高考数学第一轮复习第八章 §8.4　直线、平面平行的判定与性质

这是一份高考数学第一轮复习第八章 §8.4　直线、平面平行的判定与性质，共21页。
2.掌握直线与平面、平面与平面平行的判定与性质，并会简单应用．
知识梳理
1．线面平行的判定定理和性质定理
2．面面平行的判定定理和性质定理
常用结论
(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.
(2)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
(3)垂直于同一个平面的两条直线平行，即a⊥α，b⊥α，则a∥b.
(4)若α∥β，a⊂α，则a∥β.
思考辨析
判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线平行于这个平面．( × )
(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．( × )
(3)若直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，a∥b，则α∥β.( × )
(4)如果两个平面平行，那么分别在这两个平面内的两条直线平行或异面．( √ )
教材改编题
1．下列说法中，与“直线a∥平面α”等价的是( )
A．直线a上有无数个点不在平面α内
B．直线a与平面α内的所有直线平行
C．直线a与平面α内无数条直线不相交
D．直线a与平面α内的任意一条直线都不相交
答案 D
解析 因为a∥平面α，所以直线a与平面α无交点，因此a和平面α内的任意一条直线都不相交．
2．已知不重合的直线a，b和平面α，则下列选项正确的是( )
A．若a∥α，b⊂α，则a∥b
B．若a∥α，b∥α，则a∥b
C．若a∥b，b⊂α，则a∥α
D．若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α
答案 D
解析 若a∥α，b⊂α，则a∥b或异面，A错；
若a∥α，b∥α，则a∥b或异面或相交，B错；
若a∥b，b⊂α，则a∥α或a⊂α，C错；
若a∥b，a⊂α，则b∥α或b⊂α，D对．
3.如图是长方体被一平面所截得的几何体，四边形EFGH为截面，则四边形EFGH的形状为______．
答案 平行四边形
解析 ∵平面ABFE∥平面DCGH，
又平面EFGH∩平面ABFE＝EF，
平面EFGH∩平面DCGH＝HG，
∴EF∥HG.同理EH∥FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
题型一 直线与平面平行的判定与性质
命题点1 直线与平面平行的判定
例1 如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，PD的中点，求证：
(1)PB∥平面ACF；
(2)EF∥平面PAB.
证明 (1)如图，连接BD交AC于O，连接OF，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是BD的中点，
又∵F是PD的中点，
∴OF∥PB，
又∵OF⊂平面ACF，PB⊄平面ACF，
∴PB∥平面ACF.
(2)取PA的中点G，连接GF，BG.
∵F是PD的中点，
∴GF是△PAD的中位线，
∴GF綉eq \f(1,2)AD，
∵底面ABCD是平行四边形，E是BC的中点，
∴BE綉eq \f(1,2)AD，∴GF綉BE，
∴四边形BEFG是平行四边形，
∴EF∥BG，
又∵EF⊄平面PAB，BG⊂平面PAB，
∴EF∥平面PAB.
命题点2 直线与平面平行的性质
例2 如图所示，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和PA作平面交BD于点H.
求证：PA∥GH.
证明 如图所示，连接AC交BD于点O，连接OM，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点，
又M是PC的中点，
∴PA∥OM，
又OM⊂平面BMD，PA⊄平面BMD，
∴PA∥平面BMD，
又平面PAHG∩平面BMD＝GH，
∴PA∥GH.
教师备选
如图，四边形ABCD是矩形，P∉平面ABCD，过BC作平面BCFE交AP于点E，交DP于点F，求证：四边形BCFE是梯形．
证明 ∵四边形ABCD为矩形，
∴BC∥AD.
∵AD⊂平面PAD，BC⊄平面PAD，
∴BC∥平面PAD.
∵平面BCFE∩平面PAD＝EF，
BC⊂平面BCFE，
∴BC∥EF.
