2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题18 新定义问题在五种题型中的应用（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题18 新定义问题在五种题型中的应用（含解析），共197页。试卷主要包含了给出如下定义，阅读下列材料，并解决相关的问题，材料1，材料一等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
新定义类坐标系内代数综合问题，是在已有的数学知识基础上，从坐标、代数式、或者函数图象以及几何图象出发，给出一个新定义，要求学生理解并应用这个定义来解决相应的数学问题。它突出考查自主学习能力、数学阅读能力、数学抽象概括能力以及对新定义的实际应用能力。
解答此类问题，首先，认真阅读题目，结合简单示例，理解题干新定义的核心特征，如位置关系、数量关系、变化运动特征等;其次，要根据题意，画出辅助图形，完成文字语言、符号语言和图象语言的互化，让语言互化走在思维的最前端;最后，注意归纳结论，为后续问题做好指向。
此类新定义，名字新，但是内容一般是由我们学过的知识按照一种新的模式进行的组合，这就需要在分析的基础上进行转化。将新定义转化为熟悉的知识和熟悉的方法，才能有效地解决问题。
题型一：数与式中的新定义问题
1．（2024•宣化区一模）对于三个实数，，，用，，表示这三个数的平均数，用，，表示这三个数中最小的数．例如：，2，，，2，，，1，．请结合上述材料，解决下列问题：
（1），，；
（2）若，，，求的值．
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值，以及定义的新运算，即可解答；
（2）根据定义的新运算可得，然后进行计算即可解答．
【解答】解：（1），，
，，
；
（2），，，
，
整理得：，
，
或，
或，
的值为3或．
【点评】本题考查了一元二次方程的解，实数大小比较，特殊角的三角函数值，理解定义的新运算是解题的关键．
2．（2023•章贡区校级模拟）给出如下定义：我们把有序实数对，，叫做关于的二次多项式的特征系数对，把关于的二次多项式叫做有序实数对，，的特征多项式．
（1）关于的二次多项式的特征系数对为 ，2， ；
（2）求有序实数对，4，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积；
（3）若有序实数对，，的特征多项式与有序实数对，，的特征多项式的乘积的结果为，直接写出的值为 ．
【分析】（1）根据特征系数对的定义即可解答；
（2）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再根据多项式乘多项式进行计算即可；
（3）根据特征多项式的定义先写出多项式，然后再令即可得出答案．
【解答】解：（1）关于的二次多项式的特征系数对为，2，，
故答案为：，2，；
（2）有序实数对，4，的特征多项式为：，
有序实数对，，的特征多项式为：，
；
（3）根据题意得，
令，
则，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，给赋予特殊值是解题的关键．
3．（2022•湘潭县校级模拟）阅读下列材料，并解决相关的问题．
定义：如果一个数的平方等于，记为，这个数叫做虚数单位．那么形如，为实数）的数就叫做复数，叫这个复数的实部，叫做这个复数的虚部，它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似．例如计算：．
（1）填空： ， ；
（2）计算：
①；
②．
（3）试一试：请利用以前学习的有关知识将化简成的形式．
【分析】（1）根据，进行计算即可解答；
（2）①利用平方差公式，进行计算即可解答；
②利用完全平方公式，进行计算即可解答；
（3）分子和分母同时乘，进行计算即可解答．
【解答】解：（1），
，，
故答案为：，1；
（2）①
；
②
；
（3）
．
【点评】本题考查了整式的混合运算，实数的运算，理解定义的新运算是解题的关键．
4．（2022•沙坪坝区模拟）如果一个三位自然数的各个数位上的数字均不为0，且满足百位上的数字等于十位上的数字与个位上的数字之和，则称这个数为“沙磁数”．
例如：，，是“沙磁数”．
又如：，，不是“沙磁数”．
（1）判断853，632是否是“沙磁数”？并说明理由；
（2）若是一个“沙磁数”，将的十位数字放在的百位数字之前得到一个四位数，在的末位之后添加数字1得到一个四位数字，若能被11整除，求出所有满足条件的．
【分析】（1）根据新定义进行解答；
（2）设，求得、，再根据为整数求得、的值，便可得出结果．
【解答】解：（1），
是“沙磁数”；
，
不是“沙磁数”；
（2）设，则，
，
，
能被11整除，
是整数，
是整数，
，、为整数，
，或，或，或，，
或431或844或972．
【点评】本题考查了新定义，学生的阅读理解能力以及知识的迁移能力，解题的关键是理解“沙磁数”的定义．
5．（2022•渝中区校级模拟）材料1：若一个数各个数位上数字之和能被9整除，则这个数本身也能被9整除；
材料2：如果一个各个数位上的数字均不为0的四位正整数可以被9整除，且的百位上的数字比十位上的数字大2，则称为“够二数”；将的千位数字与个位数字交换，百位数字与十位数字交换，得到的数为，，例如：，，，是“够二数”， ．
（1）判断1314，6536是否是“够二数”，请说明理由，如果是“够二数”，请计算的值；
（2）若一个四位正整数是“够二数”，且为5的倍数，请求出所有的“够二数” 的值．
【分析】（1）根据新定义“够二数”进行解答便可；
（2）根据新定义“够二数”及数学推理解．
【解答】解：（1）1314是“够二数”，6536不是“够二数”．理由如下：
，，
是“够二数”，
，
不是“够二数”，
；
（2）一个四位正整数是“够二数”，
，其中是正整数，且，则，
，则，
，
，
将代入，
，
，其中是整数，
，，
．
，
是整数，
，即或，
当，
，其中，且是整数，
，，是整数，
，
当时，，解得，不符合题意舍去．
当时，，解得，符合题意，此时．
同理，当，．
【点评】本题考查了数的运算和数学推理，根据条件进行推理是解题的关键
6．（2024•兴宁区校级模拟）广西是全国水果大省，是能实现水果自由的地方，更是沙糖桔的第一大产区．2024年伊始，伴随广西11车沙糖桔运往哈尔滨，一场特殊的“投桃报李”引发全国关注，沙糖桔一跃成为春节期间的网红水果．小明爸爸开的水果店准备购进一批沙糖桔，有两个商家可供选择，上初三的小明让爸爸各买一箱，标记为，，准备运用所学的统计知识帮助爸爸进行选择．小明在，两箱水果中各随机取10个，逐一测量了它们的直径，测量结果如下（单位
数据统计表
根据题目信息，回答下列问题：
（1） 4.5 ， ， ；
（2）由折线图可知， ；（填“”“ ”或“”
（3）爸爸告诉小明沙糖桔一级果外观要求：大小均匀，直径在之间．请帮助小明用合适的统计量评价这两箱沙糖桔是否符合一级果要求，以及选择哪箱沙糖桔更好，并写出依据．
【分析】（1），箱抽取的10个砂糖桔测得的直径数值哪个出现次数最多，即为，对箱抽取的10个砂糖桔测得的直径从大到小排列，取最中间两数的平均值，即为；
（2）由折线图可知，箱砂糖桔直径比箱砂糖桔直径波动小，所以箱砂糖桔直径的方差比箱砂糖桔直径的方差小；
（3）、两箱砂糖桔直径均在之间，符合一级果要求，比较方差，选择方差小的，直径相差较小．
【解答】解：（1），
，
，
故答案为：4.5，4.5，4.45；
（2）由折线图可知，箱砂糖桔直径比箱砂糖桔直径波动小，即，
故答案为：；
（3）、两箱砂糖桔直径均在之间，符合一级果要求，
，
选择箱砂糖桔更好，直径相差较小．
【点评】本题考查了折线统计图、众数、中位数、平均数，关键是掌握平均数公式．
7．（2023•丰润区二模）一个三位数，若它的十位数字等于个位数字与百位数字的和，那么称这个三位数为“和谐数”．
（1）最小的三位“和谐数”是 110 ，最大的三位“和谐数”是 ；
（2）若一个“和谐数”的个位数字为，十位数字为，且、都是自然数），请用含，的代数式表示该“和谐数”；
（3）判断任意一个三位“和谐数”能否被11整除，若能，请说明理由，若不能，请举出反例．
【分析】（1）设个位数字为，百位数字为，则十位数字为，则“和谐数”为：，由此可得结论；
（2）按题意列代数式即可；
（3）由可得结论．
【解答】解：（1）设个位数字为，百位数字为，则十位数字为，
“和谐数”为：，
当，时，有最小的三位“和谐数”是110，
当，时，有最大的三位“和谐数”是990，
故答案为：110，990；
（2），
该“和谐数”为：；
（3）能，理由：
由（1）得“和谐数”为：，
，
任意一个三位“和谐数”能被11整除．
【点评】本题属于新定义问题，涉及到列代数式、整式加减等问题，正确理解新定义是解决本题的关键．
8．（2022•九龙坡区校级模拟）对于任意一个四位数，若满足千位上的数字与个位上的数字之和是百位上的数字与十位上的数字之和的2倍，则称这个四位数为“倍和数”、例如：
，，是倍和数”；
，，不是“倍和数”；
（1）判断1047和4657是否为“倍和数”？并说明理由．
（2）当一个“倍和数” 千位上的数字与个位上的数字不相等，且千位上的数字与个位上的数字之和等于8时，记这个“倍和数” 的千位上的数字与个位上的数字之差的绝对值为，记百位上的数字与十位上的数字之差的绝对值为，令，当能被3整除时，求出满足条件的所有“倍和数” ．
【分析】根据新概念判断即可
【解答】（1），
，
是0”倍和数“
，
，
不是”倍和数“
（2）设“倍和数” ，（其中，且，为整数）．
，，，
千位数上的数字与个位上的数不相等，
，
能被3整除，
为整数），
，
，
，
，
或7，
，
，
或3，
故满足条件的所有“倍和数” 为：1137，1317，7131，7311
【点评】本题考查了代数式中的新题型，结合概念的整除即可解答
9．（2022•两江新区模拟）材料一：若一个两位数恰好等于它的各位数字之和的4倍，则称这个两位数为“巧数”．
材料二：一个四位数满足各个数位数字都不为0，且它的千位数字与百位数字组成的两位数，以及十位数字与个位数字组成的两位数均为“巧数”，则称这个四位数为“双巧数”．若，，则记．
（1）请任意写出两个“巧数”，并证明任意一个“巧数”的个位数字是十位数字的2倍；
（2）若，都是“双巧数”，其中，，，，，，，，且，，，，，均为整数），规定，，当时，求的最大值．
【分析】（1）设出两位数，根据这个两位数是“巧数”得出，最后根据这个两位数是完全平方数，即可得出结论；
（2）先根据这个两位数是“巧数”得出，进而表示出新的两位数和三位数，再根据这个三位数与这个两位数的差为一个完全平方数得出是完全平方数，即可得出结论．
【解答】解：（1）设两位数的个位数字为，十位数字为，，
则这个两位数为，
这个两位数是“巧数”，
，
，
即：这个两位数为，
当时，，这个两位数是24；
当时，，这个两位数为36；
（2），
，
，
；
，
，
，
，
，，
，即，解得，
，，
都是“双巧数”，
，解得，
，，
若要使最大，
则其分母最小，分子最大．
，
，且为正整数，
取3，
的最大值为2．
【点评】此题主要考查了数字问题，两位数和三位数的表示，新定义，掌握新定义“巧数”得出是解本题的关键．
