北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)高考解答题专项一　第2课时　利用导数研究不等式恒(能)成立问题

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(1)当a=0时,求函数f(x)的最小值;
(2)若存在x∈(1,2]使f(x)≥g(x)-2a-2成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=0时,f(x)=xln x,定义域为(0,+∞),则f'(x)=ln x+1,
令f'(x)0,则F(x)在(1,2]上是递增的,
此时F(x)max=F(2)=2ln 2>0,满足题意,
当a0,f(x)是递增的.所以f(x)min=f(a)=-a2−a2ln a.
综上,当a≤1时,f(x)min=12-a;当1g(x0)成立,求实数a的取值范围.
解:(1)当a=-2时,f(x)=-2ln x+12(x-1)2,定义域为(0,+∞),∴f'(x)=-2x+x-1=x2-x-2x=(x-2)(x+1)x(x>0),令f'(x)=0,解得x=2,x=-1(舍去).
当00,∴当x=2时,f(x)取得极小值f(2)=-2ln 2+12,无极大值.
(2)任意x∈[1,+∞),都有f(x)≥0,即当x∈[1,+∞)时,f(x)min≥0恒成立,
f'(x)=ax+x-1=x2-x+ax(x≥1),
令h(x)=x2-x+a,
①当Δ≤0,即1-4a≤0,a≥14时,
h(x)≥0,即f'(x)≥0,所以f(x)在[1,+∞)上是递增的,所以f(x)min=f(1)=0,满足题意,
②当Δ>0,即1-4a>0,a0,m(x)是递增的,在x∈[a,e]上,m'(x)