江西省宜春市丰城市第九中学2023-2024学年八年级下学期期中数学试题（B卷）（原卷版+解析版）

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一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列函数中，是二次函数的是（ ）
A. y＝3x﹣2B. y＝C. y＝x2＋1D. y＝（x﹣1）2﹣x2
【答案】C
【解析】
【分析】根据二次函数的定义，逐一分析四个选项即可得出结论．
【详解】、一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
、等式右边不是整式，故不是二次函数，故此选项不符合题意；
、是二次函数，故此选项符合题意；
、 ，一次函数，不是二次函数，故此选项不合题意；
故选：．
【点睛】本题考查了二次函数的定义，牢记二次函数的定义是解题的关键．
2. 一元二次方程经过配方后，可以得到的方程是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后即可得出答案．
【详解】解：∵，
∴，
则，即，
故选：D．
【点睛】本题考查配方法解一元二次方程，先将常数项移到方程的右边，再把方程两边都加上一次项系数一半的平方．
3. 如果关于x的方程有两个相等的实数根，那么k的值等于( )
A. 1B. 2C. 0D.
【答案】A
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据根的判别式得到，然后解关于k的方程即可．
【详解】解：根据题意得，
解得．
故选：A．
4. 已知二次函数的图象过点，若点，也在二次函数的图象上，则下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．
由于的纵坐标相等，所以点与点是抛物线上的对称点，所以抛物线的对称轴为直线，然后通过比较点、、到直线的距离的大小来判断的大小．
【详解】∵二次函数的图象过点，
注意到两点的纵坐标都是m，
∴二次函数的图象是开口向上，且对称轴为直线，即的抛物线，
∵点
也在二次函数的图象上，
∴．
故选：B．
5. 关于的一元二次方程的一个根是0，则a的值为（ ）
A. 1B. C. 1或D. 0
【答案】B
【解析】
【分析】本题考查了一元二次方程的定义以及一元二次方程的解，先把代入，得，结合，即可作答．
【详解】解：∵一元二次方程的一个根是0，
∴先把代入，得，
解得，
∵是一元二次方程，
∴，
∴，
∴a的值为，
故选：B．
6. 如图，这是一块直径为的圆形钢板，从中挖去直径分别为和的两个圆，当时，剩下的钢板面积的最大值是（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】剩下钢板的面积等于大圆的面积减去两个小圆的面积，利用圆的面积公式列出关系式，化简即可．
【详解】解：∵，
∴
∴
，
∴当时，剩下的钢板面积是最大值为．
故选：B．
【点睛】本题考查了整式的混合运算，二次函数的性质，熟练掌握圆的面积公式，完全平方公式，去括号、合并同类项法则，二次函数的性质是解答本题的关键．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 若是关于x的二次函数，则m=_______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据二次函数的定义列出方程，解方程后综合考虑取值即可．
【详解】解：∵是关于x的二次函数，
∴，解得：，
∴．
故答案为：1．
【点睛】此题考查了二次函数定义，解题的关键是熟练掌握二次函数定义．二次函数定义：一般地，把形如（a、b、c是常数，且）的函数叫做二次函数，其中a称为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项．x为自变量，y为因变量．
8. 方程的一个根是，则__________．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查一元二次方程的根，根据方程的根满足方程代入求解即可得到答案；
【详解】解：∵方程的一个根是，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
9. 已知二次函数的图象最高点在x轴上，则该函数关系式为_____________．
【答案】或
【解析】
【分析】有条件可知二次函数的顶点在x轴上，即二次函数的图象与x轴只有一个交点，令得到关于x的一元二次方程其判别式为0，可求得a，可得到函数关系式．
【详解】解：二次函数图象最高点在x轴上
二次函数的图象与x轴只有一个交点
令得，则该一元二次方程有两个相等的实数根
，即
解得：
二次函数关系式为或
故答案为：或
【点睛】本题考查了二次函数的最值，解题关键是掌握二次函数的顶点在x轴上则二次函数与x轴的交点只有一个．
10. 若，是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】1
【解析】
【分析】根据方程的根得到，，再将所求式子变形，整体代入计算即可．
【详解】解：，是一元二次方程的两个根，
，，
，
．
故答案为：1．
【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解答本题的关键．
11. 如图，平面直角坐标系中，桥孔抛物线对应的二次函数关系式是y＝﹣x2，桥下的水面宽AB为6m，当水位上涨2m时，水面宽CD为_____m（结果保留根号）．
【答案】2
【解析】
【分析】首先求出B点纵坐标，进而得出D点纵坐标，即可求出D点横坐标，进而得出CD的长．
【详解】解：由题意可得：当AB＝6m，则B点横坐标为3，
故此时y＝﹣×32＝﹣3，
当水位上涨2m时，此时D点纵坐标为：﹣3+2＝﹣1，
则﹣1＝﹣x2，
解得：x＝±．
故当水位上涨2m时，水面宽CD为2m．
故答案为：2
【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，求出D点横坐标是解题关键．
12. 如图，二次函数的图象与轴正半轴相交于、两点，与轴相交于点，对称轴为直线，且，则下列结论：①；②；③；④关于的方程有一个根为，其中正确的结论个数有_______个.
