高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.4直线、平面平行的判定及性质(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题8.4直线、平面平行的判定及性质(真题测试)(原卷版+解析)，共30页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（山东·高考真题（文））在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
2.（2023·山东·高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
3.（2023·全国高考真题（理））设，β为两个平面，则∥β的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与β平行
B．内有两条相交直线与β平行
C．，β平行于同一条直线
D．，β垂直于同一平面
4.(2023·北京高考真题（理））设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
5．(2023·山东省莱西市第一中学高一期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（ ）
A．若，，，则
B．若，，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（ ）
A．B．
C．D．
7．(2023·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ）
A．B．
C．D．
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
二、多选题
9．(2023·湖南省临澧县第一中学二模）如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（ ）
A．F为的中点B．F为的中点C．F为的中点D．F为的中点
10.（2023·全国·高三专题练习）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（ ）
A．B．DE∥平面ABFG
C．平面BDE∥平面AFHD．BE∥平面DGC
11．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设，β为两个平面，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A．异面直线a，b满足∥，∥
B．α内有两条相交直线与平面β均无交点
C．α，β与直线l都垂直
D．α内有无数个点到β的距离相等
12．(2023·辽宁锦州·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，点P，Q，R分别在棱，，上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正确的是（ ）
A．任意点P，都有
B．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形
C．存在点P，使得平面APQR
D．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为______．
14．（2023·河南省杞县高中高三阶段练习（理））已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，且，，则；
④若，为异面直线，且，，，，则．
其中正确命题的序号是______．
15．(2023·山西长治·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是______.
16．(2023·陕西·西安中学三模（文））在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
19．（2023·全国·高考真题（文））如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
（1）当时，；
（2）点在平面内．
20．(2023·全国·高考真题（文））如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
21．(2023·全国·高考真题（文））如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
22．(2023·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
专题8.4 直线、平面平行的判定及性质（真题测试）
一、单选题
1．（山东·高考真题（文））在空间，下列命题正确的是（ ）
A．平行直线的平行投影重合
B．平行于同一直线的两个平面平行
C．垂直于同一平面的两个平面平行
D．垂直于同一平面的两条直线平行
答案：D
【解析】
【详解】
试题分析：A选项直线可能平行；B选项平面可能相交；C选项两个平面可能相交；D选项正确.
2.（2023·山东·高考真题）已知，表示平面，，表示直线，以下命题中正确的选项是（ ）
A．假设，，那么
B．假设，，，那么
C．假设，，那么
D．假设，，，，那么
答案：C
分析：
根据线面垂直的性质定理，可判断A；根据面面平行的性质定理，可判断B、C；根据面面平行的判定定理，可判定D
【详解】
选项A：假设，，那么或在内，故选项A错误；
选项B：假设，，，那么或与异面，故选项B错误；
选项D：假设，，，，且、相交才能判定，故选项C错误；
选项C：依照两平面平行的性质可知C正确．
故选：C
3.（2023·全国高考真题（理））设，β为两个平面，则∥β的充要条件是（ ）
A．内有无数条直线与β平行
B．内有两条相交直线与β平行
C．，β平行于同一条直线
D．，β垂直于同一平面
答案：B
【解析】
由面面平行的判定定理知：内两条相交直线都与平行是的充分条件，由面面平行性质定理知，若，则内任意一条直线都与平行，所以内两条相交直线都与平行是的必要条件，故选B．
4.(2023·北京高考真题（理））设，是两个不同的平面，是直线且．“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
答案：B
【解析】
，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．
5．(2023·山东省莱西市第一中学高一期中）已知，为两条不同的直线，，为两个不同的平面，下列四个命题中，正确的为（ ）
A．若，，，则
B．若，，且，，则
C．若，，则
D．若，，，则
答案：D
【解析】
分析：
根据线面垂直与面面垂直的性质和判断定理逐项分析即可求出结果.
【详解】
对于A：若，，, 与可能平行，也可能异面故，故A错误.
对于B：若，，且，，当时，平面 与可能平行，也可能相交，故B错误.
对于C：若，，直线与平面可能平行，可能相交，也可能，故C错误.
对于D：若，，，则，故D正确.
故选：D.
6．（2023·全国·高三专题练习）如图，在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线不平行于平面的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
利用线面平行的判定定理逐项判断可得出合适的选项.
【详解】
对于A选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，则，所以，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于B选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，所以，，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于C选项，连接，如下图所示：
因为且，所以，四边形为平行四边形，所以，，
、分别为、的中点，所以，，，
因为平面，平面，所以，平面；
对于D选项，连接、交于点，则为的中点，设，连接，
因为、分别为、的中点，则，
若平面，平面，平面平面，则，
在平面内，过该平面内的点作直线的平行线，有且只有一条，与题设矛盾.
