人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题32一次函数与将军饮马结合(原卷版+解析)

这是一份人教版八年级数学下册常考点微专题提分精练专题32一次函数与将军饮马结合(原卷版+解析)，共39页。试卷主要包含了定义等内容，欢迎下载使用。
1．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．．
(1)求AB；
(2)在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．
（1）画出ABC关于y轴的对称的A1B1C1．
（2）A1B1C的面积为 ；
（3）y轴上存在一点P使得ABP的周长最小，点P的坐标为 ，周长最小值为 ．
3．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．
4．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线的反关联点为．已知点，，．
(1)点B的反关联直线的解析式为______，直线AC的反关联点的坐标为______；
(2)设直线AC的反关联点为点D；
①若点P在直线AC上，求的最小值；
②若点E在点B的反关联直线上，且，求点E的坐标．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4）．以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．
(1)当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时
①求AB解析式；
②求C点坐标；
(2)当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．
6．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且．
(1)求点D的坐标及直线的解析式；
(2)求的面积：
(3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．
7．如图，一次函数 y＝-x+6的图像与正比例函数 y＝2x 的图像交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）已知点 B 在直线 y＝-x+6上，且横坐标为5，在 x 轴上确定点 P，使 PA＋PB 的值最小，求出此时 P 点坐标，并直接写出 PA+PB 的最小值．
8．如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点，，平分交轴与点，，垂足为．
（1）求点，的坐标；
（2）求所在直线的解析式；
（3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值．
9．在中，，点P为边上的动点，速度为．
(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）． ，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求和的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？
10．如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C，点P在线段上，轴于点D，交直线于点Q．已知A点的横坐标为4．
(1)点C的坐标为______；
(2)当时，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，平分线交x轴于点M；
①求出M点的坐标；
②在线段上找一点N，使的周长最小，直接写出周长最小值______．
11．【阅读】已知平面直角坐标系中有两点，，根据勾股定理，可知两点间的距离．特别地，如果点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，那么这两点间的距离公式可简化为或．例如：已知点，，则这两点间的距离．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知，，则A，B两点间的距离为________．
(2)已知点M，N在同一条平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N两点问的距离为________．
(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试探究在x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请求出此时点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
12．如图1所示，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．
(1)求点E的坐标；
