高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第40练导数在研究函数中的应用(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第40练导数在研究函数中的应用(原卷版+解析)，共21页。试卷主要包含了(2023·陕西商洛·一模，(2023·甘肃平凉·二模，(2023·河南洛阳·模拟等内容，欢迎下载使用。

1．(2023·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·江苏无锡·模拟）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·甘肃平凉·二模（文））已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
4．(2023·湖北·黄冈中学模拟）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·河南洛阳·模拟（理））已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·重庆·三模）若函数在处取极值，则__________．
7．(2023·广西南宁·一模（文））已知函数，则的极小值为___________.
8．(2023·湖北·模拟）已知定义域为R的函数，有且，，则的解集为___________．
9．(2023·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．
10．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
1．(2023·四川内江·模拟（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟（文））已知函数，则下列关于的结论中不正确的是（ ）
A．若，则单调递减B．若，则单调递增
C．若，则有极值点D．
5．(2023·四川广安·模拟（文））不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·湖北·模拟），的最小值为___________．
7．(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟（文））已知函数，，若存在实数，使成立，则实数______．
8．(2023·福建·上杭一中模拟）设，则的大小关系为___________.（从小到大顺序排）
9．(2023·浙江·海亮高级中学模拟）已知函数，则对任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是___________.
①；②；③；④.
10．(2023·浙江湖州·模拟）设，若存在，使得，则称函数与互为“n度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为_____________．
1．(2023·四川内江·模拟（文））已知函数，对于以下3个命题：
①函数有2个极值点
②函数有3个零点
③点是函数的对称中心
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．(2023·上海金山·二模）对于定义在上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数.下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
3．(2023·河南安阳·模拟（理））关于函数有下述四个结论：
①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减
③的极大值为0 ④有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①③④
4．(2023·山东师范大学附中模拟）函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线的斜率为1
B．当时，在上单调递增
C．对任意在上均存在零点
D．存在在上有唯一零点
5．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟）若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）.若，且，，，则（ ）
A．有无数个“友情点对”B．恰有个“友情点对”
C．D．
6．(2023·河南省杞县高中模拟（理））实数x，y满足，则的值为______．
7．(2023·湖北·荆州中学模拟）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．
8．(2023·江苏·南京师大附中模拟）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
9．(2023·湖南·长沙县第一中学模拟）已知是函数的导函数，且对任意的实数x的都有，且，则函数的解析式为________，若的图像与有3个交点，则m的取值范围为_________．
专题13 导数及其应用
第40练 导数在研究函数中的应用
1．(2023·陕西商洛·一模（文））已知函数，则的极大值为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】函数的定义域为，
,
令，解得或，
故
所以的极大值为，
故选：B.
2．(2023·江苏无锡·模拟）下列函数中，定义域是R且为增函数的是（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】对于A，函数的定义域是R，且，是R上的增函数，满足题意；
对于B，函数是R上的减函数，不满足题意；
对于C，函数的定义域是，不满足题意；
对于D，函数在定义域R上不是单调函数，不满足题意．
故选：A．
3．(2023·甘肃平凉·二模（文））已知函数的导函数的图象如图所示，则的极值点的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】因为在左、右两边的导数值均为负数，所以0不是极值点，故由图可知只有2个极值点.
故选：C
4．(2023·湖北·黄冈中学模拟）对任意的，当时，恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】依题意，，令，，
则对任意的，当时，，即有函数在上单调递减，
因此，，，而，则，
所以实数的取值范围是.
故选：C
5．(2023·河南洛阳·模拟（理））已知函数，，若，恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，
当时，，单调递增，当时，，单调递减，
所以在上的最大值是．
，
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
所以在上的最小值是，
若，，恒成立，则，即，
所以，所以实数k的取值范围是．
故选:D．
6．(2023·重庆·三模）若函数在处取极值，则__________．
答案：
【解析】，又在处取极值，，；
当时，，，
则当时，；当时，；
在上单调递减，在上单调递增，
在处取极值，满足题意；.
故答案为：.
7．(2023·广西南宁·一模（文））已知函数，则的极小值为___________.
答案：
【解析】由，得，
令，解得或，
故函数在，上单调递减，在上单调递增，
故函数在时取极小值，
故答案为：.
8．(2023·湖北·模拟）已知定义域为R的函数，有且，，则的解集为___________．
答案：
【解析】，
在为增函数，又为偶函数，
∴，则，得或，
解集为
故答案为：．
9．(2023·天津河西·二模）若函数在处取得极值，则____________．
答案：
【解析】解：，
因为函数在处取得极值，
所以，，解得，
此时，，
故当时，，单调递减；
当和时，，单调递增；
所以，函数在处取得极小值，满足题意，
所以，
所以
故答案为：
10．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟）写出一个具有性质①②③的函数____________.
