期末真题必刷01（易错60题22个考点专练）2023-2024八年级数学下期末考点大串讲（人教版）

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1．（2023春•大足区期末）我们知道，整式，分式，二次根式等都是代数式，代数式是用基本运算符号连接起来的式子，而当被除数是一个二次根式，除数是一个整式时，求得的商就会出现类似这样的形式，我们称形如这种形式的式子称为根分式，例如都是根分式，已知两个根分式与，则下列说法：
①根分式中的取值范围为：且；
②存在实数，使得；
③存在无理数，使得是一个整数；
其中正确的个数是
A．0B．1C．2D．3
【分析】对于①，根据二次根式和分式的性质判断即可；对于②，将，代入，再求出分式方程的解，判断即可；对于③，将，代入再整理，讨论得出答案．
【解答】解：根据题意可知且，
解得．
所以①不正确；
由，得，
解得（不符合题意，舍去）．
不存在实数，使得．
所以②错误；
根据题意，得．
是一个整数，
，
解得或．
为无理数，
所以③不正确．
所以正确的个数为0．
故选：．
【点评】本题主要考查了定义新概念，二次根式的性质，解分式方程等，理解新定义是解题的关键，并注意分类讨论．
二．二次根式有意义的条件（共1小题）
2．（2023春•广安区校级期末）若二次根式有意义，则的取值范围是
A．B．C．D．
【分析】直接利用二次根式的性质得出的取值范围，进而求出答案．
【解答】解：二次根式有意义，
，
解得：．
故选：．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的性质是解题关键．
三．二次根式的性质与化简（共1小题）
3．（2022秋•乌鲁木齐期末）下列各式中，正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用二次根式的性质对每个选项进行逐一判断即可得出结论．
【解答】解：，
选项的结论不正确；
，
选项的结论正确；
，
选项的结论不正确；
，
选项的结论不正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了二次根式的性质，正确利用二次根式的性质对每个选项进行判断是解题的关键．
四．最简二次根式（共1小题）
4．（2023春•江陵县期末）下列各式中是最简二次根式的是
A．B．C．D．
【分析】根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、是最简二次根式，故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键．
五．同类二次根式（共1小题）
5．（2023春•重庆期末）下列说法正确的是
A．是最简二次根式B．与是同类二次根式
C．D．的化简结果是
【分析】根据同类二次根式，二次根式的性质与化简，最简二次根式，分母有理化，二次根式的除法法则，进行计算逐一判断即可解答．
【解答】解：、，故不符合题意；
、，
与是同类二次根式，
故符合题意；
、，故不符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了同类二次根式，二次根式的性质与化简，最简二次根式，分母有理化，二次根式的乘除法，准确熟练地进行计算是解题的关键．
六．二次根式的混合运算（共2小题）
6．（2023春•香河县期末）下列计算正确的是
A．B．C．D．
【分析】根据二次根式的加法，减法，乘法，除法法则进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、与不能合并，故不符合题意；
、，故不符合题意；
、，故符合题意；
、，故不符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键．
7．（2023春•广信区期末）计算：
（1）；
（2）．
【分析】（1）先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再进行计算即可解答；
（2）利用平方差公式进行计算，即可解答．
【解答】解：（1）
；
（2）
．
【点评】本题考查了二次根式的混合运算，平方差公式，准确熟练地进行计算是解题的关键．
七．函数的图象（共1小题）
8．（2023春•鄂州期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组设计了一个问题情境：小明从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又走到文具店买圆规，然后散步走回家．小明离家的距离与他所用的时间的关系如图所示：
（1）小明家离体育场的距离为 2.5 ，小明跑步的平均速度为 ；
（2）当时，请直接写出关于的函数表达式；
（3）当小明离家时，求他离开家所用的时间．
【分析】（1）根据图象可以直接看到小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为：路程时间；
（2）是分段函数，利用待定系数法可求；
（3）小明离家时，有两个时间，第一个时间是小明从家跑步去体育场的过程中存在离家，利用路程速度可得此时间，第二个时间利用段解析式可求得．
【解答】解：（1）小明家离体育场的距离为，小明跑步的平均速度为；
故答案为：2.5，；
（2）如图，，，
设的解析式为：，
则，
解得：，
的解析式为：，
当时，关于的函数表达式为：；
（3）当时，，
，
，
当小明离家时，他离开家所用的时间为或．
【点评】本题考查了函数的图象，能够从函数的图象中获取信息是解题的关键，注意他所用的时间单位是．
八．动点问题的函数图象（共6小题）
9．（2023春•南阳期末）如图1，在中，点从点出发向点运动，在运动过程中，设表示线段的长，表示线段的长，与之间的关系如图2所示，则边的长是
A．B．C．D．
【分析】根据图象及勾股定理求得边上的高，再利用勾股定理求解．
【解答】解：作于点，
由图象可知，，，当时，点与重合，
在中，，
，
在中，，
故选：．
【点评】本题考查函数图象与三角形的综合运用，理解图象并掌握勾股定理求三角形的方法是解题的关键．
10．（2023春•长汀县期末）如图1，中，，点是上一点，过点作的垂线，与边（或相交于点，设，的面积为，关于的函数图象如图2所示．下列结论：①点的坐标为；②的面积为4；③当时，．其中正确的是
A．①②B．①③C．②③D．①②③
【分析】根据可判断①；根据图象得到当时，的面积取得最大值4，此时点与点重合，可判断②；求出的解析式，然后将代入即可判断③．
【解答】解：，
的最大值为4，即，
点的坐标为，故①正确；
由图象可得，当时，的面积取得最大值4，
此时点与点重合，
，故②正确；
设的解析式为，
将，代入得，
，解得，
，
时，，故③错误；
综上所述，正确的有①②．
故选：．
【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解题的关键是正确分析图象．
11．（2023春•江北区期末）已知矩形的两条对角线，交于点．动点从点出发，沿矩形的边按的路径匀速运动到点．设点的运动速度为1单位长度秒，运动时间为秒，线段的长为，与函数关系的大致图象如图所示，其中，分别为图象中两段曲线最低点的纵坐标，则的值为
A．6B．7C．8D．9
【分析】根据题意可得出，，；由矩形的性质可知和是等腰三角形，且当当运动到中点时，取最小值，当运动到中点时，取最小值，分别求解即可得出结论．
【解答】解：根据题意，当时，点与点重合，此时，
，
，
当时，点与点重合，
，
结合图象可知，，
，；当运动到中点时，取最小值，此时；
当运动到中点时，取最小值，此时；
，
故选：．
【点评】本题动点问题的函数图象，考查学生对动点运动过程中所产生函数图象的变化趋势判断．解答关键是注意动点到达临界前后的图象变化．
12．（2023春•平江县期末）如图①所示（图中各角均为直角），动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，的面积随点运动的时间（秒之间的函数关系图象如图②所示，下列说法正确的是
A．B．C．D．
