人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题27一次函数与等腰三角形结合(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题27一次函数与等腰三角形结合(原卷版+解析)，共46页。
1．已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2图象如图所示，直线y1与直线y2交于A点（0，3），直线y1、y2分别与x轴交于B、C两点．
(1)求函数 y1、y2的解析式．
(2)求△ABC的面积．
(3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
2．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点和点B，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求OD的长；
(3)设P是x轴上一动点，若使是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标．
3．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A．
(1)求A点坐标；
(2)在直线上是否存在点Q，使的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)如果在y轴上存在一点P，使得为等腰三角形，求P点的坐标．
4．如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点．
(1)求点的坐标；
(2)如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标是________；
(3)点在线段上，使的面积等于6，求点的坐标．
5．如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1)求一次函数解析式；
(2)求DC的长；
(3)点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
6．已知一次函数和图像如图所示，直线与直线交于点，直线、分别与轴交于、两点．
(1)求函数、的解析式．
(2)求的面积．
(3)已知点在轴上，且满足是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点P在x轴上，且，求点P的坐标．
(3)在y轴是否存在点M，使三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M坐标，若不存在，请说明理由．
8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例的函数的图象交于点C．
(1)求一次函数的解析式及点C的坐标；
(2)请结合图象直接写出不等式组的解集；
(3)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
9．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使、分别落在x、y轴的正半轴上，对角线所在直线解析式为，将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处．
(1)求点E的坐标；
(2)在y轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
10．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点A，，点在轴上（不与原点重合），并且使以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的坐标为______ ．
二、解答题(共0分)
11．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
(1)填空：线段的长为___________；
(2)折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交于点D，交于点E，连接，如图2．
①求线段的长___________．
②在y轴上，是否存在点P，使得为以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
12．已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