(2)如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求的最大值；
(3)如图1，将绕平面内某点旋转90°，O的对应点落在直线上，D的对应点落在直线上，请直接写出旋转后C的对应点的坐标．
13．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，在上取一点，以线段为直角边向右作等腰直角三角形，沿直线的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为秒（）．
（1）求，两点的坐标；
（2）在运动的过程中，为何值时，顶点落在直线上？请说明理由；
（3）在运动的过程中，是否存在实数，使得有最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
14．在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结，
∵点B，关于直线l对称，点C，在l上，
∴_________， _________，∴_________．
在中，∵，∴，即最小．
(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）
(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．
(3)如图，平面直角坐标系中， ，P是坐标轴上的点，则的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）
专题32 一次函数与将军饮马结合
1．如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴正半轴上，且．．
(1)求AB；
(2)在y轴上是否存在一点P，使得最小？若存在，请求出的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使是以AB为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出M点坐标．
答案：(1)5
(2)
(3)（8，0）、（-2，0）或（-3，0）．
分析：（1）根据题意求出a、b的值，运用勾股定理可求AB的值；
（2）首先求出点D的坐标，再作点B关于y轴的对称点连接，求解即可；
（3）根据AB是腰分类讨论即可．
【详解】（1）解：∵
∴a=4，b=3
∴OA=4，OB=3
根据勾股定理可得
∴
所以AB长度为5．
（2）解：存在点P，使得PB+PD最小值为
如图；过点D作轴，交y轴于点E，作点B关于y轴的对称点连接，过点D作轴于点F，
∵
∴
在和中

∴
∴OB=AE=3，OA=DE=4
∴点D坐标为（4，7）
∵，DF=7
根据勾股定理可得

∴
∴PB+PD最小值为．
（3）解：当AB=AM时，点M坐标为（-3，0）
当BA=BM时，点M坐标为（8，0）、（-2，0）
∴使以AB为等腰三角形的点M的坐标为（8 ，0）、（-2，0）或（-3，0）．
【点睛】本题是一次函数的综合应用，解题的关键是掌握勾股定理、对称求线段和最小、等腰三角形的判定．
2．如图，在平面直角坐标系中，ABC的三个顶点坐标分别为A(1，3)，B(2，1)，C(5，1)．
（1）画出ABC关于y轴的对称的A1B1C1．
（2）A1B1C的面积为 ；
（3）y轴上存在一点P使得ABP的周长最小，点P的坐标为 ，周长最小值为 ．
答案：（1）见解析；（2）7；（3），
分析：（1）分别作出三个顶点关于y轴的对称点，再首尾顺次连接即可；
（2）根据三角形的面积公式求解即可；
（3）利用待定系数法求出AB1所在直线解析式，从而得出点P坐标，再利用勾股定理可得三角形ABP周长最小值．
【详解】解：（1）如图所示，△即为所求．
（2）如图所示，连接，△的面积为，
故答案为：7；
（3）如图所示，连接，与轴的交点即为所求点，
设所在直线解析式为，
则，
解得，
，
当时，，
；
，，
周长最小值为，
故答案为：，．
【点睛】本题主要考查作图—轴对称变换，解题的关键掌握轴对称变换的定义和性质，并据此得出变换后的对称点．
3．如图，已知一次函数y＝kx＋b的图像经过A（1，4），B（4，1）两点，并且交x轴于点C，交y轴于点D．
(1)求该一次函数的表达式；
(2)若y轴存在一点P使PA＋PB的值最小，求此时点P的坐标及PA＋PB的最小值；
(3)在x轴上是否存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积；若存在请直接写出点M的坐标，若不存在请说明理由．
答案：(1)y＝-x＋5
(2)；
(3)存在，或
分析：(1)把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，求出k、b的值，即可写出一次函数的表达式．
(2)先作出A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B与y轴的交点即为P点．求出直线A′B的函数表达式，即可求出P点的坐标，利用两点之间的距离公式即可求出A′B的长，即PA+PB的最小值．