10．（2022•江津区一模）一个三位数，将的百位数字和十位数字相加，所得数的个位数字放在之后，得到的四位数称为的“如虎添翼数”，将的“如虎添翼数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数，把四个新的三位数的和与3的商记为．例如：，，的“如虎添翼数” 是2971，将2971的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新的三位数：971、271、291、297，则．
（1）258的“如虎添翼数”是 2587 ， ；
（2）证明任意一个十位数字为0的三位数，它的“如虎添翼数”与的个位数字之和能被11整除；
（3）一个三位数且，它的“如虎添翼数” 能被17整除，求的最大值．
【分析】（1）根据概念进行计算从而作出判断；
（2）令，然后根据概念并结合整式的加减运算进行分析证明；
（3）将变形为，然后结合概念表示出的如虎添翼数，并结合整除的概念及，的取值范围分析其最值．
【解答】解：（1），
的如虎添翼数为2587，
将2587的任意一个数位上的数字去掉后可以得到新的三位数：587；287；257；258；
，
故答案为：2587；463；
（2）令，，且，均为整数），则百位数字和十位数字的和为，
的如虎添翼数为，
其如虎添翼数和其个位数字之和为，
，且，均为整数，
任意一个十位数字为0的三位数，它的“如虎添翼数”与的个位数字之和能被11整除；
（3），
百位数字和十位数字相加得，
当时，
的如虎添翼数为：
，
在千位，
对的大小影响较大，
应取更大值，
由是个三位数，则，
，即最大取8，
时，的如虎添翼数能被17整除，则能被17整除，
，
，
的如虎添翼数为9231，
，
即的最大值为1002．
【点评】本题属于新定义题目，理解新定义概念，掌握整式加减的运算法则是解题关键．
11．（2022•开州区模拟）一个自然数能分解成，其中，均为两位数，的十位数字比的十位数字少1，且，的个位数字之和为10，则称这个自然数为“双十数”．
例如：，6比7小1，，是“双十数”；
又如：，3比4小1，，不是“双十数”．
（1）判断357，836是否是“双十数”，并说明理由；
（2）自然数为“双十数”，将两位数放在两位数的左边，构成一个新的四位数．例如：，，若与的十位数字之和能被5整除，且能被7整除，求所有满足条件的自然数．
【分析】（1）直接利用题目中的解题方法进行求解即可；
（2）首先表示出，利用与的十位数字之和能被5整除，将与的十位数字所有情况列出来，再利用能被7整除来排除，从而得到所有满足条件的自然数．
【解答】解：（1），
1比2小1，，
不是双十数．
，
2比3小1，，
是双十数．
（2）自然数，两位数放在两位数的左边构成一个新的四位数，
设的十位数字为，个位数字为，
的十位数字为，个位数字为，
与的十位数字之和能被5整除，
或或，
①当时，
，
的十位数字为2，的十位数字为3，
能被7整除，
仅当时，时满足条件，
，
②当时，
不满足条件，
这种情况舍去，
③当时，
，
的十位数字为7，的十位数字为8，
能被7整除，
当时，时满足条件，
，
当时，时满足条件，
，
综上，满足条件的自然数的值为864，6319，6396．
【点评】本题主要考查数与式里的新定义问题，解题的关键是明确题干所给条件，利用已知条件进行推理排除即可求解．
12．（2022•重庆）对于一个各数位上的数字均不为0的三位自然数，若能被它的各数位上的数字之和整除，则称是的“和倍数”．
例如：，是13的“和倍数”．
又如：，不是“和倍数”．
（1）判断357，441是否是“和倍数”？说明理由；
（2）三位数是12的“和倍数”， ，，分别是数其中一个数位上的数字，且．在，，中任选两个组成两位数，其中最大的两位数记为（A），最小的两位数记为（A），若为整数，求出满足条件的所有数．
【分析】（1）根据“和倍数”的定义依次判断即可；
（2）根据“和倍数”的定义表示（A）和（A），代入中，根据为整数可解答．
【解答】解：（1），
不是“和倍数”；
，
是9的“和倍数”；
（2）由题意得：，，
由题意得：（A），（A），
，
，为整数，
，
，
，5，7，
，7，5，
①当，时，（舍，，
则或372；
②当，时，，
则或156；
③当，时，此种情况没有符合的值；
综上，满足条件的所有数为：732或372或516或156．
【点评】本题考查了新定义问题，根据新定义问题进行计算是解题关键．
13．（2022•铜梁区模拟）对于任意一个四位数，如果满足各个数位上的数字互不相同．且个位数字不为0，的百位数字与十位数字之差是千位数字与个位数字之差的2倍，则称这个四位数为“双减数”，对于一个“双减数” ，将它的千位和百位构成的两位数为，个位和十位构成的两位数为，规定：．
例如：．因为，所以7028是一个“双减数”则．
（1）判断3401，5713是否是“双减数”，并说明理由；如果是，求出的值；
（2）若“双减数” 的各个数位上的数字之和能被11整除，且是3的倍数，求的值．
【分析】（1）根据“双减数”的定义判断并求值即可；
（2）设，根据“双减数”的性质可推导得：，，再分两种情况讨论即可：①当时，②当时．
【解答】解：（1），，且满足各个位上的数字互不相等，且个位数字不为0，
是“双减数，5713不是“双减数”．
．
，，不满足“双减数”的定义，
不是“双减数”．
（2）设，由题意可知：是3的倍数，且各个数位上的数字之和能被11整除，且百位数与十位数之差是千位数与个位数之差的两倍．
均为整数）①，为正整数）②，③．
，
，
由①知，，
，
，
，
或，即或．
当时，，
，，
代入②得，，
当时，，
，，
代入②得，，
根据“双减数”的性质可得：的最大值为30，最小值为6，
，
只能取11或22．
当时，可得或；
当时，与的值可能为，（舍去），
，
，，
；
当时，，则或（舍去），
，此时，，．
；
当时，可得（舍或（舍．
或1064．
【点评】此题考查了新定义下的实数运算问题，解题的关键是根据新定义的运算规则求解．
14．（2022•大足区模拟）对任意一个四位正整数，如果的百位数字等于个位数字与十位数字之和，的千位数字等于十位数字的2倍与个位数字之和，那么称这个数为“和谐数”．例如：，满足，，所以7431是“和谐数”．例如：，满足，但，所以6413不是“和谐数”．
（1）判断8624和9582是不是“和谐数”，并说明理由；
（2）若是“和谐数”，且与22的和能被13整除，求满足条件的所有“和谐数” ．
【分析】（1）根据“和谐数”的定义直接进行判断即可；
（2）设的个位数为，十位数为，根据是“和谐数”，则的百位数为，千位数为，再根据与22的和能被13整除，即可解答．
【解答】解：（1），，，
是“和谐数”；
，，
不是“和谐数”；
（2）设的个位数为，，十位数为，，且、为整数，
是“和谐数”，
的百位数为，千位数为，
，
与22的和能被13整除，
能被13整除，
能被13整除，
，且、为整数，
，
只能取0，1，2，3，4，
时，或时，或时，或，或，或，（不合题意舍去）或，（不合题意舍去）或，（不合题意舍去）或，（不合题意舍去），
，或，或，或，（不合题意舍去）或，（不合题意舍去），
的值为2110或5321或8532．
【点评】本题是一道新定义题目，考查了有理数整除的相关性质，利用代数式的值进行相关分类讨论，得出结果，解题的关键是能够理解定义．
15．（2022•南川区模拟）对于一个三位数的正整数，满足各个数位上的数字都不为零，它的百位数字减去十位数字的差等于十位数字减去个位数字的差，那么称这个数为“平衡数”，对于任意一个“平衡数”，将它的前两位数加上后两位数所得的和记为；将它的百位数字和个位数字构成的两位数加上交换这个两位数所得到的新两位数的和记为；把与的差除以9所得结果记为：．例如，因为，所以246是一个“平衡数”，所以，，则．
（1）计算：，；
（2）若、都是“平衡数”其中，，，，，，、、、都是整数），规定，当时，求的最小值．
【分析】（1）根据新定义进行计算即可．
（2）根据新定义，结合已知条件，用一个字母表达，再根据这个字母的取值范围即可得出答案．
【解答】解：（1），
．
（2），，，，，，，，，都是整数），
，
，
，
，
整理得，
即，
，
，
是“平衡数”，
，
，
则，
，
，
解得，
为整数，且，
或6或7，
当时，取得最小值为．
【点评】本题考查新定义题型、列代数式、有理数的混合运算，能根据题干中所给的新定义及运算规则完成计算是解答本题的关键．
16．（2024•唐山一模）数学课上老师给出规定：如果两个数的平方差能被4整除，我们称这个算式是“佳偶和谐式”．
小亮写出如下算式：；；．
发现：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”．
（1）验证：是“佳偶和谐式”；
（2）证明：任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
（3）小红通过小亮的结论推广得到一个命题：任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，直接判断此命题是真命题还是假命题．
【分析】（1）直接根据“佳偶和谐式”的定义，即可求解；
（2）设这两个连续偶数分别为，，再根据平方差公式，以及“佳偶和谐式“的定义，即可求解；
（3）设任意两个偶数分别为，，再根据平方差公式，以及“佳偶和谐式’的定义，即可求解．
【解答】解：（1）证明：，
是“佳偶和谐式”；
（2）证明：设这两个连续偶数分别为，，
则
，
任意两个连续偶数的平方差都能被4整除，这些算式都是“佳偶和谐式”；
（3）设任意两个偶数分别为，，
，
任意两个偶数的平方差都能被4整除，他们的算式都是“佳偶和谐式”，
该命题是真命题．
【点评】本题主要考查的是因式分解的应用和命题与定理，熟练掌握平方差公式是解题的关键．
题型二：函数中的新定义问题
1．（2023•益阳）在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与抛物线交于，两点在的左边）．
（1）求点的坐标；
（2）如图1，若点关于轴的对称点为点，当以点，，为顶点的三角形是直角三角形时，求实数的值；
（3）定义：将平面直角坐标系中横坐标与纵坐标均为整数的点叫作格点，如，等均为格点．如图2，直线与抛物线所围成的封闭图形即阴影部分（不包含边界）中的格点数恰好是26个，求的取值范围．
【分析】（1）解方程；
（2）表示出点，，的坐标，利用勾股定理解方程求解，注意直角顶点不确定，需分类讨论；
（3）直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，各为13个，分别求出的范围．
【解答】解：（1）令，得，
点的坐标为；
（2）联立直线与抛物线得：
，
，
或，
，，
点关于轴的对称点为点，
，
，
，
，
若，则，即，所以，
若，则，即，所以，
若，则，即，此方程无解．
或．
（3）如图，直线与抛物线所围成的封闭图形（不包含边界）中的格点只能落在轴和直线上，
，，，
，
格点数恰好是26个，
落在轴和直线上的格点数应各为13个，
落在轴的格点应满足，即，
①若，则即，所以线段上的格点应该为，，，，
②若，，，所以线段上的格点正好13个，
综上，或．