假设不成立，故D选项中的直线与平面不平行.
故选：D.
7．(2023·江苏·高一课时练习）下列四个正方体中，、、为所在棱的中点，则能得出平面平面的是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
利用反证法可判断A选项；利用面面平行的判定定理可判断B选项；利用反证法结合面面平行的性质可判断C选项；利用面面平行的判定和性质定理、结合反证法可判断D选项.
【详解】
对于A选项，若平面平面，平面，则平面，
由图可知与平面相交，故平面与平面不平行，A不满足条件；
对于B选项，如下图所示，连接，
因为、分别为、的中点，则，
在正方体中，且，
故四边形为平行四边形，所以，，，
平面，平面，平面，
同理可证平面，，因此，平面平面，B满足条件；
对于C选项，如下图所示：
在正方体中，若平面平面，且平面平面，
则平面平面，但这与平面与平面相交矛盾，
因此，平面与平面不平行，C不满足条件；
对于D选项，在正方体中，连接、、，如下图所示：
因为且，则四边形为平行四边形，则，
平面，平面，所以，平面，
同理可证平面，，所以，平面平面，
若平面平面，则平面平面，
这与平面与平面相交矛盾，故平面与平面不平行，D不满足条件.
故选：B.
8．（2023·全国·高三专题练习）如图，在棱长为1的正方体中，为棱的中点，为正方形内一动点（含边界），若平面，则线段长度的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
过作平面与平面平行，则在平面与平面的交线上，即可求出.
【详解】
如图，取中点，中点，连接，
所以，正方体中，易得，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为为中点，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为，所以平面平面，
因为平面，所以平面，
又为正方形内一动点（含边界），所以在线段上，
可得,
则当在中点时，取得最小值为，
当在两端时，取得最大值为，
所以长度的取值范围是.
故选：D.
二、多选题
9．(2023·湖南省临澧县第一中学二模）如图，在正方体中，E为的中点，则下列条件中，能使直线平面的有（ ）
A．F为的中点B．F为的中点C．F为的中点D．F为的中点
答案：ACD
【解析】
分析：
取棱的中点，说明与共面，证明平面平面，即可得．
【详解】
如图，分别是棱的中点，易证与共面，由，平面，平面，则平面，同理平面，而是平面内相交直线，则得平面平面，平面，则平面，观察各选项，ACD满足，
故选：ACD．
10.（2023·全国·高三专题练习）下图是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中正确的关系有（ ）
A．B．DE∥平面ABFG
C．平面BDE∥平面AFHD．BE∥平面DGC
答案：BC
【解析】
分析：
还原为原正方体如图，结合异面直线的定义判断A；利用线面平行的判定定理判断B、D；利用面面平行的判定定理判断C.
【详解】
还原为原正方体如图所示，
由图可知，与异面，故A错误；
因为，平面，
所以平面，故B正确；
因为，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面，
而，平面，
所以平面平面，故C正确；
因为，与平面相交，
所以与平面相交，故D错误.
故选：BC.
11．(2023·重庆巴蜀中学高三阶段练习）设，β为两个平面，下列选项中是“”的充分条件的是（ ）
A．异面直线a，b满足∥，∥
B．α内有两条相交直线与平面β均无交点
C．α，β与直线l都垂直
D．α内有无数个点到β的距离相等
答案：BC
【解析】
分析：
AD选项可举出反例，BC选项可以通过，面面平行的判定及线面垂直的性质进行证明.
【详解】
A选项，如图，直线BC为a，直线EF为b，平面ADHE为，平面CDHG为β，满足∥，∥，而，β为相交平面，A错误；
B选项，设α内两条相交直线为均与平面β无交点，即∥β，n∥β，又，且为相交直线，故α∥β，B正确；
C选项，α，β与直线l都垂直，不妨设l与α内有两条相交直线均垂直，则在平面β内存在相交直线与l都垂直，且m∥a，n∥b，因为α，所以m∥α，同理可知n∥α，由于为相交直线，故可知α∥β，C正确；
D选项，α内有无数个点到β的距离相等，这无数个点可能来自于同一条直线，此时不能推导出α∥β，D错误.
故选：BC
12．(2023·辽宁锦州·一模）如图，在直四棱柱中，，，，，点P，Q，R分别在棱，，上，若A，P，Q，R四点共面，则下列结论正确的是（ ）
A．任意点P，都有
B．存在点P，使得四边形APQR为平行四边形
C．存在点P，使得平面APQR
D．存在点P，使得△APR为等腰直角三角形
答案：AC
【解析】
分析：
根据面面平行的性质，结合假设法逐一判断即可.