(3)先求出△AOB的面积，再根据△MOA的面积等于△AOB的面积列方程求出M点的横坐标，即可求出M点的坐标．
（1）
把A(1，4)，B(4，1)代入y=kx+b中，得
，解得，
∴一次函数的表达式为：y=-x+5；
（2）
作A(1，4)关于y轴的对称点A′(-1，4)，连接A′B交y轴于P点，连接PA，此时PA+PB的值最小，且PA+PB=PA′+PB=A′B，
设A′B的表达式为y=mx+n，则
，解得，
∴直线A′B的表达式为，
当x=0时，y=，
∴P(0， )，
且
，
∴PA+PB的最小值为；
（3）
由y=-x+5得C(5，0)，
∴S△AOB=S△AOC-S△BOC
，
设M(xM，yM)，
∵S△MOA=S△AOB，
，
∴，
∴或，
∴M(，0)或（，0），
∴存在一点M，使△MOA的面积等于△AOB的面积，且M点的坐标为(，0)或（，0）．
【点睛】本题主要考查了利用待定系数法求一次函数的表达式，求两条线段之和的最小值(即将军饮马)，两点之间距离公式，以及利用面积法求点的坐标，熟练掌握以上知识是解题的关键．
4．定义：对于平面直角坐标系xOy中的点和直线，我们称点是直线的反关联点，直线是点的反关联直线．特别地，当时，直线的反关联点为．已知点，，．
(1)点B的反关联直线的解析式为______，直线AC的反关联点的坐标为______；
(2)设直线AC的反关联点为点D；
①若点P在直线AC上，求的最小值；
②若点E在点B的反关联直线上，且，求点E的坐标．
答案：(1)，
(2)①；②或
分析：（1）根据反关联点，反关联直线的定义解决问题即可；
（2）①作点B关于直线AC的对称点B′，连接DB′交AC于P，连接PB，此时PD＋PB的值最小，然后利用勾股定理求解即可；
②设E（m，−4m），根据构建方程求出m即可．
(1)
解：∵B（0，−4），
∴点B的反关联直线的解析式为：y＝−4x，
∵A（−2，2），C（0，0），
∴直线AC的解析式为y＝−x，
∴直线AC的反关联点的坐标为（0，−1），
故答案为：y＝−4x，（0，−1）；
(2)
由（1）可知，，
①如图，作点B关于直线AC的对称点B'，连接DB'交AC于P，连接PB，此时的值最小，
∵，，
∴的最小值为：；
②设，
由题意得：，
解得：，
∴或．
【点睛】本题考查一次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
5．在平面直角坐标系xOy中，点A、B分别在y轴和x轴上，已知点A（0，4）．以AB为直角边在AB左侧作等腰直角△ABC，∠CAB＝90°．
(1)当点B在x轴正半轴上，且AB＝8时
①求AB解析式；
②求C点坐标；
(2)当点B在x轴上运动时，连接OC，求AC+OC的最小值及此时B点坐标．
答案：(1)①；②
(2)，
分析：（1）①根据，，推出，所以，，设直线的解析式为，将、坐标代入即可求出解析式；
②过点作轴的平行线，分别过点、作轴的平行线，交于、．则，所以，，即；
（2）由可知，点在直线上运动，作点关于直线的对称点，所以，的最小值为的长度，此时，即可求出坐标．
（1）
解：①，，
，
，，
设直线的解析式为，
，
，
解析式：；
②过点作轴的平行线，与分别过点、作轴的平行线交于、．
则
，，
；
（2）
由可知，在轴负半轴同理可说明）
点在直线上运动，作点关于直线的对称点，
，，
．
的最小值为，
此时，
．
【点睛】本题主要考查等腰直角三角形的性质、利用轴对称求最短线路．这里构造三角形全等找到点的运动轨迹是关键．
6．如图，直线与坐标轴交于A、B两点，与过点的直线交于点D，且．
(1)求点D的坐标及直线的解析式；
(2)求的面积：
(3)在y轴上是否存在一点P，使最大？若存在，请求出点P的坐标，并求出的最大值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)，；
(2)；
(3)点P的坐标为时，的最大值为
分析：（1）作轴于点，可证得：，故可得：，，由，可得出，，，，即可得出：D，即可得出直线的解析式；
（2）由三角形的面积公式即可得出结论；
（3）延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度，由可得出：点P ．由勾股定理可得，，即可得出答案．
【详解】（1）作轴于点，
由题意，，，
∵，
∴，
∴，，
由，令，得，
∴，，
令，得，得，
∴，，
∴，，
，
∴点D的坐标为，
设直线的解析表达式为，
代入和，
得，
解得，
∴直线的解析表达式为；
∴点D的坐标为，直线的解析表达式为；
（2）由题意得，，，
∴；
（3）存在，理由如下：
延长交y轴于点P，则点P即是所求的点，此时的最大值为线段的长度．
令，代入，
解得，
∴点P的坐标为．
在中，由勾股定理得，
．
综上，点P的坐标为时，的最大值为．
【点睛】本题考查了一次函数与几何问题，待定系数法求函数解析式，两点之间线段最短，构造三角形全等求线段长度，三角形面积，掌握以上知识是解题的关键．
7．如图，一次函数 y＝-x+6的图像与正比例函数 y＝2x 的图像交于点 A．
（1）求点 A 的坐标；
（2）已知点 B 在直线 y＝-x+6上，且横坐标为5，在 x 轴上确定点 P，使 PA＋PB 的值最小，求出此时 P 点坐标，并直接写出 PA+PB 的最小值．
