高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第45练二项分布、超几何分布与正态分布(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第45练二项分布、超几何分布与正态分布(原卷版+解析)，共18页。试卷主要包含了(2023·河南洛阳·模拟等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·辽宁·沈阳二中模拟）已知随机变量服从二项分布，若，，则（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·河南洛阳·模拟（理））已知随机变量，若，则（ ）
A．0.36B．0.18C．0.64D．0.82
4．(2023·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.977B．0.954C．0.5D．0.023
5．(2023·江苏苏州·模拟）设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（ ）
A．B．1C．2D．
6．(2023·重庆八中模拟）设随机变量，若，，则p=_________.
7.已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约___________袋（质量单位：）.（附：，则，，）.
8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）已知随机变量服从正态分布，且，则___________.
9．(2023·湖北·黄冈中学三模）设随机变量，若，则________.
10．(2023·陕西·交大附中模拟（理））若随机变量，，则______．
1．(2023·山东潍坊·模拟）Pissn分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Pissn分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Pissn分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Pissn分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·吉林长春·模拟（理））已知随机变量，下列表达式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·海南海口·模拟）某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是（ ）
A．10分钟B．5分钟C．4分钟D．2分钟
4．(2023·河南安阳·模拟（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．254人B．127人C．18人D．36人
5．(2023·福建龙岩·模拟）某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取（ ）
A．份B．份C．份D．份
6．(2023·山东日照·模拟）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若，则______．
7．(2023·天津三中二模）某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.
8．(2023·江西九江·三模（理））日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，.小明同学一般情况下都是骑自行车上学，路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布.已知小明骑车上学迟到的概率为.某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布，要使步行上学迟到的概率不大于，则小明应该至少比平时出门的时间早_____________分钟.
9．(2023·山东师范大学附中模拟）已知随机变量，且，则的最小值为________.
10．(2023·广东惠州·二模）在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则本次测试数学成绩在80到120之间的学生约有______人.
1．(2023·重庆八中模拟）考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·湖南师大附中一模）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413
3．(2023·江苏省木渎高级中学模拟）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·江苏扬州·模拟）山东烟台苹果因“果形端正､色泽艳丽､果肉㓉脆､香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在]内的概率为（ ）
附：若，则
A．B．C．D．
5．(2023·山东淄博·三模）设随机变量，满足．若，则_____．
6．(2023·江苏省赣榆高级中学模拟）柯西分布(Cauchydistributin)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则________.
7．(2023·广东汕头·三模）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
8．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则___________；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为___________．
9．(2023·天津南开·一模）某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为______；检测3台设备，则至少2台合格的概率为______．
10．(2023·安徽安庆·二模（理））立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段内抽取学生，并确定m＝67，且.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示.若该班抽取学生分数在分数段内的人数为k，则k等于______；这k名学生的人均分为______.
（附：，，）
专题14 计数原理、随机变量及其分布
第45练 二项分布、超几何分布与正态分布
1．(2023·浙江·赫威斯育才高中模拟）从一个装有4个白球和3个红球的袋子中有放回地取球5次，每次取球1个，记X为取得红球的次数，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意得：从一个装有4个白球和3个红球的袋子中取出一个球，是红球的概率为，
因为是有放回的取球，所以，
所以
故选：D
2．(2023·辽宁·沈阳二中模拟）已知随机变量服从二项分布，若，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题意，解得．
故选：A．
3．(2023·河南洛阳·模拟（理））已知随机变量，若，则（ ）
A．0.36B．0.18C．0.64D．0.82
答案：C
【解析】因为，所以，所以．
故选:C．
4．(2023·黑龙江·鸡西市第四中学三模（理））已知随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A．0.977B．0.954C．0.5D．0.023
答案：B
【解析】随机变量服从正态分布，
若，则依据正态曲线的性质有
故选：B
5．(2023·江苏苏州·模拟）设随机变量服从正态分布，若，则 a 的值为（ ）
A．B．1C．2D．
答案：B
【解析】∵随机变量服从正态分布，
根据正态分布的对称性，可得，
解得.
故选：B.
6．(2023·重庆八中模拟）设随机变量，若，，则p=_________.
答案：
【解析】随机变量，若，，可得,解得.
故答案为:
7.已知某种袋装食品每袋质量，则随机抽取10000袋这种食品，袋装质量在区间的约___________袋（质量单位：）.（附：，则，，）.
答案：8186
【解析】由题意得：，
，
则，
故，
则袋装质量在区间的约有袋.
故答案为：8186
8．(2023·湖北·襄阳四中模拟）已知随机变量服从正态分布，且，则___________.
答案：
【解析】因为随机变量服从正态分布，其对称轴方程为
设 ，所以
又

根据题意 ，

故答案为：
9．(2023·湖北·黄冈中学三模）设随机变量，若，则________.
答案：0.5
【解析】解：因为随机变量，，
所以，
所以.
故答案为：0.5.