(3)如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．
13．一次函数的图像经过点，并与直线相交于点，与轴相交于点，其中点的横坐标为．
(1)求点的坐标和，的值；
(2)点为直线上一动点，当点运动到何位置时，的面积等于？请求出点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
14．如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点B的坐标为，作出直线.
(1)求点A的坐标，并求出直线的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明理由；
(3)点P为线段上一动点,当时，求点P的坐标．
15．如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，2），动点C在x轴上运动（不与点O、点A重合），连接BC．
(1)若点C为（3，0），则△ABC的面积为 ；
(2)若点C（x，0）在线段OA上运动（不与点O、点A重合），求△ABC面积y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在x轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
17．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接OP．
(1)求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；
(2)若△OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标；
(3)求OP＋PM的最小值．
18．如图，在平面直角坐标xOy中，已知直线y＝﹣2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线l过原点，与AB交于点C，△OBC的面积为．
(1)求A、B两点的坐标．
(2)求直线l的解析式．
(3)若直线l上有一动点P（不与O重合），连接AP，PQ⊥AP，交x轴于点Q，当△AOP为等腰三角形时，求点Q的坐标．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)直接写出点B、C的坐标：
(2)点是直线图象上一点，设的面积为S，请求出S关于x的函数关系式；并探究当点M运动到什么位置时（求出M点坐标即可），的面积为10，并说明理由．
(3)线段CD上是否存在点P，使为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
专题27 一次函数与等腰三角形结合
1．已知一次函数y1=k1x+b1和y2=k2x+b2图象如图所示，直线y1与直线y2交于A点（0，3），直线y1、y2分别与x轴交于B、C两点．
(1)求函数 y1、y2的解析式．
(2)求△ABC的面积．
(3)已知点P在x轴上，且满足△ACP是等腰三角形，请直接写出P点的坐标．
答案：(1)，
(2)3
(3)或或或
分析：（1）把点的坐标代入函数解析式即可得到函数y1和y2的函数关系式；
（2）根据三角形的面积公式计算即可得△ABC的面积；
（3）根据勾股定理得到，分类讨论：①当时，根据等腰三角形的性质得到P1（−3，0）；②当AC＝CP＝时，根据等腰三角形的性质得到P2，③当AP＝PC＝3时，P在AC的垂直平分线上，由线段垂直平分线的性质即可得到结论．
【详解】（1）解：把A（0，3），C（3，0）代入y2＝k2x＋b2得，
解得：，
故函数y2的函数关系式y2＝−x＋3；
把A（0，3），B（1，0）代入y1＝k1x＋b1得，
解得：，
故y1的函数关系式为：y1＝−3x＋3．
（2）解：，
．
（3）解：∵OA＝OC＝3，
∴，
①当时，，
∴P1（−3，0）；
②当时，，
∴P2；
③当时，P在AC的垂直平分线上，
∴P与O重合，
∴P3（0，0），
④当时，，
∴P4；
综上所述：P点坐标为：或或或．
【点睛】本题考查了两直线相交的问题，三角形的面积，求交点坐标，待定系数法求解析式，认真审题，弄清题意是解题的关键．解第（3）问时需要进行分类讨论．
2．如图，一次函数的图象与x轴和y轴分别交于点和点B，正比例函数的图象与一次函数的图象交于点．
(1)求直线AB的解析式；
(2)求OD的长；
(3)设P是x轴上一动点，若使是等腰三角形，请直接写出符合条件的点P的坐标．
答案：(1)
(2)
(3)，或或或
