2023-2024学年海南省儋州市高二下学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份2023-2024学年海南省儋州市高二下学期期末考试数学试题（含答案），共9页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A=xx−2<0，集合B=x|x|≥1，则( )
A. B⊆AB. ∁UA=x|x>2
C. A∩B=x|1≤x<2D. A∪B=R
2.设复数z满足z=|1−i|+i(i为虚数单位)，则复数z=( )
A. 2−iB. 2+iC. 1D. −1−2i
3.已知向量a=(−2,m)，b=(1,1+m)，则“a⊥b”是“m=1”的( )
A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件
C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件
4.重庆火锅、朝天门、解放碑、长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人、铜梁龙舞、红岩村为重庆十大文化符号.甲计划按照一定的先后顺序写一篇介绍重庆十大文化符号的文章，若第一个介绍的是重庆火锅，且长江三峡、大足石刻、重庆人民大礼堂、合川钓鱼城、巫山人的介绍顺序必须相邻(这五大文化符号的介绍顺序中间没有其他文化符号)，则该文章关于重庆十大文化符号的介绍顺序共有( )
A. 16000种B. 14400种C. 2880种D. 2400种
5.如图为某年6月份北京空气质量指数AQI−PM2.5历史数据折线图，以下结论不正确的是( )
指数数值与等级水平表：
A. 6月份空气质量为优的天数为8天
B. 6月份连续2天出现中度污染的概率为229
C. 6月份北京空气质量指数AQI−PM2.5历史数据的众数为160
D. 北京6月4至7日这4天的空气质量逐渐变好
6.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为( )
A. 0.054B. 0.994C. 0.496D. 0.06
7.已知三棱锥P−ABC的三条侧棱两两互相垂直，且AB= 5，BC= 7，AC=2，则此三棱锥的外接球的体积为( )
A. 83πB. 8 23πC. 163πD. 323π
8.已知a,b,c∈1,+∞，8a=lnaln10，7b=lnbln11，6c=lncln12，则下列大小关系正确的是( )
A. c>b>aB. a>b>cC. b>c>aD. c>a>b
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2021年3月15日，某市物价部门对5家商场的某商品一天的销售量及其价格进行调查，5家商场的售价x(元)和销售量y(件)之间的一组数据如表所示：
根据表中数据得到y关于x的回归直线方程是y=−3.2x+a，则下列说法正确的有( )．
A. a=40B. 回归直线过点(10,8)
C. 当x=8.5时，y的估计值为12.8D. 点(10.5,6)处的随机误差为0.4
10.下列结论正确的是( )
A. 若随机变量Y的方差DY=2，则D3Y+2=8
B. 若随机变量η服从正态分布N5,σ2，且Pη<2=0.1，则P2<η<8=0.8
C. 从装有大小、形状都相同的5个红球和3个白球的袋中随机取出两球，取到白球的个数记为X，则EX=34
D. 若随机变量X服从二项分布B4,13，则X的分布列可表示为PX=k=C4k23k134−k，k=0,1,2,3,4
11.设抛物线C:x2=4y的焦点为F，P是C上的一个动点，则下列结论正确的是( )
A. 点P到F的距离比到x轴的距离大2
B. 点P到直线y=x−3的最小距离为 2
C. 以PF为直径的圆与x轴相切
D. 记点P在C的准线上的射影为H，则▵PFH不可能是正三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.数列an中，a1=1，n≥2时，an=2an−1+1，则an的通项公式是an=
13.若(1−2x)n(n∈N∗)的展开式中x3的系数为−80，则展开式中所有项的二项式系数之和为 .(以数字作答)
14.作家马伯庸小说《长安十二时辰》中，靖安司通过长安城内的望楼传递信息.同名改编电视剧中，望楼传递信息的方式有一种如下：如图所示，在九宫格中，每个小方格可以在白色和紫色(此处以阴影代表紫色)之间变换，从而一共可以有512种不同的颜色组合，即代表512种不同的信息.现要求每一行、每一列上都有且只有1个紫色小方格(如图所示即满足要求).则一共可以传递 种信息.(用数字作答)
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知数列an的前n项和为Sn，an=12Sn+1n∈N∗．
