丰城市第九中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学（A卷）试卷(含解析)

这是一份丰城市第九中学2023-2024学年八年级下学期期中考试数学（A卷）试卷(含解析)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、单选题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A. B. C. D.
答案：B
解析：解：A.是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；
B. 是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；
C. 是中心对称图形，但不是轴对称图形，故不符合题意；
D. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意．
故选：B．
2. 已知函数，下列结论正确的是（ ）
A. 函数图象过点B. 函数图象与轴无交点
C. 当时， 随的增大而减小D. 当时， 随的增大而减小
答案：D
解析：解：A、当x=-1时，=1+2﹣1=2，函数图象过点（-1，2），此选项错误；
B、∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）=8＞0，
∴函数图象与x轴有两个交点，
故此选项错误；
C、∵=（x﹣1）2﹣2，且1＞0，
∴当x≥1时，y随x的增大而增大，
故此选项错误；
D、当x≤1,时，y随x的增大而减小，此选项正确，
故选：D．
3. 若关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是（ ）
A. B. 且C. D. 且
答案：A
解析：解：由题意得，，
解得：，
故选：A．
4. 如图，AB为⊙O的直径，点C在⊙O上，若∠OCA＝50°，AB＝4，则的长为（ ）
A. πB. πC. πD. π
答案：B
解析：解：∵∠OCA＝50°，OA＝OC，
∴∠A＝50°，
∴∠BOC＝2∠A＝100°，
∵AB＝4，
∴BO＝2，
∴的长为：π．
故选：B．
5. 要组织一次足球联赛，赛制为双循环形式（每两队之间都进行两场比赛），共要比赛90场．设共有个队参加比赛，则满足的关系式为（ ）
A. B. C. D.
答案：D
解析：解：设有个队参赛，则
．
故选：D．
6. 如图，是等腰直角三角形，正方形绕点A逆时针旋转，再延长交于G，以下结论中：①；②；③当，时，，正确的有（ ）
A. 3个B. 2个C. 1个D. 都不对
答案：B
解析：（1）∵四边形ADEF是正方形
∴AD=AF，∠DAF=∠DAC+∠CAF=90゜
∵△ABC是等腰直角三角形，∠BAC=90゜
∴AB=AC
∴∠BAD+DAC=90゜
∴∠BAD=∠CAF
在△BAD和△CAF中
∴△BAD≌△CAF(SAS)
∴BD=CF，∠DBA=∠FCA
设BG与AC交于点M，则∠BMA=∠CMG
∴∠FCA+∠CMG=∠DBA+∠BMA=90゜
∴∠CGM=90゜
∴BD⊥CF
故①②均正确；
如图，取BC的中点O，连接OG、OA
∵BG⊥CF，AB⊥AC
∴OG、OA分别是Rt△GBC、Rt△ABC斜边上的中线
∴
在Rt△ABC中，由勾股定理得
∴
则点G在以O为圆心为半径的一段圆弧上运动，其中点A为此弧的一个端点
所以BG的长变化的，不可能是定值
故③不正确
故选：B．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
7. 用因式分解法解关于的方程 ，将左边分解因式后有一个因式为，则的值为_______
答案：1
解析：方法一：由题意得，，
，，
解得，
则；
方法二：由题意得，是关于x的方程的一个解，
则将代入得：，
解得，
故答案为：1．
8. 在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，则m的取值范围是 ____________．
答案：
解析：解：因为在平面直角坐标系中，点与点关于原点对称，且点在第三象限，
所以，
解得．
故答案为：．
9. 已知是关于的二次函数，那么的值为______．
答案：
解析
分析本题主要考查了二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义是解题关键．根据二次函数的定义，列出关于的不等式组并求解，即可获得答案．
解析：解：∵是关于的二次函数，
∴且，
解得．
故答案为：．
10. 如图所示，P是正方形内一点，将绕点B按顺时针方向旋转能与重合，若，则__________

