八年级数学下学期期末模拟试卷01（）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版）

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一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．若二次根式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】二次根式的被开方数．
【解答】解：根据题意，得
，
解得；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的意义和性质．概念：式子叫二次根式．性质：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．
2．下列根式是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】当二次根式满足：①被开方数不含开的尽方的数或式；②根号内面没有分母．即为最简二次根式，由此即可求解．
【解答】解：选项：，是最简二次根式，故该选项符合题意；
选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意；
选项：，不是最简二次根式，故该选项不符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式，掌握最简二次根式的定义是关键．
3．下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加减法法则以及二次根式的乘除法法则逐项分析即可．
【解答】解：．与不是同类二次根式，不能合并，不正确，故不符合题意；
．，原计算正确，故符合题意；
．，原计算不正确，故不符合题意；
．，原计算不正确，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的加减法，以及二次根式的乘除法运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．
4．若点是直线上一点，则的值是
A．1B．8C．12D．13
【分析】将点坐标代入直线解析式即可求出．
【解答】解：将代入解析式，
，
故选：．
【点评】此题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数的性质是关键．
5．如图，在平行四边形中，，，的平分线交于，交的延长线于点，则
A．4B．3C．2D．1
【分析】根据平行四边形的性质得到，，结合角平分线的性质推出，得到，即可求出．
【解答】解：四边形是平行四边形，
，，
，，
平分，
，
，
，
，
故选：．
【点评】此题考查了平行四边形的性质，角平分线的计算，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．
6．对某小区20户家庭某月的节约用水情况进行分组统计，结果如右表所示．这20户家庭该月节约用水量的平均数是
A．B．C．D．
【分析】根据加权平均数的定义列式计算可得．
【解答】解：由上表可知，这20户家庭该月节约用水量的平均数是，
故选：．
【点评】此题考查了加权平均数，掌握加权平均数的计算公式是解题的关键，属于基础题．
7．一个装有进水管和出水管的容器，从某时刻开始的4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，接着关闭进水管直到容器内的水放完．假设每分钟的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分）之间的部分关系如图所示．下列四种说法：其中正确的个数是
①每分钟的进水量为5升．
②每分钟的出水量为3.75升．
③从计时开始8分钟时，容器内的水量为25升．
④容器从进水开始到水全部放完的时间是20分钟．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以计算出各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．
【解答】解：由图象可得，
每分钟的进水量为，故①正确；
每分钟的出水量为，故②正确；
从计时开始8分钟时，容器内的水量为：，故③正确；
容器从进水开始到水全部放完的时间是：（分钟），故④正确；
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
8．如图，直线和分别与轴交于点，点，则不等式组的解集为
A．B．C．或D．
【分析】把，点代入不等式组，依据图象直接得出答案即可．
【解答】解：直线和分别与轴交于点，点，
的解集为，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与一元一次不等式的知识，解题的关键是根据两条直线与轴的交点坐标及直线的位置确定不等式组的解集．
9．如图，矩形的对角线，相交于点，点是线段上一点，连接，．若的面积等于的面积，则和的面积比等于
A．B．C．D．
【分析】作于，于，由矩形的性质推出，得到，由三角形面积公式得到的面积的面积，
由的面积等于的面积，推出的面积的面积，由的面积的面积，得到的面积的面积，又的面积的面积，即可求出和的面积比．
【解答】解：作于，于，