(1)求Sn；
(2)若bn=anlg2an+12n，求数列bn的前n项和Tn．
16.(本小题12分)
设函数f(x)=x3−3ax+b(a>0)．
(1)若曲线y=f(x)在点2,f(2)处的切线方程是y=3x+2，求a,b的值；
(2)求函数f(x)的单调区间及极值．
17.(本小题12分)
如图，在三棱柱ABC−A1B1C1中，△ABC是边长为2的等边三角形，平面ABC⊥平面AA1B1B，A1A=A1B，∠A1AB=60∘，O为AB的中点，M为A1C1的中点．
(1)求证：OM//平面BB1C1C；
(2)求二面角C1−BA1−C的正弦值．
18.(本小题12分)
已知抛物线C:x2=2pyp>0上一点Q到焦点F的距离为2，点Q到y轴的距离为 3p．
(1)求抛物线C的方程；
(2)过F的直线交抛物线C于A，B两点，过点B作x轴的垂线交直线AO(O是坐标原点)于D，过A作直线DF的垂线与抛物线C的另一交点为E，直线BD与AE交于点G.求∣GD∣|GB|
19.(本小题12分)
为进一步加强城市建设和产业集聚效应，某市通过“两化”中的信息化和工业化之间的完美交融结合，达到了经济效益的“倍增式”发展．该市某高科技企业对某核心技术加大研发投资力度，持续构建面向未来的竞争力．现得到一组在该技术研发投入x(单位：亿元)与收益y(单位：亿元)的数据如下表所示：
(1)已知可用一元线性回归模型y=bx+a模型拟合y与x的关系，求此经验回归方程；(附：对于一组数据x1,y1，x2,y2，⋯，xn,yn，其经验回归直线y=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为b=i=1nxiyi−nxyi=1nxi−x2，a=y−bx，i=18xiyi=9138，i=18xi−x2=634，结果保留两位小数)
(2)该企业主要生产I、II类产品，现随机抽取I类产品2件、II类产品1件进行质量检验，已知I类、II类产品独立检验为合格品的概率分别为34，23，求在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率．
答案
1.D
2.A
3.B
4.B
5.C
6.B
7.B
8.B
9.ABC
10.BC
11.BC
12.2n−1
13.32
14.6
15.解：(1)由题意，数列an满足an=12Sn+1n∈N∗，
当n≥2时，可得an−1=12Sn−1+1，
两式相减，可得an−an−1=12(Sn−Sn−1)=12an，整理得an=2an−1，即anan−1=2，
当n=1时，可得a1=12S1+1=12a1+1，解得a1=2，
所以数列an是首项为2，公比为2的等比数列，
所以an=2n，所以Sn=2(1−2n)1−2=2n+1−2．
(2)由(1)知an=2n，则bn=an(lg2an+12n)=2n(n+12n)=n⋅2n+1
设kn=n⋅2n,pn=1，数列kn,pn的前n项和分别为Kn,Pn，
则Kn=1×21+2×22+3×23+⋯+(n−1)×2n−1+n×2n
2Kn=1×22+2×23+3×24+⋯+(n−1)×2n+n×2n+1，
两式相减得−Kn=2+22+3×23+⋯+2n−n×2n+1=2n+1−2−n×2n+1，
所以Kn=(n−1)⋅2n+1+2，
又由Pn=1+1+⋯+1=n，
所以数列bn的前n项和Tn=Kn+Pn=(n−1)⋅2n+1+n+2．
16.解：(1)曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程是y=3x+2，
f′(x)=3x2−3a(a>0)，
所以f′(2)=3，f(2)=8，
则3×22−3a=323−3a×2+b=8，
解得a=3b=18．
(2)因为f′(x)=3x2−3a，a>0，
由f′(x)=0，解得x=± a，
当x∈(−∞,− a)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增；
当x∈(− a, a)时，f′(x)<0，函数f(x)单调递减；
当x∈( a,+∞)时，f′(x)>0，函数f(x)单调递增．
此时x=− a是f(x)的极大值点，x= a是f(x)的极小值点，
f(x)的极大值为f(− a)=2a a+b，
f(x)的极小值为f( a)=−2a a+b．
函数f(x)单调递增区间为(−∞,− a)和( a,+∞)；
函数f(x)单调递减区间为(− a, a)．
17.(1)证明：取B1C1中点E，连接BE，ME，
∵A1M=C1M，∴ME=12A1B1，ME // A1B1，
∵三棱柱ABC−A1B1C1，O为AB的中点，∴OB=12A1B1，OB // A1B1，
∴OB=ME,OB // ME，∴四边形OMEB为平行四边形，
∴OM // BE．
∵OM⊄平面BB1C1C，BE⊂平面BB1C1C，
∴OM //平面BB1C1C.
