高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.1平面向量的概念及其运算(知识点讲解)(原卷版+解析)

这是一份高考数学一轮复习知识点讲解+真题测试专题6.1平面向量的概念及其运算(知识点讲解)(原卷版+解析)，共25页。

【核心素养】
1.结合平面向量的有关概念，考查对向量特性的理解，凸显数学抽象的核心素养．
2．结合向量的线性运算，考查用向量刻画平面图形的能力，凸显逻辑推理的核心素养．
3．结合向量的线性运算的几何意义，考查数形结合的思想，凸显直观想象的核心素养．
4.与向量线性运算相结合，考查共线向量定理及其应用，凸显数学建模的核心素养．
5.与向量线性运算相结合，考查数量积、向量的夹角、模的计算，凸显数学运算、直观想象的核心素养．
6．以平面图形为载体，考查向量数量积的应用，凸显数学运算、数学建模、直观想象的核心素养．
【知识点展示】
（一）平面向量的概念
1．向量：既有大小又有方向的量叫向量；向量的大小叫做向量的模．
2．零向量：长度等于0的向量，其方向是任意的．
3．单位向量：长度等于1个单位的向量．
4．平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共线向量，规定：0与任一向量共线．
5．相等向量：长度相等且方向相同的向量．
6．相反向量：长度相等且方向相反的向量．
（二）平面向量的线性运算
（三）共线向量定理
1.共线向量定理：向量a(a≠0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使得b＝λa.
提醒：当a≠0时，定理中的实数λ才唯一，否则不唯一．
2.平面向量共线定理的三个应用
（四）两个向量的夹角
1．定义
已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角．
2．范围
向量夹角θ的范围是0°≤θ≤180°a与b同向时，夹角θ＝0°；a与b反向时，夹角θ＝180°.
3．向量垂直
如果向量a与b的夹角是90°，则a与b垂直，记作a⊥b.
（五）平面向量的数量积
规定0·a＝0.
（六）数量积的运算律
1．交换律：a·b＝b·a.
2．分配律：(a＋b)·c＝a·c＋b·c.
3．对λ∈R，λ(a·b)＝(λa)·b＝a·(λb)．
（七）向量数量积的性质
1．如果e是单位向量，则a·e＝e·a.
2．a⊥ba·b＝0.
3．a·a＝|a|2，.
4．cs θ＝.(θ为a与b的夹角)
5．|a·b|≤|a||b|.
【常考题型剖析】
题型一：平面向量的有关概念
例1.（2008·宁夏·高考真题（理））平面向量，共线的充要条件是( )
A．，方向相同
B．，两向量中至少有一个为零向量
C．，
D．存在不全为零的实数，，
例2．(2023·安徽·模拟预测（理））给出下列命题：
①若同向，则有；
②与表示的意义相同；
③若不共线，则有；
④恒成立；
⑤对任意两个向量，总有；
⑥若三向量满足，则此三向量围成一个三角形．
其中正确的命题是__________填序号
【易错提醒】
有关平面向量概念的注意点
(1)相等向量具有传递性，非零向量的平行也具有传递性．
(2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关．
(3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量．解题时，不要把它与函数图象的移动混淆．
(4)非零向量a与eq \f(a,|a|)的关系：eq \f(a,|a|)是与a同方向的单位向量，－eq \f(a,|a|)是与a反方向的单位向量．
(5)两个向量不能比较大小，只可以判断它们是否相等，但它们的模可以比较大小．
(6)两平行向量有向线段所在的直线平行或重合，易忽视重合这一条件．
题型二：平面向量的线性运算
例3.(2023·全国·高考真题）在中，点D在边AB上，．记，则（ ）
A．B．C．D．
例4.（2023·海南·高考真题）在中，D是AB边上的中点，则=（ ）
A．B．C．D．
例5.(2023·全国·高考真题（文））在△中，为边上的中线，为的中点，则（ ）
A．B．
C．D．
例6. (2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知在中， ，，，则（ ）
A．B．C．D．1
【规律方法】
1.平面向量的线性运算技巧
(1)不含图形的情况：可直接运用相应运算法则求解．
(2)含图形的情况：将它们转化到三角形或平行四边形中，充分利用相等向量、相反向量、三角形的中位线等性质，把未知向量用已知向量表示出来求解．
2．利用平面向量的线性运算求参数的一般思路
(1)没有图形的准确作出图形，确定每一个点的位置．
(2)利用平行四边形法则或三角形法则进行转化，转化为要求的向量形式．
(3)比较、观察可知所求．
【特别提醒】
关于平面向量的线性运算的考查，命题角度主要有两个：一是平面向量的线性运算，二是利用向量线性运算求参数.解题过程中应注意：
①常用的法则是平行四边形法则和三角形法则，一般共起点的向量求和用平行四边形法则，求差用三角形法则，求首尾相连向量的和用三角形法则．
②找出图形中的相等向量、共线向量，将所求向量与已知向量转化到同一个平行四边形或三角形中求解．
题型三：共线向量定理及其应用
例7. (2023·内蒙古·包钢一中一模（文））已知向量，是两个不共线的向量，与共线，则（ ）
A．2B．C．D．
例8．（2023·全国·高三专题练习（文））如图所示，在△ABC中，D，F分别是BC，AC的中点，.
