高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第34练双曲线(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习小题多维练(新高考专用)第34练双曲线(原卷版+解析)，共22页。


1．(2023·安徽省舒城中学三模（理））若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·浙江省临安中学模拟）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
3．(2023·北京·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
4．(2023·山东临沂·二模）已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．(2023·重庆南开中学模拟）双曲线的渐近线方程为，则________．
6．(2023·河北邯郸·二模）若双曲线C：的一条渐近线与直线平行，则C的离心率为___．
7．(2023·河北石家庄·模拟）写出一条同时满足下列条件①②③的直线的方程：______．
①斜率小于0；
②在x轴上的截距大于0；
③与双曲线有且仅有一个公共点．
1．(2023·湖南衡阳·三模）已知双曲线C：的上、下焦点分别为F1，F2，点P在x轴上，线段PF1交C于Q点，△PQF2的内切圆与直线QF2相切于点M，则线段MQ的长为（ ）
A．1B．2C．D．
2．(2023·湖北·模拟）已知，是双曲线C：的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左支、右支分别交于A、B两点，，则双曲线C的离心率（ ）
A．B．2C．D．3
3．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
4．(2023·福建龙岩·模拟）已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
5．(2023·四川成都·模拟（文））某双曲线的实轴长为4，且经过，则该双曲线的离心率为_______________．
6．(2023·辽宁·鞍山一中模拟）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为______．
7．(2023·安徽·合肥一六八中学模拟（理））若过点作斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交点M，N，若，则此双曲线C的离心率是___________．
8．(2023·辽宁大连·二模）已知直线为双曲线的一条渐近线，则C的离心率为___________.
1．(2023·广东茂名·二模）已知双曲线C：﹣＝1的一条渐近线过点P（1，2），F为右焦点，|PF|＝b，则焦距为（ ）
A．3B．4C．5D．10
2．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断不正确的是（ ）
A．
B．E的离心率等于
C．若A，B为E上的两点且关于原点对称，则PA，PB的斜率存在时其乘积为2
D．的内切圆半径
3．(2023·广西柳州·模拟（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
4．(2023·山东潍坊·三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
5．（多选题）(2023·湖南湖南·二模）已知双曲线E：的左､右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（ ）
A．若，则
B．若，则双曲线的离心率
C．周长的最小值为8
D．△AOB（O为坐标原点）的面积为定值
6．（多选题）(2023·山东烟台·一模）已知双曲线C：，，为C的左、右焦点，则（ ）
A．双曲线和C的离心率相等
B．若P为C上一点，且，则的周长为
C．若直线与C没有公共点，则或
D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得
7．（多选题）(2023·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为､，左､右顶点分别为､，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则（ ）
A．
B．若焦点关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为
C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1
D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则
8．(2023·福建·三明一中模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，若直线与另一条渐近线交于点，且，则___________；的周长为___________．
9．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）已知双曲线：，直线：．若直线平行双曲线的一条渐近线，则______；若在直线上存在点满足：过点能向双曲线引两条互相垂直的切线，则双曲线的离心率取值范围是______．
10．(2023·湖北武汉·模拟）已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.
专题11 圆锥曲线的方程
第34练 双曲线
1．(2023·安徽省舒城中学三模（理））若双曲线(a＞0，b＞0)的离心率为2，则其两条渐近线所成的锐角为（ ）
A．B．C．D．
答案：A
【解析】因为双曲线的渐近线方程为，而，所以，
故两条渐近线中一条的倾斜角为，一条的倾斜角为，它们所成的锐角为．
故选：A．
2．(2023·浙江省临安中学模拟）双曲线的焦点坐标为（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】由题意可知，，，
所以，即，
因为双曲线的焦点在轴，
所以焦点坐标为，
故选：D.
3．(2023·北京·二模）已知双曲线的一条渐近线方程为，则C的离心率为（ ）
A．B．C．2D．
答案：A
【解析】由题设双曲线渐近线为，而其中一条为，
所以，则，故C的离心率为.
故选：A
4．(2023·山东临沂·二模）已知双曲线的焦距为，实轴长为4，则C的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
答案：C
【解析】由已知得，双曲线的焦点在轴上，
双曲线的焦距，解得，
双曲线的是实轴长为，解得，
则，
即双曲线C的渐近线方程为，
故选：.
5．(2023·重庆南开中学模拟）双曲线的渐近线方程为，则________．
答案：
【解析】由表示双曲线，可知，
化为标准方程为，
所以，，
所以，，
所以，所以.
故答案为：.
6．(2023·河北邯郸·二模）若双曲线C：的一条渐近线与直线平行，则C的离心率为___．
答案：
【解析】双曲线C：的渐近线方程为 ，与渐近线平行，故可得 ，所以离心率为
故答案为：
7．(2023·河北石家庄·模拟）写出一条同时满足下列条件①②③的直线的方程：______．
①斜率小于0；
②在x轴上的截距大于0；
③与双曲线有且仅有一个公共点．
答案：（答案不唯一）
【解析】双曲线的渐近线方程为.