(2)连接CO，OA1，
∵CA=CB，AO=OB，∴CO⊥AB，
∵平面ABC⊥平面AA1B1B，平面ABC⋂平面AA1B1B=AB，
CO⊂平面CAB，∴CO⊥平面AA1B1B，
∵A1A=A1B，∠A1AB=60∘，
∴ΔAA1B为等边三角形，
∵AO=OB，∴OA1⊥AB，
∴OA,OA1,OC两两垂直，
以OA,OA1,OC为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系O−xyz，

∴A(1,0,0)，A1(0, 3,0)，B(−1,0,0)，C(0,0, 3)，C1(−1, 3, 3)．
∴BC=(1,0, 3)，BA1=(1, 3,0)．
设平面A1BC的一个法向量为n1=(x1,y1,z1)，
∴ n1⋅BC=x1+ 3z1=0, n1⋅BA1=x1+ 3y1=0,取x1= 3，得y1=−1,z1=−1．
∴平面A1BC的一个法向量为n1=( 3,−1,−1)，
BA1=(1, 3,0)，BC1=(0, 3, 3)．
设平面A1BC1的一个法向量n2=(x2,y2,z2)，
n2⋅BA1=x2+ 3y2=0, n2⋅BC1= 3y2+ 3z2=0,取y2=1，得x2=− 3,z2=−1．
∴平面A1BC1的一个法向量为n2=(− 3,1,−1)，
∴cs=n1⋅n2n1n2=−3−1+1 3+1+1 3+1+1=−35，
∴sin=45，即二面角C1−BA1−C的正弦值为45．
18.解：(1)不妨设Qx0,y0，
因为抛物线C上一点Q到焦点F的距离为4，点Q到y轴的距离为 3p，
所以y0+p2=2x0= 3p,
整理得( 3p)2=2p2−p2，解得p=1或p=0(舍去)，
则抛物线C的方程为x2=2y；
(2)由题意知直线AB的斜率必存在，F(0,12)，
不妨设直线AB的方程为y=kx+12，Ax1,y1,Bx2,y2，
联立y=kx+12x2=2y，消去y并整理得x2−2kx−1=0，Δ=4k2+4>0，
由韦达定理得x1+x2=2k,x1x2=−1，
易知直线OA的方程为y=y1x1x=x12x，
因为BD⊥x轴，所以Dx2,x1x22，即Dx2,−12，
所以kDF=−1x2，
因为DF⊥AE，所以kAE=x2，
则直线AE的方程为y−y1=x2x−x1，
因为xG=x2，所以yG=2y2+y1+1，
此时|GD||GB|=2y2+y1+32y2+y1+1，
因为y1y2=x1x224=14，
所以|GD||GB|=24y1+y1+3214y1+y1+1=4y12+6y1+24y12+4y1+1=1+12y1+1，
由题意知y1>0，则2y1+1∈1,+∞，
所以|GD||GB|=1+12y1+1∈(1,2)．
故|GD||GB|的取值范围为(1,2)．
19.解：(1)x=3+6+8+10+14+17+22+328=14，
y=43+52+60+71+74+81+89+988=71，
b=i=18xiyi−8xyi=18xi−x2=9138−8×14×71634=1186634≈1.87，
a=y−bx≈71−1.87×14=44.82，
所以y关于x的经验回归方程为y=1.87x+44.82．
(2)记“恰有2件产品为合格品”为事件A，“II类产品为合格品”为事件B，
则PA=342×1−23+C211−34×34×23=716，
PAB=C211−34×34×23=14，
由条件概率的计算公式得PB|A=PABPA=14716=47，
故在恰有2件产品为合格品的条件下，II类产品为合格品的概率为47．
指数
0∼50
51∼100
101∼150
151∼200
201∼300
>300
等级
一级优
二级良
三级轻度污染
四级中度污染
五级重度污染
六级严重污染
售价x
9
9.5
10
10.5
11
销售量y
11
10
8
6
5
研发投入x
3
6
8
10
14
17
22
32
收益y
43
52
60
71
74
81
89
98