2024河南中考数学备考重难专题课件：综合与实践 旋转问题【课件】

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综合与实践 旋转问题
例 (2023河南真题子母卷)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠AED＝90°，连接BD，点F为BD的中点，连接CF，EF.
(1)如图①，当点E在CA的延长线上时，线段CF与EF的数量关系为________，∠CFE的度数为________；
猜想：CF=EF，∠CFE=90°
作直角三角形斜边上的中线
同理证得△AFC≌△BFC
【解法提示】如解图①，连接AF，∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠DEA＝∠BCA＝90°，AE＝DE，AC＝BC，∴∠DAB＝90°，∵点F为BD的中点，∴AF＝DF＝BF，∴△AEF≌△DEF(SSS)，∴∠AEF＝∠DEF，∵∠AED＝90°，∴∠AEF＝45°，同理可得∠ACF＝45°，∴∠AEF＝∠ACF＝45°，∴EF＝CF，∠CFE＝90°.
解：(1)EF＝CF，90°；
FH是梯形DECB中位线
(2)将△ADE绕点A顺时针旋转，连接CE，(1)中的两个结论是否仍然成立？如果成立，请仅就图②的情况加以证明；如果不成立，请说明理由；
点F为BD的中点，通过作辅助线构造等腰直角三角形
过点B作BG∥DE交EF的延长线于点G，连接CG
问题1 观察图形，能否证得△CEG为等腰直角三角形，从而证得EF=CF ，∠CFE=90°？
问题2 怎么证明△CEG为等腰直角三角形？
证明△BCG≌△ACE
问题3 怎么证明△BCG≌△ACE？
主要证明∠CBG=∠CAE
(2)(1)中的两个结论仍成立．证明：∵△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∴∠ABC＝∠BAC＝∠ADE＝∠DAE＝45°，AE＝DE，AC＝BC，如解图②，过点B作BG∥DE交EF的延长线于点G，连接CG，∵BG∥DE，∴∠EDF＝∠GBF，∵∠DFE＝∠BFG，BF＝DF，∴△BFG≌△DFE(ASA)，∴BG＝DE，FG＝EF，∴BG＝AE，∵∠EDF＝∠GBF，∴∠CBG＝∠GBF＋∠CBD＝∠EDF＋∠CBD ＝∠ABD＋∠ADB＋∠ABC＋∠ADE ＝180°－∠BAD＋45°＋45° ＝270°－∠BAD＝∠EAC，
在△BGC和△AEC中，
∴△BGC≌△AEC(SAS)，∴GC＝EC，∠BCG＝∠ACE，∵∠ACB＝∠BCG＋∠ACG＝90°，∴∠ACE＋∠ACG＝90°，∴△ECG是等腰直角三角形，又∵FG＝EF，∴EF＝CF，∠CFE＝90°；
(3)若AB＝13，AE＝5，将△ADE绕点A顺时针旋转过程中，当D，E，F共线时，请直接写出△BCE的面积．
观察图形，AC不动，△ADE绕点A旋转，当D，E，F共线
【解法提示】①如解图③，在△ABE中，∠AEB＝90°，AB＝13，AE＝5，由勾股定理得BE＝ ，∴BD＝BE－DE＝12－5＝7，∵点F是BD的中点，∴DF＝ ，∴CF＝EF＝5+ ，∴S△BCE＝ BE·CF＝ ×12× ＝51；②如解图④，同理可得S△BCE＝ BE·CF＝ ×12× ＝21.综上所述，△BCE的面积为51或21.
练习 (2023河南逆袭卷)如图，在四边形ABCD中，点E是直线BC上一点，将射线AE绕点A逆时针旋转α交直线CD于点F.
(1)如图①，若四边形ABCD为菱形，∠B＝60°，α＝60°，则AE与AF之间的数量关系是__________；
观察图形无法在一个三角形中证明线段相等，考虑作辅助线构造全等三角形
【解法提示】如解图①，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD，AB∥CD，∴∠ACD＝∠BAC.∵∠B＝60°，∴△ABC是等边三角形，∴AB＝AC，∠ACD＝∠BAC＝60°.∵∠EAF＝60°，∴∠BAE＋∠EAC＝∠EAC＋∠CAF＝60°，∴∠BAE＝∠CAF，∴△ABE≌△ACF，∴AE＝AF.
解：(1)AE＝AF；
(2)如图②，若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当点E在BC的延长线上时，试猜想线段BE、DF与EF之间的数量关系，并加以证明；
无法直接判断数量关系，考虑通过旋转使三条线段在一个三角形中求证
将△ADF绕点A逆时针旋转使得AD边与AB边重合
△ABF′≌△ADF(SAS)
∠EAF′＝∠EAF＝45°
(2)BE－DF＝EF；证明：如解图②，在BC上取点F′，使得BF′＝DF，连接AF′，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABF′＝∠ADF＝90°，在△ABF′和△ADF中，
∴△ABF′≌△ADF(SAS)，∴AF′＝AF，∠BAF′＝∠DAF.∵∠EAF＝45°，∠BAD＝90°，∴∠DAE＋∠DAF＝∠DAE＋∠BAF′＝45°，∴∠EAF′＝∠EAF＝45°.
在△AEF′和△AEF中，
∴△AEF′≌△AEF(SAS)，∴EF′＝EF，∴BE－DF＝BE－BF′＝EF′＝EF；
(3)若四边形ABCD为正方形，α＝45°，连接EF，当AB＝4，BE＝ BC时，请直接写出EF的长．
类比(1)中E在BC上，(2)中E在BC延长线上，结合(3)中条件，也分两种情况
②BE在BC的反向延长线上
练习 (2023河南预测卷)如图，△AOB和△COD是等腰直角三角形，OA＝2OC＝4 ，点O为直角顶点，连接AD、BC，E是BC的中点，连接OE.
(1)如图①，当点C、D分别在边OA、OB上时，线段OE与线段AD之间的数量关系为______________；
(2)将△COD绕点O逆时针旋转到如图②所示位置，请探究线段OE与线段AD之间的数量关系，并说明理由；
(2)OE＝ AD理由如下：如解图①，延长OE至点F，使得EF＝OE，连接BF、CF，∵BE＝CE，EO＝EF，∴四边形COBF是平行四边形，∴BF∥CO，BF＝CO＝DO，∴∠FBO＋∠BOC＝180°.∵∠BOA＝∠COD＝90°，∴∠BOC＋∠BOD＝∠1＋∠BOD＝90°，∴∠1＝∠BOC.∵∠1＋∠DOA＝180°，∴∠FBO＝∠DOA.∵BO＝AO，∴△FBO≌△DOA(SAS)，∴AD＝OF，∴OE＝ AD；
(3)在△COD的旋转过程中，当点C落在直线AD上时，请直接写出OE的长．
【解法提示】分点C在AD上和点C在AD的延长线上两种情况讨论：①如解图②，当点C在线段AD上时，设AD、EO交于点M，由(2)可知EO＝ AD，易证AD⊥EO，∴∠AMO＝90°，∵OC＝OD＝ ，∴MO＝ ，∴在Rt△AMO中，AM＝ ，又∵MD＝MO＝2，∴AD＝AM＋MD ＝ ＋2，∴OE＝ AD＝ ＋1；