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    2024高考数学第一轮复习:专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(原卷版)

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    这是一份2024高考数学第一轮复习:专题5.1 平面向量的概念及其线性运算(原卷版),共13页。试卷主要包含了向量的有关概念,向量的线性运算,共线向量定理等内容,欢迎下载使用。
    5.1  平面向量的概念及其线性运算思维导图  知识点总结1.向量的有关概念(1)向量:既有大小又有方向的量叫作向量,用有向线段表示,此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模),记作    |.(2)零向量:      的向量,记作0.(3)单位向量:长度等于   长度的向量.(4)平行向量(共线向量):方向相同相反的非零向量.向量ab平行,记作ab.规定:0与任一向量    .(5)相等向量:长度   且方向   的向量.(6)相反向量:长度     且方向   的向量.2.向量的线性运算向量运算定 义法则(或几何意义)运算律加法求两个向量和的运算三角形法则平行四边形法则(1)交换律:abba(2)结合律:(ab)c      减法求两个向量差的运算aba(b)数乘规定实数λ与向量a相乘的运算,叫作向量的数乘,记作λa(1)|λa|     (2)a0,则当λ0时,λa的方向与a的方向相同λ0时,λa的方向与a的方向相反;特别地,当λ0时,0a0;当a0时,λ00λ(μa)λμa(λμ)a    λ(ab)     3.共线向量定理a为非零向量,如果有一个实数λ,使     ,那么ba共线向量;反之,如果ba是共线向量,那么有且只有一个实数λ,使bλa.[常用结论]1.中点公式的向量形式:若P为线段AB的中点,O为平面内任一点,则().2.λμ(λμ为实数),若点ABC共线(O不在直线BC),则λμ1.3.解决向量的概念问题要注意两点:一是不仅要考虑向量的大小,更重要的是考虑向量的方向;二是要特别注意零向量的特殊性,考虑零向量是否也满足条件.  典型例题分析考向一  平面向量的有关概念1.  ab都是非零向量,下列四个条件中,使成立的充分条件是(  )A.a=-b  B.abC.a2b  D.ab|a||b|   感悟提升 平行向量有关概念的四个关注点(1)相等向量具有传递性,非零向量的平行也具有传递性.(2)共线向量即为平行向量,它们均与起点无关.(3)向量可以平移,平移后的向量与原向量是相等向量,解题时,不要把它与函数图象的平移混淆. 考向二 向量的线性运算角度1 平面向量加、减运算的几何意义2 (2023·芜湖调研)如图,等腰梯形ABCD中,ABBCCD3AD,点E为线段CD上靠近C的三等分点,点F为线段BC的中点,则(  )A.  B.C.  D.    角度2 向量的线性运算3 ABC中,,若ab,则等于(  )A.ab  B.abC.ab  D.ab      角度3 利用向量的线性运算求参数4 ABC中,AB2BC3ABC30°ADBC边上的高.λμ,则λμ________.    感悟提升 平面向量线性运算的常见类型及解题策略(1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则;求差用向量减法的几何意义.(2)求参数问题可以通过向量的运算将向量表示出来,进行比较,求参数的值.  考向三 共线向量定理的应用5 (1)(2022·绵阳二诊)已知平面向量ab不共线,4a6b=-a3ba3b,则(  )A.ABD三点共线  B.ABC三点共线C.BCD三点共线  D.ACD三点共线   (2)(2023·山西大学附中诊断)如图所示,已知点GABC的重心,过点G作直线分别与ABAC两边交于MN两点,设xy,则的值为(  )A.3  B.4  C.5  D.6        感悟提升 利用共线向量定理解题的策略(1)abaλb(b0)是判断两个向量共线的主要依据.注意待定系数法和方程思想的运用.(2)当两向量共线且有公共点时,才能得出三点共线,即ABC三点共线共线.(3)ab不共线且λaμb,则λμ0.(4)λμ(λμ为实数),若ABC三点共线(O不在直线BC),则λμ1.  考向四  等和(高)线定理(1)由三点共线结论推导等和()线定理:如图,由三点共线结论可知,若λμ(λμR),则λμ1,由OABOAB相似,必存在一个常数kkR,使得k,则k,又xy(xyR)xyk(λμ)k;反之也成立.(2)平面内一组基底及任一向量λμ(λμR),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,则λμk(定值);反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和()线. 给定两个长度为1的平面向量,它们的夹角为120°,如图,点C在以O为圆心的圆弧上运动,若xy,其中xyR,则xy的最大值是________.  基础题型训练  一、单选题1.下面给出的关系式中正确的个数是(     A1 B2 C3 D42.下列结论中,正确的是(    A2 020 cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且仅有两个点AB,使得是单位向量C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量不可能是平行向量D.一人从A点向东走500米到达B点,则向量不能表示这个人从A点到B点的位移3.若(11)2,且,则的夹角是(    A B C D4.若是边长为1的等边三角形,G是边BC的中点,M为线段AG上任意一点,则的取值范围是(    A B C D5.已知向量在正方形网格中的位置如图所示,那么向量的夹角为(      A BC D6.已知空间任一点和不共线的三点,下列能得到四点共面的是(    A BC D.以上都不对 二、多选题7.若是直线l上的一个单位向量,这条直线上的向量,则下列说法正确的是(    A B C的夹角为 D8.对于两个向量,下列命题中错误的是(    A.若满足,且同向,则 BC D 三、填空题9.若向量满足,则的夹角为_________.10.在中,分别是角A的对边,,则___________.11.在中,,且,则的最小值是___________.12.已知向量,满足,若,则的最小值为______. 四、解答题13.运用数量积知识证明下列几何命题:(1)中,,则(2)在矩形ABCD中,ACBD.14.如图所示,中,边上的中线于点,设,用向量表示.15.已知的夹角为,又(1)方向上的投影;(2)16.平面内给定三个向量,且(1)求实数k关于n的表达式;(2)如图,在中,G为中线OM上一点,且,过点G的直线与边OAOB分别交于点PQ不与重合).设向量,求的最小值.  提升题型训练 一、单选题1.已知是互相垂直的单位向量,若,则    A B C0 D22.如图,四边形中,,则相等的向量是(    A B C D3.下列命题正确的是ABCD4.对于非零向量,定义.若,则    A B C D5.设向量满足,则的取值范围是(    A[,+∞) B[,+∞)C[6] D[6]6.已知,则的最大值等于(    A4 B C D5 二、多选题7.有如下命题,其中真命题为(    A.若幂函数的图象过点,则B.函数)的图象恒过定点C.函数上单调递减D.已知向量的夹角为,且,则方向上的投影向量是8.下列命题中假命题的是(    A.向量与向量共线,则存在实数使B为单位向量,其夹角为θ,若,则C.若,则D.已知是互相垂直的单位向量,若向量的夹角为锐角,则实数k的取值范围是. 三、填空题9.下列向量中,一定共线的有_______.(填序号)10.已知向量,满足,且,则的夹角______.11.已知向量的夹角是,且,则向量的夹角是_____.12.已知平行四边形ABCD中,对角线ACBD相交于点O,已知__ 四、解答题13.如图,网格小正方形的边长均为1,求.14.如图,按下列要求作答.(1)A为始点,作出(2)B为始点,作出(3)为单位向量,求15.已知1)求向量的夹角2)求16.如图,设OxOy是平面内相交成角的两条数轴,分别是x轴,y轴正方向同向的单位向量,若向量,则把有序数对叫做向量在坐标系xOy中的坐标,假设.(1)计算的大小;(2)是否存在实数n,使得与向量垂直,若存在,求出n的值,若不存在请说明理由. 

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