已知集合，，则的真子集个数为（ ）
A．32B．31C．16D．15
5、(2023·内蒙古赤峰·模拟预测（理））已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，则的值为（ ）
A．1B．2C．3D．4
6、(2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，集合满足且，则满足条件的集合的个数为（ ）
A．B．C．D．
7、(2023·全国·高三专题练习）已知集合，，则满足条件的集合C的个数为（ ）
A．7B．8C．15D．16
考点三 集合的基本运算
解题方略：
1、集合基本运算的方法技巧
2、数形结合常使集合间的运算更简捷、直观
对离散的数集间的运算或抽象集合间的运算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算，则往往通过坐标平面内的图形求解．这些在本质上都是数形结合思想的体现和运用．
3、集合运算中参数问题的求解策略
(1)化简所给集合；(2)用数轴表示所给集合；(3)根据集合端点的大小关系列出不等式(组)；(4)解不等式(组)；(5)检验．
数集的运算
【例3-1】(2023·湖南·长沙一中高三阶段练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-2】(2023·山东·夏津第一中学高三阶段练习）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-3】(2023·广西柳州·三模（理））设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
【例3-4】(2023·江苏南通·高三期末）已知集合，则（ ）
A．A∩B＝AB．A∩B＝B
C．D．
【题组练透】
1、(2023·江西·模拟预测（理））已知集合，则（ ）.
A．B．C．D．
2、(2023·安徽黄山·二模（文））若集合，，则等于（ ）
A．B．C．D．
3、(2023·安徽省芜湖市教育局模拟预测（理））设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
4、(2023·江西·二模（文））若集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
5、(2023·四川凉山·三模（理））集合，，，则（ ）
A．B．
C．D．
6、(2023·江苏南京·三模）已知R为实数集，集合A＝{x∈Z||x|≤1}，B＝{x|2x－1≥0}，则A∩（）＝（ ）
A．{－1，0}B．{0，1}C．{－1，0，1}D．
7、(2023·浙江绍兴·高三期末）已知全集，集合，，则（ ）
A．B．C．D．
8、(2023·安徽亳州·高三期末（理））设集合，，则（ ）
A． B． C．D．
9、(2023·安徽·南陵中学模拟预测（文））已知全集，集合，则（ ）
A．B．C．D．
10、(2023·陕西陕西·二模（理））已知集合，，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
点集的运算
【例3-5】(2023·上海·高三阶段练习）已知集合，，则( )
A．B．C．D．
【例3-6】(2023·河南省直辖县级单位·二模（理））已知集合，，则（ ）
A．B．C．MD．N
【题组练透】
1、(2023·湖南省隆回县第二中学高三阶段练习）已知集合，则（ ）
A．B．C．SD．T
2、(2023·辽宁）已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
3、(2023·全国·高三专题练习）设集合，，则（ ）
A．B．C．D．
根据集合的运算结果求参数
【例3-7】(2023·湖南常德·一模）已知集合，若，则（ ）
A．B．
C．D．
【例3-8】(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟预测（文））已知集合，若，则实数的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【例3-9】(2023·山东省淄博第一中学高三开学考试）若集合，集合，若，则实数的取值集合为（ ）
A．B．C．D．
【题组练透】
1、(2023·江西赣州·一模（理））设集合，.若，则实数n的值为（ ）
A．B．0C．1D．2
2、(2023·贵州毕节·模拟预测（理））已知集合，，若，则（ ）
A．B．0C．1D．
3、(2023·江西·二模（理））已知集合，，若，则实数a的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
考点四 集合的新定义问题
解题方略：
集合新定义问题的求解思路
(1)遇到新定义问题，先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问题的关键所在；
(2)集合的性质是解答集合新定义问题的基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些条件．
【例4-1】(2023·重庆长寿·高三期末）设集合，，定义，则中元素的个数为（ ）
A．3B．4C．5D．6
【例4-2】(2023·浙江·高三专题练习）设集合，，定义集合，则中所有元素之和为（ ）
A．B．C．D．
【例4-3】(2023·湖南·岳阳一中一模）定义集合的一种运算：，若，，则中的元素个数为（ ）
A．B．C．D．
【题组练透】
1、(2023·陕西·武功县普集高级中学高三期末（文））定义集合运算:.设,,则集合的所有元素之和为（ ）
A．0B．2C．3D．6
2、(2023·全国·高三专题练习）若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____.