分析：（1）由解析式求得的坐标，然后根据待定系数法即可求得直线的解析式；
（2）过点作轴于点，利用勾股定理即可求解；
（3）根据轴上点的坐标特点设出点的坐标，再根据两点间的距离公式解答即可．
【详解】（1）∵点在正比例函数的图象上
∴
∴
依题意得：
解得：
∴直线AB的解析式为：
（2）过点D作轴于点C．
则，
依勾股定理得：
∴
（3）在中，令，解得，
，
，
设点坐标为，
当时，，
，解得，
点的坐标为，；
当时，，
，解得或，
点的坐标为或；
当时，，
，解得（与点重合，舍去）或，
点的坐标为；
综上，点坐标为，或或或．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查待定系数法求函数解析式、勾股定理及两点间的距离公式，等腰三角形的性质，在解（3）时要注意分类讨论，不要漏解．
3．如图，直线与x轴、y轴分别相交于点C、B，与直线相交于点A．
(1)求A点坐标；
(2)在直线上是否存在点Q，使的面积等于6？若存在，请求出Q点的坐标，若不存在，请说明理由．
(3)如果在y轴上存在一点P，使得为等腰三角形，求P点的坐标．
答案：(1)(2,3)
(2)存在，Q点坐标为：、
(3)存在，P点坐标为：、、、
分析：（1）联立两直线的解析式，解二元一次方程组即可求解；
（2）先求出B、C两点的坐标，进而求出，，分类讨论：当Q点在射线AB上时，有：，根据，可得，此时Q点坐标可求；当Q点在射线AC上时，有：，根据，可得，此时Q点坐标可求；
（3）利用勾股定理求出OA，在分类讨论：当OA=OP时，可得，即此时P点坐标可求；当AO=AP时， ，根据A点坐标为：(2,3)，可得，进而可得，即此时P点坐标可求；当AP=OP时，即有，根据勾股定理可得，，则有，即此时P点坐标可求．
(1)
联立，解得：，
即A点坐标为：(2,3)；
(2)
存在，
∵直线与坐标轴的交点C、B，
∴当x=0时，y=7，即B点作标为(0,7)，
当y=0时，x=，即C点坐标为(,0)，
∴OB=7，OC=，
∵A点坐标为：(2,3)，
∴，，
当Q点在射线AB上时，如图，
有：
∵，，
∴，解得，
∴根据Q点在直线，可得，
即此时Q点坐标为：，
当Q点在射线AC上时，如图，
有：，
∵，，
∴，解得，
∴根据Q点在直线，可得，
即此时Q点坐标为：，
综上：Q点坐标为：、；
(3)
存在，
∵A点坐标为：(2,3)，
∴，
分类讨论：
当OA=OP时，△OAP是等腰三角形，
即，
∵P点在y轴上，
∴，
∴，
即此时P点坐标为：、；
当AO=AP时，△OAP是等腰三角形，
即，
∵A点坐标为：(2,3)，
∴，
∵P点在y轴上，
∴，
∴解得：，（舍去），
即此时P点坐标为：；
当AP=OP时，△OAP是等腰三角形，
∵AP=OP，
∴，
∵P点在y轴上，
∴，，
∴，
解得：，
此时P点坐标为：．
综上所述：P点坐标为：、、、．
【点睛】本题考查了求解两直线交点坐标、已知坐标系中三角形面积求点坐标、等腰三角形的性质、勾股定理等知识，利用勾股定理求出坐标系两点之间的距离是解答本题的关键．解答本题要注重分类讨论的思想．
4．如图直线与轴、轴分别交于点、，与直线交于点．
(1)求点的坐标；
(2)如果在轴上存在一点，使是以为底边的等腰三角形，则点的坐标是________；
(3)点在线段上，使的面积等于6，求点的坐标．
答案：(1)A；
(2)；
(3)Q，
分析：（1）联立方程组，即可求得；
（2）设点坐标是，根据勾股定理列出方程，解方程即可求得；
（3）作轴于点，则，根据列出关于的方程解方程求得即可．
（1）
联立方程组得：，
解得：，
点坐标是；
（2）
设点坐标是，
是以为底边的等腰三角形，
，
，
解得，
点坐标是，
故答案为：；
（3）
直线与轴、轴分别交于点、，
，，，
，
设点的坐标是，
作轴于点，如图，
则，
，
，即，
，
把代入，得，
的坐标是，．
【点睛】本题是一次函数的综合题，考查了交点的求法，等腰三角形的性质，三角形面积的求法等，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
5．如图，一次函数的图象经过点A（4，0）和点D（2，1.5），与y轴交于点B，将△AOB沿直线CD对折，使点A与点B重合，直线CD与x轴交于点C，与AB交于点D．
(1)求一次函数解析式；
(2)求DC的长；
(3)点P是x轴上一动点，若△PAB是等腰三角形，直接写出点P的坐标．
答案：(1)y= x+3
(2)DC的长为
(3)P点坐标为（，0）或（−1，0）或（9，0）或（−4，0）．
分析：（1）用待定系数法求解即可；
（2）设点C的坐标为（c，0），可得OC＝c，BC＝AC＝4−c，在Rt△BOC中，用勾股定理列方程求出c的值，再用两点间距离公式求解即可；
