北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)高考解答题专项一　第1课时　利用导数证明不等式

这是一份北师大版高考第一轮理科数学(适用于老高考旧教材)高考解答题专项一　第1课时　利用导数证明不等式，共4页。试卷主要包含了已知函数f=ex+1-ae2，已知数列an=1+1nn等内容，欢迎下载使用。
1.(2021安徽皖江名校联盟模拟)已知函数f(x)=ln x+ax2-x,其中a≥0.
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若函数g(x)=f(x)+ex+(1-a)x2-ln x,证明:当x>0时,g(x)>12x3+1.
(1)解:f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=1x+2ax-1=2ax2-x+1x,若a=0,f'(x)=-x-1x,令f'(x)=0,解得x=1,则f(x)在(0,1)内是递增的,在(1,+∞)上是递减的,若a>0,由2ax2-x+1=0可知Δ=1-8a,当Δ=1-8a≤0,即a≥18时,2ax2-x+1≥0,此时f(x)在(0,+∞)上是递增的,当Δ=1-8a>0,即012x3+1,即ex+x2-x-12x3-1>0.
令h(x)=ex+x2-x-12x3-1(x>0),则h'(x)=ex+2x-1-32x2,x>0,令m(x)=h'(x),则m'(x)=ex+2-3x,x>0.
令n(x)=m'(x),由n'(x)=ex-3=0,得x=ln 3,易知n(ln 3)是n(x)的最小值.
于是n(x)≥n(ln 3)=5-3ln 3>0,h'(x)在(0,+∞)上是递增的,所以h'(x)>h'(0)=0,h(x)在(0,+∞)上是递增的.故当x>0时,h(x)>h(0)=0,即g(x)>12x3+1.
2.(2021湖北宜昌高三期末)已知函数f(x)=1+ln x+ax-a2x2.
(1)当a=1时,求f(x)的单调区间;
(2)若a=0,且x∈(0,1),求证:f(x)-2lnxex+2x2-1x0,解得00,
∴g(x)在(0,1)内是递增的,
∴g(x)0,所以存在x0∈(0,1),使得g'(x0)=ex0+1−e2x0+1=0,即ex0+1=e2x0+1,故ln(x0+1)=1-x0,所以当x∈(-1,x0)时,g'(x)