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高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.3平面向量的应用(真题测试)(原卷版+解析)
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这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.3平面向量的应用(真题测试)(原卷版+解析)，共29页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．(2023·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
2．(2023·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
3.（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．(2023·四川凉山·三模（理））已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（福建·高考真题）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A．B．C．D．
6.（2023·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
7．(2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
8．(2023·北京·人大附中高三阶段练习）已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．答案不确定
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
10.（2023·广东·广州市第一中学高三月考）已知O为坐标原点，点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·全国·高三专题练习）三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点在内部，用、、分别代表、、的面积，则有，现在假设锐角三角形顶点、、所对的边长分别为、、，为其垂心，为三角形外心，、、的单位向量分别为、、．则下列命题正确的有（ ）
A．至少存在2022个三角形，使成立
B．存在三角形，使
C．对任意锐角三角形均有成立
D．存在锐角三角形使得
12．(2023·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
三、填空题
13．(2023·内蒙古赤峰·三模（文））如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.
14.（2023·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
15.（2023·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
16.（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 求中BD边上的中线长.
18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围.
19．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知向量，，.
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角为，求的值.
20．（·山东·高考真题）已知向量，，设函数，且的图象过点和点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.
21．(2023·全国·高三专题练习（理））石门中学一校友为再现校园池塘内“白毛浮绿水，红掌拨清波”的美景，先后在池塘内放养了六只自白鹅和六只青鸭，鹅鸭的生养要有离水而居的平台，计划设计的平台为一个直角三角形OAB．OA=2米，OB=4米，在斜边AB外添加一个弧度数为的弓形浮板让鹅鸭上落，如图（1）所示．
(1)求弓形ACB的面积
(2)弓形浮板要专业师傅来做，在一时做不了的情况下，应急所需，拿了一块梯形木板顶替，如图（2）所示，EF∥PQ，EF=l米，PQ=2.5米，，为使浮板牢固，在背面沿对角钉了两条木条EP和FQ，恰好EP⊥FQ，求木条EP和FQ的长．
22．（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
图一
图二
专题6.3 平面向量的应用（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
答案：C
【解析】
分析：
如图所示，，即得解.
【详解】
由题得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都为2.
故选：C
2．(2023·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】
解：建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
3.（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案：B
【解析】
【详解】
由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.
4．(2023·四川凉山·三模（理））已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解.
【详解】
由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，
所以正六边形的内切圆的半径为，
外接圆的半径为，
又由
，
因为，即，可得，
所以的取值范围是.
故选：B.
5．（福建·高考真题）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．
6.（2023·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
答案：C
【解析】
由推出，由推出，则可得答案.
【详解】
由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
7．(2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
先利用平面向量的线性运算法则，将用来表示，然后将所求式子表达成来表示，进而求出范围.
【详解】
如图，
取的中点，根据题意，是边长为2的正三角形，易得，
又
，
根据图形可知，
当点位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，
当点位于正六边形的顶点时有最大值为2，此时，
∴.
故选：B.
8．(2023·北京·人大附中高三阶段练习）已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．答案不确定
答案：C
【解析】
分析：
将向量模的关系，转化为数量积关系，再转化为三角形边和角的关系，结合正弦定理进行边角转化求得sinC的范围，从而确定C的范围，由此判断△ABC的形状.
【详解】
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠ABC＝B，
对任意，
即对恒成立，
即对恒成立
则，
化简得，即，即sinB，
设外接圆的半径为，则由正弦定理可得，得，得即，又，，.
故△ABC为直角三角形.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
答案：BD
【解析】
分析：
根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.
【详解】
设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，
根据向量的平行四边形法则可知：
，
设船的航行方向和水流方向的夹角为，
所以，所以，
故选：BD.
10.（2023·广东·广州市第一中学高三月考）已知O为坐标原点，点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
分析：
根据平面向量数量积坐标表示，向量模的坐标公式以及两角差的余弦公式即可判断．
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，，所以B不一定正确；
对于C，，
所以，C正确；
对于D，，
而，所以D不一定正确，
故选：AC．
11．(2023·全国·高三专题练习）三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点在内部，用、、分别代表、、的面积，则有，现在假设锐角三角形顶点、、所对的边长分别为、、，为其垂心，为三角形外心，、、的单位向量分别为、、．则下列命题正确的有（ ）
A．至少存在2022个三角形，使成立
B．存在三角形，使
C．对任意锐角三角形均有成立
D．存在锐角三角形使得
答案：ABC
【解析】
分析：
先根据三角形相似得到，在结合已知条件证明出，即可判断C、D；
对于A：取等边三角形，结合选项C的推导证明出，从而可以取2022个边长不等的正三角形，均符合.即可判断；
对于B：在正三角形中，由外心、垂心合一，结合选项A的证明，可以证明出成立，即可判断.