3、(2023·全国·高三专题练习）设是直角坐标平面上的任意点集，定义，，．若，则称点集“关于运算对称”．给定点集，，，其中“关于运算 * 对称”的点集个数为（ ）
A．B．C．D．
考点五 韦恩图的运用
解题方略：
韦恩(Venn)图能更直观地表示集合之间的关系，先分析集合关系，化简集合，再由韦恩(Venn)图所表示的集合关系进行运算．对复杂的集合关系问题，或相关的数学应用问题，可通过构造韦恩(Venn)图进行求解．
【例5-1】(2023·海南·嘉积中学模拟预测）已知全集，集合，集合，则图中的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
【例5-2】(2023·全国·高三专题练习）向某50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ）
A．18B．19C．20D．21
【例5-3】(2023·河南·高三阶段练习（文））已知A，则（ ）
A．B．
C．D．
【题组练透】
1、(2023·安徽合肥·二模（文））设全集，集合，，则下面Venn图中阴影部分表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
2、(2023·辽宁·建平县实验中学模拟预测）已知，，则图中阴影表示的集合是（ ）
A．B．
C．D．
3、(2023·浙江·模拟预测）已知集合，，则如图所示的阴影部分表示的集合为（ ）
A．B．C．D．
4、(2023·浙江·高三专题练习）已知全集，集合与关系的Venn图如图所示，则阴影部分表示集合的元素共有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
5、(2023·安徽蚌埠·模拟预测（理））已知集合、都是的子集，且，则（ ）
A．B．C．D．
集合
自然数集
正整数集
整数集
有理数集
实数集
符号
N
N*(或N＋)
（记忆口诀：星星在天上，十字架在地上）
Z
Q
R
表示
关系
文字语言
符号语言
记法
Venn图
基本关系
子集
集合A中任意一个元素都是集合B中的元素
x∈A⇒x∈B
A⊆B或B⊇A
真子集
集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不属于A
A⊆B，且∃x0∈B，x0A
AB或BA
相等
集合A，B的元素完全相同
A⊆B，B⊆A
A＝B
空集
不含任何元素的集合．空集是任何集合A的子集
∀x，x∅，∅⊆A
eq \a\vs4\al(∅)
集合的并集
集合的交集
集合的补集
符号表示
A∪B
A∩B
若全集为U，则集合A的补集为∁UA
图形表示
意义
{x|x∈A，或x∈B}
{x|x∈A且x∈B}
{x|x∈U，且xA}
性质
A∪∅＝A；
A∪A＝A；
A∪B＝B∪A
A∩∅＝∅；
A∩A＝A；
A∩B＝B∩A
A∪(∁UA)＝U；
A∩(∁UA)＝∅；
∁U(∁UA)＝A
第1讲 集合
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特征：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或表示．
(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．
(4)常见数集的记法
2.集合间的基本关系
注：1、空集是任何集合的子集，是非空集合的真子集，在未明确说明一个集合非空的情况下，要考虑集合为空集的可能．另外，不可忽视空集是任何集合的子集．
2、子集的个数：若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，非空子集有2n－1个，真子集有2n－1个．
3.集合的基本运算
注：1、Venn图图示法和数轴图示法是进行集合交、并、补集运算的常用方法，其中运用数轴图示法时要特别注意端点是实心还是空心．
2、从A∩B＝A，A∪B＝A可以得到集合A，B有什么关系？
等价关系：A∩B＝A⇔A⊆B；A∪B＝A⇔A⊇B.