四边形是矩形，
，，，
，
，
，
，
的面积，的面积，
的面积的面积，
的面积等于的面积，
的面积的面积，
的面积的面积，
，
的面积的面积，
的面积的面积，
的面积，的面积，
的面积的面积，
和的面积比的面积的面积．
故选：．
【点评】本题考查矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的面积，关键是由三角形面积公式得到的面积的面积，的面积的面积．
10．已知一次函数，是常数），则下列结论正确的是
A．若点在一次函数的图象上，则它的图象与两个坐标轴围成的三角形面积是2
B．若，则一次函数图象上任意两点，和，满足：
C．一次函数的图象不一定经过第三象限
D．若对于一次函数和，无论取任何实数，总有，则的取值范围是或
【分析】、利用待定系数法求得解析式，即可求得与坐标轴的交点，从而求得图象与两个坐标轴围成的三角形面积，即可判断；
、根据一次函数的性质即可判断；
、求得一次函数的图象过定点即可判断；
、由题意可知两直线平行，当时，则，当时，一定成立，解不等式即可求得的取值，即可判断．
【解答】解：、在一次函数的图象上，
，
，
一次函数为，
它的图象与两个坐标轴的交点为，，
图象与两个坐标轴围成的三角形面积是，故错误，不合题意；
、，
，
随的增大而增大，
，故错误，不合题意；
、，
一次函数的图象过定点，
一次函数的图象一定经过第三象限，故错误，不合题意；
、对于一次函数和，无论取任何实数，总有，
直线与直线平行，
一次函数的图象过定点，
当时，，
解得，
当时，一定成立，
的取值范围是或，故正确，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查了一次函数与不等式的相关知识，是难点和易错点，解答此题关键是熟知一次函数图象上点的坐标特征，确定函数与系数之间的关系．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．已知函数是一次函数，则 0 ．
【分析】根据一次函数的定义进行解答即可．
【解答】解：根据一次函数中，自变量次数是1得：
，
即，且，
解得．
故答案为：0．
【点评】本题考查了一次函数的定义，掌握一次函数的定义是解答本题的关键．
12．若一组数据：1，7，8，，4的平均数是5，中位数是 5 ．
【分析】根据平均数的计算方法求出，再根据中位数的定义进行计算即可．
【解答】解：，7，8，，4的平均数是5，
，
因此这组数据为：1，7，8，5，4，
将这5个数据从小到大排列，处在中间位置的一个数是5，
所以中位数是5，
故答案为：5．
【点评】本题考查平均数、中位数，掌握平均数的计算方法，中位数的定义是正确解答的关键．
13．如图，数字代表所在正方形的面积，则所代表的正方形的边长为 10 ．
【分析】三个正方形的边长正好构成直角三角形的三边，根据勾股定理得到字母所代表的正方形的面积．
【解答】解：由题意可知，直角三角形中，一条直角边的平方，一直角边的平方，
则斜边的平方，
边长为10
故答案为：10．
【点评】本题考查正方形的面积公式以及勾股定理．正确解题相关知识点是解题关键．
14．某班将从甲、乙两位学生中选派一人参加学校的环保知识决赛，经过两轮测试，他们的平均成绩都是87分，方差分别是，，你认为成绩更稳定的选手是 乙 ．（填“甲”或“乙”
【分析】两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，据此即可判断．
【解答】解：甲、乙两人的平均成绩都是87分，
方差，，
，
乙的成绩更稳定，
故答案为：乙．
【点评】本题考查了方差的意义，若两组数据的平均数相同，则方差小的更稳定，理解方差的意义是解题的关键．
15．若，则式子的值为 2024 ．
【分析】把代数式化为的形式，再把的值代入进行计算即可．
【解答】解：，
．
故答案为：2024．
【点评】本题考查的是二次根式的化简求值，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键．
16．如图，四边形是菱形，连接，交于点，过点作，交于点，若，，则的长度为 ．
【分析】根据菱形的性质，利用勾股定理求得边长，等面积法求得，在中，勾股定理即可求解．
【解答】解：四边形是菱形，，，
，，，，
在中，，
，
，
在中，，
故答案为：．
【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．
17．如图，含角的直角三角形纸片在平面直角坐标系中放置，将该纸片绕着原点按顺时针方向旋转得到△，连结，，，分别为，的中点，若，则直线与轴的交点坐标为 ．
【分析】通过解直角三角形，可求出，的长，进而可得出点的坐标，结合旋转的性质，可得出点的坐标及为等边三角形，由点为线段的中点，可求出点的坐标，过点作轴于点，利用勾股定理，可求出的长度，进而可得出点的坐标，由点为线段的中点，可求出点的坐标，利用待定系数法，可求出直线的函数解析式，再利用一次函数图象上点的坐标特征，即可求出直线与轴的交点坐标．
【解答】解：在中，，，，
，点的坐标为，
，
点的坐标为，．
由旋转的性质可知：，，，
点的坐标为，为等边三角形．
点为线段的中点，
点的坐标为．
过点作轴于点，如图所示，
为等边三角形，
，
，
点的坐标为．
点为线段的中点，
点的坐标为，．
设直线的解析式为，
将，，代入得：，
解得：，
直线的解析式为．
当时，，
直线与轴的交点坐标为．