答案：
解析：解：∵四边形是正方形，
∴．
∵绕点B顺时针方向旋转能与重合，
∴，
∴，，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴，
所以等于．
故答案为：．
11. 如图，小明同学用一张长11cm，宽7cm的矩形纸板制作一个底面积为的无盖长方体纸盒，他将纸板的四个角各剪去一个同样大小的正方形，将四周向上折叠即可（损耗不计）．设剪去的正方形边长为xcm，则可列出关于x的方程为______．
答案：
解析：解：设剪去的正方形边长为xcm，根据题意得：
．
故答案为：
12. 如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(0，1)、B(0，1+t)、C(0，1-t)(其中t＞0)，点P在以D(4，4)为圆心，1 为半径的⊙D上运动，且始终满足∠BPC=90°，则t的取值范围是_____ ．

答案：4≤t≤6
解析：连接AP，

由题意得，
t要最大，就是点A到上的一点的距离最大
在AD延长线上，
的最大值是APAD+PD=5+1=6
的最小值是APAD-PD=5-1=4

故t的取值范围为： 4≤t≤6
故答案为：4≤t≤6．
三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分）
13. 解方程．
（1）
（2）
答案：（1），
（2），
小问1解析：
解：，
∴，
∴或，
∴， ；
小问2解析：
解：
，，，
∴，
∴，
∴，
14. 当时，求二次函数的最大值．
答案：2
解析：解：
∵对称轴为直线：x=-1，且开口向下，
∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小，
∵，
∴当x=1时，二次函数的最大值为2．
15. 抛物线与轴交点为，与y轴交点为，求两点坐标及的面积．
答案：A（3，0），B（0，27），40.5
解析：解：令y=0，则
解得：x=3，
∴点A的坐标为（3，0），
令x=0，则
∴点B的坐标为（0，27），
∵点A的坐标为（3，0），点B的坐标为（0，27），
∴OA=3，OB=27．
∴=40.5．
16. 如图，正方形的边长为4，以为直径在正方形内部作半圆O，点E在边上，，连接，和．
（1）求证：是半圆O的切线；
（2）请直接写出图中阴影部分的面积（用含π的代数式表示）．
答案：（1）证明见解析
（2）
小问1解析：
解：过点O作OF⊥DE于F，如图所示：
在中，，，CE=BC-BE=4-1=3，
，
在中，，，
，
中，，，
，
，
三角形是直角三角形，且，
，
，
，
是圆的半径，且，
是半圆O的切线．
小问2解析：
．
17. 已知关于x的一元二次方程．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两实根为，，且，求m的值．
答案：（1）见解析 （2）；
小问1解析：
解：∵方程

∴
，
∴方程有两个不相等的实数根；
小问2解析：
解：由两根关系得，
∵，
∴，
即
即
解得：；
四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分）
18. 如图，已知，，均在上，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹）．

（1）在图①中，若，作一个的角；
（2）在图②中，若，分别是边的中点，作的内心．
答案：（1）见解析 （2）见解析
小问1解析：
解：在上找一点D，连接，如图，

则是直径，
∴，
∵，
∴，
∴即为所求；
小问2解析：
解：延长分别交于、，根据垂径定理得到，连接相交于点, 根据圆周角定理得到，，则点为的内角平分线的交点，所以点为的内心；

19. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝45°，将△BCD绕点C顺时针旋转一定角度后，点B的对应点恰好与点A重合，得到△ACE．

（1）求证：AE⊥BD；
（2）若AD＝2，CD＝3，试求四边形ABCD的对角线BD的长．
答案：(1)见解析；（2）
解析：（1）如图，设AC与BD的交点为点M，BD与AE的交点为点N，