3、五个关系式A⊆B，A∩B＝A，A∪B＝B，∁UB⊆∁UA以及A∩(∁UB)＝是两两等价的．对这五个式子的等价转换，常使较复杂的集合运算变得简单．
1．（2023•天津）设集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，则（A∩B）∪C＝（ ）
A．{0}B．{0，1，3，5}C．{0，1，2，4}D．{0，2，3，4}
【解析】因为集合A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，3，5}，C＝{0，2，4}，
所以A∩B＝{1}，所以（A∩B）∪C＝{0，1，2，4}．
故选：C．
2．（2023•北京）已知集合A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，则A∪B＝（ ）
A．{x|﹣1＜x＜2}B．{x|﹣1＜x≤2}C．{x|0≤x＜1}D．{x|0≤x≤2}
【解析】∵A＝{x|﹣1＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，
∴A∪B＝{x|﹣1＜x＜1}∪{x|0≤x≤2}＝{x|﹣1＜x≤2}．
故选：B．
3．（2023•新高考Ⅱ）若全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，则A∩∁UB＝（ ）
A．{3}B．{1，6}C．{5，6}D．{1，3}
【解析】因为全集U＝{1，2，3，4，5，6}，集合A＝{1，3，6}，B＝{2，3，4}，
所以∁UB＝{1，5，6}，故A∩∁UB＝{1，6}．故选：B．
4．（2023•乙卷）已知集合S＝{s|s＝2n+1，n∈Z}，T＝{t|t＝4n+1，n∈Z}，则S∩T＝（ ）
A．∅B．SC．TD．Z
【解析】当n是偶数时，设n＝2k，则s＝2n+1＝4k+1，
当n是奇数时，设n＝2k+1，则s＝2n+1＝4k+3，k∈Z，
则TS，则S∩T＝T，故选：C．
5．（2023•新高考Ⅰ）设集合A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，则A∩B＝（ ）
A．{2}B．{2，3}C．{3，4}D．{2，3，4}
【解析】∵A＝{x|﹣2＜x＜4}，B＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{x|﹣2＜x＜4}∩{2，3，4，5}＝{2，3}．
故选：B．
6．（2023•乙卷）已知全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，则∁U（M∪N）＝（ ）
A．{5}B．{1，2}C．{3，4}D．{1，2，3，4}
【解析】∵全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M＝{1，2}，N＝{3，4}，
∴M∪N＝{1，2，3，4}，
∴∁U（M∪N）＝{5}．
故选：A．
7．（2023•新课标Ⅲ）已知集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，则A∩B中元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【解析】∵集合A＝{（x，y）|x，y∈N*，y≥x}，B＝{（x，y）|x+y＝8}，
∴A∩B＝{（x，y）|y≥xx+y=8，x，y∈N∗}＝{（1，7），（2，6），（3，5），（4，4）}．
∴A∩B中元素的个数为4．
故选：C．
8．（2023•山东）设集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，则A∪B＝（ ）
A．{x|2＜x≤3}B．{x|2≤x≤3}C．{x|1≤x＜4}D．{x|1＜x＜4}
【解析】∵集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|2＜x＜4}，
∴A∪B＝{x|1≤x＜4}．
故选：C．
9．（2023•新课标Ⅰ）设集合A＝{x|x2﹣4≤0}，B＝{x|2x+a≤0}，且A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，则a＝（ ）
A．﹣4B．﹣2C．2D．4
【解析】集合A＝{x|x2﹣4≤0}＝{x|﹣2≤x≤2}，B＝{x|2x+a≤0}＝{x|x≤−12a}，
由A∩B＝{x|﹣2≤x≤1}，可得−12a＝1，
则a＝﹣2．
故选：B．
10．（2023•新课标Ⅱ）已知集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，则∁U（A∪B）＝（ ）
A．{﹣2，3}B．{﹣2，2，3}
C．{﹣2，﹣1，0，3}D．{﹣2，﹣1，0，2，3}
【解析】集合U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，A＝{﹣1，0，1}，B＝{1，2}，
则A∪B＝{﹣1，0，1，2}，
则∁U（A∪B）＝{﹣2，3}，
故选：A．
考点一 集合的含义
解题方略：
与集合中元素有关的问题的求解策略
(1)用描述法表示集合，首先要搞清楚集合中代表元素的含义，再看元素的限制条件，明白集合的类型，是数集、点集还是其他类型的集合，要明了集合{x|y＝f(x)}，{y|y＝f(x)}，{(x，y)|y＝f(x)}三者是不同的．
(2)集合元素的三个特性中的互异性对解题的影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．
（一）求集合的元素
【例1-1】(2023·安徽省芜湖市教育局高三期末（文））集合中的元素个数是（ ）
A．0B．4C．5D．6
【解析】，所以集合中的元素个数有4个，故选：B.