10．(2023·陕西·交大附中模拟（理））若随机变量，，则______．
答案：0.4
【解析】由正太分布的对称性可知：
故答案为：0.4
1．(2023·山东潍坊·模拟）Pissn分布是统计学里常见的离散型概率分布，由法国数学家西莫恩·德尼·泊松首次提出，Pissn分布的概率分布列为，其中为自然对数的底数，是Pissn分布的均值．当二项分布的n很大而p很小时，Pissn分布可作为二项分布的近似．假设每个大肠杆菌基因组含有10000个核苷酸对，采用紫外线照射大肠杆菌时，每个核苷酸对产生嘧啶二体的概率均为0.0003，已知该菌株基因组有一个嘧啶二体就致死，则致死率是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】由题， ，，此时Pissn分布满足二项分布的近似的条件，此时，故不致死的概率为，故致死的概率为
故选：A
2．(2023·吉林长春·模拟（理））已知随机变量，下列表达式正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】因为，所以，
因此，，
因此选项B、D不正确，选项C正确，
又因为，所以选项A不正确，
故选：C
3．(2023·海南海口·模拟）某班50名学生通过直播软件上网课，为了方便师生互动，直播屏幕分为1个大窗口和5个小窗口，大窗口始终显示老师讲课的画面，5个小窗口显示5名不同学生的画面．小窗口每5分钟切换一次，即再次从全班随机选择5名学生的画面显示，且每次切换相互独立．若一节课40分钟，则该班甲同学一节课在直播屏幕上出现的时间的期望是（ ）
A．10分钟B．5分钟C．4分钟D．2分钟
答案：C
【解析】每5分钟算作一轮，每一轮甲同学出现在直播屏幕上的概率为，设他在直播屏幕上出现的轮次为X，
根据题意，，设甲同学在直播屏幕上出现的时间为，
则．
故答案为：C.
4．(2023·河南安阳·模拟（理））某房产销售公司有800名销售人员，为了了解销售人员上一个季度的房屋销量，公司随机选取了部分销售人员对其房屋销量进行了统计，得到上一季度销售人员的房屋销量，则全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（ ）
附：若随机变量X服从正态分布，则，，．
A．254人B．127人C．18人D．36人
答案：B
【解析】解：因为，所以，，所以
所以全公司上一季度至少完成22套房屋销售的人员大概有（人）；
故选：B
5．(2023·福建龙岩·模拟）某地市在一次测试中，高三学生数学成绩服从正态分布，已知，若按成绩分层抽样的方式取份试卷进行分析，则应从分以下的试卷中应抽取（ ）
A．份B．份C．份D．份
答案：C
【解析】因为，所以，，
因此，应从分以下的试卷中应抽取份.
故选：C.
6．(2023·山东日照·模拟）一个箱子中装有形状完全相同的5个白球和个黑球，现从中有放回的摸取4次，每次都是随机摸取一球，设摸得白球个数为X，若，则______．
答案：2
【解析】有放回的摸取4次，每次随机摸取一球是白球的概率相等，设为p，而摸取1次即为一次试验，只有两个不同结果，
因此，，则，解得，
所以.
故答案为：2
7．(2023·天津三中二模）某地区教研部门开展高三教师座谈会，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，已知某校共有8名教师参加座谈会，记X为该校教师中被抽到发言的人数，若，且，则_____.
答案：
【解析】由题意，每名教师被抽到发言的概率均为p，且是否被抽到发言相互独立，
所以随机变量，
因为，可得，解得或，
又因为，可得，所以，
所以.
故答案为：.
8．(2023·江西九江·三模（理））日常生活中，许多现象都服从正态分布.若，记，，.小明同学一般情况下都是骑自行车上学，路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布.已知小明骑车上学迟到的概率为.某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间（单位：分钟）服从正态分布，要使步行上学迟到的概率不大于，则小明应该至少比平时出门的时间早_____________分钟.
答案：20
【解析】解：由小明骑车上学迟到的概率知，小明骑车花费分钟才会迟到.
若小明步行上学，要使迟到的概率不大于，则步行花费时间应小于分钟，
故小明应该至少比平时出门的时间早分钟.
故答案为：
9．(2023·山东师范大学附中模拟）已知随机变量，且，则的最小值为________.
答案：
【解析】由正态分布的对称性可知：，解得：，
因为，所以，由基本不等式得：
，
当且仅当，即时等号成立，
所以不等式得最小值为
故答案为：
10．(2023·广东惠州·二模）在一次教学质量调研测试中，某学校高三有1200名学生，全部学生的数学成绩服从正态分布，若，且，则本次测试数学成绩在80到120之间的学生约有______人.
答案：720
【解析】由题意，
所以．人数为．
故答案为：720．
1．(2023·重庆八中模拟）考察下列两个问题：①已知随机变量，且，，记；②甲、乙、丙三人随机到某3个景点去旅游，每人只去一个景点，设表示“甲、乙、丙所去的景点互不相同”，表示“有一个景点仅甲一人去旅游”，记，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】解：问题①，由，解得，
则.