∵旋转
∴AC=BC，∠DBC=∠CAE
又∵∠ABC=45°，
∴∠ABC=∠BAC=45°，
∴∠ACB=90°，
∵∠DBC+∠BMC=90°
∴∠AMN+∠CAE=90°
∴∠AND=90°
∴AE⊥BD，
（2）如图，连接DE，

∵旋转
∴CD=CE=3，BD=AE，∠DCE=∠ACB=90°
∴DE==3，∠CDE=45°
∵∠ADC=45°
∴∠ADE=90°
∴EA==
∴BD=.
20. 李大爷每天到批发市场购进某种水果进行销售，这种水果每箱10千克，批发商规定：整箱购买，一箱起售，每人一天购买不超过10箱；当购买1箱时，批发价为8.2元/千克，每多购买1箱，批发价每千克降低0.2元．根据李大爷的销售经验，这种水果售价为12元/千克时，每天可销售1箱；售价每千克降低0.5元，每天可多销售1箱．
（1）请求出这种水果批发价y（元/千克）与购进数量x（箱）之间的函数关系式；
（2）若每天购进的这种水果需当天全部售完，请你计算，李大爷每天应购进这种水果多少箱，才能使每天所获利润最大？最大利润是多少？
答案：（1）且x为整数．
（2）李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
小问1解析：
解：由题意得
∴批发价y与购进数量x之间的函数关系式是，且x为整数．
小问2解析：
解：设李大爷销售这种水果每天获得的利润为w元
则
∵
∴抛物线开口向下
∵对称轴是直线
∴当时，w的值随x值的增大而增大
∵x为正整数，∴此时，当时，
当时，w的值随x值的增大而减小
∵x为正整数，∴此时，当时，
∵
∴李大爷每天应购进这种水果7箱，获得的利润最大，最大利润是140元．
五、（本大题共2小题，每小题9分，共 18分）
21. （1）课本再现：在中，是所对的圆心角，是所对的圆周角，我们在数学课上探索两者之间的关系时，要根据圆心O与的位置关系进行分类．图1是其中一种情况，请你在图2和图3中画出其它两种情况的图形，并从三种位置关系中任选一种情况证明；
（2）知识应用：如图4，若的半径为2，分别与相切于点A，B，，求的长．
答案：（1）见解析；（2）
解析：解：（1）①如图2，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD+∠BOD=2∠ACO+2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB；
如图3，连接CO，并延长CO交⊙O于点D，
∵OA=OC=OB，
∴∠A=∠ACO，∠B=∠BCO，
∵∠AOD=∠A+∠ACO=2∠ACO，∠BOD=∠B+∠BCO=2∠BCO，
∴∠AOB=∠AOD-∠BOD=2∠ACO-2∠BCO=2∠ACB，
∴∠ACB=∠AOB；
（2）如图4，连接OA，OB，OP，
∵∠C=60°，
∴∠AOB=2∠C=120°，
∵PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，
∴∠OAP=∠OBP=90°，∠APO=∠BPO=∠APB=（180°-120°）=30°，
∵OA=2，
∴OP=2OA=4，
∴PA=
22. 小明探究函数的图象和性质的过程如下，请按要求回答问题：
（1）列表：
表格中， ， ．
（2）在如图所示的坐标系中进行描点，并画出函数M的图象．

（3）观察图象并解答：
①当 时，y有最小值；
②求函数与直线的交点坐标．
答案：（1）3；
（2）见解析 （3）①；②交点坐标为，，．
小问1解析：
解：当时，，
当时，，
故答案：3；；
小问2解析：
解：如图所示：
；
小问3解析：
解：①由图象可知，当时，函数有最小值为；
故答案为：；
②，
当时，联立方程组 解得或，
此时 与的交点坐标为和；
当时，，解得或 （舍去），
综上， 与直线的交点坐标为，，．
六、（本题12分）
23. 如图1，已知抛物线经过点，两点，且与y轴交于点C．

（1）求b，c的值．
（2）在第二象限的抛物线上，是否存在一点P，使得的面积最大？求出点P的坐标及的面积最大值． 若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点E为线段上一个动点（不与B，C重合），经过B、E、O三点的圆与过点B且垂直于的直线交于点F，当面积取得最小值时，求点E坐标．
答案：（1）
（2）存在，点P坐标为，的面积最大值是
（3）
小问1解析：
将，两点坐标代入得：
，
解得：；
小问2解析：
存在．理由如下：
由（1）得到抛物线的解析式为，
当时，
∴点，
设点，，
连接，作轴交于M，

设直线的解析式为，
由，可得
,
解得，
∴直线的解析式为，则，
，
∵，
当时，
∴的面积最大值为；
当时，，
∴点P坐标为；
小问3解析：
连接，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，是等腰直角三角形，
∴当最小时，面积取得最小值.
∵点E在线段上，
∴当时，最小.
∵是等腰直角三角形，
∴此时点E是中点，
∵，，
∴.0
1
2
3
4
0
0
3
0
0
3