【例1-2】(2023·山东聊城·二模）已知集合，，则集合中元素个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】因为，，所以或或或，
故，即集合中含有个元素；
故选：C
【例1-3】(2023·宁夏银川·一模（文））已知集合，，则B中所含元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．6
【解析】时，，3，4，
时，，3，
时，，
时，无满足条件的值；故共6个，
故选：D．
【题组练透】
1、(2023·海南·模拟预测）已知集合，集合，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为集合，所以，
在集合中，由，得，即，
又，所以，，，即.
故选：B.
2、(2023·福建·模拟预测）设集合， ，则集合元素的个数为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【解析】当时，y＝1；当时，y＝0；当x＝3时，．故集合B共有3个元素．
故选：B.
3、(2023·全国·高三专题练习）已知集合，则中元素的个数为（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题意可知，集合中的元素有：、、、、、、、、、、、、，共个.
故选：D.
集合元素的互异性
【例1-4】(2023·全国·高三专题练习）已知、，若，则的值为（ ）
A．B．0C．D．或
【解析】由 且，则，∴，于是，解得或,
根据集合中元素的互异性可知应舍去，因此，,故．
故选：C.
【例1-5】(2023·全国·高三专题练习）若，则的可能取值有（ ）
A．0B．0，1C．0，3D．0，1，3
【解析】，则，符合题设；
时，显然不满足集合中元素的互异性，不合题设；
时，则，符合题设；
∴或均可以.
故选：C
【题组练透】
1、(2023·浙江·高三专题练习）由实数所组成的集合，最多可含有（ ）个元素
A．2B．3C．4D．5
【解析】由题意，当时所含元素最多，此时分别可化为，，，
所以由实数所组成的集合，最多可含有3个元素．故选：B
2、已知集合，若，则___________.
【解析】，，则或，解得或，
当时，集合中有两个相同元素，（舍去），所以.故答案为：
3、(2023·上海民办南模中学高三阶段练习）若，则实数a的取值集合为______．
【解析】因为，故或或，
当时，，与元素的互异性矛盾，舍；
当时，，符合；
当时，或，根据元素的互异性，符合，
故a的取值集合为.
故答案为：
根据集合元素的个数求参数
【例1-6】(2023·全国·高三专题练习）已知集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}只有一个元素，则a＝_____．
【解析】因为集合A＝{x|ax2﹣3x+2＝0，x∈R，a∈R}有且只有一个元素，
当a＝0时，ax2﹣3x+2＝0只有一个解x＝，
当a≠0时，一元二次方程只有一个元素则方程有重根，
所以△＝9﹣8a＝0即a＝
所以实数a＝0或
故答案为：0或．
【例1-7】【多选】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，若集合A有且仅有2个子集，则a的取值有（ ）
A．-2B．-1C．0D．1
【解析】因为集合仅有个子集，所以集合中仅有一个元素，
当时，，所以，所以，满足要求；
当时，因为集合中仅有一个元素，所以，所以，此时或，满足要求，
故选：BCD.
【例1-8】(2023·全国·高三专题练习）已知集合A={x∈N|18
【解析】∵集合A={x∈N|1 8.