当直线方程为时，显然与双曲线有且仅有一个公共点，
要想满足①，直线方程可以是，
要想满足②，只需上述方程中，显然直线方程满足，即
故答案为：
1．(2023·湖南衡阳·三模）已知双曲线C：的上、下焦点分别为F1，F2，点P在x轴上，线段PF1交C于Q点，△PQF2的内切圆与直线QF2相切于点M，则线段MQ的长为（ ）
A．1B．2C．D．
答案：D
【解析】∵，则
如图，设△PQF2的内切圆与直线P F1，PF2相切于点N，E，
则
，即
则
即
∴，即
故选：D．
2．(2023·湖北·模拟）已知，是双曲线C：的左右焦点，过的直线l与双曲线C的左支、右支分别交于A、B两点，，则双曲线C的离心率（ ）
A．B．2C．D．3
答案：C
【解析】∵，则
即边的中线与边垂直，则
同理可知为正三角形，
∴，取AB中点D，，，
∵，则，整理得
∴
故选：C．
3．(2023·江苏·南京市天印高级中学模拟）如图，某建筑物白色的波浪形屋顶像翅膀一样漂浮，建筑师通过双曲线的设计元素赋予了这座建筑以轻盈，极简和雕塑般的气质，该建筑物外形弧线的一段可以近似看成焦点在y轴上的双曲线上支的一部分.已知该双曲线的上焦点F到下顶点的距离为18，F到渐近线的距离为6，则该双曲线的离心率为（ ）.
A．B．C．D．
答案：B
【解析】点的到渐近线，即的距离，
又由题知，解得，所以.
故选：B.
4．(2023·福建龙岩·模拟）已知双曲线的右顶点､右焦点分别为A，F，过点A的直线l与C的一条渐近线交于点Q，直线与C的一个交点为B，若，且，则的值为（ ）
A．2B．C．D．
答案：B
【解析】∵，整理得：，即
∴
不妨设，根据结合比例易得
则，解得
∴
故选：B．
5．(2023·四川成都·模拟（文））某双曲线的实轴长为4，且经过，则该双曲线的离心率为_______________．
答案：
【解析】由题意知，故双曲线的标准方程为或，分别将代入，得双曲线的标准方程为，故离心率为．
6．(2023·辽宁·鞍山一中模拟）与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程为______．
答案：
【解析】由可得焦点坐标为，
由题意设双曲线方程为，则
，得，
所以，
所以双曲线方程为，
故答案为：
7．(2023·安徽·合肥一六八中学模拟（理））若过点作斜率为1的直线与双曲线的两条渐近线交点M，N，若，则此双曲线C的离心率是___________．
答案：
【解析】由题意，直线的方程为，
又由双曲线，可得其渐近线方程为，
联立方程组和，分别解得，
因为，可得，即，解得，
所以双曲线的离心率为.
故答案为：.
8．(2023·辽宁大连·二模）已知直线为双曲线的一条渐近线，则C的离心率为___________.
答案：
【解析】解：因为直线是双曲线的一条渐近线，
所以，
所以C的离心率为，
故答案为：
1．(2023·广东茂名·二模）已知双曲线C：﹣＝1的一条渐近线过点P（1，2），F为右焦点，|PF|＝b，则焦距为（ ）
A．3B．4C．5D．10
答案：D
【解析】解：由题意可知，双曲线C的渐近线方程为，
P（1，2）在一条渐近线上，所以，进而可得，
由|PF|＝b，可得．
∴,∴，
∴，解得c＝5．2c＝10
故选：D.
2．(2023·辽宁·渤海大学附属高级中学模拟）已知，是双曲线的左、右焦点，过作倾斜角为的直线分别交y轴、双曲线右支于点M、点P，且，下列判断不正确的是（ ）
A．
B．E的离心率等于
C．若A，B为E上的两点且关于原点对称，则PA，PB的斜率存在时其乘积为2
D．的内切圆半径
答案：D
【解析】如图所示，
因为M，O分别是，的中点，所以中，，所以轴，
A选项中，因为直线的倾斜角为，所以，故A正确；
B选项中，中，，，，
所以，得：，故B正确；
C选项中，A，B关于原点对称，可设，，，根据得：，所以当斜率存在时，，，，因为A，B在双曲线上，所以，即，得：，所以，故C正确；
D选项中，的周长为，设内切圆为r，根据三角形的等面积法，有，得：，是与c有关的式子，所以D错误.
故选：D.
3．(2023·广西柳州·模拟（理））如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则E的离心率为（ ）
A．B．C．D．
答案：B
【解析】依题意，直线都过点，如图，有，，
设，则，显然有，，
，因此，，在，，
即，解得，即，令双曲线半焦距为c，在中，，即，解得，
所以E的离心率为.
故选：B
4．(2023·山东潍坊·三模）已知双曲线的左，右顶点分别是，，圆与的渐近线在第一象限的交点为，直线交的右支于点，若△是等腰三角形，且的内角平分线与轴平行，则的离心率为（ ）
A．2B．C．D．
答案：B
【解析】联立且在第一象限，可得，而，，
所以，，
由题设，，故△是等腰直角三角形，
所以，而的内角平分线与轴平行，
所以，又，可得，
则，可得，
所以.