答案：（1）点 A 的坐标(2，4)；（2）P 点坐标为(，0)，PA＋PB 的最小值为．
分析：(1)把两个函数关系式联立成方程组求解，即可求得交点A的坐标；
(2)作点B关于轴的对称点C，连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，利用两点之间的距离公式计算即可求得最小值．
【详解】(1)解方程组，
得：，
∴点A的坐标为(2，4)；
(2) ∵点B在直线上，且横坐标为5，
∴点B的坐标为(5，1)，
作B点关于x轴对称点C，
则点C的坐标为(5，-1)，
连接AC交轴于P，连接PB，此时PA+PB的值最小，
设直线AC的表达式为，
将点A、C的坐标(2，4)、(5，-1)代入，得：，
解得：，
∴直线AC的表达式为，
令，则，
∴P点坐标为(，0)，
∴PA+PB的最小值=AC=．
【点睛】本题考查了轴对称-最短问题，一次函数的交点问题，一次函数的应用，两点间距离公式等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．
8．如图1，一次函数的图象与坐标轴交于点，，平分交轴与点，，垂足为．
（1）求点，的坐标；
（2）求所在直线的解析式；
（3）如图2，点是线段上的一点，点是线段上的一点，求的最小值．
答案：（1）A（8，0）；B（0，）；（2）；（3）．
分析：（1）直接令x=0和y=0，即可求出点A、B的坐标；
（2）由角平分线的性质定理，设，由面积法求出m=3，然后得到点C的坐标，再根据，求出，即可求出CD所在直线的解析式；
（3）由题意，作点E关于直线BC的对称点，则，点恰好落在直线AB上，则求出的最小值，即为求的最小值，当⊥AB时，为最小，再利用面积法，即可求出答案．
【详解】解：（1）在一次函数中，
令，则，
令，则，
∴点A为（8，0），点B为（0，）；
（2）根据题意，如图，设CD=m，
∵平分，OC⊥OB，CD⊥BD，
∴，
∵OA=8，OB=6，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点C的坐标为（3，0）；
∵，
∴，
∵，
∴，
∴设直线CD的解析式为，
把点C（3，0）代入，则，
∴直线CD的解析式为；
（3）根据题意，作点E关于直线BC的对称点，则，如图：
∵BC是角平分线，
∴点恰好落在直线AB上，
∴，
∴的最小值就是的最小值，
当⊥时，为最小值；
∵，
∴，
∴，
∴的最小值为．
【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，轴对称的性质，角平分线的性质，最短路径问题，以及勾股定理求两点的距离等知识，解题的关键是熟练掌握所学的知识，运用数形结合的思想进行分析，从而进行解题．
9．在中，，点P为边上的动点，速度为．
(1)如图1，点D为边上一点，，动点P从点D出发，在的边上沿D→B→C的路径匀速运动，当到达点C时停止运动．设的面积为（cm2），的面积为（），点P运动的时间为t（）． ，与t之间的函数关系如图2所示，根据题意解答下列问题：
①在图1中， ， ；
②在图2中，求和的交点H的坐标；
(2)在（1）的条件下，如图3，若点P，点Q同时从点A出发，在的边上沿A→B→C的路径匀速运动，点Q运动的速度为，当点P到达点C时，点P与点Q同时停止运动．求t为何值时，最大？最大值为多少？
答案：(1)①5，6；②点
(2)时，最大值为5.5
分析：（1）①由图象可求解；②由勾股定理可求的长，由三角形的面积公式可求，即可求点H坐标；
（2）分三种情况讨论，由线段的和差关系可求解．
【详解】（1）①由图2可知，，，
∴（），
故答案为：5，6；
②如图1，过点A作于T，
∵，，
∴（），
∴（），
∴（），
∴当时，即，
此时点P是的中点，
∴，
∴，
∴点；
（2）①当时，P，Q均在上，
∴当时，最大，
②当时，P在上，Q在上，
∴，
∴当时，最大，
③当时，P，Q均在上，
∴，
∴当时，最大，
∴综上，时，最大值为5.5．
【点睛】本题是三角形综合题，考查了函数图象的性质，勾股定理，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．
10．如图1，直线和直线相交于点A，直线与x轴交于点C，点P在线段上，轴于点D，交直线于点Q．已知A点的横坐标为4．
(1)点C的坐标为______；
(2)当时，求Q点的坐标；
(3)如图2，在（2）的条件下，平分线交x轴于点M；
①求出M点的坐标；
②在线段上找一点N，使的周长最小，直接写出周长最小值______．
答案：(1)
(2)
(3)①；②
分析：（1）先求出点A的坐标，然后再求出b的值，最后求出直线与x轴的交点坐标即可；
（2）设点Q的坐标为：，则点P的坐标为：，根据列出关于m的方程，解方程即可；
（3）①过点M作于点N，设，则，根据角平分线的性质得出，证明，得出，代入求出t的值，即可得出答案；
②作点O关于直线的对称点，过点作轴于点E，连接交直线于点F，连接，交于一点，当N点在此点上时，的周长最小，根据相似三角形的判定和性质求出点的坐标，求出的长，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入得：，