【详解】
由可得，
因为，所以 ，可得，
即，同理可得：，
所以，
所以，所以.故C正确，D错误；
对于A：取等边三角形，有，由上面的推导过程可知：，所以，因为，所以.
所以可以取2022个边长不等的正三角形，均符合.故A正确；
对于B：在正三角形中，外心、垂心重合，所以.
而，由A的推导可知，，
所以成立.
即在正三角形中，成立.故B正确；
故选：ABC.
12．(2023·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
答案：ACD
【解析】
分析：
A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断.
【详解】
A：如下图，，则为垂心，易知：，
所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，同理，
所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；
C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，
所以，正确；
D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.
故选：ACD
三、填空题
13．(2023·内蒙古赤峰·三模（文））如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.
答案：N
【解析】
分析：
物体处于平衡状态，则重力沿斜面上的分量与方向相反，大小相同，即可求值.
【详解】
由题设，N，
故答案为：N.
14.（2023·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
答案：等腰三角形
【解析】
取的中点，根据平面向量的线性运算计算，从而，于是．
【详解】
取中点，连接，
则，
又，
，
，
，
；
；
的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
15.（2023·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
答案：
【解析】
分析：
可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
16.（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
答案：或0
【解析】
分析：
根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】
∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【点睛】
本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 求中BD边上的中线长.
答案：
【解析】
分析：
设出，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出的坐标，即可求出的中点的坐标，从而求出的坐标及模，即可得解．
【详解】
解：设，，，，
则，，
又，
，解得，即，所以的中点，所以，所以，即中BD边上的中线长.
18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围.
答案：.
【解析】
分析：
根据求出D点坐标，根据∥表示出P点坐标，根据即可求P横坐标的范围.
【详解】
设，则，
四边形是平行四边形，，，解得，
.
设，，
，，，，
∵∥，∴，
为锐角，则
，
解得或(舍)，
∴P的横坐标范围是：.
19．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知向量，，.
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角为，求的值.
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）首先求出，，依题意可得，再利用两角差的正弦公式计算可得；
(1)
解：因为，且，
所以，即，所以；
(2)
解：因为，，
所以，，
因为与的夹角为，所以，即，
所以，因为，所以，
所以，所以.
20．（·山东·高考真题）已知向量，，设函数，且的图象过点和点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.
答案：（I）.
（II）函数的单调递增区间为.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围
试题解析：（1）由题意知．
的过图象过点和，
所以即解得
（2）由（1）知．
由题意知．
设的图象上符合题意的最高点为，
由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．
将其代入得，因为，所以，
因此．
由Z得Z，
所以函数的单调递增区间为
21．(2023·全国·高三专题练习（理））石门中学一校友为再现校园池塘内“白毛浮绿水，红掌拨清波”的美景，先后在池塘内放养了六只自白鹅和六只青鸭，鹅鸭的生养要有离水而居的平台，计划设计的平台为一个直角三角形OAB．OA=2米，OB=4米，在斜边AB外添加一个弧度数为的弓形浮板让鹅鸭上落，如图（1）所示．
(1)求弓形ACB的面积
(2)弓形浮板要专业师傅来做，在一时做不了的情况下，应急所需，拿了一块梯形木板顶替，如图（2）所示，EF∥PQ，EF=l米，PQ=2.5米，，为使浮板牢固，在背面沿对角钉了两条木条EP和FQ，恰好EP⊥FQ，求木条EP和FQ的长．
答案：(1)
(2)，
【解析】
分析：
（1）首先由勾股定理求出，再由正弦定理求出外接圆的半径，最后根据计算可得；
（2）如图，过作于O，以为x轴，为y轴建立直角坐标系，设，即可表示出点、、、的坐标，再根据，即可得到，从而求出的值，即可求出点、、、的坐标，再根据两点的距离公式解得可得．
(1)
解：由勾股定理得，
设弓形所在圆的圆心为D，在线段的垂直平分线上，半径为R，则，
在中由正弦定理得，∴，
则弓形的面积为
．
(2)
解：如图，过作于O，以为x轴，为y轴建立直角坐标系．
