2024河南中考数学复习专题 综合与实践与折叠有关的探究 （课件）

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综合与实践 与折叠有关的探究
例 (2023河南逆袭卷)综合与实践问题情境：如图，已知四边形ABCD是边长为2的菱形，且∠A＝60°，点E，F，G，H为四条边上的动点，且满足AE＝CH，AF＝CG，将菱形ABCD分别沿EF和GH折叠，点A的对应点为A′，点C的对应点为C′，连接A′G，C′F，得到四边形A′FC′G.
操作探究：(1)如图①，当点A′与点C′分别落在菱形ABCD的边AD和BC上时，求证：四边形A′FC′G是矩形；
矩形的判定定理有哪些？
①3个角是直角的四边形
②对角线相等的平行四边形
△EA′F≌△HC′G
△DA′G≌△BC′F
△CGC′为等边三角形
四边形A′FC′G是平行四边形
③有一个角为直角的平行四边形
题意可得∠A′FC′=90°
(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∠A＝60°，∴AD∥BC，CD∥AB，AB＝BC＝CD＝AD，∠B＝∠D，∴∠A＋∠B＝180°，∴∠B＝∠D＝120°.由折叠可知，AF＝A′F，∵∠A＝60°，∴△AFA′是等边三角形，同理，△CGC′是等边三角形，∴∠AFA′＝60°.∵AF＝CG，∴AA′＝AF＝CG＝C′C＝A′F＝C′G，∴BF＝BC′＝DG＝DA′.
在△DA′G和△BC′F中， ，∴△DA′G≌△BC′F(SAS)，∴A′G＝FC′.∵A′F＝C′G，∴四边形A′FC′G是平行四边形．∵∠B＝120°，BF＝BC′，∴∠BFC′＝30°.∵∠BFC′＋∠A′FC′＋∠A′FA＝180°，∴∠A′FC′＝180°－60°－30°＝90°.∴四边形A′FC′G是矩形；
(2)如图②，在(1)的条件下，当四边形A′FC′G是正方形时，求AF的长；
依据折叠性质可得AF=A′F=FC′
过点B作FC′垂线，垂足为M
拓展延伸：(3)如图③，隐去右边折叠部分，若点F是AB边的中点，当A′F垂直于菱形ABCD的边时，请直接写出AE的长．
【解法提示】当A′F垂直于菱形ABCD的边时，分两种情况讨论如下：①如解图②，当A′F⊥AB，即A′F⊥CD时，∠AFA′＝90°，由折叠的性质得∠EFA＝∠A′FE＝45°，过点E作EG⊥AB于点G，则∠GEF＝45°，∴EG＝FG，设AG＝x，∵∠A＝60°，∴EG＝FG＝ x，AE＝2x，∵AB＝2，F是AB的中点，∴AF＝1，∴x＋ x＝1，解得x＝ ，∴AE＝ －1；②如解图③，当A′F⊥AD，即A′F⊥BC时，设A′F交AD于点H，则∠AHF＝90°，∵∠A＝60°，∴HF＝ AF＝ ，由折叠的性质得A′F＝AF＝1，∠A′＝∠A＝60°，∴A′H＝1－ ，∴AE＝A′E＝2A′H＝2－ .综上所述，AE的长为 －1或2－ .
练习 (2023河南定心卷)观察猜想(1)如图①，在矩形ABCD中，点E是BC的中点，将△DCE沿直线DE折叠后得到△DFE，点F在矩形ABCD的内部，延长DF交AB于点G，连接EG，猜想△DEG是直角三角形，请你证明这个猜想；
依据折叠性质得∠C=∠DFE=∠B
E是BC中点得EC=EF=BE
解： (1)∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠C＝90°，由折叠的性质得，∠DFE＝∠C＝90°，EC＝EF，∠CED＝∠FED，∴∠GFE＝90°＝∠B，∵E为BC的中点，∴BE＝EC，∴BE＝EF，∵EG＝EG，∴Rt△BEG≌Rt△FEG(HL)，∴∠BEG＝∠FEG，∵∠CED＝∠FED，∠BEC＝∠BEG＋∠FEG＋∠FED＋∠CED＝180°，∴∠GED＝∠FEG＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，∴△DEG是直角三角形；
类比探究(2)若将图①中的矩形ABCD变为如图②的平行四边形，其他条件不变，那么(1)中的猜想是否仍然成立？请说明理由；
参考(1)中证明方法，证明△BEG≌△FEG
(2)(1)中的猜想仍成立，理由如下：
如解图，连接BF，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠ABC＋∠C＝180°，由折叠的性质得，∠DFE＝∠C，EC＝EF，∠CED＝∠FED，∵∠GFE＋∠DFE＝180°，∴∠ABC＝∠GFE，∵E为BC的中点，∴BE＝EC，
∴BE＝EF，∴∠EBF＝∠EFB，∴∠GBF＝∠GFB，∴GB＝GF，∵EG＝EG，∴△EBG≌△EFG(SSS)，∴∠BEG＝∠FEG，∵∠CED＝∠FED，∠BEC＝∠BEG＋∠FEG＋∠FED＋∠CED＝180°，∴∠GED＝∠FEG＋∠FED＝ ∠BEC＝90°，∴△DEG是直角三角形，(1)中的猜想仍然成立；
拓展延伸(3)在(2)的基础上，若∠ABC＝60°，AB＝6，G为AB边的三等分点，请直接写出BC的长．
【解法提示】如解图，过点G作GH⊥AD交DA的延长线于点H，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，∴∠HAG＝∠B＝60°.若G为AB边的三等分点，分两种情况讨论如下：①如解图①，此时AG＝ AB＝2，∴AH＝ AG＝1，GH＝ AG＝ ，由(2)得FG＝BG＝4，由折叠的性质得DF＝DC＝6，∴DG＝DF＋FG＝10，在Rt△DGH中，DG2＝DH2＋GH2，即102＝(1＋AD)2＋( )2，解得AD＝ －1(负值已舍去)，∴BC＝AD＝ －1；
练习 (2023甘肃黑白卷)如图是人教版八年级上册数学教材第79页的部分内容．把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
问题解决：(1)如图①，已知矩形ABCD(AB>AD)，将矩形纸片沿对角线AC折叠，使点B落在点P的位置，AP交CD于点Q.请判断△ACQ的形状，并进行证明；
解：(1)△ACQ是等腰三角形．证明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，由折叠的性质可知∠BAC＝∠PAC，∴∠PAC＝∠DCA，∴QA＝QC，∴△ACQ是等腰三角形；
练习1 (2023甘肃黑白卷)如图是人教版八年级上册数学教材第79页的部分内容．把一张长方形的纸沿对角线折叠，重合部分是一个等腰三角形吗？为什么？
拓展延伸：(2)如图②，折叠矩形ABCD使点B落在CD上的点E处，折痕为GH，过点E作EF∥BC交GH于点F，连接BF，发现四边形BFEG是特殊四边形，请先写出是哪种特殊四边形，并进行证明；
(2)四边形BFEG是菱形．证明：由折叠的性质知GB＝GE，BF＝EF，∠BGF＝∠EGF.∵EF∥BC，∴∠BGF＝∠EFG，∴∠EGF＝∠EFG，∴EG＝EF，∴GB＝GE＝BF＝EF，∴四边形BFEG是菱形；
类比迁移：(3)在(2)的基础上，若AD＝6，AB＝10，当点E在CD边上移动时，折痕的端点G，H也随着移动，若限定G，H分别在线段BC，AB上移动，求四边形BFEG面积的变化范围．