【分析】利用图②中的信息和三角形的面积公式分别求得图①中的线段，由此选择出正确选项即可．
【解答】解：由图②的第一段折线可知：点经过4秒到达点处，此时的三角形的面积为12，
动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线匀速运动，
．
，
，
选项不正确，选项正确；
由图②的第二段折线可知：点再经过2秒到达点处，
，
由图②的第三段折线可知：点再经过6秒到达点处，
，
由图②的第四段折线可知：点再经过4秒到达点处，
．
选项不正确；
图①中各角均为直角，
，
选项的结论不正确，
故选：．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，三角形的面积，结合图形与图象求出图形中的线段的长度是解题的关键．
13．（2023春•郧西县期末）如图（1），点从菱形的顶点出发，沿以的速度匀速运动到点，点运动时，的面积随时间的变化关系图象如图（2），则的值是 ．
【分析】通过分析图象，点从点到用，此时，的面积为，依此可求菱形的高，再由图象可知，，应用两次勾股定理分别求和．
【解答】解：过点作交的延长线于点，
由图象可知，点由点到点用时为，的面积为．
，
，
，
当点从到时，用，
，
中，，
四边形是菱形，
，，
在中，，
解得．
故答案为：．
【点评】本题综合考查了菱形性质，勾股定理，一次函数图象性质，解答过程中要注意函数图象变化与动点位置之间的关系．
14．（2023春•阳新县期末）如图①，在矩形中，，对角线，相交于点，动点从点出发，沿向点运动，设点的运动路程为，的面积为，与的函数关系图象如图②所示．回答下列问题：
（1） 6 ；
（2）当时， ．
【分析】注意图象2中的表示的是的面积，而图1的的底边是一个不变量，的面积与点到边的距离有关，寻找点的特殊位置，对应的函数图象，这样可以解题．
【解答】解：（1）函数图象（图的最大值是2，就是对应点运动到距直线最远的时刻位置，点、两个时刻，
的面积是2，
矩形的面积．
函数图象（图的最小值是0，就是对应点运动到距直线最近的时刻位置，点、两个位置，
时，即是，
而第（1）结论矩形面积，得到，
由这两个方程，可以得到，，（条件．
故答案为：4；
（2）的面积，
根据图形②，可以知道这个面积是点运动到距直线最远的时刻位置，即点、两个时刻．
或．
故答案为：2或8．
【点评】此题考查几何的线段长度与图象2中的的关系，同时△的面积与函数图象中的关系，根据几何图形特点，发现△的面积只与点到边的距离有关，寻找点的特殊位置，结合对应的函数图象，这样可以解题．
九．一次函数的性质（共2小题）
15．（2023春•临沂期末）一次函数的图象经过第 象限．
A．一、三、四B．一、二、三C．一、二、四D．二、三、四
【分析】依据题意，由可知直线与轴交于点，且随的增大而增大，可判断直线所经过的象限．
【解答】解：直线与轴交于点，
且，随的增大而增大，
直线的图象经过第一、三、四象限．
故选：．
【点评】本题主要考查了一次函数的性质．关键是根据图象与轴的交点位置，函数的增减性判断图象经过的象限．
16．（2023春•滨海新区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点、，且点为，四边形是正方形．
（1）填空： 3 ；
（2）求点的坐标；
（3）若为轴上的动点，为轴上的动点，求四边形周长的最小值．
【分析】（1）把代入即可求得的值；
（2）过点作轴于点，证明，即可求得和的长，则的坐标即可求得；
（3）依据题意，画出图形，由对称性可得四边形周长的最小值，结合（2）得出的坐标，从而可以求出周长最小值．
【解答】解：（1）把代入，得：，解得：，
故答案为：3．
（2）如图1，过点作轴于点，
正方形中，，
．
又直角中，，
．
在和中，
，
．
，．
．
点的坐标为．
（3）由题意，为轴上的动点，为轴上的动点，四边形周长取最小值，
作关于轴的对称点，关于轴的对称点，连接，则四边形周长取最小值为，如图2．
由（2）得，，，
．
．
仿照（2）可得．
由对称性，
，．
．
四边形周长取最小值为．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质以及轴对称的性质，解题时熟练掌握相关性质并能灵活运用是关键．
一十．一次函数图象与系数的关系（共1小题）
17．（2023春•武侯区期末）定义：在平面直角坐标系中，若点关于直线的对称点在的内部（不包含边界），则称点是关于直线的“伴随点”．如图，已知，，三点，连接，以，为边作．若在直线上存在点，使得点是关于直线的“伴随点”，则的取值范围是 ．
【分析】直线过点和，它们关于直线的对称点分别是和，从而利用待定系数法求出直线关于直线的对称直线，然后代入临界点求出的取值范围．
【解答】解：对于直线，
当时，；当时，．
直线过点和，它们关于直线的对称点分别是和．
设直线关于直线的对称直线是，
将和分别代入，得，解得．
直线关于直线的对称直线是．
当在直线上时，有，解得；
当在直线上时，有，解得．
对称点在的内部（不包含边界），
．
故答案为：．
【点评】本题考查一次函数的性质及平行四边形的性质．深刻理解题意和熟练掌握一次函数的性质是解答本题的关键．
一十一．一次函数图象上点的坐标特征（共4小题）
18．（2023春•广阳区期末）一次函数的图象经过点，若自变量的取值范围是，则的最小值是
A．B．C．7D．11
【分析】根据待定系数法确定一次函数的解析式，再由一次函数的性质求出的最小值即可．
【解答】解：一次函数的图象经过点，
，
解得：，
，
，
随的增大而减小，
，
当时，的最小值为．
故选：．
【点评】本题主要考查一次函数解析式，一次函数的性质等，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键．
19．（2023春•米东区期末）如图，已知直线，直线和点，过点作轴的平行线交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线，交直线于点，过点作轴的平行线交直线于点，，按此作法进行下去，则点的横坐标为
A．B．C．D．
【分析】点，在直线上，得到，求得的纵坐标的纵坐标，得到，即的横坐标为，同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，求得的横坐标为．
【解答】解：点，在直线上，
，
轴，
的纵坐标的纵坐标，
在直线上，
，
，
，即的横坐标为，
同理，的横坐标为，的横坐标为，，，，，，
的横坐标为，
故选：．
【点评】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，规律型：点的坐标，正确地作出规律是解题的关键．
20．（2023春•厦门期末）在平面直角坐标系中，四边形为矩形，其中，，其中点，在直线上，对角线与交于点．
（1）求和的数量关系；
（2）直线是矩形的一条对称轴，若直线与轴交于点，求线段的最小值．
【分析】（1）将点坐标代入直线即可得出结论；
（2）根据矩形的性质可得出点，坐标，进而可得出点的坐标；由矩形的对称轴与轴交于点，可得出点，进而可得出直线解析式，得出，的坐标，根据图形可知当时，最小，进而可得出结论．
【解答】解：（1）在直线上，
，
即；
（2），
，，
轴；
在矩形中，点在直线上，
当时，，
，
；
是对角线与的交点，
是对角线与的中点，
，，
，，
矩形的对称轴与轴交于点，
，即，
，
点在直线上，
如图，直线与轴，轴分别交于点，，
，且，
为等腰直角三角形，
在等腰中，．
当时，此时最短．
此时为中点，
．
【点评】本题考查了一次函数的综合，涉及矩形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，一次函数图象上点的坐标特征等，本题综合性较强；解题的关键是得出点所在直线为．
21．（2023春•南通期末）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“级限距点”．例如，点是函数图象的“级限距点”；点是函数图象的“2级限距点”．
（1）在①，；②；③三点中，是函数图象的“1级限距点”的有 ①② （填序号）；
（2）若关于的一次函数图象的“2级限距点”有且只有一个，求的值；