【答案】3
【解析】
【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，与y轴的交点，可判断出a、b、c的符号，进而判断①；当x=3时，函数值y＞0，可判断②；由OA=OC，OA＜1，可判断c的范围，进而判断③；假设方程的一个根为，并把代入方程，整理后即可判断④.
【详解】由图象开口向下，可知，
与轴的交点在轴的下方，可知，
又对称轴方程为，所以，所以，
，故①正确；
由图象可知当时，，
，故②错误；
由图象可知，
，
，即，
，故③正确；
假设方程的一个根为，把代入方程可得，
整理可得，
两边同时乘可得，
即方程有一个根为，
由②可知，而当是方程根，
是方程的根，即假设成立，故④正确；
①③④正确，故答案为：3.
【点睛】本题主要考查二次函数的图象和性质．熟练掌握图象与系数的关系以及二次函数与方程、不等式的关系是解题的关键．特别是利用好题目中的，是解题的关键．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
13. 解方程：
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用因式分解法求解即可；
（2）利用公式法求解即可．
【小问1详解】
解：（x+2）（x+2−3）=0，
（x+2）（x−1）=0，
∴x+2=0或x−1=0，
∴，；
【小问2详解】
，
∵a=1，b=−3，c=−1，
∴△=，
∴x=，
解得：，．
【点睛】此题考查了解一元二次方程，熟练掌握因式分解法和公式法是解本题的关键．
14. 一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？
【答案】这个两位数是36或25.
【解析】
【分析】设个位数字为x，那么十位数字是（x-3），这个两位数是[10（x-3）+x]，然后根据个位数字的平方刚好等于这个两位数即可列出方程求解．
【详解】解：设这个两位数的个位数字为x，则十位数字为(x-3)，
由题意，得x2=10(x-3)+x.
解得x1=6，x2=5.
当x=6时，x-3=3；当x=5时，x-3=2.
答：这个两位数是36或25.
15. 把抛物线y＝（x﹣1）2沿y轴向上或向下平移后所得抛物线经过点Q（3，0），求平移后的抛物线的解析式．
【答案】
【解析】
【分析】设平移后的抛物线的解析式为 ，将点Q（3，0），代入，即可求解．
【详解】解：设平移后的抛物线的解析式为 ，
∵平移后所得抛物线经过点Q（3，0），
∴ ，
解得： ，
∴平移后的抛物线的解析式为 ．
【点睛】本题主要考查了二次函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式是解题的关键．
16. 已知函数，
（1）将此函数化为的形式，则h= ，k= ；
（2）在所给平面直角坐标系中画出该函数的大致图象．
【答案】（1）2，-1；（2）作图见解析
【解析】
【分析】（1）根据二次函数解析式运算，即可得到答案；
（2）结合二次函数解析式，经计算得到顶点、x轴交点、y轴交点的坐标，再根据二次函数图像的性质，即可完成解题．
【详解】（1）
∴h=2，k=-1；
（2）顶点坐标为 ，和y轴交点为 ，和x轴交点分别为、；
函数图像如图所示：
．
【点睛】本题考查了二次函数的知识；求解的关键是熟练掌握二次函数解析式、图像的性质，从而完成求解．
17. 若且一元二次方程有实数根，求的取值范围．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了绝对值和算术平方根的非负性，以及一元二次方程的判别式，先根据绝对值和算术平方根的非负性得出，则，结合，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：∵
∴
则整理得
∵一元二次方程有实数根
∴
∵是一元二次方程，
∴
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 已知抛物线与轴交于两点， ，且，求k的值．
【答案】
【解析】
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点以及根与系数的关系．首先由一元二次方程的根的判别式求得k的取值范围；然后利用根与系数的关系得到，，，由此易求k的值．
【详解】解：∵抛物线与x轴交于两点，
∴，①
由题意知方程的两根为，．
由韦达定理得：，，
，
即：，
解得，；
当时，代入①满足；
当时，代入①不满足；
综上，．
19. 若，，是的三条边，且，判断此三角形的形状．
【答案】是直角三角形，理由见解析.
【解析】
【分析】先将已知等式利用配方法变形得到(a-3) 2+(b-4) 2+(c-5) 2=0，再利用非负数的性质，分别求出a、b、c的值，然后利用勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形．
【详解】是直角三角形，理由如下：
∵，
∴，
即，
∴，，，
∵，即，
∴是直角三角形．
【点睛】本题考查了配方法的应用、非负数的性质、勾股定理的逆定理，熟练掌握完全平方公式以及非负数的性质是解题的关键.