（3）求出AB＝5，然后分PA＝PB，PA＝AB和PB＝AB三种情形分别求解即可解决问题．
【详解】（1）解：设一次函数的解析式为y＝kx＋b，
∵点A（4，0），D（2，1.5）在一次函数图象上，
∴，解得：，
∴一次函数的解析式为；
（2）由（1）知，一次函数的解析式为，
令x＝0，则y＝3，
∴B（0，3），
∴OB＝3，
由折叠知，BC＝AC，
设点C的坐标为（c，0），
∴OC＝c，BC＝AC＝4−c，
在Rt△BOC中，根据勾股定理得，，
∴，
∴c＝，
∴C（，0），
∵D（2，1.5），
∴DC＝；
（3）∵A（4，0），B（0，3），
∴AB＝，
当PA＝PB时，点P与点C重合，此时P（，0）；
当PA＝AB＝5时，∵A（4，0），
∴P（−1，0）或（9，0）；
当PB＝AB时，可得PO＝AO＝4，
∴P（−4，0），
综上所述，若△PAB是等腰三角形，P点坐标为（，0）或（−1，0）或（9，0）或（−4，0）．
【点睛】此题是一次函数的综合题，主要考查了待定系数法，勾股定理，翻折的性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．
6．已知一次函数和图像如图所示，直线与直线交于点，直线、分别与轴交于、两点．
(1)求函数、的解析式．
(2)求的面积．
(3)已知点在轴上，且满足是等腰三角形，请直接写出点的坐标．
答案：(1)，
(2)3
(3)点坐标为：或，或或，
分析：（1）把点的坐标代入函数解析式即可得到函数和的函数关系式；
（2）根据三角形的面积公式计算即可的面积；
（3）根据勾股定理得到，分类讨论：①当时，根据等腰三角形的性质得到，②当时，根据等腰三角形的性质得到，或，．③当时，在的垂直平分线上，由线段垂直平分线的性质即可得到结论．
（1）
由图象得：，，
把，代入得
解得：．
故函数的函数关系式，
把，代入得，
解得：．
故的函数关系式为：；
（2）
；
（3）
，
，
①当时，
，
；
②当时，
或，
，或，；
③当时，在的垂直平分线上，
，
与重合，
，
综上所述：点坐标为：或，或或，．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了两直线相交的问题，三角形的面积，求交点坐标，待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，认真审题，弄清题意是解题的关键．解第（3）问时需要进行分类讨论．
7．如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴，y轴分别交于点A，点B．
(1)求点A和点B的坐标；
(2)若点P在x轴上，且，求点P的坐标．
(3)在y轴是否存在点M，使三角形是等腰三角形，若存在，请直接写出点M坐标，若不存在，请说明理由．
答案：(1)A ;B
(2)或
(3)存在, M坐标为和
分析：（1）分别代入y＝0，x＝0，求出与之对应的x，y值，进而可得出点A，B的坐标；
（2）设点P的坐标为，由三角形的面积公式结合，可得出，进而可得出点P的坐标；
（3）由OA，OB的长可求出AB的长，分AB＝AM，BA＝BM，MA＝MB三种情况，利用等腰三角形的性质可求出点M的坐标．
(1)
∵当时，，解得：，
∴点A的坐标为；
∵当时，，
∴点B的坐标为．
(2)
设点P的坐标为，
∵，
∴
∴，
∴点P的坐标为或．
(3)
∵OB＝4，OA＝2，
∴AB＝．
分三种情况考虑（如图所示）：
①当AB＝AM时，OM＝OB＝4，
∴点M1的坐标为（0，−4）；
②当BA＝BM时，BM＝2，
∴点M2的坐标为（0，4＋2），点M3的坐标为（0，4−2）；
③当MA＝MB时，设OM＝a，则BM＝AM＝4−a，
∴AM2＝OM2＋OA2，即（4−a）2＝a2＋22，
∴a＝，
∴点M4的坐标为（0，）．
综上所述：在y轴上存在点M，使三角形MAB是等腰三角形，点M坐标为和（0，）．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、三角形的面积、勾股定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征，求出点A，B的坐标；（2）利用两三角形面积间的关系，找出OP的长；（3）分AB＝AM，BA＝BM，MA＝MB三种情况，利用等腰三角形的性质求出点M的坐标．
8．如图，一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，与正比例的函数的图象交于点C．
(1)求一次函数的解析式及点C的坐标；
(2)请结合图象直接写出不等式组的解集；
(3)在x轴上是否存在一点P，使是等腰三角形，若存在，请直接写出点P的坐标，若不存在，请说明理由．