（3）若关于的函数图象存在“级限距点”，求出的取值范围．
【分析】（1）根据“级限距点”的定义逐个判断即可；
（2）如图作正方形，然后分和两种情况，分别根据“2阶方点”有且只有一个判断出所经过的点的坐标，代入坐标求出的值，并舍去不合题意的值即可得；
（3）由二次函数解析式可知其顶点坐标在直线上移动，作出简图，由函数图象可知，当二次函数图象过点和点时为临界情况，求出此时的值，由图象可得的取值范围．
【解答】解：（1）点到两坐标轴的距离都不大于1，
点是函数图象的“1级限距点”，
点到轴的距离为2，大于1，
点不是函数图象的“1级限距点”，
故答案为：①②；
（2）如图，在以为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2级限距点”有且只有一个，
当直线经过点时，，
当直线经过点时，；
综上所述：的值为．
（3）当 时，；当 时，；
在以为中心，边长为的正方形中，当图象与正方形区域有公共部分时，
函数 图象的“级限距点”一定存在．
设，，，．
当图象经过点时，代入，
解得：，
当图象经过点 时，得．
故：当时，函数 图象的“级限距点”一定存在．
【点评】本题考查根据级限距点，学习运用定义判断，确定解析式字母系数的取值及分类讨论思想的运用，一般地，根据级限距点定义，先求出点坐标，再把坐标满足的条件转化成相应的方程或是不等式进而解决问题．
一十二．待定系数法求一次函数解析式（共1小题）
22．（2023春•攸县期末）已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标．
（1）点在轴上；
（2）点的纵坐标比横坐标大3；
（3）点在经过点和点的直线上．
【分析】（1）根据轴上的点纵坐标为0可得，从而可得，然后把的值代入横纵坐标中进行计算，即可解答；
（2）根据题意可得：，从而可得：，然后把的值代入横纵坐标中进行计算，即可解答；
（3）先利用待定系数法求直线的函数表达式，然后再把点代入直线中，进行计算即可解答．
【解答】解：（1）点在轴上，
，
解得：，
当时，，
点的坐标为；
（2）由题意得：，
解得：，
当时，，，
点的坐标为；
（3）设直线的函数表达式为：，
把点代入中得：，
解得：，
直线的函数表达式为：，
把点代入直线中得：
，
解得：，
当时，，，
点的坐标为，．
【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，点的坐标，准确熟练地进行计算是解题的关键．
一十三．一次函数与一元一次不等式（共1小题）
23．（2023春•开江县校级期末）如图，已知直线与直线的交点的横坐标为1，根据图象有下列四个结论：①；②；③对于直线上任意两点，、，，若，则；④是不等式的解集，其中正确的结论是
A．①②B．①③C．①④D．③④
【分析】根据一次函数的性质、结合图形解答．
【解答】解：直线，随的增大而减小，
，①正确；
直线与轴交于负半轴，
，②错误；
直线中，，
随的增大而增大，
，则，③错误；
是不等式的解集，④正确；
故选：．
【点评】本题考查的是一次函数与一元一次不等式的关系，掌握一次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键．
一十四．一次函数的应用（共18小题）
24．（2023春•泗水县期末）某校增设了多种体育选修课来锻炼学生的体能，小颖从教学楼以1米秒的速度步行去操场上乒乓球课，她从教学楼出发的同时小华从操场以5米秒的速度跑步回教学楼拿球拍，再立刻以原速度返回操场上乒乓球课．已知小颖、小华之间的距离（米与出发时间（秒的部分函数图象，则下列说法错误的是
A．点对应的横坐标表示小华从操场到教学楼所用的时间
B．时两人相距120米
C．小颖、小华在75秒时第二次相遇
D．段的函数解析式为
【分析】小颖、小华分别同时从教学楼和操场相向出发，两人之间的距离一直在缩短，在点处第一次相遇；第一次相遇后，两个继续相向而行，两人之间的距离逐渐增大，在点时小华到达教学楼；之后，小华开始返回，两人变为同向而行，两人之间的距离开始缩短，在点时两人第二次相遇．根据两人的运动过程，逐个选项分析判断即可．
【解答】解：由题意可知，两人在点处第一次相遇，在点处小华到达教学楼．
故正确，不符合题意．
设所在的直线解析式为．将和代入，
得，解得．
所在的直线解析式为．
当时，．
故正确，不符合题意．
设小颖、小华在秒时第二次相遇，
根据题意，得，解得．
故正确，不符合题意．
当时，小华到达教学楼，此时两人距离为（米，
点的坐标为．
由选项可知，小颖、小华在点处第二次相遇，此时．
点的坐标为．
设段的函数解析式为．将和代入，
得，解得．
．
故错误，符合题意．
故选：．
【点评】本题考查一次函数的应用．弄清两人的运动过程，是正确解答本题的关键．
25．（2023春•南开区期末）已知张强家、体育场、文具店在同一直线上．给出的图象反映的过程是：张强从家跑步去体育场，在体育场锻炼了若干分钟后又走到文具店去买笔，然后散步走回家．图中表示张强离开家的时间（单位：，表示张强离开家的距离（单位：．则下列说法错误的是
A．体育场离文具店
B．张强在文具店逗留了
C．张强从文具店回家的速度是
D．当时，
【分析】．观察函数图象的纵坐标，可得体育场到文具店的距离；
．根据观察函数图象的横坐标，可得张强在文具店停留的时间；
．根据“速度路程时间”列式计算即可；
．根据待定系数法求解即可．
【解答】解：根据题意，得：
．体育场到文具店的距离为：．
故选项正确，不符合题意；
．张强在文具店停留了：．
故选项正确，不符合题意；
．张强从文具店回家的平均速度为：．
故选项正确，不符合题意；
．当时，设，
则，
解得，
当时，．
故选项错误，符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了一次函数的应用、函数图象，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决，熟练掌握待定系数法求函数解析式．
26．（2023春•海门区期末）甲，乙两人沿同一条笔直的公路由地匀速驶往地，先到者原地休息．甲比乙早出发，两人之间的距离与甲所用的时间之间的函数关系如图所示．
（1）甲的速度为 10 ；乙的速度为 ；，两地之间的距离为 ；
（2）当甲，乙两人之间的距离为时，求甲所用的时间．
【分析】（1）根据“速度路程时间”求出甲的速度；设乙的速度为 ，根据“当时乙追上甲，此时两人行驶的路程相等”列方程并求解即可求出乙的速度；当时，甲到达地，根据“路程速度时间”即可求出，两地之间的距离；
（2）根据“时间路程速度”求出乙到达地所用的时间，从而求出点的横坐标；求出当时，甲离地的距离，即点的纵坐标；利用待定系数法分别求出当和时与的函数关系式，将分别代入函数关系式，分别求出对应的值即可．
【解答】解：（1）甲的速度为；
设乙的速度为 ，当时乙追上甲，此时两人行驶的路程相等，得，解得；
当时，甲到达地，则，两地之间的距离为．
故答案为：10，40，60．
（2）乙到达地所用的时间为，，即当时乙到达地，
点的横坐标为3；
当时，甲离地的距离为，
点的坐标为．
当时，设与之间的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，
解得，
，
当时，得，解得；
当时，设与之间的函数关系式为、为常数，且．
将坐标和分别代入，
得，
解得，
，
当时，得，．
综上，甲，乙两人之间的距离为时，甲所用的时间是或．
【点评】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的数量关系并灵活运用是解题的关键．
27．（2023春•二道区校级期末）一艘轮船在航行中遇到暗礁，船身有一处出现进水现象，等到发现时，船内已有一定积水，船员立即开始自救，一边排水一边修船，在整个过程中进水速度不变，同时修船过程中排水速度不变，船修好后不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，直到将船内积水排尽．设轮船触礁后船舱内积水量为，时间为，与之间的函数图象如图所示．
（1）修船过程中排水速度为 1 ，的值为 ．
（2）求修船完工后与之间的函数关系式．并写出自变量的取值范围．
