丰城市第九中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学（B卷）试卷(含解析)

这是一份丰城市第九中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学（B卷）试卷(含解析)，共15页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. y＝3x﹣2B. y＝C. y＝x2＋1D. y＝（x﹣1）2﹣x2
答案：C
解析：、一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
、等式右边不是整式，故不是二次函数，故此选项不符合题意；
、是二次函数，故此选项符合题意；
、 ，一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：．
2. 一元二次方程经过配方后，可以得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：∵，
∴，
则，即，
故选：D．
3. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值等于( )
A. 1B. 2C. 0D.
答案：A
解析：解：根据题意得，
解得．
故选：A．
4. 已知二次函数的图象过点，若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵二次函数的图象过点，
注意到两点的纵坐标都是m，
∴二次函数的图象是开口向上，且对称轴为直线，即的抛物线，
∵点
也在二次函数的图象上，
∴．
故选：B．
5. 关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 0
答案：B
解析：解：∵一元二次方程的一个根是0，
∴先把代入，得，
解得，
∵是一元二次方程，
∴，
∴，
∴a的值为，
故选：B．
6. 如图，这是一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为和的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（ ）

A. B. C. D.
答案：B
解析：解：∵，
∴
∴
，
∴当时，剩下的钢板面积是最大值为．
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若是关于x的二次函数，则m=_______．
答案：1
解析：解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
8. 方程的一个根是，则__________．
答案：
解析：解：∵方程的一个根是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9. 已知二次函数的图象最高点在x轴上，则该函数关系式为_____________．
答案：或
解析：解：二次函数图象最高点在x轴上
二次函数的图象与x轴只有一个交点
令得，则该一元二次方程有两个相等的实数根
，即
解得：
二次函数关系式为或
故答案为：或
10. 若，是一元二次方程的两个根，则______．
答案：1
解析：解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
故答案为：1．
11. 如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为_____m（结果保留根号）．
答案：2
解析：解：由题意可得：当AB＝6m，则B点横坐标为3，
故此时y＝﹣×32＝﹣3，
当水位上涨2m时，此时D点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，
则﹣1＝﹣x2，
解得：x＝±．
故当水位上涨2m时，水面宽CD为2m．
故答案为：2
12. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为，其中正确的结论个数有_______个.
答案：3
解析：由图象开口向下，可知，
与轴的交点在轴的下方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故①正确；
由图象可知当时，，
，故②错误；
由图象可知，
，
，即，
，故③正确；
假设方程的一个根为，把代入方程可得，
整理可得，
两边同时乘可得，
即方程有一个根为，
由②可知，而当是方程根，
是方程的根，即假设成立，故④正确；
①③④正确，故答案为：3.
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
13. 解方程：
（1）
（2）
答案：（1），
（2），
小问1解析：
解：（x+2）（x+2−3）=0，
（x+2）（x−1）=0，
∴x+2=0或x−1=0，
∴，；
小问2解析：
，
∵a=1，b=−3，c=−1，
∴△=，
∴x=，
解得：，．
14. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
答案：这个两位数是36或25.
解析：解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，
由题意，得x2=10(x-3)+x.
解得x1=6，x2=5.
当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.
答：这个两位数是36或25.
15. 把抛物线y＝（x﹣1）2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q（3，0），求平移后的抛物线的解析式．
答案：
解析：解：设平移后的抛物线的解析式为 ，
∵平移后所得抛物线经过点Q（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ．
16. 已知函数，
（1）将此函数化为的形式，则h= ，k= ；
（2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．
答案：（1）2，-1；（2）作图见解析
解析：（1）
∴h=2，k=-1；
（2）顶点坐标为 ，和y轴交点为 ，和x轴交点分别为、；
函数图像如图所示：
．
17. 若且一元二次方程有实数根，求的取值范围．
答案：
解析：解：∵
∴
则整理得
∵一元二次方程有实数根
∴
∵是一元二次方程，
∴
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知抛物线与轴交于两点， ，且，求k的值．
答案：
解析：解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，①
由题意知方程的两根为，．
由韦达定理得：，，
，
即：，
解得，；
当时，代入①满足；
当时，代入①不满足；
综上，．
19. 若，，是的三条边，且，判断此三角形的形状．
答案：是直角三角形，理由见解析.
解析：是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
即，
∴，，，
∵，即，
∴是直角三角形．
20. 我市某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．当商场降价多少元时，获得的利润w最大？
答案：（1）10% （2）35.5元
解析：（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
100（1﹣a）2＝81，
解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，
答：每次下降的百分率为10%；
（2）设每件应降价x元，根据题意，得：
w=（81﹣x）（20+2x），
=1620+162x-20x-2x2
=-2x2+142x+1620
∵a=-2，b=142，c=1620
∴当x＝，w有最大值，
∴x＝=35.5
∴当商场降价35.5元时，获得的利润w最大．
答：当商场降价35.5元时，获得的利润w最大．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共 18分）
21. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为．
（1）求绳子所对应的抛物线表达式；
（2）身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
答案：（1）
（2）绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶
小问1解析：
根据题意，抛物线经过点，．
∴，
解得，
∴绳子所对应的抛物线表达式为：；
小问2解析：
身高的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
∵，
∴当时，，
∵，
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
22. 阅读下列材料：
已知实数x，y满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
（1）已知实数x，y满足，求的值．
（2）已知a，b满足方程组；求的值；
（3）填空：
已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是_______．
答案：（1）±3；（2）；（3）或
解析：解：（1）设，则原方程变为，
整理，得：，即，
解得：，
则，
；
（2）令，，
则原方程变为：，解之得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）由方程组，得，
整理，得：，
方程组的解是，
方程组的解是：，
，且，
解得：或．
六、（本题12分）
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
答案：（1）点A的坐标为，点B的坐标为点，点C的坐标为
（2）点M坐标为
（3）P点的坐标为或或或
小问1解析：
解：令
解得，
∴A ， B
令，得，
∴C
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
小问2解析：
解：如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M
∵点C与点E关于直线l对称，点M在对称轴l上
∴，
∴△MAC的周长
∴当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小
设直线AE的解析式为，
将坐标代入得
解得
∴直线AE的解析式为
令，得
∴点M坐标为．
小问3解析：
解：设P点的坐标为
∵，
∴，，
当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：
①当时，由题意可得
解得
∴P的坐标为；
②当时，由题意可得
解得或
∴P的坐标为或；
③当时，由题意可得
解得或（不合题意，舍去）
∴P的坐标为；
综上所述，P点的坐标为 或 或 或．