答案：(1)一次函数的解析式为，点C的坐标
(2)
(3)存在，P点的坐标为或或或
分析：（1）利用待定系数法求解即可；
（2）由图象即可求解；
（3）分①②②三种情况解答即可．
【详解】（1）∵一次函数的图象与x轴交于点，与y轴交于点，
∴，
解得：，
∴一次函数的解析式为，
∵与函数的图象交于点C，
∴，
∴，
当时，，
∴点C的坐标；
（2）由图象得：即一次函数的图象在正比例的函数的图象的下方，并在x轴的上方，
∵一次函数的解析式为，C点的坐标，点，
∴不等式组的解集为；
（3）设，
∵，，
∴，
，
，
要使是等腰三角形，
①当OC＝PC时，
∴，
，
解得或，
当时与O点重合（舍去），
∴，
∴；
②当时，
∴，
∴，
∴或，
∴或；
③当时，
∴，
∴，
解得，
∴．
综上所述，存在，P点的坐标为或或或．
【点睛】本次是一次函数的综合题，考查一次函数的性质、利用图象求不等式组的解集，等腰三角形的性质等，熟练掌握一次函数的性质，等腰三角形的性质等是解题的关键．
9．如图，把矩形放入平面直角坐标系中，使、分别落在x、y轴的正半轴上，对角线所在直线解析式为，将矩形沿着折叠，使点A落在边上的点D处．
(1)求点E的坐标；
(2)在y轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)；
(2)点P的坐标为或或或．
分析：（1）由直线解析式求出点A，C的坐标，设，则由折叠的性质可知，求出，，在中，由勾股定理得：，即，解得，即；
（2）为等腰三角形，分情况讨论：①当时，②当时，③当时，分别建立方程求解即可．
【详解】（1）解：∵对角线所在直线解析式为，
∴令，得，令，得，
∴，，，
设，则由折叠的性质可知，
在中，，，
∴，
∴，
在中，由勾股定理得：，即，解得，
∴；
（2）解：设，
∵，，
∴，，，
∵为等腰三角形，
∴分情况讨论：
①当时，即，解得：或，
∴或；
②当时，即，解得：，
∴，
③当时，即，解得：或（于点D重合，故舍去），
∴，
综合以上可得，点P的坐标为或或或．
【点睛】本题主要考查一次函数与几何综合，掌握一次函数及其应用，等腰三角形与直角三角形的性质，勾股定理，折叠的性质是解题的关键．
10．如图，已知一次函数的图象与轴、轴分别交于点A，，点在轴上（不与原点重合），并且使以点A，，为顶点的三角形是等腰三角形，则的坐标为______ ．
答案：、或
分析：根据题意，可以求得点A和点的坐标，再根据勾股定理，可以得到的长，然后利用分类讨论的方法可以求得点的坐标．
【详解】解：一次函数，
当时，，当时，，
点A的坐标为，点的坐标为，
，，
，
当点在点上方时，此时，
点的坐标为；
当点在点的下方时，此时，
点的坐标为；
当时，点在轴的负半轴上时，此时点的坐标为；
由上可得，点的坐标为、或，
故答案为：、或．
【点睛】本题考查一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
二、解答题(共0分)
11．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴，y轴分别交于点A，点C，过点A作轴，垂足为点A，过点C作轴，垂足为点C，两条垂线相交于点B．
(1)填空：线段的长为___________；
(2)折叠图1中的，使点A与点C重合，再将折叠后的图形展开，折痕 交于点D，交于点E，连接，如图2．
①求线段的长___________．
②在y轴上，是否存在点P，使得为以为腰的等腰三角形？若存在，请求出符合条件的所有点Р的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)①线段的长为5；②或或
分析：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A，C的坐标，利用矩形的性质及勾股定理，可得出的长；
（2）①设，则，在中，利用勾股定理可求出a的值，进而可得出线段的长；
②设点P的坐标为，利用两点间的距离公式可求出 的值，分及二种情况，可得出关于t的一元一次方程，解之即可得出t的值，进而可得出点P的坐标．
【详解】（1）当时，，
∴点C的坐标为；
当时，，解得：，
∴点A的坐标为．
由已知可得：四边形为矩形，
∴．
故答案为： ．
（2）①设，则．
在中，，即，
解得：，
∴线段的长为5．
②存在，设点P的坐标为．
∵点A的坐标为，点D的坐标为，
∴ ．
当时，，
解得：，
∴点P的坐标为或；
当AP＝DP时，
解得：，
∴点P的坐标为．
综上所述：在y轴上存在点P，使得为以为腰的等腰三角形，点P的坐标为或或．