①的定义域为；
②；
③当时，.
答案：（答案不唯一）
【解析】由①②知，对数函数形式的函数满足要求，又由③知，在定义城上是增函数，故符合题意，故答案为：（答案不唯一）.
1．(2023·四川内江·模拟（理））函数的单调递减区间为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】的定义域为
解不等式，可得，
故函数的递减区间为.
故选：B．
2．(2023·上海松江·二模）下列函数中，与函数的奇偶性和单调性都一致的函数是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】容易判断是奇函数，且在R上是增函数，而是偶函数，在R上不是增函数，所以排除A,C,D.
对B，函数是奇函数，且，则函数在R上是增函数.
故选：B.
3．(2023·北京·首都师范大学附属中学三模）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：C
【解析】对于A，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，函数单调递增，故A不符合题意；
对于B，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为奇函数，
由幂函数的性质知函数在R上单调递增，
所以函数在R上单调递减，故B不符合题意；
对于C，函数的定义域为R，关于原点对称，
且，所以函数为偶函数，
当时，又，
所以函数在上单调递减，故C符合题意；
对于D，函数的定义域为，关于原点对称，
且，
所以是奇函数，又，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故D不符合题意.
故选：C.
4．(2023·吉林·东北师大附中模拟（文））已知函数，则下列关于的结论中不正确的是（ ）
A．若，则单调递减B．若，则单调递增
C．若，则有极值点D．
答案：C
【解析】对A，，当时，，故A正确；
对B，当时，，故单调递增，故B正确；
对C，当时，，单调递增无极值点，故C错误；
对D，，故D正确；
故选：C
5．(2023·四川广安·模拟（文））不等式恒成立，则实数k的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题可得在区间上恒成立，
令，则，
当时，，当时，，
所以的单调增区间为，单调减区间为；
所以，
所以.
故选：D.
6．(2023·湖北·模拟），的最小值为___________．
答案：3
【解析】令，则
当时，单调增，
当时，令，
时，递减
时，递增
∴
综上：
故答案为：3．
7．(2023·河南·汝州市第一高级中学模拟（文））已知函数，，若存在实数，使成立，则实数______．
答案：0
【解析】令，
令，则，
由，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
当且仅当即时等号成立，
即，当且仅当等号同时成立时，等号成立，
故，即.
故答案为：0.
8．(2023·福建·上杭一中模拟）设，则的大小关系为___________.（从小到大顺序排）
答案：
【解析】记，则，当时，,故在上单调递增，故，故，
记，则，当时，,故在单调递减，故，故，因此
故答案为：
9．(2023·浙江·海亮高级中学模拟）已知函数，则对任意的，存在、（其中、且），能使以下式子恒成立的是___________.
①；②；③；④.
答案：①②③
【解析】对于①，取，，则，，
所以，函数在上为增函数，
因为，即，故恒成立，①对；
对于②，取，，则，
所以，，则，②对；
对于③，当时，，则，
所以，函数在上为增函数，，故，③对；
对于④，当时，.
由可得或，由可得，
此时，函数的增区间为、，减区间为，
所以，函数的极大值为，极小值为，
，所以，，
，所以，，
则不恒成立；
当时，，则在上为增函数，
因为，，所以，、的大小关系无法确定，④错.
故答案为：①②③.
10．(2023·浙江湖州·模拟）设，若存在，使得，则称函数与互为“n度零点函数”．若与互为“1度零点函数”，则实数a的取值范围为_____________．
答案：
【解析】解：由，解得，
由，得，
设其解为，
因为与互为“1度零点函数”，
所以，解得，
又，
设，则，
当时，是增函数，
当时，是减函数，
∴，
又，，
∴实数a的取值范围为.
故答案为：
1．(2023·四川内江·模拟（文））已知函数，对于以下3个命题：
①函数有2个极值点
②函数有3个零点
③点是函数的对称中心
其中正确命题的个数为（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】令，可得，
所以、上，递增；上，递减；
所以是的极值点，
又，，，
所以在上存在一个零点，
所以有2个极值点，1个零点，①正确，②错误；
，故是函数的对称中心，③正确.
故选：C
2．(2023·上海金山·二模）对于定义在上的函数，若同时满足：（1）对任意的，均有；（2）对任意的，存在，且，使得成立，则称函数为“等均”函数.下列函数中：①；②；③；④，“等均”函数的个数是（ ）
A．1B．2C．3D．4
答案：B
【解析】对于①：因为,所以的定义域为R.对任意的，,满足(1)；
所以存在,使得,满足(2).
