2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点03复数(精讲)(原卷版+解析)

这是一份2024年高考数学一轮复习满分攻略(新高考地区专用)考点03复数(精讲)(原卷版+解析)，共53页。试卷主要包含了数系扩充的脉络，复数集，复数，))等内容，欢迎下载使用。
知识点1 复数的概念及代数表示
1.数系扩充的脉络
自然数集→整数集→有理数集→实数集→复数集．
2.复数集
①定义：全体复数所成的集合叫做复数集．
②表示：通常用大写字母C表示．
3.复数
①定义：把集合C＝{a＋bi|a，b∈R}中的数，即形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位．满足i2＝－1.a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部．
②表示方法：复数通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈R)，这一表示形式叫做复数的代数形式．
注：复数概念的三点说明
(1)复数集是最大的数集，任何一个数都可以写成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)复数的虚部是实数b而非bi.
(3)复数z＝a＋bi只有在a，b∈R时才是复数的代数形式，否则不是．
易错辨析：任意两个复数都能比较大小？任意两个复数都不能比较大小？
当两个复数有虚数时，不可以比较大小，当两个复数都是实数时，可以比较大小.
知识点2 两个复数相等的充要条件
在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di (a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.
注：(1)在两个复数相等的条件中，注意前提条件是a，b，c，d∈R，即当a，b，c，d∈R时，a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.若忽略前提条件，则结论不能成立．
(2)利用该条件把复数的实部和虚部分离出来，达到“化虚为实”的目的，从而将复数问题转化为实数问题来求解．
知识点3 复数的分类
对于复数(),当且仅当时,它是实数；当且仅当时,它是实数0；当时,它叫做虚数；当且时,它叫做纯虚数.
(1)复数(a＋bi，a，b∈R)eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(实数b＝0,虚数b≠0\b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(纯虚数a＝0,非纯虚数a≠0))))
(2)集合表示：
知识点4 复数的几何意义
1、建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数．
(1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵坐标是b，复数z＝a＋bi(a，b∈R)可用点Z(a，b)表示．
(2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数．
(3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．
2、复数的几何意义
（1）复数的几何意义——与点对应
复数的几何意义1：复数复平面内的点
（2）复数的几何意义——与向量对应
复数的几何意义2：复数 平面向量
注：复数的几何意义
这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法)，增加了解决复数问题的途径．
(1)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；
(2)复数z＝a＋bi(a，b∈R)的对应向量eq \(OZ,\s\up6(→))是以原点O为起点的，否则就谈不上一一对应，因为复平面上与eq \(OZ,\s\up6(→))相等的向量有无数个．
知识点5 复数的模
复数z＝a＋bi(a，b∈R)，对应的向量为eq \(OZ,\s\up6(→))，则向量eq \(OZ,\s\up6(→))的模r叫做复数z＝a＋bi的模，记作|z|或|a＋bi|.由模的定义可知：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq \r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．
注：(1)数的角度理解：复数a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝eq \r(a2＋b2)，两个虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小．
(2)几何角度理解：表示复数在复平面上对应的点到原点的距离； 特别的，时，复数是一个实数，它的模就等于(的绝对值)．类比向量的模可进一步引申：|z1－z2|表示复数z1, z2对应的点之间的距离．
(3)复数z的方程在复平面上表示的图形
①a≤|z|≤b表示以原点O为圆心，以a和b为半径的两圆所夹的圆环；
②|z－(a＋bi)|＝r(r>0)表示以(a，b)为圆心，r为半径的圆．
知识点6 复数代数形式的加减法
1、运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i，(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.（两个复数相加减等于实部与实部相加减，虚部与虚部相加减.）
2、加法运算律
对任意，有，．
注：对复数的加法、减法运算应注意以下几点
(1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算；
特殊情形：当复数的虚部为零时，与实数的加法、减法法则一致．
(2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立．
(3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数．
3、复数加减法的几何意义
知识点7 复数的乘除法及其运算律
1、复数的除法
（1）复数的乘法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di是任意两个复数，那么它们的积
(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
（2）复数乘法的运算律
对于任意z1，z2，z3∈C，有
注：对复数乘法的三点说明
(1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)．
(2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用．
(3)常用结论
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
④i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i(n∈N)．
⑤i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈N)．
2、共轭复数
（1）定义：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫共轭虚数
（2）表示：z的共轭复数用eq \x\t(z)表示，即若z＝a＋bi(a，b∈R)，则eq \x\t(z)＝a－bi
注：共轭与模是复数的重要性质，运算性质有：
(1)；(2)；(3)；(4)；
(5)；(6)；(7)|zn|=|z|n
3、复数的除法
（1）复数的除法法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(c＋di≠0)，则eq \f(z1,z2)＝eq \f(a＋bi,c＋di)＝eq \f(ac＋bd,c2＋d2)＋eq \f(bc－ad,c2＋d2)i.
注：对复数除法的两点说明
①实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似．
②代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开．
特别提醒：复数的除法类似于根式的分母有理化．
（2）记住以下结果，可提高运算速度：①(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i；②eq \f(1－i,1＋i)＝－i，eq \f(1＋i,1－i)＝i；③eq \f(1,i)＝－i.
知识点8 复数的三角表示式及复数的辐角和辐角的主值
1、复数的三角表示式
（1）定义：
r(csθ＋isinθ)叫做复数z＝a＋bi的三角表示式，简称三角形式．其中，r是复数z的模；θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq \(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z＝a＋bi的辐角．为了与三角形式区分开来，a＋bi叫做复数的代数表示式，简称代数形式．
注意：复数三角形式的特点：模非负，角相同，余弦前，加号连
（2）非零复数z辐角θ的多值性
以x轴正半轴为始边，向量 eq \(OZ,\s\up6(→))所在的射线为终边的角θ叫复数z＝a＋bi的辐角，因此复数z的辐角是θ＋2kπ(k∈Z) (k∈Z)．
（3）辐角主值
①表示法：用argz表示复数z的辐角主值．
②定义：适合[0,2π)的角θ叫辐角主值．即 0≤arg z