（3）当船内积水量是船内最高积水量的时，直接写出的值．
【分析】（1）修船共用了（分钟），修船过程中进水速度为：（吨分钟），修船过程中，排水速度是（吨分钟），；
（2）利用待定系数法求解即可；
（3）分修船过程和修船完工后两种情况解答．
【解答】解：（1）由题意可知，修船共用了：（分钟），
修船过程中进水速度为：（吨分钟），
修船过程中，排水速度是（吨分钟），
修船完工后船不再进水，此时的排水速度与修船过程中进水速度相同，
修船完工后，排水速度是．
．
故答案为：1；24．
（2）设修船完工后与之间的函数关系式为，
由题意，得，
解得．
修船完工后与之间的函数关系式为；
（3）在修船过程中，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得，
解得；
修船完工后，当船内积水量是船内最高积水量的时，可得，
解得．
故的值为或．
【点评】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，掌握待定系数法求函数关系式．
28．（2023春•乐东县期末）随着网络的覆盖，某通信公司推出了两种全国流量套餐业务．
套餐一：使用者每月需缴50元月租费，流量按1元收费．
套餐二：当流量不超过时，收取90元套餐费；当流量超过时，超过的部分按0.5元收取．
设某人一个月内使用流量．按照套餐一的费用为，按照套餐二所需的费用为．
（1）分别写出，与之间的函数关系式；
（2）若每月使用的流量，应选择哪种套餐更合适？
【分析】（1）根据题中等量关系建立函数关系式．
（2）通过计算比较得出结论．
【解答】解：（1）由题意得：，
当时，，
当时，．
（2）当时，（元，
（元．
，
选择套餐二更合适．
【点评】本题考查一次函数的应用，理解题意，建立函数关系式是求解本题的关键．
29．（2023春•江油市期末）某市响应“低碳生活，绿色出行”的号召，计划用新能源公交车替换一批燃油公交车，现有型和型两种新能源公交车供选择，价格分别为100万元台和150万元台，年均载客量分别为60万人台和100万人台．若购买型和型两种公交车共100辆，要求年均载客总和不少于7200万人次，总费用不超过12000万元，有几种购买方案？从函数的角度分析，哪种方案购车总费用最少？最少费用是多少万元？
【分析】根据题中的不等关系列出一元一次不等式组，求出取值范围，进而得出购买方案有多少种；再求出总费用的函数解析式，然后利用函数的增减性回答问题．
【解答】解：设购买型公交车辆，型公交车辆，根据题意可得：
，
解得：，
为正整数，
为：60，61，62，63，64，65，66，67，68，69，70，共11种购买方案．
设总费用为，则：，
，
随增大而减小，
当时，最小，最小值为：（万元），此时（辆．
购车方案为：购买型车70辆，购买型车30辆．
答：共有11种购车方案，购买型车70辆，购买型车30辆时总费用最小，最少为11500万元．
【点评】本题主要考查了一元一次不等式组的知识、一次函数的知识，有一定的难度．
30．（2023春•通榆县期末）已知，两地之间有一条长240千米的公路．甲车从地出发匀速开往地，甲车出发两小时后，乙车从地出发匀速开往地，两车同时到达各自的目的地．两车行驶的路程之和（千米）与甲车行驶的时间（小时）之间的函数关系如图所示．
（1）甲车的速度为 40 千米小时，的值为 ；
（2）求乙车出发后，与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；
（3）当乙车行驶2.5小时，求甲、乙两车之间的距离．
【分析】（1）根据图象可知甲车行驶2小时所走路程为80千米，据此即可求出甲车的速度；进而求出甲车行驶6小时所走的路程为240千米，根据两车同时到达各自的目的地可得；
（2）运用待定系数法解得即可；
（3）依据题意，结合（2）乙行驶2.5小时，甲实际走了4.5小时，进而用两者的行程和减去总路程即可得解．
【解答】解：（1）由题意可知，甲车的速度为：（千米时）；
．
故答案为：40；480．
（2）设与之间的函数关系是：
由图可知，函数图象经过，，
．
解得，
与之间的函数关系式为．
（3）当时，．
乙车行驶2.5小时，甲、乙两车之间的距离为：．
【点评】本题主要考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
31．（2023春•黄埔区期末）从司马相如的《上林赋》，张九龄的《荔枝赋》，到杜牧的“一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”，再到苏轼的“日啖荔枝三百颗，不辞长作岭南人” 荔枝备受文人喜爱．同时，它还是初夏最甜美的佳果之一，是岭南最明艳的标签，有补肝益脾、生津止渴、补气安神等功效．家住广州的小函想给亲朋好友寄送自家种的荔枝，他了解到某快递公司的收费标准（单位：元如表：
设寄送的荔枝质量为，寄往广东省内的快递费为元，寄往江浙沪地区的快递费为元．
（1）直接写出，关于的函数解析式；
（2）小函给深圳的叔叔寄了一箱的荔枝，需要支付多少快递费？
（3）小函给上海的朋友寄了一箱荔枝，支付快递费46.8元，则这箱荔枝有多重？
【分析】（1）根据表格中的收费标准求解即可；
（2）将代入求解即可；
（3）将代入求解即可．
【解答】解：（1）由题意可得，
当时，，；
当时，，，
综上所述，关于的函数解析式为；
关于的函数解析式为．
（2）小函给深圳的叔叔寄了一箱的荔枝，
（元．
需要支付23.6元快递费；
（3）将代入得，，
解得，
这箱荔枝有．
【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，解题的关键是正确分析表格中的收费标准．
32．（2023春•无为市期末）某经销商从市场得知如下信息：
他计划最多用4万元资金一次性购进这两种品牌计算器共100台，设该经销商购进品牌计算器台，这两种品牌计算器全部销售完后获得利润为元．
（1）求与之间的函数关系式，并求出自变量的取值范围；
（2）若要求全部销售完后获得的利润不少于12600元，该经销商有哪几种进货方案？
（3）在上述条件下，选择哪种进货方案，该经销商可获得的利润最大？最大利润是多少？
【分析】（1）根据利润售价进价）手表的数量售价进价）手表的数量，根据总资金不超过4万元得出的取值范围，列式整理即可；
（2）全部销售后利润不少于12600元．得到一元一次不等式组，求出满足题意的的正整数值即可；
（3）利用与的函数关系式的增减性来选择哪种方案获利最大，并求此时的最大利润即可．
【解答】解：（1），
其中，
得．
即．
（2）令，
则．
．
又，
．
又为整数，
经销商有以下三种进货方案：
①台，台；②台，台；③台，台．
（3），，
随的增大而增大．
时，取得最大值．
又，
选择方案③进货时，经销商可获利最大，最大利润是13000元．
【点评】本题主要考查了一次函数和一元一次不等式组的实际应用，难度适中，得出商场获得的利润与购进品牌计算器的函数关系式是解题的关键．在解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的取值范围还必须使实际问题有意义．
33．（2023春•南充期末）某商店准备购进，两种商品，种商品每件的进价比种商品每件的进价多10元，用1800元购进种商品和用800元购进种商品的件数相同，商店将种商品每件的售价定为28元，种商品每件的售价定为13元．
（1）种商品每件的进价和种商品每件的进价各是多少元？
（2）商店计划用不超过660元的资金购进，两种商品共60件，其中种商品的数量不超过种商品数量的3倍，该商品有几种进货方案？
（3）“五一”期间，商店开展优惠促销活动，决定对每件种商品售价优惠元，种商品售价不变，在（2）的条件下，要使销售完这60件商品获总利润最大，应如何进货？
【分析】（1）设种商品每件的进价和种商品每件的进价分别为元和元，根据题意列二元一次方程组并求解即可；
（2）设购进商品件，则购进商品件．根据题意列一元一次不等式组并求解，取整数．可能取几个整数，就有几种不同的进货方案；
（3）在（2）的基础上，写出总利润关于的表达式．分别求当、、三种情况下取何值时总利润最大．
【解答】解：（1）设种商品每件的进价和种商品每件的进价分别为元和元．