【详解】
对于A：由直四棱柱，，
所以平面平面，
又因为平面平面，平面平面，
所以，故A正确；
对于B：若四边形为平行四边形，则，
而与不平行，即平面与平面不平行，
所以平面平面，平面平面，
直线与直线不平行，
与矛盾，
所以四边形不可能是平行四边形，故B不正确；
对于C：当时，为时，满足平面，故C正确.
对于D：假设存在点，使得为等腰直角三角形，令，
过点作，则，在线段上取一点使得，连接，则四边形为矩形，所以，
则，
，
显然，
若由，则且四边形为平行四边，
所以，无解，故D错误；
故选：AC.
三、填空题
13．（2023·全国·高三专题练习）在三棱锥A－BCD中，AB＝CD＝2，过BC中点E的截面与AB，CD都平行，则截面的周长为______．
答案：4
【解析】
分析：
根据线面平行的性质，结合平行线的性质进行求解即可.
【详解】
设的中点分别为，连接，
根据三角形中位线定理，可得：，
，
所以有，因此四边形是平行四边形，
因为，平面，平面，
所以平面，
同理平面，
因此平行四边形的周长为，
故答案为：
14．（2023·河南省杞县高中高三阶段练习（理））已知，是两条直线，、、是三个不同的平面，给出下列命题：
①若，，则；
②若，，则；
③若，，且，，则；
④若，为异面直线，且，，，，则．
其中正确命题的序号是______．
答案：②④
【解析】
分析：
作出一个正方体，进而根据各个面的位置关系并结合条件可以判断①；
根据线面垂直的性质定理可以判断②；
根据面面平行的判定定理可以判断③④.
【详解】
如图1，记平面为平面，平面，平面，显然，，但.所以①错误；
垂直于同一条直线的两个平面平行.所以②正确；
一个平面内的两条相交直线平行于另一个平面，则这两个平面平行.所以③错误；
如图2，因为，过m作平面，使得，所以，易知，所以，又异面，则相交，设交点为M，又，，所以.所以④正确.
故答案为：②④.
15．(2023·山西长治·模拟预测（理））如图，在三棱锥中，平面平行于对棱，截面面积的最大值是______.
答案：
【解析】
分析：
由线面平行的性质可得、且、，易得为平行四边形，结合有为矩形，进而设，由已知求、关于的表达式，即可得面积关于的函数，利用二次函数性质求最值即可.
【详解】
由题设，面，又面，面面，
所以，同理可证，故，
又面，又面，面面，
所以，同理可证，故，
故为平行四边形，又，即，则为矩形，
若，则，又，
所以，，又面积为，
所以，故当时.
故答案为：.
16．(2023·陕西·西安中学三模（文））在棱长为2的正方体中，点E、F分别是棱BC，的中点，P是侧面四边形内(不含边界)一点，若平面AEF，则线段长度的取值范围是________.
答案：
【解析】
分析：
作出过点平行于平面的平面与平面的交线，确定动点P的位置，再借助三角形计算作答.
【详解】
在正方体中，取的中点M，N，连，如图，
因点E、F分别是棱BC，的中点，则，平面，平面，则有平面，
显然为矩形，有，，即有为平行四边形，
则，而平面，平面，有平面，
，平面，因此，平面平面，因平面AEF，
则有平面，又点P在平面，平面平面，
从而得点P在线段MN上（不含端点），在中，，，
等腰底边MN上高，于是得，
所以线段长度的取值范围是.
故答案为：
【点睛】
方法点睛：作截面的常用三种方法：直接法，截面的定点在几何体的棱上；平行线法，截面与几何体的两个平行平面相交，
或者截面上有一条直线与几何体的某个面平行；延长交线得交点，截面上的点中至少有两个点在几何体的同一平面上.
四、解答题
17．（2023·全国·高三专题练习）如图，在直棱柱中，点E，F分别为，BC的中点，点G是线段AF上的动点．确定点G的位置，使得平面平面，并给予证明
答案：G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面，证明见解析
【解析】
分析：
根据平行四边形可可得线线平行，由线线平行可证明线面平行，进而可证明面面平行.确定点的位置.
【详解】
证明：如图所示：
取AB中点D，连接CD交AF于G，即G为的重心（或G为线段AF靠近F的三等分点等）时，平面平面．
证明：连接DE．
因为在三棱柱中，D，E分别为AB，的中点，
所以，且，则四边形是平行四边形，
故．
又平面，平面
所以平面．
因为在三棱柱中，D，E分别是AB，的中点，
则且，四边形是平行四边形，
所以．又平面，平面，
所以平面．
又平面，平面，，
所以平面平面．
18．（2023·全国·高三专题练习）如图，在正方体中，为的中点，为的中点．
(1)求证：平面；
(2)求证：平面平面．
答案：(1)证明见解析
(2)证明见解析
【解析】
分析：
（1）连接交于点，利用中位线的性质可得出，利用线面平行的判定定理可证得结论成立；
（2）证明出平面，利用面面平行的判定定理可证得结论成立.