故选：D.
【题组练透】
1、(2023·浙江·高三专题练习）若集合中有且仅有一个元素，则k的值为___________.
【解析】当k=0时，方程为2x+1=0,有且只有一解，符合题意；
当k≠0时，方程有且仅有一个解等价于,解得k=1,
故答案为：0或1.
2、(2023·全国·高三专题练习）若集合中有且只有一个元素，则正实数的取值范围是___________
【解析】由题意，不等式且，即，
令，
所以，
所以是一个二次函数，图象是确定的一条抛物线，
而一次函数，图象是过一定点的动直线，
作出函数和的图象，如图所示，
其中，
又因为，结合图象，
要使得集合中有且只有一个元素，
可得，即，解得.
即正实数的取值范围是.
故答案为：.
3、(2023·浙江·高三专题练习）若集合有且仅有两个不同的子集，则实数=_______；
【解析】因为集合仅有两个不同子集，所以集合中仅有个元素，
当时，，所以，满足要求；
当时，，所以，此时方程解为，即，满足要求，
所以或，
故答案为：或.
考点二 集合间的基本关系
解题方略：
集合间基本关系的2种判定方法和1个关键
两种方法：
(1)化简集合，从表达式中寻找两集合的关系；
(2)用列举法(图示法)表示各集合，从元素(图形)中寻找关系
一个关键：
关键是看它们是否具有包含关系，若有包含关系就是子集关系
2．根据两集合的关系求参数的方法
已知两个集合之间的关系求参数时，要明确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解，其次是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
(1)若集合元素是一一列举的，依据集合间的关系，转化为解方程(组)求解，此时应注意集合中元素的互异性；
(2)若集合表示的是不等式的解集，常依据数轴转化为不等式(组)求解，此时需注意端点值能否取到．
（一）集合间基本关系的判定
【例2-1】(2023·广西桂林·二模（文））已知集合，则下列关系正确的是（ ）
A．B．C．D．∅
【解析】因为集合，所以根据子集的定义可知，故选：C.
【例2-2】(2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则 （ ）
A．AB．BC．ND．
【解析】由题设，对于集合：当为偶数时元素属于集合B，当为奇数时元素不属于集合B，
对于集合B：取任意值其元素都在集合A中，∴.故选：B
【例2-3】(2023·河南·灵宝市第一高级中学模拟预测（理））已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．
【解析】因为，，
当时，是奇数，是整数，所以．
故选：．
【题组练透】
1、(2023·北京密云·高三期中）已知集合，且，则可以是（ ）
A．B．C．D．
【解析】因为，又，所以任取，则，
所以可能为，A对，
又 ，，
∴ 不可能为，，，B，C，D错，
故选：A.
2、(2023·黑龙江·哈尔滨三中二模（文））设集合，则（ ）
A．B．C． D．
【解析】根据题意，
时，
所以选项D正确.
故选：D.
3、(2023·新疆·模拟预测（理））已知集合，，全集，则（ ）
A．B．C．D．
【解析】由题设，，，所以，而，则，所以.故选：A
根据两集合的关系求参数
【例2-4】(2023·河北·张家口市第一中学高三阶段练习）已知集合，，若，则实数的取值组成的集合是（ ）
A．B．C．D．
【解析】集合，，
当，即时，显然满足条件；
当时，，
因为，所以或，即或，解得或；
综上，实数的取值组成的集合是.
故选：D.
【例2-5】(2023·四川攀枝花·三模（理））设集合，，若，则实数a的取值范围是（ ）．
A．B．
C．D．
【解析】或.因为集合，，所以.
故选：D
【例2-6】(2023·全国·高三专题练习）已知A＝{x∈R|2a≤x≤a＋3},B＝{x∈R|x4}，若，则实数a的取值范围是________．
【解析】①当a>3即2a>a＋3时，A＝，满足；②当a3即2aa＋3时，若，
则有，解得a