设，则，，，，
则，．
因为，所以，
∴，∴或（舍去），
∴，，，，
∴，
22．（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】
解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
图一
图二
1．(2023·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
2．(2023·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
3.（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
4．(2023·四川凉山·三模（理））已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
5．（福建·高考真题）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A．B．C．D．
6.（2023·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
7．(2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
8．(2023·北京·人大附中高三阶段练习）已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．答案不确定
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
10.（2023·广东·广州市第一中学高三月考）已知O为坐标原点，点，则（ ）
A．B．
C．D．
11．(2023·全国·高三专题练习）三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点在内部，用、、分别代表、、的面积，则有，现在假设锐角三角形顶点、、所对的边长分别为、、，为其垂心，为三角形外心，、、的单位向量分别为、、．则下列命题正确的有（ ）
A．至少存在2022个三角形，使成立
B．存在三角形，使
C．对任意锐角三角形均有成立
D．存在锐角三角形使得
12．(2023·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
三、填空题
13．(2023·内蒙古赤峰·三模（文））如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.
14.（2023·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
15.（2023·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
16.（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 求中BD边上的中线长.
18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围.
19．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知向量，，.
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角为，求的值.
20．（·山东·高考真题）已知向量，，设函数，且的图象过点和点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.
21．(2023·全国·高三专题练习（理））石门中学一校友为再现校园池塘内“白毛浮绿水，红掌拨清波”的美景，先后在池塘内放养了六只自白鹅和六只青鸭，鹅鸭的生养要有离水而居的平台，计划设计的平台为一个直角三角形OAB．OA=2米，OB=4米，在斜边AB外添加一个弧度数为的弓形浮板让鹅鸭上落，如图（1）所示．
(1)求弓形ACB的面积
(2)弓形浮板要专业师傅来做，在一时做不了的情况下，应急所需，拿了一块梯形木板顶替，如图（2）所示，EF∥PQ，EF=l米，PQ=2.5米，，为使浮板牢固，在背面沿对角钉了两条木条EP和FQ，恰好EP⊥FQ，求木条EP和FQ的长．
22．（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
图一
图二
专题6.3 平面向量的应用（真题测试）
一、单选题
1．(2023·全国·高三专题练习）物体受到一个水平向右的力及与它成60°角的另一个力的作用.已知的大小为2N，它们的合力F与水平方向成30°角，则的大小为（ ）
A．3NB．C．2ND．
答案：C
【解析】
分析：
如图所示，，即得解.
【详解】
由题得,
所以,所以,
所以,
所以和大小相等，都为2.
故选：C
2．(2023·四川南充·三模（理））在中，，，，，，CN与BM交于点P，则的值为（ ）
A．B．
C．D．
答案：D
【解析】
分析：
将三角形放到直角坐标系当中，利用坐标法求向量夹角，即可求解.
【详解】
解：建立如图直角坐标系，则,
得,
所以，
故选：D.
3.（湖南·高考真题）已知点A,B,C在圆上运动，且ABBC，若点P的坐标为（2，0），则 的最大值为（ ）
A．6B．7C．8D．9
答案：B
【解析】
【详解】
由题意，AC为直径，所以 ,当且仅当点B为（-1，0）时，取得最大值7，故选B.
4．(2023·四川凉山·三模（理））已知下图中正六边形ABCDEF的边长为4，圆O的圆心为正六边形的中心，直径为2，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
答案：B
【解析】
分析：
根正六边形的性质，求得内切圆和外接圆的半径，再化简得到，结合，即可求解.
【详解】
由正六边形的边长为4，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，
所以正六边形的内切圆的半径为，
外接圆的半径为，
又由
，
因为，即，可得，
所以的取值范围是.
故选：B.
5．（福建·高考真题）已知，，，若点是所在平面内一点，且，则的最大值等于（ ）.
