高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.1平面向量的概念及其运算(真题测试)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.1平面向量的概念及其运算(真题测试)(原卷版+解析)，共19页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．（2023·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
2．(2023·全国·高考真题（文））已知向量满足，，则
A．4B．3C．2D．0
3．（2023·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
5．（2023·全国·高考真题（理））已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
6．（2023·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
7．(2023·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A．B．C．2D．
8．(2023·天津·高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为
A．B．
C．D．0
二、多选题
9．(2023·全国·高三专题练习）下列命题中，不正确的是（ ）
A．若为单位向量，且，则
B．若，，则
C．
D．若平面内有四点，则必有
10．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在中，为中点，且，则（ ）
A．B．
C．∥D．
11．(2023·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
12．(2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
14．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
15．（2023·浙江省高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
16．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
四、解答题
17．（2023·辽宁大连·高三学业考试）已知，，与的夹角为，，，当实数为何值时，.
18．(2023·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
19．(2023·浙江·高三专题练习）已知，，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
20．(2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，，，E是BC边的中点.
(1)试用，表示，；
(2)求的值.
21．（2023·西藏·拉萨那曲高级中学高三期中（文））设两个非零向量与不共线．
(1)若，，，判断A，B，D三点是否共线？
(2)试确定实数，使和同向．
22．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.
(1)若与垂直，求的大小；
(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.
专题6.1 平面向量的概念及其运算（真题测试）
一、单选题
1．（2023·山东·高考真题）已知平行四边形，点，分别是，的中点（如图所示），设，，则等于（ ）
A．B．C．D．
答案：A
分析：
利用向量的线性运算，即可得到答案；
【详解】
连结，则为的中位线，
，
故选：A
2．(2023·全国·高考真题（文））已知向量满足，，则
A．4B．3C．2D．0
答案：B
【解析】
【详解】
分析：根据向量模的性质以及向量乘法得结果.
详解：因为
所以选B.
3．（2023·海南·高考真题）已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：A
【解析】
分析：
首先根据题中所给的条件，结合正六边形的特征，得到在方向上的投影的取值范围是，利用向量数量积的定义式，求得结果.
【详解】
的模为2，根据正六边形的特征，
可以得到在方向上的投影的取值范围是，
结合向量数量积的定义式，
可知等于的模与在方向上的投影的乘积，
所以的取值范围是，
故选：A.
4．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
答案：B
【解析】
分析：
考虑两者之间的推出关系后可得两者之间的条件关系.
【详解】
如图所示，,当时，与垂直，，所以成立，此时，
∴不是的充分条件，
当时，，∴,∴成立，
∴是的必要条件，
综上，“”是“”的必要不充分条件
故选：B.
5．（2023·全国·高考真题（理））已知向量 ，满足， ，，则（ ）
A．B．C．D．
答案：D
【解析】
分析：
计算出、的值，利用平面向量数量积可计算出的值.
【详解】
，，，.
，
因此，.
故选：D.
6．（2023·全国·高考真题（文））已知非零向量满足，且，则与的夹角为
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
本题主要考查利用平面向量数量积计算向量长度、夹角与垂直问题，渗透了转化与化归、数学计算等数学素养．先由得出向量的数量积与其模的关系，再利用向量夹角公式即可计算出向量夹角．
【详解】
因为，所以=0，所以，所以=，所以与的夹角为，故选B．
7．(2023·浙江·高考真题）已知、、是平面向量，是单位向量．若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是
A．B．C．2D．
答案：A
【解析】
分析：
先确定向量、所表示的点的轨迹，一个为直线，一个为圆，再根据直线与圆的位置关系求最小值.
【详解】
设，
则由得，
由得
因此，的最小值为圆心到直线的距离减去半径1，为选A.
8．(2023·天津·高考真题（文））在如图的平面图形中，已知,则的值为
A．B．
C．D．0
答案：C
【解析】
【详解】
分析：连结MN，结合几何性质和平面向量的运算法则整理计算即可求得最终结果.
详解：如图所示，连结MN，
由 可知点分别为线段上靠近点的三等分点，
则，
由题意可知：
，，
结合数量积的运算法则可得：
.
本题选择C选项.
二、多选题
9．(2023·全国·高三专题练习）下列命题中，不正确的是（ ）
A．若为单位向量，且，则
B．若，，则
C．
D．若平面内有四点，则必有
答案：ABC
【解析】
分析：
由共线向量的特征可知AB错误；由向量数量积运算的定义可知C错误；由向量线性运算可知D正确.
【详解】
对于A，，与同向或反向，或，A错误；
对于B，若，则，，但与可能不共线，B错误；
对于C，，C错误；
对于D，，，D正确.
故选：ABC.