故答案为：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、含30度角的直角三角形、旋转、勾股定理以及待定系数法求一次函数解析式，根据点，的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式是解题的关键．
18．如图，正方形的边长为2，点为对角线上一动点（点不与、重合），过点作交直线于，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，下列结论：①；②；③；④的最小值为，其中正确的是 ①②③④ ．（填写所有正确结论的序号）
【分析】过作，，可证得，故①正确；
可证四边形是正方形，得，，可证，进而得到，所以，得，即，可证②正确；
由②可知，，所以，而可求，③正确．
由“”可证，可得，当点，点，点三点共线时，有最小值，由勾股定理可求的长，故④正确，即可求解．
【解答】解：过作于点，作于点，作于，连接，
四边形是正方形，平分，
，
，
，
，
，
，
，，
，
，故①正确；
，，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
又，，
，
，
，
，即，
，故②正确；
由②可知，，
，
，
，
，
，故③正确，
如图，延长至，使，连接，，
，，
，
又，，
，
，
，
当点，点，点三点共线时，有最小值，即有最小值为的长，
，
的最小值为，故④正确，
故答案为：①②③④．
【点评】本题是三角形综合题，考查了旋转的性质，正方形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，综合运用正方形的判定与性质定理，勾股定理等知识是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共66分）
19．计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先算二次根式的乘法，再合并同类二次根式即可；
（2）先根据绝对值的意义和二次根式的性质化简，再算二次根式的加减即可．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题主要考查了二次根式的混合运算，绝对值的意义，二次根式的性质，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．
20．甲、乙两名队员参加射击训练，射击次数相同，成绩分别绘制成两个统计图：
根据以上信息，整理分析数据如表：
（1）求出表格中，，的值；
（2）分别运用表中的四个统计量，简要分析这两名队员的射击成绩．若选派其中一名队员参赛，且鼓励参赛队员冲击最好成绩，你认为应选哪名队员？
【分析】（1）根据平均数的计算方法即可计算出的值，根据中位数、方差的计算方法进行计算即可得出、的值；
（2）根据中位数、众数的大小比较得出答案．
【解答】解：（1）从两个统计图可知：
甲的10次成绩为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9，
乙的10次成绩为：3，4，6，7，7，8，8，8，9，10，
（环，
将乙的10次成绩从小到大排列处在中间位置的两个数的平均数为环，因此中位数是7.5，即，
，
答：，，；
（2）选择乙，理由为：甲、乙的平均数相同，而乙的中位数、众数都比甲的高，乙的方差较大，波动较大，有可能冲击好成绩，因此选择乙．
【点评】本题考查中位数、众数、平均数、方差，条形统计图、扇形统计图，掌握中位数、众数、平均数、方差的计算方法是正确解答的前提．
21．如图，在四边形中，，，平分．求证：四边形是菱形．
【分析】先证四边形是平行四边形，再证得，即可得出结论．
【解答】证明：，，
四边形是平行四边形，
，
，
平分，
，
，
，
四边形是菱形．
【点评】本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质等知识；熟练掌握菱形的判定是解题的关键．
22．如图，在中，点，分别是边，的中点，，交的延长线于点，连接交于点．
（1）求证：；
（2）若，，求的度数．
【分析】（1）由三角形中位线定理可证，，可得四边形是平行四边形，即可求解；
（2）先证平行四边形是菱形，可得，，即可求解．
【解答】（1）证明：点，分别是边，的中点，
，，
，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：，，
，
平行四边形是菱形，
，，
．
【点评】本题考查了菱形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，掌握菱形的判定是解题的关键．
23．甲、乙两家商场平时以同样价格出售相同的商品．春节期间两家商场都让利酬宾，其中甲商场所有商品按8折出售，乙商场对一次购物中超过200元后的价格部分打7折．
（1）以（单位：元）表示商品原价，（单位：元）表示购物金额，分别就两家商场的让利方式写出关于的函数解析式；
（2）春节期间如何选择这两家商场去购物更省钱？
【分析】（1）根据两家商场的让利方式分别列式整理即可；
（2）将（1）中两个函数分段讨论比较大小即可．
【解答】解：（1）甲商场：，
乙商场：，
，
即；
答：甲商场：，乙商场：；
（2），解得，
当购物金额按原价等于600元时，在两商场购物花钱一样多；