【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的性质、两点间的距离以及解解一元一次方程，解题的关键是：（1）利用一次函数图象上点的坐标特征求出点的坐标；（2）①通过解直角三角形，求出的长；②分及二种情况，找出关于t的一元一次方程．
12．已知四边形OABC是边长为4的正方形，分别以OA、OC所在的直线为x轴、y轴，建立如图1所示的平面直角坐标系，直线l经过A、C两点．
(1)求直线l的函数表达式；
(2)若P是直线l上的一个动点，请直接写出当△OPA是等腰三角形时点P的坐标；
(3)如图2，若点D是OC的中点，E是直线l上的一个动点，求使OE+DE取得最小值时点E的坐标．
答案：(1)
(2)P点坐标为（0，4）或（2，2）或或
(3)
分析：（1）由题意易得A，C两点坐标，设出一次函数解析式，待定系数法求函数解析式即可；
（2）设出点坐标，分别表示出，，的长，然后根据等腰三角形两腰相等分三种情况列方程求解即可；
（3）由题意可知点O与点B关于直线l对称，连接BD，与l的交点即为点E，求出DB的解析式与l的解析式联立可得E的坐标．
【详解】（1）解：设直线l的函数表达式为，将A（4，0）和C（0，4）代入得，
解得，
∴直线l的函数表达式；
（2）解：设点坐标为，则，，，
①当，则，解得，（舍去），
∴点坐标为；
②当，则，解得，，
∴点坐标为或；
③当，则，解得，
∴点坐标为；
综上所述，点坐标为或或或；
（3）解：由题意知O与B关于直线l对称，如图连接DB，交AC于点E，则点E为所求，此时OE+DE取得最小值，
设DB所在直线为，将点D（0，2）、B（4，4）代入得，
解得 ，
∴直线DB为，
联立方程组：，
解得，
∴点E的坐标为．
【点睛】本题考查了一次函数的应用；解题的关键在于对等腰三角形腰的不同情况的讨论，考查了学生对一次函数与几何图形的综合运用的能力，要求学生能对平面图形中的最短距离求解时巧妙地运用线段之间的转化．
13．一次函数的图像经过点，并与直线相交于点，与轴相交于点，其中点的横坐标为．
(1)求点的坐标和，的值；
(2)点为直线上一动点，当点运动到何位置时，的面积等于？请求出点的坐标；
(3)在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)，
(2)或；
(3)存在，P的坐标为或或或
分析：（1）一次函数的图像与相交于点，点的横坐标为，则点，将点、的坐标代入一次函数表达式，即可求解；
（2）设点，则的面积：，进行计算即可；
（3）设点，根据题意得，，，分情况讨论：①当时，②当时，，③当时，，分别求解即可．
【详解】（1）解：一次函数的图像与相交于点，点的横坐标为．
则点B的纵坐标为： ，
即点B的坐标为：，
将点、的坐标代入一次函数表达式中，
，
解得：，；
（2）解：设点，
则的面积：，
解得：或，
即点或；
（3）解：设点，
∵点A、的坐标分别为：、，
∴，，，
①当时，
解得：或；
②当时，，
（舍去）或；
③当时，，
解得：；
综上点的坐标为：或或或 ．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，解题关键是理解题意，掌握这些知识点．
14．如图，直线交x轴和y轴于点A和点C，点B的坐标为，作出直线.
(1)求点A的坐标，并求出直线的解析式；
(2)在x轴上是否存在一点M，使是以为腰的等腰三角形，若存在请求出点M的坐标；若不存在请说明理由；
(3)点P为线段上一动点,当时，求点P的坐标．
答案：(1)点，；
(2)存在，，
(3)P
分析：（1）先根据直线可得点，点，然后运用待定系数法求得直线的解析式的解析式即可；
（2）设点M的坐标为，由勾股定理可求得的长，然后再分和两种情况解答即可；
（3）如图，当点P在线段上时，设与交于点H，再证可得，进而得到点H坐标；然后用待定系数法求得直线解析式，最后与直线联立即可解答．
【详解】（1）解：∵直线交x轴和y轴于点A和点C
∴点，点，
设直线的解析式为，
由题意可得：， 解得：，
∴直线的解析式为．
（2）解：设点M的坐标为
在中
由勾股定理得
当时，，解得：
∴
当时，由于轴
∴
∴
综上：在x轴上存在点M，使是以为腰的等腰三角形，．
（3）解：如图，当点P在线段上时，设与交于点H，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点H坐标为，
设直线解析式，
由题意可得，解得：，
∴直线解析式为，
联立方程组得：，解得：，
∴点P．
【点睛】本题属于一次函数与几何的综合题，主要考查了运用待定系数法求函数解析式、勾股定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、直线的交点等知识点，灵活运用相关知识点成为解答本题的关键．