∵AD＝BC，AD≠EF，
∴BC≠EF，
∴四边形BCFE是梯形．
思维升华 (1)判断或证明线面平行的常用方法
①利用线面平行的定义(无公共点)．
②利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)．
③利用面面平行的性质(α∥β，a⊂α⇒a∥β)．
④利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．
(2)应用线面平行的性质定理的关键是确定交线的位置，有时需要经过已知直线作辅助平面确定交线．
跟踪训练1 如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，M是线段EF的中点．
(1)求证：AM∥平面BDE；
(2)若平面ADM∩平面BDE＝l，平面ABM∩平面BDE＝m，试分析l与m的位置关系，并证明你的结论．
(1)证明 如图，记AC与BD的交点为O，连接OE.
因为O，M分别为AC，EF的中点，四边形ACEF是矩形，
所以四边形AOEM是平行四边形，
所以AM∥OE.
又因为OE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，
所以AM∥平面BDE.
(2)解 l∥m，证明如下：
由(1)知AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ADM，平面ADM∩平面BDE＝l，
所以l∥AM，
同理，AM∥平面BDE，
又AM⊂平面ABM，平面ABM∩平面BDE＝m，
所以m∥AM，所以l∥m.
题型二 平面与平面平行的判定与性质
例3 如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，过BC的平面与上底面A1B1C1交于GH(GH与B1C1不重合)．
(1)求证：BC∥GH；
(2)若E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点，求证：平面EFA1∥平面BCHG.
证明 (1)∵在三棱柱ABC－A1B1C1中，
∴平面ABC∥平面A1B1C1，
又∵平面BCHG∩平面ABC＝BC，
且平面BCHG∩平面A1B1C1＝HG，
∴由面面平行的性质定理得BC∥GH.
(2)∵E，F分别为AB，AC的中点，
∴EF∥BC，
∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，
∴EF∥平面BCHG.
又G，E分别为A1B1，AB的中点，A1B1綉AB，
∴A1G綉EB，
∴四边形A1EBG是平行四边形，∴A1E∥GB.
∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，
∴A1E∥平面BCHG.
又∵A1E∩EF＝E，A1E，EF⊂平面EFA1，
∴平面EFA1∥平面BCHG.
延伸探究 在本例中，若将条件“E，F，G分别是AB，AC，A1B1的中点”变为“点D，D1分别是AC，A1C1上的点，且平面BC1D∥平面AB1D1”，试求eq \f(AD,DC)的值．
解 如图，连接A1B交AB1于O，连接OD1.
由平面BC1D∥平面AB1D1，
且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O，
所以BC1∥D1O，则eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(A1O,OB)＝1.
又由题设eq \f(A1D1,D1C1)＝eq \f(DC,AD)，
所以eq \f(DC,AD)＝1，即eq \f(AD,DC)＝1.
教师备选
如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，E，F，G分别为B1C1，A1B1，AB的中点．
(1)求证：平面A1C1G∥平面BEF；
(2)若平面A1C1G∩BC＝H，求证：H为BC的中点．
证明 (1)∵E，F分别为B1C1，A1B1的中点，
∴EF∥A1C1，
∵A1C1⊂平面A1C1G，EF⊄平面A1C1G，
∴EF∥平面A1C1G，
又F，G分别为A1B1，AB的中点，
∴A1F＝BG，
又A1F∥BG，
∴四边形A1GBF为平行四边形，
则BF∥A1G，
∵A1G⊂平面A1C1G，BF⊄平面A1C1G，
∴BF∥平面A1C1G，
又EF∩BF＝F，EF，BF⊂平面BEF，
∴平面A1C1G∥平面BEF.
(2)∵平面ABC∥平面A1B1C1，平面A1C1G∩平面A1B1C1＝A1C1，
平面A1C1G与平面ABC有公共点G，则有经过G的直线，设交BC于点H，如图，
则A1C1∥GH，得GH∥AC，
∵G为AB的中点，∴H为BC的中点．
思维升华 证明面面平行的常用方法
(1)利用面面平行的判定定理．
(2)利用垂直于同一条直线的两个平面平行(l⊥α，l⊥β⇒α∥β)．
(3)利用面面平行的传递性，即两个平面同时平行于第三个平面，则这两个平面平行(α∥β，β∥γ⇒α∥γ)．
跟踪训练2 如图，四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面ABCD是正方形．
(1)证明：平面A1BD∥平面CD1B1；
(2)若平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，证明：B1D1∥l.