问题②，根据题意，事件B的可能情况有种，
事件发生的可能情况为种，
所以，.
故选：C.
2．(2023·湖南师大附中一模）设随机变量，函数没有零点的概率是0.5，则（ ）
附：若，则，.
A．0.1587B．0.1359C．0.2718D．0.3413
答案：B
【解析】若函数没有零点，
∴二次方程无实根，
∴，∴.
又∵没有零点的概率是0.5，
∴.
由正态曲线的对称性知，
∴，∴，，
∴，，，，
∴，，
∴
.
故选：B.
3．(2023·江苏省木渎高级中学模拟）2012年国家开始实施法定节假日高速公路免费通行政策，某收费站统计了2021年中秋节前后车辆通行数量，发现该站近几天车辆通行数量，若，则当时下列说法正确的是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】因，且，则有，即，
不等式为：，则，，
所以，，A，B，D均不正确，C正确.
故选：C
4．(2023·江苏扬州·模拟）山东烟台苹果因“果形端正､色泽艳丽､果肉㓉脆､香气浓郁”享誉国内外据统计，烟台苹果（把苹果近似看成球体）的直径（单位：）服从正态分布，则直径在]内的概率为（ ）
附：若，则
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意得：，
故
，
故烟台苹果直径在]内的概率为，
故选：C
5．(2023·山东淄博·三模）设随机变量，满足．若，则_____．
答案：
【解析】由，故，则，
所以，则，而，
则.
故答案为：
6．(2023·江苏省赣榆高级中学模拟）柯西分布(Cauchydistributin)是一个数学期望不存在的连续型概率分布．记随机变量服从柯西分布为，其中当，时的特例称为标准柯西分布，其概率密度函数为．已知，，，则________.
答案：
【解析】由已知，概率密度函数图象关于对称，
，
又，
，，
故答案为：．
7．(2023·广东汕头·三模）某省2021年开始将全面实施新高考方案．在6门选择性考试科目中，物理、历史这两门科目采用原始分计分；思想政治、地理、化学、生物这4门科目采用等级转换赋分，将每科考生的原始分从高到低划分为A，B，C，D，E共5个等级，各等级人数所占比例分别为15%，35%，35%，13%和2%，并按给定的公式进行转换赋分．该省组织了一次高一年级统一考试，并对思想政治、地理、化学、生物这4门科目的原始分进行了等级转换赋分．假设该省此次高一学生化学学科原始分Y服从正态分布．若，令，则．请解决下列问题：若以此次高一学生化学学科原始分D等级的最低分为实施分层教学的划线分，试估计该划线分大约为__________分（结果保留1位小数）
附：若，．
答案：59.9
【解析】因为，由可得，又，根据正态分布的对称性可知，由题意可知划线分大约为59.9.
故答案为：59.9
8．(2023·天津市滨海新区塘沽第一中学三模）甲箱中有5个红球，2个白球和3个黑球，乙箱中有4个红球，3个白球和3个黑球．先从甲箱中随机取出1球放入乙箱中，分别以、、表示由甲箱中取出的是红球，白球和黑球的事件；再从乙箱中随机取出一球，以表示由乙箱中取出的球是红球的事件，则___________；若随机从甲箱中取出3个球，设取到红球个数为随机变量X，则X的数学期望为___________．
答案：
【解析】由题意可得、、是两两互斥的事件，，
若从甲箱中随机取出1红球放入乙箱中，则此时乙箱中有11个球，且其中5个是红球，
所以，同理可得，
所以
，
题意可得X的取值可能为0，1，2，3，则
，
，
，
，
所以,
故答案为：，
9．(2023·天津南开·一模）某质检员对一批设备的性能进行抽检，第一次检测每台设备合格的概率是0.5，不合格的设备重新调试后进行第二次检测，第二次检测合格的概率是0.8，如果第二次检测仍不合格，则作报废处理．设每台设备是否合格是相互独立的，则每台设备报废的概率为______；检测3台设备，则至少2台合格的概率为______．
答案： 0.1 0.972
【解析】由题意可得，每台设备报废的情况是第一次检测不合格，第二次检测仍不合格，则作报废处理，
故每台设备报废的概率为 ；
每台设备合格的概率为 ，
故检测3台设备，则至少2台合格的概率为 ，
故答案为：0.1；0.972
10．(2023·安徽安庆·二模（理））立德中学开展学生数学素养测评活动，高一年级测评分值（满分100分）X近似服从正态分布，正态曲线如图①所示.为了调查参加测评的学生数学学习的方法与习惯差异，决定在分数段内抽取学生，并确定m＝67，且.在某班随机抽样得到20名学生的分值分布茎叶图如图②所示.若该班抽取学生分数在分数段内的人数为k，则k等于______；这k名学生的人均分为______.
（附：，，）
答案： 10 74分
【解析】有图像可知，服从正态分布，其中，，所以随机变量，
，，
由，
可得.
由图②可知，该班在内抽取了10人；
所以，人均分为分.
故答案为：10，74分.