由题意得，解得．
种商品每件的进价和种商品每件的进价分别为18元和8元．
（2）设购进商品件，则购进商品件．
由题意得，，解得．
，16，17或18．
该商品有4种进货方案．
（3）根据题意，总利润．
①当时，随的增大而增大，
当时，最大．
②当时，不随的变化而变化，为恒定值300．
③当时，随的减小而增大，
当时，最大．
综上，当时，种商品进货18件、种商品进货42件，获总利润最大；
当时，不管种商品进货多少件，获总利润为一恒定值；
当时，种商品进货15件、种商品进货45件，获总利润最大．
【点评】本题考查一次函数、分式方程和一元一次不等式组的应用，涉及的知识点较多，但是难度不大，耐心、认真解答即可．
34．（2023春•香坊区期末）如图，、两地相距120千米，甲、乙两人骑车同时分别从、两地相向而行匀速行驶，设他们各自距地的距离（千米）都是骑车时间的一次函数，并回答下列问题：
（1）甲的速度为 15 千米小时，乙的速度为 千米小时：
（2）求运动过程中的函数解析式．
【分析】（1）依据题意，利用图象上点的坐标得出甲、乙的速度即可；
（2）依据题意，利用待定系数法求出一次函数解析式即可．
【解答】解：（1）如图所示：甲的速度为：，
乙的速度为：，
故答案为：15；25．
（2）设为：，将，，则．
解得：，
故的关系式为．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，根据题意求出函数解析式是解题关键．
35．（2023春•朝阳区期末）在平面直角坐标系中，直线经过点，交轴于点．
（1）求直线所对应的函数表达式．
（2）若点是轴上一点，连结．当的面积为5时，求点的坐标．
（3）已知线段的端点坐标分别为、．
①当直线与线段有交点时，求的取值范围．
②已知点是直线上一点，其横坐标为．过点作直线轴，将直线在直线下方部分记作，在直线上及其上方的部分记为，将沿直线向上翻折得到，和两部分组成的图象记为．当图象与线段只有一个公共点时，直接写出的取值范围．
【分析】（1）依据题意，直线经过点，，已知两点的坐标，即可求出函数表达式；
（2）依据题意，已知三角形面积和一边的长度，即可求出该边对应的高，再根据点在轴上，结合的度数，计算即可得解；
（3）①与直线的交点为．要使与直线相交，从而可得或，进而判断可以得解；
②依据题意，要使图象与直线有交点，可得，再结合与图象有一个交点，从而，最后结合已知条件可以得解．
【解答】解：（1）将点和分别代入，得
，解得，
直线所对应的函数表达式为．
（2）设．
，点到的距离为，
，解得或6．
点的坐标为或．
（3）①与直线的交点为．要使与直线相交，则有
（无解）或．
解得．
②由题意知，
，，
将沿直线翻折得到．
，，，
当图象与线段有公共点时，点只能在直线上或其下方，
此时．
当点在点左侧时，，
（一当点与点重合，即点在直线上时，此时与线段有一个交点，符合题意；
（二当点在直线下方时，
点落在上时，，解得；
点落在上时，，解得，
当图象与线段有一个交点时，．
③当点在点左侧，即时，图象与线段没有交点．
综上所述，当图象与线段只有一个公共点时，或．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．
36．（2023春•玉环市期末）如图是一个斜坡（长度足够）的截面，一些相同的钢球从斜坡顶端由静止沿斜坡滚下，每隔释放一个钢球，每个钢球的速度每秒增加．已知第1个钢球速度（单位：，其运动时间（单位：．
（1）求关于的函数解析式；
（2）第2个钢球速度与第1个钢球运动时间的函数解析式 ；当第1个钢球的速度是第2个钢球的4倍时，则第1个钢球运动时间 ；
（3）当第1个钢球的速度是第个钢球的4倍时，求第1个钢球的运动时间．（用含的式子表示）
【分析】（1）由题意可得关于的函数解析式；
（2）用第1个钢球运动时间将第2个钢球运动的时间表示出来，再写出与的函数解析式即可．当时，求出即可；
（3）用第1个钢球运动时间将第个钢球运动的时间表示出来，再写出与的函数解析式．当时，求出即可．
【解答】解：（1）根据题意得．
（2）根据题意得，即．
由题意得，即，解得．
故答案为：，．
（3）根据题意，第个钢球的速度与第1个钢球的运动时间的函数关系为，即．
当时，即，解得．
当第1个钢球的速度是第个钢球的4倍时，第1个钢球的运动时间为．
【点评】本题考查一次函数的应用．用第1个钢球运动时间将第个钢球运动的时间表示出来，并写出与的函数解析式是解答本题的关键．
37．（2023春•蒙山县期末）为了响应“足球进校园”的号召，更好地开展足球运动，某学校计划购买一批足球，已知购买4个品牌足球和3个品牌足球共需440元；购买2个品牌足球和1个品牌足球共需180元．
（1）求，两种品牌足球的单价；
（2）若学校准备购买，两种品牌的足球共12个，且品牌足球不少于4个，设购买两种品牌足球所需费用为元，品牌足球个，求与之间的函数关系式，并设计一种费用最少的购买方案，写出最少费用．
【分析】（1）根据题意，列二元一次方程组即可；
（2）根据题意，得一元一次不等式，解不等式，表示出总费用，根据一次函数的增减性计算最小值即可．
【解答】解：（1）设，两种品牌足球的单价分别为元，元，
根据题意，得，
解得，
品牌足球单价为50元，品牌足球单价为80元．
（2）根据题意可知，品牌足球个，
品牌足球不少于4个，
，
，
，
，
随的增大而减小，
当时，最小，此时．
综上，，取得最小值720元，此时品牌足球购买了8个，品牌足球购买了4个．
【点评】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的综合，根据一次函数的增减性来确定总费用最小值是解决本题的关键．
38．（2023春•东丽区期末）在“看图说故事”活动中，某学习小组结合图象设计了一个问题情境．已知小明家、社区阅览室、博物馆依次在同一条直线上，社区阅览室离小明家，博物馆离小明家，小明从家出发，匀速步行了到社区阅览室；在阅览室停留后，匀速步行了到博物馆；在博物馆停留后，匀速骑行了返回家．给出的图象反映了这个过程中小明离家的距离与离开家的时间之间的对应关系．请根据相关信息，解答下列问题：
（Ⅰ）填表：
（Ⅱ）填空：
①社区阅览室到博物馆的距离为 ；
②小明从博物馆返回家的速度为 ．
（Ⅲ）当时，请直接写出关于的函数解析式．
【分析】（Ⅰ）根据图象填空即可；
（Ⅱ）①根据题意即可计算出社区阅览室到博物馆的距离；
②由博物馆到家的路程和所用时间，即可得出小明从博物馆返回家的速度．
（Ⅲ）这是一个分段函数：当时，；
当时，设，将和分别代入，由待定系数法求其解析式即可；
当时，．
最后，将其写为一个函数，并标明相应的取值范围即可．
【解答】解：（Ⅰ）根据题意，当时，小明的速度为．
当时，．
由图象可知，当时，；当时，．
故答案为：0.8，1，3．
（Ⅱ）①社区阅览室离小明家，博物馆离小明家，
社区阅览室到博物馆的距离为．
故答案为：2．
②小明从博物馆返回家经过的路程为，用时，
小明从博物馆返回家的速度为．
故答案为：0.2．
（Ⅲ）当时，；
当时，设；
将和分别代入，得
，解得．
．
当时，．
综上，．
【点评】本题考查一次函数的实际应用，图象看似复杂，但难度不大．
39．（2023春•同安区期末）“双减”政策颁布后，各校重视了延时服务，并在延时服务中加大了体育活动的力度．某体育用品商店抓住商机，计划购进300套乒乓球拍和羽毛球拍进行销售，其中购进乒乓球拍的套数不超过150套，他们的进价和售价如下表：
已知购进2套乒乓球拍和1套羽毛球拍需花费110元，购进4套乒乓球拍和3套羽毛球拍需花费260元．
（1）求出，的值；
（2）该店面根据以往的销售经验，决定购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半．设购进乒乓球拍套，售完这批体育用品获利元．
①求关于的函数关系式，并写出的取值范围；
②该商品实际采购时，恰逢“618”购物节，乒乓球拍的进价每套降低了元，羽毛球拍的进价不变．已知商店的售价不变，这批体育用品能够全部售完．则如何购货才能获利最大？
【分析】（1）根据题意列方程组求解即可；