15．如图1，平面直角坐标系中，一次函数图象分别交x轴、y轴于点A、B，一次函数的图象经过点B，并与x轴交于点C，点P是直线上的一个动点．
(1)求点A、点B的坐标；
(2)如图2，过点P作x轴的垂线，交直线BC于点Q，垂足为点H．试探究直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
(3)试探究x轴上是否存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，说明理由．
答案：(1)
(2)存在，或
(3)存在，M点坐标为或或或
分析：（1）根据一次函数图象上点在坐标轴上的特点，求出A、B点坐标即可；
（2）先确定直线的解析式，再设P，则，根据题意得到求出t的值即可求点P的坐标；
（3）设M，分别求出根据等腰三角形的边的关系，分三种情况讨论即可求解．
【详解】（1）解：（1）令则
令则
（2）存在点P，使理由如下：
将代入可得
令则
设P，则
解得或
或
（3）存在点M，使以A，B，M为顶点的三角形是等腰三角形，理由如下：
设
∴
当时，，
解得或（舍），
当时，
解得或，
∴或；
当时，
解得，
∴；
综上所述：M点坐标为或或或．
【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
16．如图，一次函数y＝kx+b的图象与x轴和y轴分别交于点A（6，0）和B（0，2），动点C在x轴上运动（不与点O、点A重合），连接BC．
(1)若点C为（3，0），则△ABC的面积为 ；
(2)若点C（x，0）在线段OA上运动（不与点O、点A重合），求△ABC面积y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
(3)在x轴上是否存在点C，使△ABC为等腰三角形？若存在请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
答案：(1)3
(2)y=-x+6(0＜x＜6)；
(3)存在，点C的坐标为：（-6，0）或（6+4，0）或（6-4，0）或（2，0）．
分析：（1）由点A（6，0）和B（0，2），点C为（3，0），即可求得AC与OB的长，继而可求得△ABC的面积；
（2）由点C（x，0）在线段OA上运动（不与点0、点A重合），即可求得AC=6-x，OB=2，继而求得△ABC面积y关于x的函数解析式，写出自变量x的取值范围；
（3）分别从AB=BC，AB=AC，AC=BC去分析求解即可求得答案．
（1）
解：∵A（6，0）和B（0，2），C（3，0），
∴AC=6-3=3，OB=2，
∴=AC•OB=×3×2=3；
故答案为：3；
（2）
解：∵AC=6-x，OB=2，
∴=AC•OB=×（6-x）×2=-x+6；
∵点C（x，0）在线段OA上运动（不与点O、点A重合），
∴自变量x的取值范围为：0＜x＜6；
∴y=-x+6(0＜x＜6)；
（3）
解：如图，
①当AB=BC时，
∵OB⊥x轴，
∴OA=OC，
∴点的坐标为：（-6，0）；
②当AB=AC时，
∵AB=，
点（6+4，0），点（6-4，0）；
③当AC=BC时，
设点（x，0），
则6-x=，
解得：x=2，
∴点的坐标为：（2，0）；
综上可得：点C的坐标为：（-6，0）或（6+4，0）或（6-4，0）或（2，0）．
【点睛】此题考查了一次函数的性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质．注意掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．
17．如图，在平面直角坐标系中，A（0，），B（3，0），点P是直线AB上一动点，过点P作x轴的垂线，垂足为M，连接OP．
(1)求直线AB的解析式，并直接写出∠ABO的度数；
(2)若△OBP是以OB为腰的等腰三角形，求所有满足条件的点P的坐标；
(3)求OP＋PM的最小值．
答案：(1)y＝－x＋，∠ABO＝30°
(2)所有满足条件的点P的坐标为（3＋，－）或（3－，）或（－，）
(3)OP＋PM的最小值为
分析：（1）根据A、B两点的坐标求出OA、OB，利用勾股定理求得AB，可求得，设AB直线为，代入A、B两点坐标，即可求解；
（2）分OB=OP，OB=PB两种情况，利用等要三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质即可求解；
（3）作点M关于AB的对称点，设点的轨迹为，由对称可得，则，可得直线与x轴的夹角为，可得当时，OP＋PM的最小，根据含30°角的直角三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵
∴，
∴，
∴，
设AB直线为，将A、B两点代入可得：
，解得，即；
（2）解：当OB=OP时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，
∵OB=3，，
∴OB=OP=3，，
∴，
∴，
∴，
∴，即；
当OB=PB时，如图，过点P作x轴的垂线，垂足为M，
则OB=PB=3，设，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴点P的坐标为；
同理可得点的坐标为；
综上，，，；
（3）解：作点M关于AB的对称点，如图
设点的轨迹为，
由对称可得，，
则，即直线与x轴的夹角为，，
∴当时，OP＋PM的最小，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式，等腰三角形的性质，以及含30°角的直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的性质以及含30°角的直角三角形的性质是解题的关键．
18．如图，在平面直角坐标xOy中，已知直线y＝﹣2x+2与x轴交于点B，与y轴交于点A，直线l过原点，与AB交于点C，△OBC的面积为．
(1)求A、B两点的坐标．
(2)求直线l的解析式．
(3)若直线l上有一动点P（不与O重合），连接AP，PQ⊥AP，交x轴于点Q，当△AOP为等腰三角形时，求点Q的坐标．
答案：(1)点A、B的坐标分别为（0，2）、（1，0）
(2)y＝x
(3)点Q的坐标为（2，0）或（0，0）或（2﹣2，0）或（﹣2﹣2，0）
分析：（1）对于y＝﹣2x+2，令y＝﹣2x+2＝0，则x＝1，令x＝0，则y＝2，即可求解；
（2）由△OBC的面积＝＝，解得，将点C的纵坐标代入y＝﹣2x+2得，＝﹣2x+2，解得x＝，故点C（，），即可求解；
（3）证明△PMQ≌△PNA（AAS），求出点Q（2m﹣2，0），利用△AOP为等腰三角形求出m的值，即可求解．
【详解】（1）对于y＝﹣2x+2，令y＝﹣2x+2＝0，则x＝1，
令x＝0，则y＝2，
故点A、B的坐标分别为（0，2）、（1，0）；
（2）∵△OBC的面积＝＝＝，解得，
将点C的纵坐标代入y＝﹣2x+2得，＝﹣2x+2，解得x＝，
故点C（，），
设直线l的表达式为y＝kx，将点C的坐标代入上式并解得k＝1，
故直线l的表达式为y＝x；
（3）设点P（m，m），过点O作x轴、y轴的垂线，垂足分别为M、N，
∵PQ⊥AP，则∠APQ＝90°，
∴∠QPM+∠MPA＝90°，
∵∠MPA+∠NPA＝90°，
∴∠MPQ＝∠NPA，
在△PMQ和△PNA中，
，
∴△PMQ≌△PNA（AAS），
则MQ＝AN＝m﹣2，则OQ＝m+m﹣2＝2m﹣2，
故点Q（2m﹣2，0），
在△AOP中，点A、P、O的坐标分别为（0，2）、（m，m）、（0，0），
则 ，
当AP＝AO时，则，解得m＝0（舍去）或2；
当AP＝OP时，同理可得m＝1；
当AO＝PO时，同理可得m＝±，
故m＝2或或1，
故点Q的坐标为（2，0）或（0，0）或（2﹣2，0）或（﹣2﹣2，0）．
【点睛】本题考查的是一次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、等腰三角形的性质、三角形全等、面积的计算等，其中（3），要注意分类求解，避免遗漏．
19．如图所示，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点B，直线与x轴交于点C，与y轴交于点D．
(1)直接写出点B、C的坐标：
(2)点是直线图象上一点，设的面积为S，请求出S关于x的函数关系式；并探究当点M运动到什么位置时（求出M点坐标即可），的面积为10，并说明理由．
(3)线段CD上是否存在点P，使为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
答案：(1)，；
(2)；或；
(3)存在，或，或，．
分析：（1）在，中，分别令，即可求点、的坐标；
（2）由，可求；再令，即可求点的坐标；
（3）设，则，，，分三种情况讨论：①当时，；②当时，，；③当时，，．
（1）
解：在中，令，则，
，
在中，令，则，
；
（2）
解：点是直线图象上一点，
，
；
当时，，
解得或，
或；
（3）
解：存在点，使为等腰三角形，理由如下：
设，
，根据两点距离公式可得：，，
①当时，，
解得（舍或，
；
②当时，，
解得（舍或，
，；
③当时，，
解得，
，；
综上所述：点坐标为或，或，．
【点睛】本题考查一次函数的综合应用，熟练掌握一次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．