20. 我市某商场销售某款上衣，刚上市时每件可盈利100元，销售一段时间后开始滞销，经过连续两次降价后，每件盈利为81元，平均每天可售出20件．
（1）求平均每次降价的百分率；
（2）为扩大销售量，尽快减少库存，在“双十一”期间该商场决定再次采取适当的降价措施，经调查发现，一件女款上衣每降价1元，每天可多售出2件．当商场降价多少元时，获得的利润w最大？
【答案】（1）10% （2）35.5元
【解析】
【分析】（1）设每次下降的百分率为a，根据刚上市每件利润100元和连续两次降价后每件利润81元，可列方程为：100（1﹣a）2＝81，即可求解；
（2）设每件应降价x元，则降价后的利润为(81−x)元，因降价后销量为(20+2x)件，根据总利润=利润×销量，列二次函数根据最值即可求解．
【详解】（1）设每次下降的百分率为a，根据题意，得：
100（1﹣a）2＝81，
解得：a＝1.9（舍）或a＝0.1＝10%，
答：每次下降的百分率为10%；
（2）设每件应降价x元，根据题意，得：
w=（81﹣x）（20+2x），
=1620+162x-20x-2x2
=-2x2+142x+1620
∵a=-2，b=142，c=1620
∴当x＝，w有最大值，
∴x＝=35.5
∴当商场降价35.5元时，获得的利润w最大．
答：当商场降价35.5元时，获得的利润w最大．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的最值问题．找准等量关系，正确列出一元二次方程和根据二次函数最值分析是解题关键．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共 18分）
21. 跳绳是大家喜爱的一项体育运动，当绳子甩到最高处时，其形状视为抛物线．如图是甲，乙两人将绳子甩到最高处时的示意图，已知两人拿绳子的手离地面的高度都为1m，并且相距4m，现以两人的站立点所在的直线为x轴，过甲拿绳子的手作x轴的垂线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，且绳子所对应的抛物线表达式为．
（1）求绳子所对应的抛物线表达式；
（2）身高的小明，能否站在绳子的正下方，让绳子通过他的头顶？
【答案】（1）
（2）绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶
【解析】
【分析】本题考查了待定系数法，二次函数的最值．
（1）根据待定系数法即可求解；
（2）先将函数关系式化为顶点式，求出函数的最值，再与小明的身高作比较，即可作答．
【小问1详解】
根据题意，抛物线经过点，．
∴，
解得，
∴绳子所对应的抛物线表达式为：；
【小问2详解】
身高的小明，不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
理由如下：
∵，
∴当时，，
∵，
∴绳子能碰到小明，小明不能站在绳子的正下方让绳子通过他的头顶．
22. 阅读下列材料：
已知实数x，y满足，试求的值．
解：设，则原方程变为，整理得，，根据平方根意义可得，由于，所以可以求得．这种方法称为“换元法”，用一个字母去代替比较复杂的单项式､多项式，可以达到化繁为简的目的．
根据阅读材料内容，解决下列问题：
（1）已知实数x，y满足，求的值．
（2）已知a，b满足方程组；求的值；
（3）填空：
已知关于x，y的方程组的解是，则关于x，y的方程组的解是_______．
【答案】（1）±3；（2）；（3）或
【解析】
【分析】（1）设，则原方程变为，解之求得的值，继而可得的值；
（2）设a²+4b²=x，ab=y，可将原方程组变形为二元一次方程组，解出x、y的值再代入即可.
（3）将原方程组变为，由题意得出，即可得出答案．
【详解】解：（1）设，则原方程变为，
整理，得：，即，
解得：，
则，
；
（2）令，，
则原方程变为：，解之得：，
∴，，
∴，
∴，
∴；
（3）由方程组，得，
整理，得：，
方程组的解是，
方程组的解是：，
，且，
解得：或．
【点睛】本题主要考查换元法解方程、方程组及因式分解，根据方程和代数式的特点设出合适的新元是解题的关键．
六、（本题12分）
23. 如图，二次函数的图象与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴交于点C．
（1）求点A、B、C的坐标；
（2）若点M在抛物线的对称轴上，且△MAC的周长最小，求点M的坐标；
（3）若点P在x轴上，且△PBC为等腰三角形，请求出所有符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）点A的坐标为，点B的坐标为点，点C的坐标为
（2）点M坐标为
（3）P点的坐标为或或或
【解析】
【分析】（1）令，求解可得的坐标，令，可求得的坐标；
（2）如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M，由对称的性质可知当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小，待定系数法求直线AE的解析式，令，得，可得的坐标；
（3）设P点的坐标为，由，，可得，，，当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：①当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可；②当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可；③当时，由题意可得，计算求出满足题意的解即可．
【小问1详解】
解：令
解得，
∴A ， B
令，得，
∴C
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为．
【小问2详解】
解：如图，过点C作对称轴l，与抛物线交于点E，连接AE交l于点M
∵点C与点E关于直线l对称，点M在对称轴l上
∴，
∴△MAC的周长
∴当且仅当E、M、A三点共线时，△MAC的周长最小
设直线AE的解析式为，
将坐标代入得
解得
∴直线AE的解析式为
令，得
∴点M坐标为．
【小问3详解】
解：设P点的坐标为
∵，
∴，，
当△PBC是等腰三角形时，分三种情况求解：
①当时，由题意可得
解得
∴P的坐标为；
②当时，由题意可得
解得或
∴P的坐标为或；
③当时，由题意可得
解得或（不合题意，舍去）
∴P的坐标为；
综上所述，P点的坐标为 或 或 或．
【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点坐标，对称的性质，二次函数与周长的综合，二次函数与特殊三角形的综合等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．