（1）证明：连接交于点，则为的中点，因为为的中点，则，平面，平面，因此，平面.
（2）证明：因为且，为的中点，为的中点，所以，，，所以，四边形为平行四边形，所以，，平面，平面，所以，平面，因为，因此，平面平面.
19．（2023·全国·高考真题（文））如图，在长方体中，点，分别在棱，上，且，．证明：
（1）当时，；
（2）点在平面内．
答案：（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
分析：
（1）根据正方形性质得，根据长方体性质得,进而可证平面,即得结果；
（2）只需证明即可，在上取点使得,再通过平行四边形性质进行证明即可.
【详解】
（1）因为长方体,所以平面,
因为长方体,所以四边形为正方形
因为平面,因此平面,
因为平面,所以；
（2）在上取点使得,连,
因为,所以
所以四边形为平行四边形，
因为所以四点共面，所以四边形为平行四边形， ，所以四点共面，
因此在平面内
20．(2023·全国·高考真题（文））如图，已知正三棱锥P-ABC的侧面是直角三角形，PA=6，顶点P在平面ABC内的正投影为点D，D在平面PAB内的正投影为点E，连结PE并延长交AB于点G.
（Ⅰ）证明：G是AB的中点；
（Ⅱ）在图中作出点E在平面PAC内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体PDEF的体积．
答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）作图见解析，体积为.
【解析】
【详解】
试题分析：证明由可得是的中点.（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.根据正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得在等腰直角三角形中，可得四面体的体积
试题解析：（Ⅰ）因为在平面内的正投影为，所以
因为在平面内的正投影为，所以
所以平面，故
又由已知可得，，从而是的中点.
（Ⅱ）在平面内，过点作的平行线交于点，即为在平面内的正投影.
理由如下：由已知可得，，又,所以,因此平面，即点为在平面内的正投影.
连结，因为在平面内的正投影为，所以是正三角形的中心.
由（Ⅰ）知，是的中点，所以在上，故
由题设可得平面，平面，所以，
因此
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且，可得
在等腰直角三角形中，可得
所以四面体的体积
21．(2023·全国·高考真题（文））如图，四棱锥中，平面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（I）证明平面；
（II）求四面体的体积.
答案：(Ⅰ)证明见解析；(Ⅱ).
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）取的中点，然后结合条件中的数据证明四边形为平行四边形，从而得到，由此结合线面平行的判断定理可证；（Ⅱ）由条件可知四面体N-BCM的高，即点到底面的距离为棱的一半，由此可顺利求得结果．
试题解析：（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，由为中点知，.
又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是.
因为平面，平面，所以平面.
（Ⅱ）因为平面，为的中点，
所以到平面的距离为.
取的中点，连结.由得，.
由得到的距离为，故.
所以四面体的体积.
【考点】直线与平面间的平行与垂直关系、三棱锥的体积
【技巧点拨】（1）证明立体几何中的平行关系，常常是通过线线平行来实现，而线线平行常常利用三角形的中位线、平行四边形与梯形的平行关系来推证；（2）求三棱锥的体积关键是确定其高，而高的确定关键又找出顶点在底面上的射影位置，当然有时也采取割补法、体积转换法求解．
22．(2023·全国·高考真题（文））小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图所示：底面是边长为8（单位：）的正方形，均为正三角形，且它们所在的平面都与平面垂直．
(1)证明：平面；
(2)求该包装盒的容积（不计包装盒材料的厚度）．
答案：(1)证明见解析；
(2)．
【解析】
分析：
（1）分别取的中点，连接，由平面知识可知，，依题从而可证平面，平面，根据线面垂直的性质定理可知，即可知四边形为平行四边形，于是，最后根据线面平行的判定定理即可证出；
（2）再分别取中点，由（1）知，该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍，即可解出．
(1)
如图所示：，
分别取的中点，连接，因为为全等的正三角形，所以，，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，同理可得平面，根据线面垂直的性质定理可知，而，所以四边形为平行四边形，所以，又平面，平面，所以平面．
(2)
如图所示：，
分别取中点，由（1）知，且，同理有，，，，由平面知识可知，，，，所以该几何体的体积等于长方体的体积加上四棱锥体积的倍．
因为，，点到平面的距离即为点到直线的距离，，所以该几何体的体积．