【点评】本题考查了一次函数和二次函数的图象与性质，并与直角三角形和新定义结合，关键是弄清格点只能落在轴和直线上，各为13个，并对点、进行定位．
2．（2023•义乌市模拟）【概念发现】
对于平面上的图形，先将其向上平移个单位，再将平移后的图形沿着直线翻折得到图象，记此变换过程为图形的滑动对称变换，若在另一图形上存在一动点，图形上存在一动点，记长度的最大值为，长度的最小值为．
【理解应用】
（1）如图1，平面直角坐标系中，，，记线段为图形，先将线段向上平移1个单位，再沿着直线翻折得到线段，记线段’，记线段为图形，则图形的 1 ， 滑动对称变换得到图形．记原点为图形，则 ， ．
【思维提升】
（2）如图2，在坐标平面内，半径为2，圆心，，，记为图形，线段记为图形，图形的滑动对称变换得到图形，求与的值．
【拓展延伸】
（3）如图3，记直线的图象为图形，反比例的图象为图形，图形的滑动对称变换得到图形，则 ．
【分析】（1）根据滑动对称变换的概念，此变换过程为图形的滑动对称变换，则，；
（2）图形的滑动对称变换得到的图形为：圆心为，半径为2的圆，则，；
（3）图形的滑动对称变换得到的图形为直线，求出与直线平行且与双曲线相切的直线，则为两平行线之间的距离．
【解答】解：（1）根据滑动对称变换的概念，记线段为图形，先将线段向上平移1个单位，再沿着直线翻折，此变换过程为图形的滑动对称变换，且，’ ，，．
故答案为：1；2；；．
（2）图形的滑动对称变换得到的图形为：圆心为，半径为2的圆，如图所示：
，，
，，
，．
（3）图形的滑动对称变换得到的图形为直线，如图所示：
设图中与平行的直线为：，与反比例联立得
，
，
△，
或（舍掉），
，
，
，
在直角三角形中，，，则，边上的高；
．
故答案为：．
【点评】本题在新定义下考查了最值问题，包括点线，线圆，直线与双曲线，关键是作出变换后的图形，最终转化成点点距．
3．（2023•姜堰区二模）在平面直角坐标系中，对于函数，其中、、为常数，，定义：函数是的衍生函数，点是函数的衍生点，设函数与其衍生函数的图象交于、两点（点在点的左侧）．
（1）若函数的图象过点、，其衍生点，求函数的解析式；
（2）①若函数的衍生函数为，求、两点的坐标；
②函数的图象如图所示，请在图中标出点、两点的位置；
（3）是否存在常数，使得无论为何值，函数的衍生点始终在直线上，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由衍生点，知，然后用待定系数法求函数的解析式；
（2）①由衍生函数的定义求出，联立与，解方程组求、两点的坐标；
②仿照①的过程进行求解；
（3）求出直线的表达式，代入点，寻求，，之间的关系．
【解答】解：（1）函数的衍生点，
，
函数的图象过点、，
，
，
．
（2）①函数的衍生函数为，
，
，
或，
、，
②由图象结合（1）得，
，
，
或，
、，见图所示：
（3）点，，，
，
或，
、，
设直线的表达式为，则
，
，
，
代入得，，
，
是任意实数，
，
．
【点评】本题是新定义题，考查了二次函数的图象与性质，解题关键是紧靠定义，尤其第（3）问，用字母表示，有一定难度．
4．（2022•遵义）新定义：我们把抛物线（其中与抛物线称为“关联抛物线”．例如：抛物线的“关联抛物线”为：．已知抛物线的“关联抛物线”为．
（1）写出的解析式（用含的式子表示）及顶点坐标；
（2）若，过轴上一点，作轴的垂线分别交抛物线，于点，．
①当时，求点的坐标；
②当时，的最大值与最小值的差为，求的值．
【分析】（1）根据“关联抛物线”的定义可直接得出的解析式，再将该解析式化成顶点式，可得出的顶点坐标；
（2）①设点的横坐标为，则可表达点和点的坐标，根据两点间距离公式可表达的长，列出方程，可求出点的坐标；
②分情况讨论，当时，当时，当时，分别得出的最大值和最小值，进而列出方程，可求出的值．
【解答】解：（1）根据“关联抛物线”的定义可得的解析式为：，
，
的顶点坐标为；
（2）①设点的横坐标为，
过点作轴的垂线分别交抛物线，于点，，
，，
，
，
，
解得或，
或．
②的解析式为：，
当时，，
当时，，
当时，，
根据题意可知，需要分三种情况讨论，
Ⅰ、当时，，
且当时，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得或（舍；
当时，函数的最大值为；函数的最小值为，
，解得或（舍；
Ⅱ、当时，，
函数的最大值为，函数的最小值为；
，
解得（舍；
Ⅲ、当时，，不符合题意，舍去；
综上，的值为或．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义类问题，涉及两点间距离公式，二次函数的图象及性质，由“关联抛物线”的定义得出的解析式，掌握二次函数图象的性质是解题关键．
5．（2022•湘西州）定义：由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”，如图①，抛物线与抛物线组成一个开口向上的“月牙线”，抛物线和抛物线与轴有着相同的交点、（点在点右侧），与轴的交点分别为、．
（1）求抛物线的解析式和点的坐标．
（2）点是轴下方抛物线上的点，过点作轴于点，交抛物线于点，求线段与线段的长度的比值．
（3）如图②，点是点关于抛物线对称轴的对称点，连接，在轴上是否存在点，使得是以为腰的等腰三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）将、代入中，即可求函数的解析式；
（2）设，则，，分别求出，，再求比值即可；
（3）先求出，设，分两种情况讨论：①当时，，可得，或，；②当时，，点不存在．
【解答】解：（1）将、代入中，
，
解得，
，
在中，令，则，
；
（2）设，则，，
，，
；
（3）存在点，使得是以为腰的等腰三角形，理由如下：
由（1）可得的对称轴为直线，
点与点关于对称轴对称，
，
设，
①当时，
，
，
，
解得或，
，或，；
②当时，，
此时无实数根；
综上所述：点坐标为，或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，等腰三角形的性质，分类讨论是解题的关键．
6．（2022•南通）定义：函数图象上到两坐标轴的距离都不大于的点叫做这个函数图象的“阶方点”．例如，点，是函数图象的“阶方点”；点是函数图象的“2阶方点”．
（1）在①；②；③三点中，是反比例函数图象的“1阶方点”的有 ②③ （填序号）；
（2）若关于的一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，求的值；
（3）若关于的二次函数图象的“阶方点”一定存在，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据定义进行判断即可；
（2）在以为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，结合图象求的值即可；
（3）在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，结合函数图象求解即可．
【解答】解：（1）①到两坐标轴的距离分别是2，，
，，
不是反比例函数图象的“1阶方点”；
②到两坐标轴的距离分别是1，1，
，，
是反比例函数图象的“1阶方点”；
③到两坐标轴的距离分别是1，1
，，
是反比例函数图象的“1阶方点”；
故答案为：②③；
（2）当时，，
函数经过点，
如图1，在以为中心，边长为4的正方形中，当直线与正方形区域只有唯一交点时，图象的“2阶方点”有且只有一个，
由图可知，，，
一次函数图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
当直线经过点时，，此时图象的“2阶方点”有且只有一个，
综上所述：的值为3或；
（3）在以为中心，边长为的正方形中，当抛物线与正方形区域有公共部分时，二次函数图象的“阶方点”一定存在，
如图2，设，，，，
当抛物线经过点时，；
当抛物线经过点时，或；
当时，二次函数图象的“阶方点”一定存在．
【点评】本题属于二次函数背景下新定义问题，主要考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，将所求问题转化为正方形与函数图象的交点问题是解题的关键．
7．（2022•安顺）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点．例如：点，，，，，都是和谐点．
（1）判断函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点，．
①求，的值；
②若时，函数的最小值为，最大值为3，求实数的取值范围．
【分析】（1）设函数的和谐点为，可得，求解即可；
（2）将点，代入，再由有且只有一个根，△，两个方程联立即可求、的值；
②由①可知，当时，，当时，，当时，，则时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，理由如下，
设函数的和谐点为，
，
解得，
和谐点为；
（2）①点，是二次函数的和谐点，
，
，
二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
有且只有一个根，
△，
，；
②由①可知，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
函数的最大值为3，最小值为；
当时，函数的最大值为3，最小值为．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合解题是关键．
8．（2024•北京模拟）在平面直角坐标系中，已知正方形，其中，，，，，，，，、为正方形外两点，．给出如下定义：如果线段平移个单位后，两端点均落在正方形的边上，则称的最小值为线段到正方形的“平移距离”，记为．
（1）如图1，平移线段，得到两条端点在正方形边上且长度为1的线段和，则这两条线段的位置关系是 平行 ；在点，，，中，连接点与点 的线段的长度等于；
（2）若点，都在直线上，求的值；
（3）若点的坐标为，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据平移前后的对应线段平行及平行公理的推论可得和的位置关系是平行；最短距离是第一次平移后得到的对应点的连线，即可判断连接点与点的线段的长度等于；
（2）设平移后交正方形于点、．作于点，交于点，延长交轴于点，则，推理可得和均为，那么点、、在同一条直线上，根据的三角函数值可得、的长，即可求得的长，那么平移的距离等于的长减去的长；
（3）由题意得，点平移到点处时，平移的距离最小，点平移到或者的中点时，平移的距离最大，那么可得的取值范围．
【解答】解：（1）平移前后的对应线段平行，
，．
．
点的对应顶点分别是和，，
在点，，，中，连接点与点的线段的长度等于．
故答案为：平行，；
（2）设平移后交正方形于点、．作于点，交于点，延长交轴于点，则．
．
点，都在直线上，
，．
，．
．
由题意得：，
点在线段上．
，，，
，．
．
．
；
（3）①点平移到点处时，平移的距离最小．
点的坐标为，，．
；
②点平移到或者的中点时，平移的距离最大，以的中点为例．
点是的中点，坐标为，，
点的坐标为，．