10．(2023·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）在中，为中点，且，则（ ）
A．B．
C．∥D．
答案：BC
【解析】
分析：
由已知条件可得点为的重心，然后由三角形的重心的性质逐个分析判断即可
【详解】
因为，则三点共线，且，
又因为为中线，所以点为的重心，
连接并延长交于，则为的中点，
所以，
所以∥
故选：BC．
11．(2023·辽宁丹东·模拟预测）已知，，为单位向量，若，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
【解析】
分析：
对移项后平方可得出：，，，对于A，，代入即可判断A；由可判断B；由，可判断C；由代入即可判断D.
【详解】
因为，，为单位向量，所以，由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；由，则，两边同时平方得：，所以；
对于A，，故A正确；
对于B，因为，所以为反向共线的向量，故B错误；
对于C，，故C正确；
对于D，
，所以D错误；
故选：AC.
12．(2023·全国·高三专题练习）对于给定的，其外心为O，重心为G，垂心为H，内心为Q，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．若A、P、Q三点共线，则存在实数使
答案：BCD
【解析】
分析：
直接利用三角形的内心，外心，垂心，重心的相关关系，向量的线性运算的应用判断A、B、C、D的结论．
【详解】
解：对于A：给定的，其外心为，所以，故A不正确；
对于B：因为为给定的的垂心，故，
即,
解得：,故B正确；
对于C：因为重心为G，则有，，所以，故C正确；
对于D：由于点在的平分线上，为单位向量，所以与的平分线对应向量共线，所以存在实数使，故D正确．
故选：BCD．
三、填空题
13．（2023·全国·高考真题（文））若向量满足，则_________.
答案：
分析：
根据题目条件，利用模的平方可以得出答案
【详解】
∵
∴
∴.
故答案为：.
14．(2023·全国·高考真题（理））设向量，的夹角的余弦值为，且，，则_________．
答案：
【解析】
分析：
设与的夹角为，依题意可得，再根据数量积的定义求出，最后根据数量积的运算律计算可得．
【详解】
解：设与的夹角为，因为与的夹角的余弦值为，即，
又，，所以，
所以．
故答案为：．
15．（2023·浙江省高考真题）设，为单位向量，满足，，，设，的夹角为，则的最小值为_______．
答案：
【解析】
，
，
，
.
故答案为：.
16．（2023·江苏·高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
答案：.
【解析】
分析：
由题意将原问题转化为基底的数量积，然后利用几何性质可得比值.
【详解】
如图，过点D作DF//CE，交AB于点F，由BE=2EA，D为BC中点，知BF=FE=EA,AO=OD.
，
得即故.
四、解答题
17．（2023·辽宁大连·高三学业考试）已知，，与的夹角为，，，当实数为何值时，.
答案：
【解析】
分析：
设可，可得出关于、的方程组，即可求得结果.
【详解】
因为，，与的夹角为，则与不共线，
因为，可设，即，即，解得.
18．(2023·全国·高三专题练习）已知三个非零平面向量，，两两夹角相等，且，，，求．
答案：或9
【解析】
分析：
由三个非零平面向量，，两两夹角相等得 或，再分别计算求解即可
【详解】
因为三个非零平面向量，，两两夹角相等，所以或 ．当时，．
当，即，，共线时．
．
故答案为：或9
19．(2023·浙江·高三专题练习）已知，，且．
(1)求与的夹角；
(2)求．
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）由，利用数量积的运算律和定义可求得，进而得到；
（2）由数量积的定义和运算律可求得，由此可得结果.
(1)
，
，又，.
(2)
，.
20．(2023·全国·高三专题练习）如图，在等腰梯形ABCD中，ABCD，，，E是BC边的中点.
(1)试用，表示，；
(2)求的值.
答案：(1)，
(2)
【解析】
分析：
（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可求出结果；
（2）根据平面向量数量积的运算律和定义可求出结果.
(1)
，
.
(2)
，
，
.
21．（2023·西藏·拉萨那曲高级中学高三期中（文））设两个非零向量与不共线．
(1)若，，，判断A，B，D三点是否共线？
(2)试确定实数，使和同向．
答案：(1)A，B，D三点共线
(2)
【解析】
分析：
（1）由题意化简得到，得到共线，进而得到三点共线.
又由有公共点，所以三点共线．
（2）由和同向，存在实数，使，得出方程组，即可求得的值.
(1)
解：由题意，向量，，，
可得，
所以共线，
又由有公共点，所以三点共线．
(2)
解：因为向量和同向，
所以存在实数，使，
即，所以 ，
又由是不共线的两个非零向量，可得，解得或，
又因为，所以．
22．（2023·全国·模拟预测）已知平面向量与满足，已知方向上的单位向量为，向量在向量方向上的投影向量为.
(1)若与垂直，求的大小；
(2)若与的夹角为，求向量与夹角的余弦值.
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）易知，得到，再根据与垂直求解；
（2）由题意得，即，再利用平面向量的夹角求解.
(1)
解：由题意得，
即，则.
因为与垂直，
所以，化简为，
即，则.
(2)
由题意得，
则，
，
，
设向量与的夹角为，
所以.