（2）①将乒乓球拍和羽毛球拍各自的套数乘以对应单套利润再相加，即售完这批体育用品总获利，对该关系式整理即可得到关于的函数关系式．根据“购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半”和“购进乒乓球拍的套数不超过150套”列出关于的一元一次不等式，解之，得到的取值范围．
②写出乒乓球拍的进价每套降低了元后获利关于的表达式，进而根据的取值范围进行分析讨论即可．
【解答】解：（1）由题意可列方程组，解得．
（2）①购进乒乓球拍套，
购进羽毛球拍套．
．
购进乒乓球拍套数不少于羽毛球拍套数的一半，并且不超过150套，
，
．
．
②乒乓球拍的进价每套降低了元后，获得为．
当时，，的值随的减小而增大，
当时，最大．
当时，，不管为何值，．
当，，的值随的增大而增大，
当时，最大．
综上，当时，购进乒乓球拍100套，获利最大；
当时，不管购进乒乓球拍多少套，获利为恒定值3600元；
当，购进乒乓球拍150套，获利最大．
【点评】本题考查一次函数和二元一次方程组的应用．解答过程中分情况讨论稍微有点复杂，所以思路一定要清晰，每一步都要有理有据．
40．（2023春•洛江区期末）甲、乙两人在同一路线上进行跑步，路程（米随时间（分变化的图象如图所示，请根据图象解决下列问题：
（1）求线段的解析式，并写出自变量的取值范围；
（2）当为何值时，两人第二次相遇？
【分析】（1）设线段的解析式为，将点、的坐标分别代入，用待定系数法求出解析式，并限定的取值范围；
（2）求出线段与交点的横坐标即可．点是线段与的交点，而且已知点的纵坐标，将其代入线段的解析式即可求出其横坐标，由此求得点的坐标．线段的解析式是正比例函数，设为，将点的坐标代入，从而求得线段的解析式，进而将点的横坐标代入线段的解析式，求出点的纵坐标，因此知道了点的坐标．由点、的坐标，利用待定系数法求出线段的解析式．当二人第二次相遇时，线段与的对应函数值相等，从而求出其交点的横坐标即可．
【解答】解：（1）设线段的解析式为．将点和的坐标分别代入，得
，解得．
线段的解析式为：．
（2）点在上，
，解得．
．
线段过原点，
线段的解析式为正比例函数，设为．
将的坐标代入，解得．
线段的解析式为．
当时，．
．
设线段的解析式为．将点和的坐标分别代入，得
，解得．
线段的解析式为．
当两第二次相遇时，有，解得．
当时，两人第二次相遇．
【点评】本题考查一次函数的应用，各点之间关联性较强，解答过程比较繁琐，一定要耐心、细致，避免出错．
41．（2023春•思明区校级期末）6月份，福建多地暴雨连连，根据天气预报，6月6日起，厦门将持续下雨7天，厦门某水库记录了6月6日24小时内的水位变化情况，结果如下：
在不泄洪的条件下，假设下雨的这7天水位随时间的变化都满足这种关系．为了保护大坝安全，当水库的水位达到时，必须进行泄洪．与此同时，西部某地区由于干旱，需要抽调某水库中的水作为生活用水，这7天内（含7天）的水位（单位：随时间（单位：变化情况如图所示．
（1）在不泄洪的条件下，写出一个函数解析式描述水位（单位：随时间（单位：的变化规律；
（2）当水库需要进行泄洪时，若为了更快速降低水位，多开了几个泄洪闸，使水位平均每小时下降，则在这7天内（含7天），是否存在某个时刻，两个水库的水位差距与一开始相同？若有，求出此时水库的水位；若无，说明理由．
（3）假设泄洪的速度一定，当水库泄洪后的第20小时起，水库的水位始终不超过水库的水位，请问：水库最迟能否在第6天早上6点前降至原水位？
【分析】（1）观察表格发现和满足一次函数关系，设，利用待定系数法即可求解；
（2）先求出这7天内（含7天）的水库水位 （单位：随时间 （单位： 变化的函数解析式，再求出水库开始泄洪的时间，再根据题意列出方程求解即可；
（3）设泄洪速度为每小时下降米，根据水库泄洪后的第20小时起，水库的水位始终不超过水库的水位列出方程求出泄洪速度，再算出第6天早上6点时的水位即可作出判断．
【解答】解：（1）观察表格发现和满足一次函数关系，
设，把点，代入得，
解得，
函数解析式为．
（2）不存在，理由如下：
观察这7天内（含7天）的水库水位 （单位： 随时间 （单问：变化情况，得知和满足一次函数关系，
设，
代入，得，，
解得．
，
需要泄洪时，即时，
；
解得，
小时后开始泄洪，
当时，，
解得，
，
在这7天内（含7天），不存在某个时刻，两个水库的水位差距与一开始相同；
（3）设泄洪速度为每小时下降米，由题意得，
，
解得，
即泄洪速度为每小时下降0.575米，
第6天早上6点时的水位为： （米，
，
水库能在第6天早上6点前降至原水位．
【点评】此题主要考查了一次函数的应用、一元一次方程的应用，用待定系数法求出一次函数解析式是基础，读懂题意正确列方程是解题的关键．
一十五．一次函数综合题（共4小题）
42．（2023春•温江区校级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，两点，点在轴上点的右侧，四边形为平行四边形，且．
（1） 3 ，点的坐标为 ．
（2）一动点在边上，以每秒的速度从点向点运动．
①连接，当平分时，求此时的面积；
②另一动点在边上，以每秒的速度从点出发，在间往返运动，两个点同时出发，当点到达点时停止运动（同时点也停止），则为何值时，以，，，四点组成的四边形是平行四边形．
【分析】（1）依据题意，首先求出、两点坐标，再根据平行四边形的性质，可得，的纵坐标与的纵坐标相同，进而可以得解；
（2）①依据题意，平分，，可得，结合、两点坐标可得，再由的纵坐标即可的边上的高，进而可以得解；
②依据题意，以，，，四点组成的四边形是平行四边形，又，从而，再结合运动时间，进行分析可以得解．
【解答】解：（1）由题意，对于直线，
令，则，
．
令，则，
，．
四边形是平行四边形，
，．
，，
的纵坐标与的纵坐标相同为3，．
．
，，
，．
故答案为：3；，．
（2）①由题意，平分，
．
，
．
．
．
由（1）得，，，
．
由四边形是平行四边形，
．
，
．
②设经过秒，以点、、、为顶点组成平行四边形，
以点、、、为顶点组成平行四边形，
，
分为以下情况：
Ⅰ．当点的运动路线是时，，
．
此时方程，此时不符合题意．
Ⅱ．当点的运动路线是时，，
，
解得：．
Ⅲ．当点的运动路线是时，，
．
解得：．
Ⅳ．当点的运动路线是时，，
．
解得：．
综上所述，或或时，以、、、四点组成的四边形为平行四边形．
【点评】本题考查了一次函数的图象与性质、平行四边形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质等知识；熟练掌握平行四边形的判定与性质，进行分类讨论是解题的关键．
43．（2023春•永定区期末）综合与探究：如图，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交轴、轴于点，，一次函数的图象经过点，并与轴交于点，点是直线上的一个动点．
（1）求，两点的坐标；
（2）并直接写出点的坐标并求直线的表达式；
（3）试探究直线上是否存在点，使以，，为顶点的三角形的面积为18？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）把，分别代入一次函数，即可求出、坐标；
（2）将点坐标代入即可求出的值，把代入即可求出点坐标；
（3）根据三角形面积公式求出，再代入直线解析式即可求出点坐标．
【解答】解：（1）当时，，
，
当时，则：，
解得：，
；
（2）将点坐标代入可得：
，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，则：，
解得：，
；
（3）存在以，，为顶点的三角形的面积为18，
，，
，
，
，
当时，，
点坐标为，
当时，，
点坐标为，
综上，满足条件的点坐标为或．
【点评】本题主要考查了一次函数的应用、三角形的面积，利用面积求点的坐标要分情况讨论是解答的关键，有一定的难度．
44．（2023春•武侯区期末）【阅读理解】
在平面直角坐标系中，已知点，为平面内不重合的两点．给出如下定义：将点绕点顺时针旋转90度得到点，点关于轴的对称点为，则称点为点关于点的“旋对点”．
【迁移应用】
如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点．平面内有一点．
（1）请在图中画出点关于点的“旋对点“”，并直接写出点的坐标；