．
．
【点评】本题综合考查一次函数的应用．用到的知识点为：平面内两点的坐标分别为，，，，则；直线解析式的比例系数的绝对值是1，那么这条直线与轴或轴的夹角为．
9．（2024•乌鲁木齐一模）我们将使得函数值为零的自变量的值称为函数的零点．例如，对于函数，令，可得，我们就说1是函数的零点．
（1）求一次函数的零点；
（2）若二次函数的零点为，，，两点的坐标依次，，，，如果，求的值；
（3）直线的零点为1，且与抛物线交于、两点，若时，线段有最小值，求．
【分析】（1）当时，求出的值即可；
（2）由题意可得，再由根与系数的关系可得，，根据，求出的值即可；
（3）求出的值，联立方程组，整理得，再求，分三种情况讨论：当时，此时有最小值，解得或（舍；当时，即，此时有最小值，解得或（舍；当，即，此时的最小值为0．
【解答】解：（1）当时，，
解得，
一次函数的零点是；
（2）当时，，
△，
或，
，，
，
；
（3）直线的零点为1，
，
解得，
，
联立方程组，
整理得，
，，
，
，
当时，即，此时有最小值，
解得或（舍；
当时，即，此时有最小值，
解得或（舍；
当，即，此时的最小值为0；
综上所述：的值为3或．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清定义，分类讨论是解题的关键．
10．（2023•崇川区校级四模）规定：如果两个函数图象上至少存在一组点是关于原点对称的，我们则称这两个函数互为“—函数”．这组点称为“点”．例如：点在函数上，点在函数上，点与点关于原点对称，此时函数和互为“—函数”，点与点则为一组“点”．
（1）已知函数和互为“—函数”，请求出它们的“点”；
（2）已知函数和互为“—函数”，求的最大值并写出“点”；
（3）已知二次函数与互为“—函数”有且仅存在一组“点”，如图，若二次函数的顶点为，与轴交于，，，其中，，过顶点作轴的平行线，点在直线上，记的横坐标为，连接，，．若，求的最小值．
【分析】（1）设在上，则在上，由此得到方程组，求解方程组即可；
（2）设在上，则在上，由此得到方程组，整理得，当时，有最大值2019，再求“点”即可；
（3）设在上，则在上，由此可得方程组，整理得，由题意可得△，即，从而得到顶点的纵坐标为，又由根与系数的关系可得，，则，整理得，证明，得到，可得，所以当时，有最小值．
【解答】解：（1）设在上，则在上，
，
解得或，
“点”为与或，与，；
（2）设在上，则在上，
，
，
当时，有最大值2019，
此时“点”为与；
（3）设在上，则在上，
，
整理得，
有且仅存在一组“点”，
△，即，
顶点的纵坐标为，
，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
的横坐标为，
，，
，
当时，有最小值．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，三角形相似的判定及性质，一元二次方程根与系数的关系，弄清定义是解题的关键．
11．（2023•长安区校级二模）在平面直角坐标系中，如果点的横坐标和纵坐标相等，则称点为和谐点．例如：点，，，，都是和谐点．
（1）判断二次函数的图象上是否存在和谐点，若存在，求出其和谐点的坐标；
（2）若二次函数的图象上有且只有一个和谐点．
①求这个二次函数的表达式；
②若时，函数的最小值为1，最大值为3，求实数的取值范围．（可通过画出函数图象草图来求解）
【分析】（1）设函数的和谐点为，代入求解即可；
（2）①将点代入，再由有且只有一个根，△，两个方程联立即可求、的值；
②由①可知，当时，，当时，，当时，，则时满足题意．
【解答】解：（1）存在和谐点，和谐点的坐标为，；
设函数的和谐点为，可得，
解得或，
和谐点为，；
（2）①点是二次函数的和谐点，
，
，
二次函数的图象上有且只有一个和谐点，
有且只有一个根，
△，
，，
该二次函数的表达式为：；
②由①可知，，
抛物线的对称轴为直线，
当时，，
当时，，
当时，，
函数的最小值为1，最大值为3，
当时，函数的最小值为1，最大值为3．
【点评】题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，并与二次函数的性质结合是解题的关键．
12．（2023•海州区校级一模）在平面直角坐标系中，对于两点，和，，它们横坐标之差的绝对值与纵坐标之差的绝对值之和称为这两个点之间的曼哈顿距离，表示为：．
（1）如果点，则原点与点的曼哈顿距离 5 ；
（2）函数的图象如图1所示，是图象上一点，原点与点的曼哈顿距离，则点的坐标为 ；
（3）点，分别在轴和轴的正半轴上，对于线段上任意一点，都满足，则直线的函数表达式为 ；
（4）如图2，点，的半径为2，点在上，则的最小值为 ．
【分析】（1）点，，直接套用公式计算；
（2）设点，根据建立方程求点的坐标；
（3）设直线的函数表达式为，则点，根据建立方程恒成立，求出、；
（4）设，在圆上满足，，则直线与圆有交点，联立方程组消建立的方程有解，利用△求最值．
【解答】解：（1）点，，
，
故答案为：5；
（2）设点，
，
，即，
，
，
，
，
，
点的坐标为，
故答案为：；
（3）设直线的函数表达式为，则点，
点，分别在轴和轴的正半轴上，点在线段上，
，，
，
，即，
点是任意一点，
，
，，
直线的函数表达式为，
故答案为：；
（4）设，，，
，，
，即①，
，
，代入①得，
，
△，
，
，
的最小值为，
故答案为：．
【点评】本题在新定义下考查了方程思想，图象交点问题，关键是紧扣定义，套用公式．
13．（2023•黄石模拟）定义：若一个函数图象上存在横、纵坐标相等的点，则称该点为这个函数图象的“等值点”，例如，点是函数的图象的“等值点”．
（1）试判断函数的图象上是否存在“等值点”？如果存在，求出“等值点”的坐标；如果不存在，请说明理由；
（2）已知函数的图象的“等值点”为点和点．
①已知实数、满足，，且，求的值；
②已知实数、满足，，且，求的值；
③若函数的图象记为将其沿直线翻折后的图象记为，由，两部分组成的图象记为，试求图象上的“等值点”．
【分析】（1）根据“等值点”的定义，解方程即可，注意；
（2）①根据，，变形得到，，可知，是方程的两个根，即，是函数的图象的“等值点”的横坐标，求出、代入即可；
②仿照①的做法，注意把当成一个整体；
③先求出的表达式，再求出它的“等值点”，注意的范围，最后求上的“等值点”．
【解答】解：（1）函数的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为，．理由如下：
函数的图象上若存在“等值点”，则，
，
，，
，
，
函数的图象上存在“等值点”，“等值点”的坐标为，．
（2）①实数、满足，，
，，
，是方程的两个根，即，是函数的图象的“等值点”的横坐标，
，或，，
当，时，，
当，时，，
．
②实数、满足，，
，，
，是方程的两个根，即，是函数的图象的“等值点”的横坐标，
，或，，
当，时，，
当，时，，
．
③函数的顶点为，它关于直线对称的点为，
的函数表达式为，
，
或（舍，
上的“等值点”为，．
函数的图象的“等值点”为点．
图象上的“等值点”为和，．
【点评】本题在新定义下考查了两个函数图象交点与方程的关系，渗透了数形结合和整体的思想．
14．（2022•长沙）若关于的函数，当时，函数的最大值为，最小值为，令函数，我们不妨把函数称之为函数的“共同体函数”．
（1）①若函数，当时，求函数的“共同体函数” 的值；
②若函数，，为常数），求函数的“共同体函数” 的解析式；
（2）若函数，求函数的“共同体函数” 的最大值；
（3）若函数，是否存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数“的最小值．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）①由题意求出，，再由定义可求的值；
②分两种情况讨论：②当时，，，；当时，，有，；
（2）由题意，，，则，所以有最大值；
（3）分四种情况讨论：①当时，，，；②当时，，，；③当，即，，，；④当，，，，画出的函数图象，结合图象可得，解得．
【解答】解：（1）①，
，
函数，
函数的最大值，函数的最小值，
；
②当时，函数在有最大值，有最小值，
；
当时，函数在有最大值，有最小值，
；
综上所述：；
（2），即，
函数最大值，最小值，
，
当时，有最大值；
（3）存在实数，使得函数的最大值等于函数的“共同体函数“的最小值，理由如下：
，
函数的对称轴为直线，的最大值为，
①当时，即，
此时，，
，
此时的最小值为；，解得；
②当时，即，
此时，，
，
此时的最小值为；
③当，即，
此时，，
，
的最小值为；，解得；
④当，即，
此时，，
，
的最小值为；
的函数图象如图所示：的最小值为，
由题意可得，
解得；
综上所述：的值为．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，理解定义，根据定义结合所学的一次函数、反比例函数、二次函数的图象及性质综合解题，分类讨论是解题的关键．
15．（2024•长沙三模）对某一个函数给出如下定义：如果函数的自变量与函数值满足：当时，，为实数，且，我们称这个函数在上是“民主函数”．比如：函数在上是“民主函数”．理由：由，得．，，解得，，是“民主函数”．
（1）反比例函数是上的“民主函数”吗？请判断并说明理由；
（2）若一次函数在上是“民主函数”，求此函数的解析式（可用含，的代数式表示）；
（3）若抛物线在上是“民主函数”，且在上的最小值为，设抛物线与直线交于，点，与轴相交于点．若的内心为，外心为，试求的长．
【分析】（1）根据“民主函数”的定义进行判断即可；
（2）根据“民主函数”的定义以及一次函数的增减性，分两种情况进行求解即可；
（3）由，，得，则抛物线在上是递增的，可知时，，且最小值为，得出抛物线的解析式，从而得出点、、的坐标，设，根据，可得的坐标，再利用面积法求出点的坐标，即可求得答案．
【解答】（1）解：当时，则，
反比例函数在第一象限内随的增大而减小，
当时，，
，
反比例函数是上的“民主函数”；
（2）由题意，得：当时，，
，
当时，随着的增大而增大，
当时，，当时，，
则，
解得：，
即；
当时，随着的增大而减小，
当时，，当时，，
则，
解得：，
即，
综上所述，或；
（3）抛物线的顶点式为，顶点坐标为，，
，，
，
抛物线在上是递增的，
当时，取最小值，
，
解得：，
抛物线的函数表达式为，
抛物线与直线相交于、两点，设，，
假设点在点的左侧，即，
，
解得：，，
在中，，，，
，，
外心在线段的垂直平分线上，设，
则，
，
，
，
在中，根据内心的性质，设内心到各边距离为，得
，
，
是等腰三角形，轴为的角平分线，
的内心在轴上，
，
，
．
【点评】本题是二次函数综合题，主要考查了一次函数、反比例函数、二次函数的性质，三角形外心和内心的性质等知识，理解新定义，得出抛物线的解析式从而得出的顶点坐标是解题的关键．
16．（2023•南山区三模）在平面直角坐标系中，由两条与轴有着相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“月牙线”．如图所示，抛物线与抛物线的部分图象组成一个“月牙线”，相同的交点分别为，（点在点的左侧），与轴的交点分别为，，且点的坐标为．
