高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第44练离散型随机变量(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第44练离散型随机变量(原卷版+解析)，共22页。

1．(2023·湖南怀化·一模）已知的分布列如下表：
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
2．(2023·四川·成都七中三模（理））一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则
A．B．
C．D．
3．(2023·湖南·模拟）第24届冬季奥林四克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品（每次抽取1件）．甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．甲与乙相互独立B．甲与乙互斥
C．D．
4．(2023·浙江·湖州市菱湖中学模拟）设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C． 先减小后增大D．先增大后减小
5．(2023·浙江·绍兴一中模拟）已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关D．都与m无关
6．(2023·河北·石家庄二中模拟）已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（ ）
A．8B．C．D．16
7．(2023·云南·一模（理））在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________.
8．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟（理））已知随机变量X的分布列为：
其中，随机变量X的期望为，则当取得最小值时，_________．
9．(2023·浙江省杭州学军中学模拟）袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的得分之和，求的数学期望______（数字作答）
10．(2023·江苏常州·模拟）设随机变量的分布列如下：
且数列满足，则______________．
1．(2023·河南·模拟（理））小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（ ）
A．176B．182C．184D．186
2．(2023·浙江温州·三模）已知随机变量X，Y的分布列如下：
则（ ）
A．B．
C．D．
3．(2023·内蒙古包头·二模（理））设，随机变量的分布列如下表：
当a在内增大时，则（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
4．(2023·浙江省临安中学模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，2，若，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
5．(2023·江苏·南京师大附中模拟）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（ ）
A．B．C．D．
6．(2023·湖北省仙桃中学模拟）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（ ）
A．B．C．D．
7．(2023·浙江·模拟）现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是__________．
8．(2023·山东·模拟）射击运动是用枪支对准目标打靶的竞技项目，该项目在世界上居于领先地位的国家有中国､美国､匈牙利､俄罗斯和德国射击运动可以培养细致､沉着､坚毅等优良品质，有益于身心健康.已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有发子弹，假设某人每次打靶的命中率均为0.8，靶场规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记标靶上的子弹数量为随机变量X，则X的数学期望为___________.
9．(2023·重庆市育才中学模拟）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．
10．(2023·浙江·模拟）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.
1．(2023·浙江绍兴·模拟）已知随机变量和的分布列如下图．
则（ ）
A．B．
C．D．
2．(2023·陕西西安·三模（理））林老师等概率地从中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从中抽取一个数字，记为Y，已知，其中（，）是的概率，其中，则（ ）