∴点A的坐标为：，
把代入得：，
解得：，
∴，
把代入得：，
解得：，
∴点C的坐标为：．
故答案为：．
（2）解：设点Q的坐标为：，则点P的坐标为：，
，
∵，
∴，
解得：，
∴点Q的坐标为：．
（3）解：①过点M作于点N，如图所示：
∵点Q的坐标为：，
∴，，
∴，
设，则，
∵平分，，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，
∴M点的坐标为；
②如图所示，作点O关于直线的对称点，过点作轴于点E，连接交直线于点F，连接，交于一点，当N点在此点上时，的周长最小，
∵点M点的坐标为，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
解得：，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
即，
解得：，，
∴点的坐标为，
∴，
∵垂直平分，
∴，
∴，
即的周长最小值为．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，垂直平分线的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握三角形相似的判定方法．
11．【阅读】已知平面直角坐标系中有两点，，根据勾股定理，可知两点间的距离．特别地，如果点，所在的直线与坐标轴重合或平行于坐标轴或垂直于坐标轴时，那么这两点间的距离公式可简化为或．例如：已知点，，则这两点间的距离．
根据以上材料，解决下列问题：
(1)已知，，则A，B两点间的距离为________．
(2)已知点M，N在同一条平行于y轴的直线上，点M的纵坐标为-2，点N的纵坐标为3，则M，N两点问的距离为________．
(3)如图，在平面直角坐标系中，已知点，，试探究在x轴上是否存在一点P，使得的值最小？若存在，请求出此时点P的坐标及的最小值；若不存在，请说明理由．
答案：(1)
(2)5
(3)存在；P（2，0）；
分析：（1）根据两点间的距离公式进行计算即可；
（2）根据平行于y轴的两点间的距离公式进行计算即可；
（3）先做出点B关于x轴的对称点 ，连接与x轴的交点即为P点，即为的最小值．
【详解】（1）解：
，
故答案为：；
（2）解：
，
故答案为：5；
（3）解：存在．如图所示：作B关于x轴的对称点 ，连接与x轴的交点即为P点，即为的最小值．
设直线的解析式为：
则：
解得：
∴直线的解析式为：
当 时，
∴P的坐标为：（2，0）

【点睛】本题考查两点间的距离公式，以及求线段和的最小值．在坐标系下求线段和的最小值，属于将军饮马问题，需要作已知点的对称点，然后将对称点与另一个已知点连接所成的线段即为最短．
12．如图1所示，直线：与x轴、y轴分别交于A、B两点，直线：与x轴、y轴分别交于C、D两点，两直线交于点E．
(1)求点E的坐标；
(2)如图2，在x轴上有一动点P，连接PE、PD，求的最大值；
(3)如图1，将绕平面内某点旋转90°，O的对应点落在直线上，D的对应点落在直线上，请直接写出旋转后C的对应点的坐标．
答案：(1)
(2)
(3)或
分析：（1）通过联立直线解析式求解即可得出答案；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，则PD=PD′，|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，再运用勾股定理即可求得答案；
（3）分两种情况：①将△OCD绕平面内某点逆时针旋转90°，设O′（m，-m+3），由O′D′=OD=4，建立方程求解即可；②将△OCD绕平面内某点顺时针旋转90°，同理即可求得答案．
【详解】（1）由题意得：，
解得：，
∴点E的坐标（2，2）；
（2）如图1，作点D关于x轴的对称点D′，连接D′E交x轴于点P，
则PD=PD′，
∴|PE-PD|=|PE-PD′|=D′E最大，
∵直线l2：y=3x-4与y轴分别交于D点，
∴D（0，-4），
∴D′（0，4），
过点E作EG⊥y轴于点G，则EG=2，D′G=2，
∴
∴|PE-PD|的最大值为；
（3）∵直线l2：y=3x-4与x轴、y轴分别交于C、D两点，
∴C（，0），D（0，-4），
∴OC=，OD=4，OD⊥x轴，OC⊥y轴，
∴O′D⊥y轴，O′C⊥x轴，
①将△OCD绕平面内某点逆时针旋转90°，如图2，
∵O的对应点O'落在直线l1上，D的对应点D′落在直线l2上，
设O′（m，m+3），
则点D′的纵坐标为m+3，
∴m+3=3x-4，
解得
，
∵O′D′=OD=4，
解得
，
②将△OCD绕平面内某点顺时针旋转90°，如图3，
∵O的对应点O'落在直线l1上，D的对应点D′落在直线l2上，
设O′（m，m+3），
则点D′的纵坐标为m+3，
∴m+3＝3x﹣4，
∴x，
∴D′（，m+3），
∵O′D′＝OD＝4，
∴m﹣（）＝4，解得：m，
∴O′（，），
∵OC′＝OC，
∴C′（，）；
综上所述，旋转后C的对应点C′的坐标为（，）或（，）．