（1）求，两点的坐标及抛物线的解析式；
（2）若抛物线的顶点为，当时，试判断三角形的形状，并说明理由；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上一点，抛物线第三象限上是否存在一点，使得，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，说明理由．
【分析】（1）令，求解方程，可求、点坐标，设抛物线的解析式为，将点代入即可求函数的解析式；
（2）求出点坐标，利用两点间距离公式，得到，即可判断三角形形状；
（3）求出点坐标，直线的解析式，过点作轴交于点，根据所求的点坐标，分两种情况，利用铅锤法求相应的点坐标即可．
【解答】解：（1）令，则，
解得或，
，，
设抛物线的解析式为，
将点代入，得，
解得，
；
（2），
，
，
，，，
，
是等腰三角形；
（3）存在一点，使得，理由如下：
点是抛物线上一点，
，
解得或，
或，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
过点作轴交于点，
当时，，
，
，
，
，
解得，
，；
当时，，
，
，
，
，
解得，
，；
综上所述：点坐标为，或，．
【点评】本题考查二次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数的图象及性质，弄清“月牙线”的定义，利用铅锤法求三角形的面积是解题的关键．
17．（2023•宛城区校级模拟）定义：在平面直角坐标系中，有一条直线，对于任意一个函数，作该函数自变量大于的部分关于直线的轴对称图形，与原函数中自变量大于或等于的部分共同构成一个新的函数图象，则这个新函数叫做原函数关于直线的“镜面函数”．例如：图①是函数的图象，则它关于直线的“镜面函数”的图象如图②所示，且它的“镜面函数”的解析式为，也可以写成．
（1）在图③中画出函数关于直线的“镜面函数”的图象．
（2）函数关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，求的值．
（3）已知抛物线，关于直线的“镜面函数”图象上的两点，，，，当，时，均满足，直接写出的取值范围 ．
【分析】（1）根据“镜面函数”的定义画出函数的“镜面函数”的图象即可；
（2）分直线过“镜面函数”图象与直线的交点和与原抛物线相切两种情况求解即可；
（3）根据题意可作出对应的函数图象，再根据二次函数的性质可得出关于的不等式组，解之即可得出结论．
【解答】解：（1）如图，即为函数函数关于直线的“镜面函数”的图象，
（2）如图，
对于，当时，，
函数与轴的交点坐标为，
当直线经过点时，；
此时关于直线的“镜面函数”与直线有三个公共点，
当直线与原抛物线只有一个交点时，则有：，
整理得，，
此时，△，
解得，，
时，△，
综上，的值为4或；
（3）根据题意可知，该抛物线的“镜面函数”为：，
函数图象如图所示：
当时，如图，点关于直线的对称点为，关于的对称点为，
若当，时，均满足，
则需满足，
解得．
故答案为：．
【点评】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“镜面函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
18．（2024•昆山市模拟）定义：若存在实数对坐标同时满足一次函数和反比例函数，则二次函数为一次函数和反比例函数的“生成”函数．
（1）试判断（需要写出判断过程）：一次函数和反比例函数是否存在“生成”函数，若存在，写出它们的“生成”函数和实数对坐标．
（2）已知：整数，，满足条件，并且一次函数与反比例函数存在“生成”函数，求的值．
（3）若同时存在两组实数对坐标，和，使一次函数和反比例函数为“生成”函数，其中，实数，，设，求的取值范围．（注：一元二次方程的求根公式为
【分析】（1）只需将与组成方程组，并求出该方程组的解即可解决问题；
（2）根据题意得，解得．然后根据求出的取值范围，进而求出的取值范围，就可求出整数的值；
（3）由，可得，，，，即可得到，，由题可得，，从而得到，利用二次函数的增减性并结合即可得到的取值范围．
【解答】解：（1）联立，
解得或．
则一次函数和反比例函数存在“生成”函数，
它们的“生成”函数为，实数对坐标为，；
（2）根据题意得：
，
解得：．
，
，
解得，
，
，
．
是整数，
；
（3），，
，，，，
，，
方程有两个不相等的实根．
由题意可知：、是方程的两个不等实根，
，，
，
，
．
【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查解方程组、解不等式组、根与系数的关系、完全平方公式等知识，有一定的难度，运用配方法及二次函数的增减性是解决第（3）小题的关键．
19．（2023•婺城区一模）定义：在平面直角坐标系中，直线与某函数图象交点记为点，作该函数图象中，点及点右侧部分关于直线的轴对称图形，与原函数图象上的点及点右侧部分共同构成一个新函数的图象，称这个新函数为原函数关于直线的“迭代函数“．例如：图1是函数的图象，则它关于直线的“迭代函数“的图象如图2所示，可以得出它的“迭代函数“的解析式为．
（1）写出函数关于直线的“迭代函数“的解析式为 ．
（2）若函数关于直线的“迭代函数“图象经过，则 ．
（3）已知正方形的顶点分别为：
，，，，其中．
①若函数关于直线的“迭代函数“的图象与正方形有3个公共点，则 ；
②若，函数关于直线的“迭代函数“的图象与正方形有4个公共点，则的取值范围为 ．
【分析】（1）根据“迭代函数”的定义画出函数的“迭代函数”的图象，设点的横坐标为2，求出点关于直线的对称点，可得出结论；
（2）根据题意可得，关于直线的对称点在原抛物线上，代入即可得出的值；
（3）①根据题意，作出此“迭代函数”，结合图象可得出结论；
②根据题意，作出此“迭代函数”，结合图象可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，设点为直线与函数的交点，点，
，点关于直线的对称点为，
设所在直线的解析式为：，
，
解得，
；
故答案为：；
（2）根据题意可得，关于直线的对称点在原抛物线上，
，
解得；
故答案为：；
（3）①如图，当正方形的边过点时，，此时正方形与此迭代函数有三个交点；
如图，当时，正方形与此迭代函数有四个交点，当继续增大，交点超过4个，不符合题意；
故答案为：3；
②如图，当时，此迭代函数与正方形有5个交点，
如图时，当时，此迭代函数与正方形有4个交点，符合条件；
如图时，当时，此迭代函数与正方形有4个交点，符合题意；
当时，此迭代函数与正方形有3个交点，其中一个交点坐标为；
如图，当时，此迭代函数过点，迭代函数与正方形有5个交点，
当时，迭代函数与正方形有5个交点，符合题意；
故答案为：或或．
【点评】本题考查二次函数的综合应用；理解并运用新定义“迭代函数”，能够将图象的对称转化为点的对称，借助图象解题是关键．
20．（2023•开福区校级一模）对某一个函数给出如下定义，当自变量满足，为实数，时，函数有最大值，且最大值为，则称该函数为理想函数．
（1）当，时，在①；②中， ② 是理想函数；
（2）当时，反比例函数是理想函数，求实数的值；
（3）已知二次函数是理想函数，且最大值为．将该函数图象向左平移个单位长度所得图象记为，若图象的顶点为，与轴交于，在的左侧），与轴交于点，点，分别为的外心和内心，求以为边长的正方形面积．
【分析】（1）根据理想函数的定义，依次判断即可得出结论；
（2）根据理想函数的定义，对的值进行讨论，分别求解即可；
（3）根据理想函数的定义可求出的值，进而求出的表达式，由此可得，，的坐标，得出是直角三角形，再在中可求出的值，即可得出结论．
【解答】解：（1）①，，随的增大而增大，当时，最小值为，
最大值为，则，故①不是理想函数；
②，，随的增大而减小，当时，最小值为，最大值为，则，故②是理想函数；
故答案为：②；
（2），
，
．
当时，，当时，随着的增大而减小，
则当时，最大值为6，
，即．
当时，，当时，随着的增大而增大，
则当时，最大值为，
，即，此方程无实根．
当时，，函数没有最大值，不合题意，舍去．
综上所述，的值为；
（3）最大值为，
，即，
，
，
，即，
此时，
对称轴为直线，
当，即时，则当时，取最大值，
，
，不合题意，舍去，
当，即时，
①若，即时，则当时，取最大值．
，解得不合题意，舍去），
②，即时，则当时，取最大值，
，，不合题意，舍去；
综上，的值为，
，则图象的解析式为：，
图象的顶点为，与轴交于，在的左侧），与轴交于点，
，，，
，，，
，
是直角三角形，且，
如图，点是的外心，
点是的中点，
，
点是的内心，即点是内切圆圆心，
，
，
，
，
．
即以为边长的正方形面积为．
【点评】本题考查了二次函数综合题，结合新定义，弄清理想函数的定义，熟知直角三角形的内心和外心的位置是解题关键．
21．（2023•门头沟区一模）在平面直角坐标系中，已知图形上的两点，（点，不重合）和另一点，给出如下定义：连接，，如果，则称点为点，的“条件拐点”．
（1）如图1，已知线段上的两点，．
①点，，中，点，的“条件拐点”是 点和点 ；
②如果过点且平行于轴的直线上存在点，的“条件拐点”，求的取值范围；
（2）如图2，已知点，，过点作直线轴，点，在直线上，且．如果直线上存在点，的“条件拐点”，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①根据题中，可得出：，再根据三个点给出的坐标分别求出和，分别验证是否成立，即可求出答案；
②根据题意可知和，则可判断出点在以的中点为圆心，以为半径的圆上，则根据过点且平行于轴的直线上存在点，的“条件拐点”，可得出点到此直线的距离，根据中点求出点的坐标，即可得出，解出不等式即可求出答案；
（2）先计算直线与坐标轴的交点坐标，，根据确定点，，在以为圆心，以为半径的圆上，分情况讨论：当时，如图2；当时，如图3；当时，如图4；当时，如图5；分别根据点到直线的距离小于等于列不等式可解答．
【解答】解：（1）①，，
，
当点时，
则，，
，即，
，
，
点是点，的“条件拐点”；
当点时，
则，，
，即，
，即与不垂直，
点不是点，的“条件拐点”；
当点时，
则，，
，即，
，
，
点是点，的“条件拐点”；
故答案为：点和点；
②根据①可得：，
，
，
如图所示：点在以的中点为圆心，以为半径的圆上，
过点且平行于轴的直线上存在点，的“条件拐点”，
如图所示，点到此直线的距离，
点是的中点，且，，
点的坐标为，
，
解得：；
（2）在直线中，当时，，当时，，
，，
，
，，在以点为圆心，为半径的圆上，
分三种情况：
①当时，如图2，过点作于，则，，
是等腰直角三角形，
，
直线上存在点，的“条件拐点”，
，
，
；
②当时，如图3，过点作于，则，，
直线上存在点，的“条件拐点”，
，
，
；
③当时，如图4，过点作于，则，，
直线上存在点，的“条件拐点”，
，
，
；
④当时，如图5，过点作于，则，，
直线上存在点，的“条件拐点”，
，
，
；
综上，的取值为或．
【点评】本题是一次函数的综合题，考查了新定义“条件拐点”的理解和运用，勾股定理的逆定理，等腰直角三角形的性质，一次函数的性质等知识，正确的作出图形和分类讨论是解题的关键．
