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2024高考数学第一轮复习:专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(原卷版)
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这是一份2024高考数学第一轮复习:专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(原卷版),共13页。试卷主要包含了向量的有关概念,向量的线性运算,共线向量定理等内容,欢迎下载使用。
5.1 平面向量的概念及其线性运算思维导图 知识点总结1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫作向量,用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模),记作 |.(2)零向量: 的向量,记作0.(3)单位向量:长度等于 长度的向量.(4)平行向量(共线向量):方向相同或相反的非零向量.向量a,b平行,记作a∥b.规定:0与任一向量 .(5)相等向量:长度 且方向 的向量.(6)相反向量:长度 且方向 的向量.2.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:a+b=b+a(2)结合律:(a+b)+c= 减法求两个向量差的运算a-b=a+(-b)数乘规定实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘,记作λa(1)|λa|= ;(2)若a≠0,则当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;特别地,当λ=0时,0a=0;当a=0时,λ0=0λ(μa)=λμa;(λ+μ)a= ;λ(a+b)= 3.共线向量定理设a为非零向量,如果有一个实数λ,使 ,那么b与a是共线向量;反之,如果b与a是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使b=λa.[常用结论]1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则=(+).2.=λ+μ(λ,μ为实数),若点A,B,C共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1.3.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是考虑向量的方向;二是要特别注意零向量的特殊性,考虑零向量是否也满足条件. 典型例题分析考向一 平面向量的有关概念例1. 设a,b都是非零向量,下列四个条件中,使=成立的充分条件是( )A.a=-b B.a∥bC.a=2b D.a∥b且|a|=|b| 感悟提升 平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆. 考向二 向量的线性运算角度1 平面向量加、减运算的几何意义例2 (2023·芜湖调研)如图,等腰梯形ABCD中,AB=BC=CD=3AD,点E为线段CD上靠近C的三等分点,点F为线段BC的中点,则=( )A.-+ B.-+C.-+ D.-+ 角度2 向量的线性运算例3 在△ABC中,=,若=a,=b,则等于( )A.a+b B.a+bC.a-b D.a-b 角度3 利用向量的线性运算求参数例4 在△ABC中,AB=2,BC=3,∠ABC=30°,AD为BC边上的高.若=λ+μ,则λ-μ=________. 感悟提升 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值. 考向三 共线向量定理的应用例5 (1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量a,b不共线,=4a+6b,=-a+3b,=a+3b,则( )A.A,B,D三点共线 B.A,B,C三点共线C.B,C,D三点共线 D.A,C,D三点共线 (2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示,已知点G是△ABC的重心,过点G作直线分别与AB,AC两边交于M,N两点,设x=,y=,则+的值为( )A.3 B.4 C.5 D.6 感悟提升 利用共线向量定理解题的策略(1)a∥b⇔a=λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即A,B,C三点共线⇔,共线.(3)若a与b不共线且λa=μb,则λ=μ=0.(4)=λ+μ(λ,μ为实数),若A,B,C三点共线(O不在直线BC上),则λ+μ=1. 考向四 等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和(高)线定理:如图,由三点共线结论可知,若=λ+μ(λ,μ∈R),则λ+μ=1,由△OAB与△OA′B′相似,必存在一个常数k,k∈R,使得=k,则=k=kλ+kμ,又=x+y(x,y∈R),∴x+y=k(λ+μ)=k;反之也成立.(2)平面内一组基底,及任一向量,=λ+μ(λ,μ∈R),若点P′在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λ+μ=k(定值);反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线.例 给定两个长度为1的平面向量和,它们的夹角为120°,如图,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若=x+y,其中x,y∈R,则x+y的最大值是________. 基础题型训练 一、单选题1.下面给出的关系式中正确的个数是( )①;②;③;④;⑤A.1 B.2 C.3 D.42.下列结论中,正确的是( )A.2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且仅有两个点A,B,使得是单位向量C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移3.若=(1,1),=2,且,则与的夹角是( )A. B. C. D.4.若是边长为1的等边三角形,G是边BC的中点,M为线段AG上任意一点,则的取值范围是( )A. B. C. D.5.已知向量,在正方形网格中的位置如图所示,那么向量与的夹角为( )A. B.C. D.6.已知空间任一点和不共线的三点、、,下列能得到、、、四点共面的是( )A. B.C. D.以上都不对 二、多选题7.若是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量,,则下列说法正确的是( )A. B. C.与的夹角为 D.8.对于两个向量和,下列命题中错误的是( )A.若,满足,且与同向,则 B.C. D. 三、填空题9.若向量,满足,,,则与的夹角为_________.10.在中,、、分别是角A、、的对边,,,,,则___________.11.在中,,且,则的最小值是___________.12.已知向量,,,满足,,,,若,则的最小值为______. 四、解答题13.运用数量积知识证明下列几何命题:(1)在中,,则;(2)在矩形ABCD中,AC=BD.14.如图所示,中,,边上的中线交于点,设,用向量表示.15.已知,且与的夹角为,又,,(1)求在方向上的投影;(2)求.16.平面内给定三个向量,且.(1)求实数k关于n的表达式;(2)如图,在中,G为中线OM上一点,且,过点G的直线与边OA,OB分别交于点P,Q(不与重合).设向量,求的最小值. 提升题型训练 一、单选题1.已知是互相垂直的单位向量,若,则( )A. B. C.0 D.22.如图,四边形中,,则相等的向量是( )A.与 B.与 C.与 D.与3.下列命题正确的是A.B.C.D.4.对于非零向量,,定义.若,则( )A. B. C. D.5.设向量,满足,,,则的取值范围是( )A. [,+∞) B. [,+∞)C.[,6] D.[,6]6.已知,,则的最大值等于( )A.4 B. C. D.5 二、多选题7.有如下命题,其中真命题为( )A.若幂函数的图象过点,则B.函数(且)的图象恒过定点C.函数在上单调递减D.已知向量与的夹角为,且,,则在方向上的投影向量是.8.下列命题中假命题的是( )A.向量与向量共线,则存在实数使B.,为单位向量,其夹角为θ,若,则C.若,则D.已知与是互相垂直的单位向量,若向量与的夹角为锐角,则实数k的取值范围是. 三、填空题9.下列向量中,与一定共线的有_______.(填序号)①,;②;;③,;④,.10.已知向量,满足,,且,则与的夹角为______.11.已知向量与的夹角是,且,则向量与的夹角是_____.12.已知平行四边形ABCD中,对角线AC,BD相交于点O,已知,则__. 四、解答题13.如图,网格小正方形的边长均为1,求.14.如图,按下列要求作答.(1)以A为始点,作出;(2)以B为始点,作出;(3)若为单位向量,求、和.15.已知,,.(1)求向量与的夹角;(2)求16.如图,设Ox,Oy是平面内相交成角的两条数轴,、分别是x轴,y轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标,假设.(1)计算的大小;(2)是否存在实数n,使得与向量垂直,若存在,求出n的值,若不存在请说明理由.
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