A．3B．5C．6D．8
3．(2023·云南·二模（理））某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·湖南岳阳·一模）（多选题）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
5．(2023·山东·模拟）（多选题）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：
则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
6．(2023·浙江湖州·模拟）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．
7．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟）天津市某学校组织学生进行知识竞赛，规则为：每位参赛学生都要回答3个问题，且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分设为一、二、三等奖给予奖励.已知对给出的3个问题，学生甲答对的概率分别为，，，则学生甲恰好答对1个问题的概率为__________；在上述条件下，设随机变量X表示学生甲答对题目的个数，则X的数学期望为__________.
8．(2023·浙江温州·二模）袋子装有1个红球，2个白球，3个黑球，现从该袋子中任取（无放回，且每球取到的机会均等）两个球，取出一个红球得3分，取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.记随机变量为取出此两球所得分数之和，则_________，_________分.
0
1
2
P
？
!
？
X
0
1
2
P
b
X
1
2
3
4
P
p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
X
1
0
Y
2
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
0
1
2
P
1
2
3
4
1
2
3
4
X
0
1
2
P
m
n
m
专题14 计数原理、随机变量及其分布
第44练 离散型随机变量
1．(2023·湖南怀化·一模）已知的分布列如下表：
其中，尽管“!”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同.据此计算，下列各式中：①；②；③，正确的个数是（ ）
A．0B．1C．2D．3
答案：C
【解析】设“？”处的数据为则“!”处数据为 ,则,故
,
故选:C
2．(2023·四川·成都七中三模（理））一个袋中有m个红球，n个白球，p个黑球（，），从中任取1个球（每球取到的机会均等），设表示取出的红球个数，表示取出的白球个数，则
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意可知：随机变量的分布列如下图所示：
所以有,
，
随机变量的分布列如下图所示：
，
，
因为，所以，因此有，故本题选D.
3．(2023·湖南·模拟）第24届冬季奥林四克运动会于2022年2月4日至20日在北京和张家口举行．某特许产品100件，其中一等品98件，二等品2件，从中不放回的依次抽取10件产品（每次抽取1件）．甲表示事件“第一次取出的是一等品”，乙表示事件“第二次取出的是二等品”，记取出的二等品件数为X，则下列结论正确的是（ ）
A．甲与乙相互独立B．甲与乙互斥
C．D．
答案：D
【解析】解：由题意得：
对于选项A：事件甲发生与否影响事件乙的发生，故事件甲与乙不相互独立，故A错误；
对于选项B：事件甲事件乙可能同时发生，故B错误；
对于选项C，D：由条件知随机变量X服从超几何分布，且，故C错误，D正确．
故选：D．
4．(2023·浙江·湖州市菱湖中学模拟）设，随机变量的分布列为
则当在内增大时（ ）
A．增大B．减小C． 先减小后增大D．先增大后减小
答案：A
【解析】根据随机变量分布列的性质可知，
，
，
因为，所以单调递增，
故选：A
5．(2023·浙江·绍兴一中模拟）已知袋中有大小相同、质地均匀的黑色小球m个和白色小球个，从中任取3个，记随机变量为取出的3个球中黑球的个数，则（ ）
A．都与m有关B．与m有关，与m无关
C．与m无关，与m有关D．都与m无关
答案：C
【解析】由题可知：
，
，
故，
=
=．
故选：C．
6．(2023·河北·石家庄二中模拟）已知袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，现从中有放回地摸球8次（每次摸出一个球，放回后再进行下一次摸球），规定每次摸出红球计3分，摸出白球计0分，记随机变量表示摸球8次后的总分值，则（ ）
A．8B．C．D．16
答案：D
【解析】由题意，袋子中有除颜色外完全相同的4个红球和8个白球，从袋中随机取出一个球，该球为红球的概率为 ，现从中有放回地摸球8次，每次摸球的结果不会相互影响，表示做了8次独立重复试验，用表示取到红球的个数，则 故：