22．（2023•西城区校级模拟）在平面直角坐标系中，我们给出如下定义：将图形绕直线上某一点顺时针旋转，再关于直线对称，得到图形，我们称图形为图形关于点的二次关联图形．已知点．
（1）若点的坐标是，直接写出点关于点的二次关联图形的坐标 ；
（2）若点关于点的二次关联图形与点重合，求点的坐标（直接写出结果即可）；
（3）已知的半径为1，点关于点的二次关联图形在上且不与点重合．若线段，其关于点的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，求此时点坐标及点的纵坐标的取值范围．
【分析】（1）根据题意画出图形，过点作轴于点，可得，可求出点的坐标，进而可得点的坐标；
（2）分析可知，当点在轴上方时，不存在，则点在轴下方，根据题意作出图形，设出点的纵坐标为，表达点的坐标，可得出结论；
（3）由（2）可知，点的坐标，由关于点的二次关联图形在上且不与点重合可得出点的坐标，由线段，其关于点的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，找到临界点，可得出的坐标，进而可得出点的坐标，即可得出的取值范围．
【解答】解：（1）如图1，根据二次关联图形的定义分别找到和，过点作轴于点，
，
由旋转可知，，，
，
，
，
，，
，
；
故答案为：；
（2）分析可知，点在轴的下方，设点的纵坐标为，
如图2，过点作轴于点，过点作轴交于点，
由（1）知，
，，
，
由题意可知，点与点关于直线对称，
，，
解得，
；
（3）由（2）知，
，
点在上，
，
解得（舍或；
，如图3，
线段，
点在以点为圆心，1为半径的圆上，
若其关于点的二次关联图形上的任意一点都在及其内部，如图3，可知点是一个临界点，
连接，
，
△是等边三角形，
过点作轴于点，则，，
，，
，，
，，
由对称性可知，另外一点的坐标为，，
的取值范围为：．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查轴对称最值问题，等边三角形的性质与判定，圆的定义等相关知识，关键是理解给出新定义，画出对应的图形．
题型三：三角形中的新定义问题
1．（2023•晋中模拟）阅读下列材料并完成任务．
任务：
（1）上述证明过程中的“依据”是指什么？
（2）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分；
（3）如图3，在中，，点是的一个旁心且在边的下方．
①利用尺规作出旁心；（保留作图痕迹，不写作法）
②若，外接圆的半径为2，则 ．
【分析】（1）由证明过程“平分，，，”知“依据”是角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
（2）利用三角形全等可得，，，再进行线段间的运算；
（3）①利用尺规作出的平分线，外角的平分线，交点即是旁心；
②构造特殊直角三角形去求解．
【解答】解：（1）上述证明过程中的“依据”是指角平分线定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等；
（2），
，
，
同理可得，，
；
（3）①利用尺规作出旁心
②如图所示：
，
外接圆的圆心是的中点，
外接圆的半径为2，
，
，
，
平分，
，
是等腰直角三角形，
，
，
，
平分，
，
设，则，，
，
，
，
，
故答案为：．
【点评】本题在新定义下考查了角平分线的性质，尺规作图，三角形全等，解直角三角形等知识，对于（3）②，关键是构造特殊直角三角形，利用方程去解决．
2．（2024•道里区校级一模）①请阅读下面材料，并完成相应的任务：
定义：点是内部或边上的点（顶点除外），在，或中，如果有一个三角形与相似，那么称点是的“相似点”．
例：如图 ①，点在的内部，，，则，故点为的“相似点“．
请你运用所学知识，结合上述材料，解决下列问题：
（1）如图②，在中，，，平分，求证：点为的“相似点”；
（2）如图③，若为锐角三角形，点是的“相似点”，且点与点对应，点在的平分线上，连接，若，求的值；
（3）如图④，在菱形中，是上一点，是内一点，且，连接与交于点，连接，，若点是的“相似点”，且，求证：．
【分析】（1）根据条件可得，所以点为的自相似点；
（2）先得出，得出，再根据角平分线的性质得出，得出，得出结论；
（3）先得出四边形是平行四边形，再根据，，得出，进而得出，最后依据，得出结论．
【解答】（1）证明：，，
．
平分，
，
，
，
，
点为的“相似点“；
（2）解：点是的“相似点“，且点与点对应，点在的平分线上，
，
，
平分，
，
，
，，
，
；
（3）证明：点是的“相似点“，，
，
，
，
，
，
分别延长，，交于点，
四边形是菱形，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
又，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是新定义问题，主要考查了相似三角形的判定以及三菱形的判定与性质，理解新定义以及从已知条件中获取正确的信息是解题的关键．
3．（2023•平谷区二模）在平面直角坐标系中，对于，其中，，给出如下定义：将边绕点逆时针旋转得到线段，连接，与的过点的高线交于点，将点关于直线对称得到点，我们称为的留缘点．
（1）若，，请在图中画出的留缘点，并求出点的坐标；
（2）已知，，若线段上存在的留缘点，求的取值范围．
【分析】（1）先根据题意画出图形，然后再说明四边形是菱形，再确定点的坐标，最后根据点关于直线对称求出点的坐标；
（2）直线是点和留缘点的中垂线，判断线段上的点与点组成线段的中垂线位置变化，判断直线与轴交点的范围，即可求出的取值范围．
【解答】解：（1）如图，点即为的留缘点，连接，
，，
，，，
是正三角形，
，
将边绕点逆时针旋转得到线段，
，，
是正三角形，
，
四边形是菱形，
，
，
，
，
点与点关于直线对称，
，．
（2）如图所示，连接、，作、的中垂线，交轴与点、，设、，
点、分别在、的中垂线上，
，，
，，
，，
线段上存在的留缘点，
或．
【点评】本题考查了正三角形，菱形等知识点，解题的关键是掌握正三角形、菱形、垂直平分线的性质．
4．（2022•广陵区一模）学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化．
类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图，在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．
根据上述对角的正对定义，解下列问题：
（1）的值为 ．
． ．1 ．．2
（2）对于，的正对值的取值范围是 ．
（3）已知，其中为锐角，试求的值．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质，求出底角的度数，判断出三角形为等边三角形，再根据正对的定义解答；
（2）求出0度和180度时等腰三角形底和腰的比即可；
（3）作出直角，构造等腰三角形，根据正对的定义解答．
【解答】解：（1）根据正对定义，
当顶角为时，等腰三角形底角为，
则三角形为等边三角形，
则．
故选．
（2）当接近时，接近0，
当接近时，等腰三角形的底接近于腰的二倍，故接近2．
于是的取值范围是．
故答案为．
（3）如图，在中，，．
在上取点，使，
作，为垂足，令，，
则，
又在中，，．
，．
则在中，，．
于是在中，，．
由正对的定义可得：．
【点评】此题是一道新定义的题目，考查了正对这一新内容，要熟悉三角函数的定义，可进行类比解答．
5．（2023•丹徒区模拟）如图1，在中，点在边上，点在边上，若满足，则称点是点的“和谐点”．
（1）如图2，．
①求证：点是点的“和谐点”；
②在边上还存在某一点（不与点重合），使得点也是点的“和谐点”，请在图2中仅用圆规作图，找出点的位置，并写出证明过程．（保留作图痕迹）
（2）如图3，以点为原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，已知点，，点在线段上，且点是点的“和谐点”．
①若，求出点的坐标；
②若满足条件的点恰有2个，直接写出长的取值范围是 ．
【分析】（1）①由考虑平角，只要证明即可；
②分别做线段、的中垂线，两条中垂线交于点，则为的外心，以为圆心，为半径作圆交于点，点即为所求．用同弧所对的圆周角相等证明；
（2）①通过求出的长度，然后求出直线的表达式为：，设点的坐标为，利用、两点间的距离公式解方程求出点；
②求出两个临界状态时的：一是当点与点重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时．
【解答】（1）①证明：，，
，
，
，
点是点的“和谐点”；
②解：以为圆心，为半径作弧交于点，点即为所求，如图：
连接，
，，
，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
，
，
，
也是点的“和谐点”；
（2）解：①，，
，
，，
，
，
直线的表达式为：，
设点的坐标为，
点，
，
，
，，
，或，；
②当点与点重合时，的外接圆与线段恰有两个交点，恰有两个“和谐点”，如图：
点，，
，
由①知，
，即，
，
；
当的外接圆与线段恰有一个交点时，如图：
此时的外接圆与线段相切，则，且为直径，
，
点的坐标为，
，，，
，，
，
，
，
，
，即，
，
；
综上，若满足条件的点恰有2个，长的取值范围是，
故答案为：．
【点评】本题在新定义下考查了三角形相似，解直角三角形，圆的性质，直线与圆的位置关系等知识，渗透了方程和数形结合的思想，关键是理解定义，紧靠．对于（2）②，关键是找出两个临界状态时的：一是当点与点重合时；二是的外接圆与线段恰有一个交点时．
6．（2022•柯城区校级三模）定义：若三角形的一条边上的高线与这条边相等，则称这个三角形为“标准三角形”．如：在，于点，，则为标准三角形．
【概念感知】
判断：对的打“”，错的打“”．
（1）等腰直角三角形是标准三角形．
（2）顶角为的等腰三角形是标准三角形．
【概念理解】
若一个等腰三角形为标准三角形，则此三角形的三边长之比为 ．
【概念应用】
（1）如图，若为标准三角形，于点，，求的最小值．
（2）若一个标准三角形的其中一边是另一边的倍，求最小角的正弦值．
【分析】【概念感知】（1）根据等腰直角三角形的两条直角边互相垂直且相等，即可判断；
（2）作出图形，分别对底边上的高和腰上的高进行讨论，即可求解；
【概念理解】当是等腰直角三角形时，；当是等腰三角形，，，，设，则，求出，则；
【概念应用】（1）过点作的平行线，作点关于该平行线的对称点，连接，当、、三点共线时，，此时的值最小，求出即可；
（2）分两种情况讨论：①当时，，过点作交于，设，则，由等积法求出，用勾股定理分别求出，，，则可求；②当时，，过点作交于，设，则，由勾股定理分别求出，，，再由等积法求出，即可求．
【解答】解：【概念感知】
（1）如图1：等腰直角三角形中，，
，
等腰直角三角形是标准三角形，
故答案为：；
（2）如图2，在等腰三角形中，，，，
，
，
，
，
不是标准三角形；
如图3，在等腰三角形中，，，，
此时，
不是标准三角形；
故答案为：；
【概念理解】
如图1，当是等腰直角三角形时，；