A．B．C．D．
答案：A
【解析】
【详解】
以为坐标原点，建立平面直角坐标系，如图所示，则，，，即，所以，，因此
，因为，所以的最大值等于，当，即时取等号．
6.（2023·四川省内江市第六中学高一期中）已知非零向量与满足，且，则为（ ）
A．等腰非直角三角形B．直角非等腰三角形
C．等腰直角三角形D．等边三角形
答案：C
【解析】
由推出，由推出，则可得答案.
【详解】
由，得，得，得，
所以，
因为，所以，
所以，
所以，即，
所以为等腰直角三角形.
故选：C
7．(2023·全国·高三专题练习）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，每年新春佳节，我国许多地区的人们都有贴窗户的习俗，以此达到装点环境、渲染气氛的目的，并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望.图一是一张由卷曲纹和回纹构成的正六边形剪纸窗花，已知图二中正六边形的边长为2，圆的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点在正六边形的边上运动，为圆的直径，则的取值范围是( )
A．B．C．D．
答案：B
【解析】
分析：
先利用平面向量的线性运算法则，将用来表示，然后将所求式子表达成来表示，进而求出范围.
【详解】
如图，
取的中点，根据题意，是边长为2的正三角形，易得，
又
，
根据图形可知，
当点位于正六边形各边的中点时有最小值为，此时，
当点位于正六边形的顶点时有最大值为2，此时，
∴.
故选：B.
8．(2023·北京·人大附中高三阶段练习）已知△ABC，若对任意t∈R，，则△ABC一定为（ ）
A．锐角三角形B．钝角三角形
C．直角三角形D．答案不确定
答案：C
【解析】
分析：
将向量模的关系，转化为数量积关系，再转化为三角形边和角的关系，结合正弦定理进行边角转化求得sinC的范围，从而确定C的范围，由此判断△ABC的形状.
【详解】
设AB＝c，BC＝a，AC＝b，∠ABC＝B，
对任意，
即对恒成立，
即对恒成立
则，
化简得，即，即sinB，
设外接圆的半径为，则由正弦定理可得，得，得即，又，，.
故△ABC为直角三角形.
故选：C.
二、多选题
9．（2023·全国·高三专题练习）在水流速度为的河水中，一艘船以的实际航行速度垂直于对岸行驶，则下列关于这艘船的航行速度的大小和方向的说法中，正确的是（ ）
A．这艘船航行速度的大小为
B．这艘船航行速度的大小为
C．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
D．这艘船航行速度的方向与水流方向的夹角为
答案：BD
【解析】
分析：
根据题意作出图示，结合向量的平行四边形法则计算出船的速度以及船的航行方向和水流方向的夹角.
【详解】
设船的实际航行速度为，水流速度为，船的航行速度为，
根据向量的平行四边形法则可知：
，
设船的航行方向和水流方向的夹角为，
所以，所以，
故选：BD.
10.（2023·广东·广州市第一中学高三月考）已知O为坐标原点，点，则（ ）
A．B．
C．D．
答案：AC
分析：
根据平面向量数量积坐标表示，向量模的坐标公式以及两角差的余弦公式即可判断．
【详解】
对于A，，A正确；
对于B，，所以B不一定正确；
对于C，，
所以，C正确；
对于D，，
而，所以D不一定正确，
故选：AC．
11．(2023·全国·高三专题练习）三角形蕴涵大量迷人性质，例如校本第19页有这么一个性质：若点在内部，用、、分别代表、、的面积，则有，现在假设锐角三角形顶点、、所对的边长分别为、、，为其垂心，为三角形外心，、、的单位向量分别为、、．则下列命题正确的有（ ）
A．至少存在2022个三角形，使成立
B．存在三角形，使
C．对任意锐角三角形均有成立
D．存在锐角三角形使得
答案：ABC
【解析】
分析：
先根据三角形相似得到，在结合已知条件证明出，即可判断C、D；
对于A：取等边三角形，结合选项C的推导证明出，从而可以取2022个边长不等的正三角形，均符合.即可判断；
对于B：在正三角形中，由外心、垂心合一，结合选项A的证明，可以证明出成立，即可判断.
【详解】
由可得，
因为，所以 ，可得，
即，同理可得：，
所以，
所以，所以.故C正确，D错误；
对于A：取等边三角形，有，由上面的推导过程可知：，所以，因为，所以.
所以可以取2022个边长不等的正三角形，均符合.故A正确；
对于B：在正三角形中，外心、垂心重合，所以.
而，由A的推导可知，，
所以成立.