（2）点为直线上一动点．
若点关于点的“旋对点”为点，试探究直线经过某一定点，并求出该定点的坐标；
在的条件下，设直线所经过的定点为，取的中点，连接，求的最小值．
【分析】（1）根据新定义的含义结合网格特点逐步画图即可，再根据点”的位置可得其坐标；
（2）如图，设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，则，延长与交于点，则，△，而，，，，结合新定义可得；，从而可得答案；
证明，即在直线上动，如图，连接，，作关于直线的对称点，则，由，分别为，的中点，则，，当、、三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，，△，△都是等腰直角三角形，而，则．，再利用股定理可得答案．
【解答】解：（1）如图，即为所求；
；
（2）如图，
点为直线上一动点，
设，过作轴的平行线，过作轴的平行线，两直线交于点，
则，延长与交于点，则，
，
，
，
，
△，
而，
，．
，
结合新定义可得；，
而，
的中点坐标为：，
直线经过定点；
，，
，
，即在直线上运动，
如图，连接，，作关于直线的对称点，则，
由，分别为、的中点，则，，
当，，三点共线时，，此时最小；记与轴的交点为，则，直线与轴的交点坐标为，连接，，△，△都是等腰直角三角形，而，
，
，即的最小值为．
【点评】本题考查的是一次函数的几何应用，旋转的性质，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线的性质，理解题意，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．
45．（2023春•天府新区期末）如图，直线与坐标轴交于，两点，点坐标为，将点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点，直线交直线于点．
（1）求直线的表达式；
（2）我们定义：如果一个三角形中有一个内角为，则称这个三角形为“天府三角形”
①点是直线上第一象限内一点，若为“天府三角形”，求点的坐标；
②在①的条件下，当点的横坐标大于时，作点关于轴的对称点，点为直线上的一个动点，连接，点为线段的中点，连接，当最小时，求点的坐标．
【分析】（1）先求出，再由平移方式求出，进而利用待定系数法求出直线的解析式即可；
（2）①如图所示，当时，证明得到，则点的横坐标为4，由此可得；当时，过点作且，过点作轴，分别过点，作的垂线，垂足分别为、，求出，得到，证明，得到，，则，同理可得直线的解析式为，由此可求出；
②求出，由点的横坐标大于，可由（2）①得点的坐标为，则点在直线上运动，即点的横坐标为4，进而得到点在直线上运动，如图所示，作点关于直线的对称点，连接，则，由轴对称的性质可得，则当4、、三点共线时，最小，即此时最小，同理求得直线的解析式为，则可得点的坐标．
【解答】解：（1）在中，当时，．
；
将点向右平移4个单位，再向下平移1个单位得到点，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的解析式为，
（2）①如图，时，
在中，当时，，
，
，
，
，
，
点的横坐标为4，
，
如图，当时，过点作，且，过点作轴，分别过点，作的垂线，垂足别为、，
联立，
解得，
，
，，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，，
，
同理可得直线的解析式为，
联立，
解得，
，，
综上所述，的坐标为或，，
②点是点关于轴的对称点，
，
点的横坐标大于，
由（2）①得点的为，
直线即为直线，
点在直线上运动，即点的横坐标为4，
点为的中点，
点的横坐标为1，，
点在直线上运动，
如图所示，作点关于直线的对称点，连接，
，
由轴对称的性质可得，
．
当、、三点共线时，最小，即此时最小，
同理求得直线的解析式为，在中，当时，，
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，一次函数与几何综合，轴对称最短路径问题等等，利用分类讨论的思想求解是解题的关键
一十六．勾股定理的逆定理（共3小题）
46．（2023春•鞍山期末）如图，学校在校园围墙边缘开垦一块四边形菜地，测得，，，，且，这块菜地的面积是
A．B．C．D．
【分析】连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答．
【解答】解：连接，
，，，
，
，，
，，
，
是直角三角形，
，
四边形的面积的面积的面积
，
这块菜地的面积为，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
47．（2023春•西吉县期末）明明在玩摆木棒游戏，帮他看一看那一组长度的木棒可以构成直角三角形
A．2，3，4B．3，4，6C．6，7，11D．5，12，13
【分析】根据勾股定理的逆定理进行计算，逐一判断即可解答．
【解答】解：、，，
，
不能组成直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
不能组成直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
不能组成直角三角形，
故不符合题意；
、，，
，
能组成直角三角形，
故符合题意；
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键．
48．（2023春•贵州期末）如图，在中，，，，为各内角平分线的交点，过点作的垂线，垂足为，则的长为
A．1B．C．2D．
【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，，，先利用角平分线的性质可得，再利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，然后利用面积法进行计算，即可解答．
【解答】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为，连接，，，
为各内角平分线的交点，，，，
，
，，，
，，
，
是直角三角形，
，
的面积的面积的面积的面积，
，
，
，
解得：，
故选：．
【点评】本题考查了勾股定理的逆定理，角平分线的性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
一十七．勾股定理的应用（共1小题）
49．（2023春•余姚市期末）如图，一块边长为的正方形铁片，四角各被截去了一个边长为的小正方形，现在要从剩下的铁片中剪出一块完整的正方形铁片来，剪出的正方形面积最大为
A．B．C．D．
【分析】在剩下的铁片上画出最大的正方形，找出所求部分面积与其它部分面积的关系，即可求解．
【解答】解：如图所示，将剩下的铁片分为中间的正方形和四个小长方形，
中间部分的面积为：，
每个小长方形的面积为：，
由图可知，剪出的最大的正方形面积等于中间的正方形的面积与四个小长方形面积的一半的和，
因此剪出的正方形面积最大为：．
故选．
【点评】本题主要考查弦图的应用，根据题意画出图形是解题关键．
一十八．平行四边形的性质（共2小题）
50．（2023春•武穴市期末）如图，在平行四边形中，是的平分线，是的中点，，，则为
A．B．C．D．
【分析】根据平行四边形的性质和已知条件进行求解．
【解答】解：平行四边形
是的平分线
是的中点
，
．
故选：．
【点评】本题直接通过平行四边形性质的应用以及角的等量代换、线段之间的关系解题．
51．（2023春•定州市期末）如图，在中，点，均在边上，平分，平分，如果，，，那么的周长等于 26 ．
【分析】将平移至的位置，可求出的长度，进而通过推导可知且，即，进而可求出的长度．
【解答】解：如图，延长至点，使得，
，
四边形为平行四边形，
，，
平分，平分，
，
，
，
，
，
，，
，
，
同理可得：，
，
，
，
，
的周长等于．
【点评】本题考查平行四边形的性质，解题关键是将平移至的辅助线做法．
一十九．矩形的性质（共1小题）