如图4，当是等腰三角形，，，，
，
设，则，
在中，，
；
故答案为：或；
【概念应用】
（1）如图5，过点作的平行线，作点关于该平行线的对称点，连接，
当、、三点共线时，，此时的值最小，
，
，
在中，，
的最小值为；
（2）在中，，，
，，
，，
的最小角为，
①如图6，当时，，
过点作交于，
设，则，
，
，
在中，，
，
在中，，
在中，；
②如图7，当时，，
过点作交于，
设，则，
在中，，
，
在中，，
，
，
在中，；
综上所述：最小角的正弦值为或
【点评】本题考查三角形的综合应用，熟练掌握等腰三角形的性质，直角三角形的性质，理解定义，分类讨论，数形结合解题是关键．
7．（2023•广陵区校级四模）我们定义：若一个三角形最大边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到最大边所对顶点连线的平方，则称这个点为这个三角形的“比例中点”．例如：如图1，已知钝角中，是钝角，点是上的一点，连接，若，则称点是的“比例中点”．
（1）如图2，已知点的坐标为，点在轴上，，若点是的“比例中点”，则点的坐标为 或 ；
（2）如图3，已知中，，，，若点是的“比例中点”，求；
（3）如图4，已知是等边三角形，因为等边三角形的三边相等，所以其中任意一条边都可以看成最大边，试判断等边三角形有没有“比例中点”？说明理由．
【分析】（1）过点作于点，连接，设，则，，，勾股定理得出，根据建立方程，解方程即可求解；
（2）设，则，过点作于点，勾股定理得出，根据新定义建立方程，解方程即可求解；
（3）同（2）的方法进行计算，得出方程无解即可求解．
【解答】解：（1）如图2所示，
过点作于点，连接，
已知点的坐标为，点在轴上，，
，
设，则，
，，
在中，，
点是的“比例中点”，
，
，
解得：或，
或，
当时，，，即；
当时，，，即；
故答案为：或；
（2）点是的“比例中点”，
，
设，则，
如图3所示，过点作于点，
中，，，，
，，
设，则，
，
，
解得：，
，，
，
，
解得：或，
或18；
（3）等边三角形没有“比例中点”．理由如下：
设点是的“比例中点”，设等边三角形的边长为，
，
设，则，
如图4所示，过点作于点，
中，，
，，，
，
，
，
此方程无解，
等边三角形没有“比例中点”．
【点评】本题考查了几何新定义，坐标与图形，已知正切求边长，勾股定理，一元二次方程的应用，根据题意，建立方程解方程是解题的关键．
8．（2022•任城区三模）我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对．如图①在中，，顶角的正对记作，这时．容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的．根据上述角的正对定义，解下列问题：
（1） 1 ．
（2） ．
（3）如图②，已知，其中为锐角，试求的值．
【分析】（1）顶角为的等腰三角形是等边三角形，从而可得；
（2）顶角为的等腰三角形是等腰直角三角形，从而可得；
（3）在上取，作于点，分别表示出、，、，继而可求出的值．
【解答】解：（1）；
（2）；
（3）设，，则，
在上取，作于点，如图所示：
则，，
，，
．
【点评】本题考查了解直角三角形及勾股定理的知识，解答本题关键是理解“”的定义，难度一般．
题型三：四边形中的新定义问题
1．（2024•河北区一模）在平面直角坐标系中，为原点，矩形的顶点，，，等边的顶点，点是的中点．
（Ⅰ）填空：如图①，点的坐标为 ，点的坐标为 ；
（Ⅱ）将等边沿水平方向向右平移，得到等边△，点，，的对应点分别为，，，设，等边△与矩形重叠部分面积记为．
①如图②，当边与相交于点，边与相交于点，点在点的左侧且矩形与△重叠部分为五边形时，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围；
②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）．
【分析】（Ⅰ）已知、、点的坐标，四边形是矩形，求得、的长，可得点坐标，已知等边的顶点，，可得垂直平分，即 关于轴对称，可得点坐标；
（Ⅱ）①过作轴于，得，五边形的面积四边形的面积四边形的面积矩形的面积三角形的面积矩形的面积三角形的面积，根据点在点的左侧且矩形与△重叠部分为五边形，可得的取值范围；
②分、、、、，讨论的取值范围．
【解答】解：（Ⅰ）由题意得，，，
四边形是矩形，
，，
，
点是的中点，
，
，
等边的顶点，
，，即，
，即，
垂直平分，
，
，
故答案为：，；
（Ⅱ）①在矩形中，其顶点，，，，
则轴，轴，
在等边中，，，
点是的中点，得， 关于轴对称，
过作轴于，得，
等边△是由等边 沿水平方向向右平移得到的，
，
在中，，
，
，
四边形是矩形，
，
四边形的面积矩形的面积三角形的面积，
四边形的面积为，
同理，四边形的面积为，
则五边形的面积为，即，
点在点的左侧，且矩形与△重叠部分为五边形，
；
②时，
，
，
，
时，
，
五边形的面积矩形的面积三角形的面积，
，
时，
，
五边形的面积矩形的面积三角形的面积，
，
时，
，
矩形的面积矩形的面积三角形的面积三角形的面积，
，
时，
，
矩形的面积，
，
综上，．
【点评】本题考查了四边形综合题，关键是注意分段讨论．
2．（2023•靖江市校级三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，则的长度 5 ．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，、是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形、不重合且、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．
【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可；
（2）作，，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，连接，并相交于点，证明，得到，证明，即可得到结果；
（3）方法一：连接，，根据已知条件求出，，再根据相似三角形的性质列式计算即可；
【解答】（1）由垂等四边形的定义得，
又，
，
．
（2）作，，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，如图，
连接，并相交于点，
．，
，，
，即，
，，，
．
．
，，
四边形是垂等四边形．
（3）连接，，由（2）可得等腰，
，
作，易证得，
设，，可得方程，
解得或3，如图：
或，
作，
．
，
，
或，
或．
【点评】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算是解题的关键．
3．（2023•射阳县一模）定义：若四边形中某个顶点与其它三个顶点距离相等，则这个四边形叫做等距四边形，这个顶点叫做这个四边形的等距点．
（1）判断：一个内角为的菱形 是 等距四边形；（填“是”或“不是”
（2）如图2，在的网格图中有、两点，请在给出的两个网格图上各找出、两个格点，使得以、、、为顶点的四边形以为等距点的“等距四边形”，画出相应的“等距四边形”（互不全等），并写出该等距四边形的端点均为非等距点的对角线长．端点均为非等距点的对角线长为 ；
（3）如图，在海上，两处执行任务的两艘巡逻艇，根据接到指令，两艇同时出发，艇直接回到驻地，艇到岛执行某项任务后回到驻地（在岛执行任务的时间忽略不计），已知，，三点到点的距离相等，，，，若艇速度为，试问艇的速度是多少时，才可以和艇同时回到驻地？
【分析】（1）一个内角为的菱形，得出等边三角形，再得出等距四边形．
（2）利用勾股定理求出的长为，再找到格点，使得，得到等距四边形，利用勾股定理求出端点均为非等距点的对角线长．
（3）添加辅助线，得到直角三角形，利用勾股定理，列方程，求解．
．
【解答】解：（1）菱形中，，
当时，是等边三角形，
，
，
一个内角为的菱形是等距四边形．
故答案为：是．
（2）
如图①，，
，
．
如图②，
．
端点均为非等距点的对角线长为或．
故答案为：或．
（3）如图③作于，于．
，，
，
四边形是矩形．
，．
中，，，
．
，
．
设，
，
，
有中：，’
，
解得：．
，
．
，
．
答：艇的速度是时，才可以和艇同时回到驻地．
【点评】此题是一道新概念题，必须认真阅读，掌握新概念，勾股定理，等腰三角形三线合一，多知识点综合运用是难点．
4．（2023•蒲城县一模）【了解概念】
定义提出：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”．
【理解运用】
（1）如图1，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，线段、的端点均在格点上，在图1的方格纸中画出一个等邻边四边形，要求：点在格点上；
（2）如图2，在等邻边四边形中，，，，，求的长；
【拓展提升】
（3）如图3，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、分别在、轴正半轴上，已知，，是的中点．在矩形内或边上，是否存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，若存在，请求出四边形的最大面积及此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据“等邻边四边形”的定义作图即可；
（2）连接，根据是等边三角形得出，过点作于点，求出，的长度，根据的长度求出的长度，最后利用勾股定理求出即可；
（3）先确定存在点，设点的坐标为，则，根据，列方程求出的值，然后确定点的坐标和四边形的面积最大值即可．
【解答】解：（1）由题意知，四边形是等邻边四边形，
作图如下：（答案不唯一）
（2）连接，过点作于点，
，，
是等边三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）在矩形内或边上，存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，
理由如下：
如图，当时，四边形为“等邻边四边形”，当取最大值时，四边形为面积最大的“等邻边四边形”，
四边形是矩形，，，为的中点，
，，，，
设点的坐标为，则，
，
，
，
解得，
，点的坐标为，，
，
存在点，使四边形为面积最大的“等邻边四边形”，此时四边形的面积最大值为，点的坐标为，．
【点评】本题主要考查四边形的综合题，正确理解“等邻边四边形”的定义是解题的关键．
5．（2023•涪城区模拟）定义：我们把一组对边平行另一组对边相等且不平行的四边形叫做等腰梯形．
【性质初探】如图1，已知，，，点是边上一点，连结，四边形恰为等腰梯形．求的度数；
【性质再探】如图2，已知四边形是矩形，以为一边作等腰梯形，，连结、．求证：；
【拓展应用】如图3，的对角线、交于点，，，过点作的垂线交的延长线于点，连结．若，求的长．
【分析】【性质初探】过点作交于，过点作交于，证明，即可求解；
【性质再探】证明，即可求解；