证明 (1)由题设知BB1綉DD1，所以四边形BB1D1D是平行四边形，所以BD∥B1D1.
又BD⊄平面CD1B1，B1D1⊂平面CD1B1，
所以BD∥平面CD1B1.
因为A1D1綉B1C1綉BC，
所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥D1C.
又A1B⊄平面CD1B1，D1C⊂平面CD1B1，
所以A1B∥平面CD1B1.
又因为BD∩A1B＝B，BD，A1B⊂平面A1BD，
所以平面A1BD∥平面CD1B1.
(2)由(1)知平面A1BD∥平面CD1B1，
又平面ABCD∩平面CD1B1＝直线l，
平面ABCD∩平面A1BD＝直线BD，
所以直线l∥直线BD，
在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，四边形BDD1B1为平行四边形，
所以B1D1∥BD，所以B1D1∥l.
题型三 平行关系的综合应用
例4 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E为DD1的中点．
(1)求证：BD1∥平面AEC；
(2)CC1上是否存在一点F，使得平面AEC∥平面BFD1，若存在，请说明理由．
(1)证明 如图，连接BD交AC于O，连接EO.
因为ABCD－A1B1C1D1为正方体，底面ABCD为正方形，
对角线AC，BD交于O点，
所以O为BD的中点，
又因为E为DD1的中点，
所以在△DBD1中，OE是△DBD1的中位线，
所以OE∥BD1.
又因为OE⊂平面AEC，BD1⊄平面AEC，
所以BD1∥平面AEC.
(2)解 当CC1上的点F为中点时，即满足平面AEC∥平面BFD1.
连接BF，D1F，
因为F为CC1的中点，E为DD1的中点，
所以CF綉ED1，
所以四边形CFD1E为平行四边形，
所以D1F∥EC，
又因为EC⊂平面AEC，D1F⊄平面AEC，
所以D1F∥平面AEC.
由(1)知BD1∥平面AEC，
又因为BD1∩D1F＝D1，BD1，D1F⊂平面BFD1，
所以平面AEC∥平面BFD1.
教师备选
如图，四边形ABCD与ADEF均为平行四边形，M，N，G分别是AB，AD，EF的中点．求证：
(1)BE∥平面DMF；
(2)平面BDE∥平面MNG.
证明 (1)如图，连接AE，则AE必过DF与GN的交点O，
连接MO，则MO为△ABE的中位线，所以BE∥MO.
又BE⊄平面DMF，MO⊂平面DMF，
所以BE∥平面DMF.
(2)因为N，G分别为平行四边形ADEF的边AD，EF的中点，所以DE∥GN，
又DE⊄平面MNG，GN⊂平面MNG，
所以DE∥平面MNG.
又M为AB的中点，
所以MN为△ABD的中位线，所以BD∥MN，
又MN⊂平面MNG，BD⊄平面MNG，
所以BD∥平面MNG，
又DE，BD⊂平面BDE，DE∩BD＝D，
所以平面BDE∥平面MNG.
思维升华 证明平行关系的常用方法
熟练掌握线线、线面、面面平行关系间的相互转化是解决线线、线面、面面平行的综合问题的关键．面面平行判定定理的推论也是证明面面平行的一种常用方法．
跟踪训练3 如图所示，四边形EFGH为空间四边形ABCD的一个截面，若截面为平行四边形．
(1)求证：AB∥平面EFGH；
(2)若AB＝4，CD＝6，求四边形EFGH周长的取值范围．
(1)证明 ∵四边形EFGH为平行四边形，
∴EF∥HG.
∵HG⊂平面ABD，EF⊄平面ABD，
∴EF∥平面ABD.
又∵EF⊂平面ABC，
平面ABD∩平面ABC＝AB，
∴EF∥AB，
又∵AB⊄平面EFGH，EF⊂平面EFGH，
∴AB∥平面EFGH.
(2)解 设EF＝x(0