【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数综合运用，涉及到点的对称性、勾股定理、旋转变换的性质、分类讨论思想的运用等，综合性较强，有一定难度．
13．如图，直线分别与轴，轴交于，两点，在上取一点，以线段为直角边向右作等腰直角三角形，沿直线的方向以每秒1个单位长度的速度向右匀速运动，设运动时间为秒（）．
（1）求，两点的坐标；
（2）在运动的过程中，为何值时，顶点落在直线上？请说明理由；
（3）在运动的过程中，是否存在实数，使得有最小值？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
答案：（1）A（6，0），B（0，3）；（2）t=1；（3）存在实数t，使得有最小值，此时t为2秒．
分析：（1）利用直线与坐标轴交点性质即可求解；
（2）确定出经过秒，顶点的坐标为（1+t，2），落在直线l上，把点的坐标代入直线解析式，即可求出时间t；
（3）定点O，A到动点D距离和的最小值问题，作出A关于CD的对称点A'，连接OA'，与CD交于点D’，只需要求出移动距离就可以求出时间t．
【详解】解：（1）∵直线分别与x轴，y轴交于A，B两点，
当x＝0时，y＝3，
当y＝0时，x＝6，
∴A（6，0），B（0，3）；
（2）∵，
∴BC=3-2=1，
∵以线段为直角边向右作等腰直角三角形，
∴D（1，2），
∵经过秒，顶点的坐标为（1+t，2），
∴，解得：t=1；
（3）存在实数t，使得有最小值，
理由如下：
∵点D向右移动所在的直线：y＝2，
作点A关于直线CD对称点A'，则A'（6，4），
连接OA'，交于直线CD于点D'，此时O D'＋D'A最小，
∵O（0，0），A'（6，4），
∴直线OA'：y＝x，
与直线CD：y＝2联立解得点D'（3，2），
如图DD'＝3−1＝2，
t＝2÷1＝2（秒），
答：存在实数t，使得有最小值，此时t为2秒．
【点睛】本题考查一次函数的图像和性质以及等腰昊直角三角形的性质，关键在于根据“马饮水”问题确定出满足最小值的点D．
14．在进行13.4《最短路径问题》的学习时，同学们从一句唐诗“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”（唐•李颀《古从军行》出发，一起研究了蕴含在其中的数学问题——“将军饮马”问题．同学们先研究了最特殊的情况，再利用所学的轴对称知识，将复杂问题转化为简单问题，找到了问题的答案，并进行了证明．下列图形分别说明了以上研究过程．
证明过程如下：如图4，在直线l上另取任一点，连结，
∵点B，关于直线l对称，点C，在l上，
∴_________， _________，∴_________．
在中，∵，∴，即最小．
(1)请将证明过程补充完整．（直接填在横线上）
(2)课堂小结时，小明所在的小组同学提出，如图1，A，B是直线l同旁的两个定点．在直线l上是否存在一点P，使的值最大呢？请你类比“将军饮马”问题的探究过程，先说明如何确定点P的位置，再证明你的结论是正确的．
(3)如图，平面直角坐标系中， ，P是坐标轴上的点，则的最大值为_________，此时P点坐标为_________．（直接写答案）
答案：(1)
(2)连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求；证明见解析
(3)或；或
分析：（1）根据点B，关于直线l对称，可得，，从而得到．在中，根据三角形的三边关系，即可；
（2）连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求，根据三角形的三边关系，即可；
（3）分两种情况讨论：当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点，连接，
延长交x轴于点P，则点P即为所求；此时的最大值为；当点P在y轴上时，连接，延长交y轴于点，则点即为所求，此时的最大值为，即可求解．
【详解】（1）解：证明：如图4，在直线l上另取任一点，连结，
∵点B，关于直线l对称，点C，在l上，
∴，，
∴．
在中，∵，
∴，即最小．
故答案为：
（2）解：连结并延长，交直线l于点P，点P即为所求．
证明：如图，在直线l上任取任一点，连结，
在中，根据两边之差小于第三边得：，
而当点B，A，P共线时，，
所以此时最大；
（3）解：如图，当时点P在x轴上时，作点N关于x轴的对称点，连接，
延长交x轴于点P，则点P即为所求；此时的最大值为，
∵，
∴点，
∵，
∴，
设直线的解析式为，
把点，代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
此时点P的坐标为；
当点P在y轴上时，连接，延长交y轴于点，则点即为所求，此时的最大值为，
设直线的解析式为，
把点代入得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
当时，，
此时点的坐标为，
综上所述，的最大值为或，此时P点坐标为或．
故答案为：或；或
【点睛】本题主要考查了一次函数的实际，最短距离问题，勾股定理，三角形的三边关系，熟练掌握一次函数的图象和性质，勾股定理，三角形的三边关系是解题的关键．