即在正三角形中，成立.故B正确；
故选：ABC.
12．(2023·全国·高三专题练习）已知点在所在的平面内，则下列命题正确的是（ ）
A．若为的垂心，，则
B．若为边长为2的正三角形，则的最小值为-1
C．若为锐角三角形且外心为，且，则
D．若，则动点的轨迹经过的外心
答案：ACD
【解析】
分析：
A利用三角形相似及数量积的几何意义判断：B构建直角坐标系，由向量数量积的坐标表示列式求最值；C由已知得，进而可知与中点共线，结合外心的性质有垂直平分即可判断；D将等式两侧同时点乘并化简得，即可判断.
【详解】
A：如下图，，则为垂心，易知：，
所以，则，
根据向量数量积的几何意义知：，同理，
所以，正确；
B：构建以中点为原点的直角坐标系，则，若，
所以，，
由，则，
当时的最小值为，错误；
C：由题设，则，
所以，若为中点，则，
故，故共线，又，即垂直平分，
所以，正确；
D：由题设，，
则，
所以，若为中点，则，
故，所以的轨迹经过的外心，正确.
故选：ACD
三、填空题
13．(2023·内蒙古赤峰·三模（文））如图所示，把一个物体放在倾斜角为的斜面上，物体处于平衡状态，且受到三个力的作用，即重力，垂直斜面向上的弹力，沿着斜面向上的摩擦力.已知：，则的大小为___________.
答案：N
【解析】
分析：
物体处于平衡状态，则重力沿斜面上的分量与方向相反，大小相同，即可求值.
【详解】
由题设，N，
故答案为：N.
14.（2023·宁夏银川市·银川一中高三其他模拟（理））若为所在平面内任意一点，且满足，则的形状为______．（填：等腰三角形、等边三角形、直角三角形、等腰直角三角形）
答案：等腰三角形
【解析】
取的中点，根据平面向量的线性运算计算，从而，于是．
【详解】
取中点，连接，
则，
又，
，
，
，
；
；
的形状是等腰三角形．
故答案为：等腰三角形.
15.（2023·天津·高考真题）如图，在四边形中，，，且，则实数的值为_________，若是线段上的动点，且，则的最小值为_________．
答案：
【解析】
分析：
可得，利用平面向量数量积的定义求得的值，然后以点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设点，则点（其中），得出关于的函数表达式，利用二次函数的基本性质求得的最小值.
【详解】
，，，
，
解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
,
∵，∴的坐标为,
∵又∵,则，设，则（其中），
，，
，
所以，当时，取得最小值.
故答案为：；.
16.（2023·江苏·高考真题）在△ABC中，D在边BC上，延长AD到P，使得AP=9，若（m为常数），则CD的长度是________．
答案：或0
【解析】
分析：
根据题设条件可设，结合与三点共线，可求得，再根据勾股定理求出，然后根据余弦定理即可求解.
【详解】
∵三点共线，
∴可设，
∵，
∴，即，
若且，则三点共线，
∴，即，
∵，∴，
∵,,，
∴，
设，，则，.
∴根据余弦定理可得，，
∵，
∴，解得，
∴的长度为.
当时， ，重合，此时的长度为，
当时，，重合，此时，不合题意，舍去.
故答案为：0或.
【点睛】
本题考查了平面向量知识的应用、余弦定理的应用以及求解运算能力，解答本题的关键是设出．
四、解答题
17．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是、、. 求中BD边上的中线长.
答案：
【解析】
分析：
设出，利用向量的坐标公式求出四边对应的向量，据对边平行得到向量相等，利用向量相等的充要条件列出方程组求出的坐标，即可求出的中点的坐标，从而求出的坐标及模，即可得解．
【详解】
解：设，，，，
则，，
又，
，解得，即，所以的中点，所以，所以，即中BD边上的中线长.
18．(2023·全国·高三专题练习）已知平行四边形ABCD的三个顶点A、B、C的坐标分别是(－2，1)、(－1，3)、(3，4). 若P是线段BC上的动点，且为锐角，求P的横坐标的取值范围.
答案：.
【解析】
分析：
根据求出D点坐标，根据∥表示出P点坐标，根据即可求P横坐标的范围.
【详解】
设，则，
四边形是平行四边形，，，解得，
.