(1)用表示；
(2)求证：B，E，F三点共线．
【总结提升】
求解向量共线问题的注意事项
(1)向量共线的充要条件中，当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，注意待定系数法和方程思想的运用．
(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．
(3)直线的向量式参数方程：A，P，B三点共线⇔eq \(OP,\s\up16(→))＝(1－t)·eq \(OA,\s\up16(→))＋teq \(OB,\s\up16(→))(O为平面内任一点，t∈R)．
题型四：平面向量数量积的运算
例9. (2023·全国·高考真题（理））已知向量满足，则（ ）
A．B．C．1D．2
例10. (2023·天津·高考真题（理））如图，在平面四边形ABCD中，
若点E为边CD上的动点，则的最小值为
A．B．C．D．
例11．（2023·浙江·高考真题）已知非零向量，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
例12．（2023·江苏高考真题）如图，在中，D是BC的中点，E在边AB上，BE=2EA，AD与CE交于点.若，则的值是_____.
【总结提升】
1.计算向量数量积的三种常用方法
(1)定义法：已知向量的模与夹角时，可直接使用数量积的定义求解，即a·b＝|a||b|csθ(θ是a与b的夹角)．
(2)基向量法：计算由基底表示的向量的数量积时，应用相应运算律，最终转化为基向量的数量积，进而求解．
(3)坐标法：若向量选择坐标形式，则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解．
2.总结提升：
（1）.公式a·b＝|a||b|cs与a·b＝x1x2＋y1y2都是用来求两向量的数量积的，没有本质区别，只是书写形式上的差异，两者可以相互推导．若题目中给出的是两向量的模与夹角，则可直接利用公式a·b＝|a||b|cs求解；若已知两向量的坐标，则可选用公式a·b＝x1x2＋y1y2求解．
题型五：平面向量的模、夹角
例13.(2023·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A．eq \f (π,6) B．eq \f (π,3) C．eq \f (2π,3) D．eq \f (5π,6)
例14.（2023·全国高考真题（理））已知向量 ，满足，，，则（ ）
A．B．C．D．
例15.（2023·全国高考真题（理））设为单位向量，且，则______________.
例16.（2023·天津·高考真题）在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________．
【总结提升】
1.求向量夹角问题的方法
(1)当a，b是非坐标形式时，求a与b的夹角θ，需求出a·b及|a|，|b|或得出它们之间的关系；
(2)提醒：〈a，b〉∈[0，π]．数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0说明不共线的两向量的夹角为钝角．注意共线时，数量积为±1的特殊情况！
2．平面向量模问题的类型及求解方法
(1)求向量模的常用方法
①若向量a，b是以非坐标形式出现的，求向量a的模可应用公式|a|2＝a2＝a·a，或|a±b|2＝(a±b)2＝a2±2a·b＋b2，先求向量模的平方，再通过向量数量积的运算求解．
(2)求向量模的最值(范围)的方法
①代数法：把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解．
②几何法(数形结合法)：弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
题型六：两个向量垂直问题
例17．（2023·全国高考真题（文））已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（ ）
A．B．C． D．
例18．(2023·福州模拟)已知向量|eq \(OA,\s\up7(→))|＝3，|eq \(OB,\s\up7(→))|＝2，eq \(OC,\s\up7(→))＝meq \(OA,\s\up7(→))＋neq \(OB,\s\up7(→))，若eq \(OA,\s\up7(→))与eq \(OB,\s\up7(→))的夹角为60°，且eq \(OC,\s\up7(→))⊥eq \(AB,\s\up7(→))，则实数eq \f (m,n)的值为( )
A．eq \f (1,6) B．eq \f (1,4) C．6 D．4
例19．(2023·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知两非零向量，满足，且，则（ ）
A．8B．3C．2D．
例20．（2023·全国高考真题（理））已知单位向量,的夹角为45°，与垂直，则k=__________.
【规律方法】
1．利用坐标运算证明两个向量的垂直问题
若证明两个向量垂直，先根据共线、夹角等条件计算出这两个向量的坐标；然后根据数量积的坐标运算公式，计算出这两个向量的数量积为0即可．
2．已知两个向量的垂直关系，求解相关参数的值（涉及向量垂直问题为高频考点）
根据两个向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数．
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
三角形法则
平行四边形法则
①交换律：a＋b＝b＋a；
②结合律：
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
减法
求a与b的相反向量－b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a－b＝a＋(－b)
数乘
求实数λ与向量a的积的运算
①|λa|＝|λ||a|；
②当λ>0时，λa的方向与a的方向相同；当λ0时，λa的方向与a的方向相同；当λ