，解得，
当购物金额按原价小于600元时，在甲商场购物省钱；
，解得，
当购物金额按原价大于600元时，在乙商场购物省钱．
【点评】本题是一次函数的实际应用问题，考查了一次函数以及一元一次方程、不等式的相关性质，解答时注意根据题意分类讨论．
24．在平面直角坐标系中，直线与轴的交点为，与轴的交点为．将直线向右平移3个单位长度得到直线．
（1）求点，点的坐标，画出直线及直线；
（2）求直线的解析式；
（3）直线还可以看作由直线经过其他方式的平移得到的，请写出一种平移方式．
【分析】（1）与轴的交点为，与轴的交点为．令，则，令，，解答即可；
（2）根据解析式的平移规律：左加右减可得出平移后的直线解析式．
（3）根据平移规律解答即可．
【解答】解：（1）直线与轴的交点为，与轴的交点为．
令，则，令，，
，；
（2）将直线向右平移3个单位长度得到直线．
；
（3）可看作直线向下平移6个单位得到的．
【点评】本题考查了一次函数图象与几何变换：一次函数、为常数，的图象为直线，当直线平移时不变，当向上平移个单位，则平移后直线的解析式为．
25．如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，将直线沿轴向上平移4个单位与直线交于点，与轴交于点．
（1）求点坐标；
（2）点，连接，，求的面积；
（3）点为线段上一点，点为线段延长线上一点，且，连接交轴于点，设点的横坐标为，四边形的面积为，求与的函数关系式．（不需求自变量的取值范围）
【分析】（1）依据平移的规律可得直线，再根据方程组的解即为交点坐标，即可得到点的坐标；
（2）利用割补法进行计算，即可得到的面积；
（3）过作轴于，过作轴于，判定，可得，；再判定，可得；设，则，进而得出，最后根据四边形的面积进行计算即可得出与的函数关系式．
【解答】解：（1）将直线沿轴向上平移4个单位可得，
解方程组，可得，
点的坐标为；
（2）如图所示，直线与轴交于点，
令，则；令，则，
点的坐标为，直线与轴交于，
又点，
；
（3）如图所示，过作轴于，过作轴于，
在中，令，则，
，
，，
，
又，，
，
，，
，
又，，
，
，
设，则，
，
又，，
四边形的面积
，
即与的函数关系式为：．
【点评】本题属于一次函数综合题，主要考查了一次函数图象上点的坐标特征，割补法求三角形的面积以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，难点在于利用全等三角形的对应边相等得到点为的中点．
26．如图，菱形中，，，点为边上任意一点（不包括端点），连结，过点作边点，点线段上的一点．
（1）若点为菱形对角线的交点，为的中位线，求的值；
（2）当的值最小时，请确定点的位置，并求出的最小值；
（3）当的值最小，且的值最小时，在备用图中作出此时点，的位置，写作法并写出的最小值．
【分析】（1）由菱形的性质可得，均为等边三角形，点为的中点，连接，，利用三角形中位线定理即可求解．
（2）由题可知，，为等边三角形，由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点垂直于的直线交于，交于，可得，可得，则点为中点，利用含的直角三角形可得，，由三角形三边关系及垂线段最短可知，当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，即当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值．
（3）同（2）， 与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，连接，交于点，由（2）可得点为中点，作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，由对称可知：，则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，可知，为等边三角形，进而即可求解．
【解答】解：（1）四边形是菱形，，，
，，
则， 均为等边三角形，
，
点为菱形对角线的交点，
点为的中点，
连接，，
为的中位线，
，也为的中位线，
则，，
；
（2）由（1）可知，均为等边三角形，
则，，
，
，
为等边三角形，
，
，
由菱形性质可知，与关于对称，在上，取点的对应点，连接，则，，连接，交于点，过点作垂直于的直线交于，交于，
，
，
又，
，
，
点为中点，
，，
，
，
由勾股定理得，，，
，
，
，
当，，三点在同一直线上，且与重合时取等号，
即当点与点重合（点为中点），与重合时取等号，
综上，当点为中点，点关于对称的点与点坐在直线垂直于时，有最小值．
（3）同（2），与关于对称，在上，取点对应点，连接，则，连接 交于点，由（2）可得点为中点，
作关于对称的线段，取点的对应点，连接，则，
为等边三角形，
，
由对称可知：，
则，当，，，在同一条直线上时取等号，此时点为中点，
，则，
过点（点，且，
可知，为等边三角形，
，，，
即，，分别为，，的中点，
此时，
作图，如下：
作法：取的中点为，作交于；
综上，的最小值为6．
【点评】本题考查了四边形的综合应用，菱形的性质，等边三角形的判定及性质，含的直角三角形，轴对称等知识，利用轴对称构造辅助线，将线段和问题转化为三角形三边关系，两点之间距离问题等是解决问题的关键．
节约用水量
户数
6
4
8
2
平均成绩环
中位数环
众数环
方差
甲
7
7
1.2
乙
7
8