52．（2023春•益阳期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是矩形，且，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿线段向点运动，同时动点从点出发，以同样每秒1个单位的速度沿折线向点运动，当，有一点到达终点时，点，同时停止运动．设点，运动时间为秒，在运动过程中，如果，那么 3或6 秒．
【分析】分在边上或边上分别求解．
【解答】解：当在边上，如图：
由题意得：，，，
，
，
．
当在上时，如图：
，，
，
，
，
当，有一点到达终点时，点，同时停止运动，
，
符合题意．
故答案为：3或6
【点评】本题考查矩形性质，充分利用矩形性质，分类讨论位置是求解本题的关键．
二十．众数（共4小题）
53．（2023春•张北县期末）3月14日是国际数学日，某校开展了一次数学趣味知识竞赛（竞赛成绩为百分制），并随机抽取了50名学生的竞赛成绩（本次竞赛没有满分），经过整理数据得到以下信息：
信息一：50名学生竞赛成绩频数分布表
信息二：在这一组的成绩是：74，71，73，74，79，76，77，76，74，73，72，75．根据信息解答下列问题：
在这一组成绩中的众数是 74 ，抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是 ．
【分析】（1）先根据出现的次数最多求众数，
（2）再根据50名学生的竞赛成绩由小到大排后第25，26个数据的平均数为中位数即可．
【解答】解：（1）在这一组的成绩是：74，71，73，74，79，76，77，76，74，73，72，75．
出现的次数最多，
众数是74；
（2）抽取了50名学生的竞赛成绩，
，
的频数和，
在这一组的成绩是：74，71，73，74，79，76，77，76，74，73，72，75．
由小到大为71，72，73，73，74，74，74，75，76，76，77，79
名学生的竞赛成绩由小到大排第25，26个数据为77，79，
抽取的50名学生竞赛成绩的中位数是，
故答案为：74，78．
【点评】本题主要考查数据集中趋势中的众数、中位数在实际问题中的正确应用．
54．（2023春•红安县期末）一组数据：7，13，11，16，8，9，9，17，这组数据的中位数和众数是
A．11，9B．10，9C．9，9D．9，13
【分析】根据中位数和众数的定义求解即可．
【解答】解：数据按由小到大的顺序排序：7，8，9，9，11，13，16，17，
数据中9出现2次，次数最多，
这组数据的众数为9，
数据的个数为8个，
中位数为．
故选：．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
55．（2023春•赣县区期末）《义务教育课程标准年版）》首次把学生学会炒菜纳入劳动教育课程，并做出明确规定．某班有7名学生已经学会炒的菜品的种数依次为：3，5，4，6，3，3，4，则这组数据的众数和中位数分别是
A．4，4B．4，3C．3，3D．3，4
【分析】根据中位数和众数的概念求解即可．
【解答】解：这组数据3，3，3，4，4，5，6中3出现3次，次数最多，
所以这组数据的众数为3，
中位数为4．
故选：．
【点评】本题主要考查众数和中位数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数．如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
56．（2023春•红安县期末）某校进行“争做新时代好少年”知识竞赛，竞赛成绩分为，，，四个等级，依次记为100分，90分，80分，70分，学校随机抽取了20名学生的成绩进行整理，得到了如下信息：
（1）此次测试中被抽查学生的平均成绩为 86分 ．
（2）此次测试被抽查学生成绩的中位数和众数分别是多少？
（3）学校决定，给等级的同学授予“新时代好少年”知识竞赛一等奖．根据上面的统计结果，估计该校3000名学生中约有多少人将获得一等奖．
【分析】（1）根据平均数的计算公式列出算式即可得出答案；
（2）根据中位数和众数的定义直接进行求解即可；
（3）用该校的总人数乘以等级的学生所占的百分比即可．
【解答】解：（1）此次测试中被抽查学生的平均成绩为：（分．
故答案为：86分；
（2）把这些数从小到大排列，中位数是第10、11个数的平均数，
则被抽查学生成绩的中位数是（分，
数据80出现的次数最多，
被抽查学生成绩的众数数是80分；
（3）根据题意得：
（人，
答：估计该校3000名学生中约有600人将获得一等奖．
【点评】本题主要考查算术平均数，中位数及样本估计总体，解题的关键是掌握众数和中位数的定义及样本估计总体的应用．
二十一．方差（共3小题）
57．（2023春•上虞区期末）下表记录了甲、乙、丙、丁四名学生参加班级女子立定跳远选拔赛成绩的平均数与方差．根据表中数据，要从中选一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比寒，最合适的人选是
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】先比较平均数得到甲和丙成绩较好，然后比较方差得到甲的状态稳定，于是可决定选甲运动员去参赛．
【解答】解：甲、丙的平均数比乙、丁大，
应从甲和丙中选，
甲的方差比丙的小，
甲的成绩较好且状态稳定，应选的是甲．
故选：．
【点评】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差．方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．
58．（2023春•呈贡区期末）根据某市统计局发布的该市近5年的年度增长率的有关数据，经济学家评论说，该市近5年的年度增长率相当平稳，从统计学的角度看，判断“增长率相当平稳”的依据是数据的
A．中位数B．平均数C．众数D．方差
【分析】根据方差的意义：是反映一组数据波动大小，稳定程度的量；方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，反之也成立．故从统计角度看，“增长率相当平稳”说明这组数据方差比较小．
【解答】解：从统计学的角度看，判断“增长率相当平稳”的依据是数据的方差．
故选：．
【点评】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
59．（2023春•平桥区期末）甲、乙、丙、丁四名射击运动员在10次测试中的成绩平均数（单位：环）及方差如表所示，根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应选择
A．甲B．乙C．丙D．丁
【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛．
【解答】解：由表知甲、丙、丁射击成绩的平均数相等，且大于乙的平均数，
从甲、丙、丁中选择一人参加竞赛，
丁的方差较小，
选择丁参加比赛，
故选：．
【点评】此题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
二十二．统计量的选择（共1小题）
60．（2023春•潼南区期末）为了解美食节同学们最喜爱的菜肴，需要获取的统计量是
A．平均数B．中位数C．众数D．方差
【分析】根据平均数、中位数、众数和方差的意义解答即可．
【解答】解：为了解美食节同学们最喜爱的菜肴，需要获取的统计量是众数．
故选：．
【点评】本题考查了平均数、中位数、众数和方差，掌握相关统计量的意义是解答本题的关键．
计费单位
收费标准
广东省内
江浙沪地区
及以内
8
10
超过的部分
2
4
品牌计算器
品牌计算器
进价（元台）
700
100
售价（元台）
900
160
离开家的时间
5
8
20
50
120
离家的距离
0.5
0.8

1.8

商品
进价
售价
乒乓球拍（元套）
45
羽毛球拍（元套）
52
时刻
水位
40
40.125
40.25
40.375
40.5
成绩分
频数
4
12
20
4
甲
乙
丙
丁
平均数
195
193
195
194
5
5
12.5
15
甲
乙
丙
丁
9
8
9
9
1.6
0.8
3
0.8