故选：B
5．（多选题）(2023·湖南湖南·二模）已知双曲线E：的左､右焦点分别为，，过点作直线与双曲线E的右支相交于P，Q两点，在点P处作双曲线E的切线，与E的两条渐近线分别交于A，B两点，则（ ）
A．若，则
B．若，则双曲线的离心率
C．周长的最小值为8
D．△AOB（O为坐标原点）的面积为定值
答案：ACD
【解析】由题意知，，则，所以有，从而，，故A正确.
在中，由正弦定理得，则在，解得.又，所以，整理得，所以，解得，故B错误.
当直线PQ垂直x轴时，的最小值为，
，故C正确.
设，过点P的双曲线E的切线方程为，E的渐近线方程为，不妨设切线与渐近线的交点为A，联立方程组，解得，即
，同理可得.
又因为点P在双曲线E上，则有，，故点P是AB的中点.设切线与x轴的交点为G，易知，所以，所以，故D正确.
故选：ACD.
6．（多选题）(2023·山东烟台·一模）已知双曲线C：，，为C的左、右焦点，则（ ）
A．双曲线和C的离心率相等
B．若P为C上一点，且，则的周长为
C．若直线与C没有公共点，则或
D．在C的左、右两支上分别存在点M，N使得
答案：BC
【解析】选项A：双曲线C：的离心率
双曲线的离心率
则双曲线和C的离心率不一定相等.判断错误；
选项B：P为C：上一点，且
则有，整理得
则的周长为.判断正确；
选项C：由，可得
由题意可知，方程无解
当时，方程有解；
当时，则有，解之得或
故若直线与C没有公共点，则或.判断正确；
选项D：根据题意，过双曲线C的左焦点的直线方程可设为
令，由，可得
由，可得
则有，则有，
整理得，显然不成立.
当过双曲线C的左焦点的直线为水平直线时，方程为
则，，即.
综上可知，不存在分别在C的左、右两支上M，N使得.判断错误.
故选：BC
7．（多选题）(2023·山东济宁·一模）已知双曲线的左､右焦点分别为､，左､右顶点分别为､，点P是双曲线C上异于顶点的一点，则（ ）
A．
B．若焦点关于双曲线C的渐近线的对称点在C上，则C的离心率为
C．若双曲线C为等轴双曲线，则直线的斜率与直线的斜率之积为1
D．若双曲线C为等轴双曲线，且，则
答案：BCD
【解析】对于A,在中，根据三角形两边之差小于第三边，
故 ，故A错误；
对于B，焦点，渐近线不妨取 ，即，
设关于双曲线C的渐近线的对称点为 ，则 ，
即得 ，即关于双曲线C的渐近线的对称点为，
由题意该点在双曲线上，故 ，将 代入，
化简整理得： ，即 ，
所以 ，故 ，故B正确；
对于C,双曲线C为等轴双曲线，即,
设 ，则，则，
故 ，故C正确；
对于D, 双曲线C为等轴双曲线，即,
且,设，
则 ，
根据C的结论，即有 ，
在三角形中，只有两角互余时，它们的正切值才互为倒数，
故 ，故D正确；
故选：BCD
8．(2023·福建·三明一中模拟）已知双曲线的左、右焦点分别为、，过作的一条渐近线的垂线，垂足为，连接，若直线与另一条渐近线交于点，且，则___________；的周长为___________．
答案：
【解析】双曲线的渐近线方程为，如下图所示：
不妨设点在第三象限，则直线的方程为，
因为，则，
，则为的中点，又因为为的中点，则，
所以，，即，则，，解得，
所以，，即直线的倾斜角为，，则，
，
在中，，，，
由余弦定理可得，
因此，的周长为.
故答案为：；.
9．(2023·湖南·邵阳市第二中学模拟）已知双曲线：，直线：．若直线平行双曲线的一条渐近线，则______；若在直线上存在点满足：过点能向双曲线引两条互相垂直的切线，则双曲线的离心率取值范围是______．
答案： 2；
【解析】双曲线的渐近线方程为：，
因为直线平行双曲线的一条渐近线，
所以有；
设过点且与双曲线相切的直线方程为，，
由，可得，
即为，
，
化简可得，
即，两根设为，，，
即为，
即为，看做关于的方程，，
可得，而，所以有，
所以双曲线的离心率．
故答案为：2；．
10．(2023·湖北武汉·模拟）已知，，是双曲线C：的左右焦点，过的直线与双曲线左支交于点A，与右支交于点B，与内切圆的圆心分别为，，半径分别为，，则的横坐标为__________；若，则双曲线离心率为__________.
答案： 2
【解析】
如图，在中，圆为内切圆，切点分别为，
故，
又是双曲线上的一点，故，即，
又，故，则.
故的内切圆的圆心横坐标为，
同理可得，的内切圆的圆心横坐标为，即；
又，则，
即，解得.
故答案为：；2.