设，，
，，，，
∵∥，∴，
为锐角，则
，
解得或(舍)，
∴P的横坐标范围是：.
19．(2023·全国·高三专题练习）在平面直角坐标系中，已知向量，，.
(1)若，求的值；
(2)若与的夹角为，求的值.
答案：(1)
(2)
【解析】
分析：
（1）依题意可得，根据数量积的坐标运算得到方程，再根据同角三角函数的基本关系计算可得；
（2）首先求出，，依题意可得，再利用两角差的正弦公式计算可得；
(1)
解：因为，且，
所以，即，所以；
(2)
解：因为，，
所以，，
因为与的夹角为，所以，即，
所以，因为，所以，
所以，所以.
20．（·山东·高考真题）已知向量，，设函数，且的图象过点和点.
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）将的图象向左平移（）个单位后得到函数的图象.若的图象上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调增区间.
答案：（I）.
（II）函数的单调递增区间为.
【解析】
【详解】
试题分析：（Ⅰ）利用向量的数量积坐标运算公式代入函数式整理化简，将函数过的点和点代入就可得到关于的方程，解方程求其值；（Ⅱ）利用图像平移的方法得到的解析式，利用最高点到点的距离的最小值为1求得角，得，求减区间需令解的范围
试题解析：（1）由题意知．
的过图象过点和，
所以即解得
（2）由（1）知．
由题意知．
设的图象上符合题意的最高点为，
由题意知，所以，即到点（0，3）的距离为1的最高点为（0，2）．
将其代入得，因为，所以，
因此．
由Z得Z，
所以函数的单调递增区间为
21．(2023·全国·高三专题练习（理））石门中学一校友为再现校园池塘内“白毛浮绿水，红掌拨清波”的美景，先后在池塘内放养了六只自白鹅和六只青鸭，鹅鸭的生养要有离水而居的平台，计划设计的平台为一个直角三角形OAB．OA=2米，OB=4米，在斜边AB外添加一个弧度数为的弓形浮板让鹅鸭上落，如图（1）所示．
(1)求弓形ACB的面积
(2)弓形浮板要专业师傅来做，在一时做不了的情况下，应急所需，拿了一块梯形木板顶替，如图（2）所示，EF∥PQ，EF=l米，PQ=2.5米，，为使浮板牢固，在背面沿对角钉了两条木条EP和FQ，恰好EP⊥FQ，求木条EP和FQ的长．
答案：(1)
(2)，
【解析】
分析：
（1）首先由勾股定理求出，再由正弦定理求出外接圆的半径，最后根据计算可得；
（2）如图，过作于O，以为x轴，为y轴建立直角坐标系，设，即可表示出点、、、的坐标，再根据，即可得到，从而求出的值，即可求出点、、、的坐标，再根据两点的距离公式解得可得．
(1)
解：由勾股定理得，
设弓形所在圆的圆心为D，在线段的垂直平分线上，半径为R，则，
在中由正弦定理得，∴，
则弓形的面积为
．
(2)
解：如图，过作于O，以为x轴，为y轴建立直角坐标系．
设，则，，，，
则，．
因为，所以，
∴，∴或（舍去），
∴，，，，
∴，
22．（2023·山东·高考真题）已知抛物线的顶点在坐标原点，椭圆的顶点分别为，，，，其中点为抛物线的焦点，如图所示.
（1）求抛物线的标准方程；
（2）若过点的直线与抛物线交于，两点，且，求直线的方程.
答案：（1）；（2）.
【解析】
分析：
（1）根据抛物线的焦点，求抛物线方程；（2）首先设出直线的方程为，与抛物线方程联立，并利用韦达定理表示，并利用，求直线的斜率，验证后，即可得到直线方程.
【详解】
解：（1）由椭圆可知，，
所以，，则，
因为抛物线的焦点为，可设抛物线方程为，
所以，即.
所以抛物线的标准方程为.
（2）由椭圆可知，，
若直线无斜率，则其方程为，经检验，不符合要求.
所以直线的斜率存在，设为，直线过点，
则直线的方程为，
设点，，
联立方程组，
消去，得.①
因为直线与抛物线有两个交点，
所以，即，
解得，且.
由①可知，
所以，
则，
因为，且，
所以，
解得或，
因为，且，
所以不符合题意，舍去，
所以直线的方程为，
即.
图一
图二
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