所以为“等均”函数.
对于②：因为,所以的定义域为.所以当时，，此时不存在,不满足(1)；
所以不是“等均”函数.
对于③：因为,所以的定义域为.对任意的，,满足(1)；.
若满足,则有
所以.
又因为，所以，
所以，满足且.
所以为“等均”函数.
对于④：因为,所以的定义域为R.对任意的，,满足(1)；.
若满足,则有
设，则，所以在R上单调递减，所以，此时不满足（2）.
所以 不是“等均”函数.
故“等均”函数的个数是2.
故选：B.
3．(2023·河南安阳·模拟（理））关于函数有下述四个结论：
①的图象关于直线对称 ②在区间单调递减
③的极大值为0 ④有3个零点
其中所有正确结论的编号为（ ）
A．①③B．①④C．②③④D．①③④
答案：D
【解析】函数的定义域为，
对于①，，则，
，的图象关于直线对称，①正确；
对于②，当时，，在单调递增，②不正确；
对于③，当时，，在单调递减，
当时，，在上单调递增，在上单调递减，
又在单调递增，因此在处取极大值，③正确；
对于④，由得：，即或，解得或，
于是得有3个零点，④正确，
所以所有正确结论的编号为①③④.故选：D
4．(2023·山东师范大学附中模拟）函数，下列说法正确的是（ ）
A．当时，在处的切线的斜率为1
B．当时，在上单调递增
C．对任意在上均存在零点
D．存在在上有唯一零点
答案：AD
【解析】对于A，当时，，
，故在处的切线的斜率为1，A正确；
对于B，当时，，
作出函数 在上的图象如图示，
可以看到在有两交点，
即有两个零点 ，不妨假设，
当时，，递增，当时，，递减，当时，，递增，
故当时，在上不是单调递增函数，故B错误；
对于C，，，
令，则 ,
令， ，
令，得 ，
故当时，，递减，
当时，，递增，
所以当时，取到极小值，
即当时，取到极小值，
又 ，即 ，
又因为在上，递减，故，
当时，取到极大值，
即当时，取到极大值，
又 ，即 ，故，
当时，，
所以当即，时，在上无零点，故C错误；
当，即时， 与 的图象只有一个交点，
即存在在上有唯一零点，故D正确，
故选：AD
5．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟）若图像上存在两点，关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”）.若，且，，，则（ ）
A．有无数个“友情点对”B．恰有个“友情点对”
C．D．
答案：AD
【解析】因为， ，所以是奇函数，
所以图像上存在无数对，关于原点对称，即有无数个“友情点对”；
又因为，令，
则，令，则，
当时，，所以是增函数，，即，
所以当时是增函数，，所以，
在上是增函数，因为是奇函数，所以在上是增函数，
因为，指数函数为增函数，所以，
因为，指数函数为增函数，所以，
由可得，故
所以.
故选：AD.
6．(2023·河南省杞县高中模拟（理））实数x，y满足，则的值为______．
答案：
【解析】因为，所以．
显然，令，则，且，
令，则，
所以当时，；
当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以对，，即，当且仅当时等号成立．
综上，当且仅当时，成立，
此时，解得．
故答案为：
7．(2023·湖北·荆州中学模拟）设是函数的一个极值点，则与的关系为________．
答案：
【解析】解：因为，
所以，
又因为是极值点，
所以，
即：2a+b=-3.
又因为，
所以，
故答案为：
8．(2023·江苏·南京师大附中模拟）已知.设实数，若对任意的正实数，不等式恒成立，则的最小值为___________.
答案：
【解析】因为仅在时取等号，
故为R上的单调递增函数，
故由设实数，对任意的正实数，不等式恒成立，
可得，恒成立，
，即恒成立，
当时，，恒成立，
当时，
构造函数，恒成立，
当时，递增，则不等式恒成立等价于恒成立，
即恒成立，故需，
设，，
在，上递增，在，递减，
，故的最小值为 ，
故答案为：
9．(2023·湖南·长沙县第一中学模拟）已知是函数的导函数，且对任意的实数x的都有，且，则函数的解析式为________，若的图像与有3个交点，则m的取值范围为_________．
答案：
【解析】
(C为为常数)；
又此时，
且，令，则，今，则或
函数在(－∞，0)上单调递减，(0，2)上单调递增，在上单调递减，
又，
当时，且
函数图像如下：
当的图像与有3个交点时，
所以m的取值范围为，
故答案为：，单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增