又因为 根据方差的性质可得：

故选：D
7．(2023·云南·一模（理））在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分.如果某运动员罚球命中的概率为0.7，设随机变量表示该运动员罚球1次的得分，则随机变量的数学期望__________.
答案：20
【解析】，
.
故答案为：
8．(2023·安徽·合肥市第八中学模拟（理））已知随机变量X的分布列为：
其中，随机变量X的期望为，则当取得最小值时，_________．
答案：
【解析】由题意得，
，
令，则，
令，令，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，
所以函数在处取得最小值，
即当时取得最小值.
故答案为：.
9．(2023·浙江省杭州学军中学模拟）袋子中有6个大小相同的黑球，5个同样大小的白球，现从中任取4个球，取出一个黑球记0分，取出一个白球记1分，表示取出的4个球的得分之和，求的数学期望______（数字作答）
答案：
【解析】解：由题意，的所有可能取值为0,1,2,3,4，
，，，，，
所以的数学期望，
故答案为：.
10．(2023·江苏常州·模拟）设随机变量的分布列如下：
且数列满足，则______________．
答案：5.5
【解析】解：令，2，3，，，
则，即，，2，3，，，
又，所以，
所以
故答案为：
1．(2023·河南·模拟（理））小林从A地出发去往B地，1小时内到达的概率为0.4，1小时10分到达的概率为0.3，1小时20分到达的概率为0.3.现规定1小时内到达的奖励为200元，若超过1小时到达，则每超过1分钟奖励少2元.设小林最后获得的奖励为X元，则（ ）
A．176B．182C．184D．186
答案：B
【解析】依题意可得X的可能值为200，180，160.
，，，
X的分布列为
所以.
故选：B.
2．(2023·浙江温州·三模）已知随机变量X，Y的分布列如下：
则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】，，，，，.
故选：D.
3．(2023·内蒙古包头·二模（理））设，随机变量的分布列如下表：
当a在内增大时，则（ ）
A．减小B．增大
C．先减小后增大D．先增大后减小
答案：A
【解析】由题意，，
所以，
所以在上随增大而减小．
故选：A
4．(2023·浙江省临安中学模拟）抛掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，设抛掷次数为随机变量，，2，若，，则（ ）
A．，B．，
C．，D．，
答案：A
【解析】解：抛掷一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上则停止抛掷，至多抛掷次，
设抛掷次数为随机变量，，2．，，
，的分布列为：
，
，
，的分布列为：
，
．
，．
故选：．
5．(2023·江苏·南京师大附中模拟）某同学在课外阅读时了解到概率统计中的马尔可夫不等式，该不等式描述的是对非负的随机变量和任意的正数，都有，其中是关于数学期望和的表达式.由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种.请你根据自己的理解，确定该形式为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】设非负随机变量的所有可能取值按从小到大依次为,对应的概率分别为设满足的有,,,因为,所以
故选：D
6．(2023·湖北省仙桃中学模拟）小明班的语文老师昨天报了一次听写，语文老师给了小明满分分，但实际上小明有一处写了个错别字，告诉了小王和小丁，错一处扣分，但小明自己不会给老师说，小王有的可能告诉老师，小丁有的可能告诉老师，他们都不会告诉其他同学，老师知道后就会把分扣下来，则最后小明的听写本上的得分期望（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可知的可能取值为：、，
则，，
因此，.
故选：D.
7．(2023·浙江·模拟）现有一摸球游戏，规则如下：袋子里有形状和大小完全一样的标有1～6号的6个小球，游戏参与者每次从袋中不放回地摸1个球，若摸到1号球或6号球得2分，摸到3号球、4号球或5号球得1分，摸到2号球得0分，若参与者摸到2号球或摸了三次后不管有没有摸到2号球游戏均结束．记随机变量X为参与者摸球结束后获得的分数，则X的数学期望是__________．
答案：
【解析】解：由题知X的可能取值：0，1，2，3，4，5，则
，
．
所以X的分布列为：
所以X的数学期望为：．
故答案为：．
8．(2023·山东·模拟）射击运动是用枪支对准目标打靶的竞技项目，该项目在世界上居于领先地位的国家有中国､美国､匈牙利､俄罗斯和德国射击运动可以培养细致､沉着､坚毅等优良品质，有益于身心健康.已知用于射击打靶的某型号步枪的弹夹中一共有发子弹，假设某人每次打靶的命中率均为0.8，靶场规定：一旦出现子弹脱靶或者子弹打光耗尽的现象便立刻停止射击，记标靶上的子弹数量为随机变量X，则X的数学期望为___________.
答案：
【解析】解：由题意的所有可能取值为：.
因为每次打靶的命中率均为0.8，
则，
所以X的分布列为
所以的数学期望为，
令，①
则，②
所以①②可得：
，
则；
故答案为：
9．(2023·重庆市育才中学模拟）某人共有三发子弹，他射击一次命中目标的概率是，击中目标后射击停止，射击次数X为随机变量，则方差______．
答案：
【解析】由题意知：，2，3，
，，，
∴的分布列为：
∴，，
∴.
故答案为：.
10．(2023·浙江·模拟）有个人在一楼进入电梯，楼上共有层，设每个人在任何一层出电梯的概率相等，并且各层楼无人再进电梯，设电梯中的人走空时电梯需停的次数为，则_________.
答案：
【解析】由题意知：大楼共层，
设随机变量，则，
，，
则的分布列如下：
，
.
故答案为：.
1．(2023·浙江绍兴·模拟）已知随机变量和的分布列如下图．
则（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】由题意得：，
;
,
,
故，
故选：D
2．(2023·陕西西安·三模（理））林老师等概率地从中抽取一个数字，记为X，叶老师等概率地从中抽取一个数字，记为Y，已知，其中（，）是的概率，其中，则（ ）
A．3B．5C．6D．8
答案：C
【解析】依题意，，，，，，，，，，，，
所以.
故选：C
3．(2023·云南·二模（理））某超市为庆祝开业举办酬宾抽奖活动，凡在开业当天进店的顾客，都能抽一次奖，每位进店的顾客得到一个不透明的盒子，盒子里装有红、黄、蓝三种颜色的小球共6个，其中红球2个，黄球3个，蓝球1个，除颜色外，小球的其它方面，诸如形状、大小、质地等完全相同，每个小球上均写有获奖内容，顾客先从自己得到的盒子里随机取出2个小球，然后再依据取出的2个小球上的获奖内容去兑奖．设X表示某顾客在一次抽奖时，从自己得到的那个盒子取出的2个小球中红球的个数，则X的数学期望（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由题意知：X的取值为0，1，2，，，，
故.
故选：C.
4．(2023·湖南岳阳·一模）（多选题）若随机变量服从两点分布，其中，则下列结论正确的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：AB
【解析】解：依题意，
所以， .
所以， ，
所以AB选项正确，CD选项错误.
故选：AB
5．(2023·山东·模拟）（多选题）已知m，n均为正数，随机变量X的分布列如下表：
则下列结论一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：BCD
【解析】解：由分布列的性质得，，，
当，时，，故选项A错误；
因为，故选项B正确；
因为m，n均为正数，所以，即，当且仅当时，等号成立，故选项C正确；
由，得.又，所以，故选项D正确.
故选：BCD.
6．(2023·浙江湖州·模拟）一个口袋里有形状一样仅颜色不同的5个小球，其中白色球3个，黑色球2个．若从中任取1个球，每次取球后都放回袋中，则事件“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率为_____________；若从中任取2个球，记所取球中白球可能被取到的个数为，则随机变量的期望为_____________．
答案：
【解析】“连续取球3次，恰好取到两次白球”的概率，
由题意，的可能值为，则，，，
所以.
故答案为：，.
7．(2023·天津市西青区杨柳青第一中学模拟）天津市某学校组织学生进行知识竞赛，规则为：每位参赛学生都要回答3个问题，且这3个问题回答正确与否相互之间互不影响，若每答对1个问题，得1分；答错，得0分，最后按照得分多少排出名次，并分设为一、二、三等奖给予奖励.已知对给出的3个问题，学生甲答对的概率分别为，，，则学生甲恰好答对1个问题的概率为__________；在上述条件下，设随机变量X表示学生甲答对题目的个数，则X的数学期望为__________.
答案：
【解析】设事件甲答对第个问题为，，
由已知可得，，，
事件学生甲恰好答对1个问题可以表示为，
又互斥，且，，两两相互独立，
所以

，
学生甲恰好答对1个问题的概率为，
由题意，随机变量的可能取值分别为：；
所以，
，
，
，
因此，.
故答案为：；.
8．(2023·浙江温州·二模）袋子装有1个红球，2个白球，3个黑球，现从该袋子中任取（无放回，且每球取到的机会均等）两个球，取出一个红球得3分，取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分.记随机变量为取出此两球所得分数之和，则_________，_________分.
答案：
【解析】解：根据题意可知随机变量可取，
，
，
，
，
所以（分）.
故答案为：；.
0
1
2
P
？
!
？
0
1
P
0
1
P
X
0
1
2
P
b
X
1
2
3
4
P
p
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
P
200
180
160
0.4
0.3
0.3
X
1
0
Y
2
P
0.5
0.5
P
0.5
0.5
0
1
2
P

1
2




1
2
3




X
0
1
2
3
4
5
P
0
1
2
…
…
1
2
3
1
2
3
4
1
2
3
4
X
0
1
2
P
m
n
m