【拓展应用】连接，过点作交延长线于点，分别证明是等腰三角形，是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，从而可求，，在中，用勾股定理求出的长即为所求的长．
【解答】【性质初探】解：过点作交于，过点作交于，
，
，
，
四边形恰为等腰梯形，
，
，
，
，
；
【性质再探】证明：四边形是矩形，
，
四边形是等腰梯形，
，
由（1）可知，，
，
；
【拓展应用】解：连接，过点作交延长线于点，
四边形是平行四边形，
是的中点，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
．
【点评】本题是四边形的综合题，熟练掌握平行四边形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的判定及性质，等腰梯形的性质，三角形全等的判定及性质是解题的关键．
6．（2023•常州模拟）定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”．
（1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形“中，一定是“等角线四边形”的是 ②④ （填序号）；
（2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形是等角线四边形；
（3）如图2，中，，，，为线段的垂直平分线上一点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求这个等角线四边形的面积．
【分析】（1）由矩形和正方形的性质可直接求解；
（2）由“”可证，可得，可得结论；
（3）分两种情况讨论，由勾股定理求出的长，即可求解．
【解答】（1）解：矩形、正方形的对角线相等，
矩形和正方形是“等角线四边形”，
故答案为：②④；
（2）证明：连接，，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
四边形是等角线四边形；
（3）当点在的上方时，如图，
是的中垂线，
，
，，，
，
四边形为等角线四边形，
，
，
；
当点在的下方时，如图，过点作，交的延长线于，
四边形为等角线四边形，
，
，，，
四边形是矩形，
，，
，
，
，
综上所述：这个等角线四边形的面积为或．
【点评】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，理解等角线四边形的定义并运用是解题的关键．
7．（2023•定远县校级一模）定义：我们知道，四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形，如果这两个三角形相似（不全等），我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”．
（1）如图1，的三个顶点均在正方形网格中的格点上，若四边形是以为“相似对角线”的四边形，请只用无刻度的直尺，就可以在网格中画出点，请你在图1中找出满足条件的点，保留画图痕迹（找出2个即可）
（2）①如图2，在四边形中，，，对角线平分．请问是四边形的“相似对角线”吗？请说明理由；
②若，求的值．
（3）如图3，在（2）的条件下，若时，将以为位似中心，位似比为缩小得到，连接、，在绕点旋转的过程中，当所在的直线垂直于时，请你直接写出的长．
【分析】（1）先求出，，，再分情况求出或，即可画出图形；
（2）先判断出即可得出精论；
分两种情况，①延长交于点，先由得出，，再得出，再求出，继而求出，即可得出结论；②设与交于点，先得出为等腰直角三角形，再得出，再得出，继而求出，即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1所示，
，，，，
四边形是以为“相似对角线”的四边形，
当时，或，
或，
或，
或，
同理：当时，或，
如图中，，，，即为所求；
（2）①是，理由：
，平分，
，
，
又，
，
，
是四边形的“相似对角线”；
②，
，
，
，
；
（3）①由（2）可知为等腰直角三角形，，
，
，且相似比为，
，，
如图，延长交于点，由题意可得：于，
，
，
，
，
，，
，
，
即，
；
②如图，设与交于点，
，
为等腰直角三角形，
，
，
在中，，
，
同理可证，
即，
，
综上，或．
【点评】本题是四边形综合题．主要考查了相似三角形的判定和性质，理解新定义，勾股定理，判断两三角形相似是解题的关键．
8．（2022春•柯桥区月考）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形．
（1）阅读与理解：
如图1，四边形内接于，点为弧的中点．四边形 是 （填“是”或“不是” 等补四边形．
（2）探究与运用：
①如图2，在等补四边形中，，连接，是否平分？请说明理由；
②如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，若，，求的长．
（3）思考与延伸：
在等补四边形中，，，当对角线长度最大时，以为斜边作等腰直角三角形，直接写出线段的长度．
【分析】（1）由圆内接四边形互补可知，，再根据弧相等证，即可根据等补四边形的定义得出结论；
（2）①根据弧相等可得圆周角相等；
②连接，先证，推出，再证，利用相似三角形对应边的比相等可求的长；
（3）由前面的探究可知等是等补四边形的外接圆的直径时长度最大，求得此时的直径．
【解答】【解答】解：（1）证明：四边形为圆内接四边形，
，，
点为弧的中点，
弧弧，
，
四边形是等补四边形；
（2）①四边形是等补四边形，四点共圆
弧弧，
，即平分；
②如图3所示，连接，
图3
四边形是等补四边形，
，
又，
，
平分，
，
由①知，平分，
，
，
又，
，
，
即，
．
（3）当对角线是直径时，长度最大，
以为斜边作等腰直角三角形，分同侧异侧两种情况：
①如图4，在的异侧，将绕点顺时针旋转，得到，
是等腰直角三角形，
，
，
，
由（2）知，
，
，
，
，
②如图5，在的同侧，过作的垂线段交于点，
，
，，
又，
，
在和中，
，
，
，
，
，
故答案为：或．
【点评】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等．
9．（2023•澧县三模）定义：若四边形有一组对角互补，一组邻边相等，且相等邻边的夹角为直角，像这样的图形称为“直角等邻对补”四边形，简称“直等补”四边形．
根据以上定义，解决下列问题：
（1）如图1，正方形中是上的点，将绕点旋转，使与重合，此时点的对应点在的延长线上，则四边形 是 （填“是”或“不是” “直等补”四边形；
（2）如图2，已知四边形是“直等补”四边形，，，，过点作于．
①过作于点，试证明：，并求的长；
②若是边上的动点，求周长的最小值．
【分析】（1）由旋转的性质可得，，根据正方形的性质得，可得出，即可得出答案；
（2）①首先证明四边形是矩形，则，，再证，根据全等三角形的判定和性质可得，，等量代换即可得；由，可得，设，根据勾股定理求出的值即可；
②延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，证明，根据相似三角形的性质求出、的值，在中，根据勾股定理求出，即可求解．
【解答】解：（1）将绕点旋转，与重合，点的对应点在的延长线上，
，，
四边形是正方形，
，
，
，即，
，
，，
四边形是“直等补”四边形．
故答案为：是；
（2）①证明：四边形是“直等补”四边形，，，，
，，
，
，，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，，
，
，，
，
；
四边形是矩形，
，
，
，
，
设，则，
在中，，
解得：或（舍去），
的长是8；
②周长，
当的值最小时，的周长最小，
如图，延长到点，使，连接交于点，过点作，交的延长线于点，
，
点与点关于对称，
，即，
当点与重合时，的值最小，即的周长最小，
在中，，
四边形是“直等补”四边形，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
，
周长的最小值为．
【点评】本题是四边形的一个综合题，主要考查新定义，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正方形的性质，矩形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，旋转的性质，轴对称的性质，第（2）①题关键在证明三角形全等，第（2）②题关键确定的位置．
10．（2023•平远县一模）综合与实践
折纸是一项有趣的活动，折纸活动也伴随着我们初中数学的学习．在折纸过程中，我们可以研究图形的运动和性质，也可以在思考问题的过程中，初步建立几何直观，现在就让我们带着数学的眼光来折纸吧．定义：将纸片折叠，若折叠后的图形恰能拼合成一个无缝隙、无重叠的长方形，这样的长方形称为完美长方形．
（1）操作发现：
如图1，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为12，，则此完美长方形的边长 3 ，面积为 ．
（2）类比探究：
如图2，将纸片按所示折叠成完美长方形，若的面积为20，，求完美长方形的周长．
（3）拓展延伸：
如图3，将纸片按所示折叠成完美长方形，若，，则此完美长方形的周长为 ，面积为 ．
【分析】（1）由折叠可知点是中点，，过点作于，根据三角形面积求的长，由，点是中点可知是中位线，得到进而求完美长方形面积；
（2）根据折叠可知，，，从而可得，根据平行四边形面积可求得的长为4进而可求周长；
（3）由折叠可证点，分别是，中点，进一步可证四边形是平行四边形，所以，即长方形对角线长为15，设，，根据勾股定理得到方程，解出，从而可得完美长方形的边长和宽，最后求周长面积即可．
【解答】解：（1）由折叠可知，，，，
，点是中点，
，
，
即，
过点作于，
四边形是矩形，
，
，
是中点，
，
，
，
，
完美长方形的面积为，
故答案为：3，6；
（2）由折叠可知，，
，
同理可知，，
长方形的面积为，
，
长方形的周长为；
（3）由折叠可证点，分别是，的中点，
，
由题意知，，
，，
为平行四边形，
，
在中，设，则，
由勾股定理得：，
又，
，
，，
周长为：，
面积为：，
故答案为：42，108．
【点评】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质与判定等知识，熟练掌握其性质是解决此题的关键．
11．（2023•五华县一模）【定义】：
对角线相等且所夹锐角为的四边形叫“等角线四边形”．
如图1，四边形为“等角线四边形”，即，．
【定义探究】：
（1）判断下列四边形是否为“等角线四边形”，如果是在括号内打“”，如果不是打“”．
①对角线所夹锐角为的平行四边形．
②对角线所夹锐角为的矩形．
③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形．
【性质探究】：
（2）如图2，以为边，向下构造等边，连接，请直接写出与的大小关系；
（3）请判断与的大小关系，并说明理由；
【应用提升】：
（4）若“等角线四边形”的对角线长为2，则该四边形周长的最小值为 ．
【分析】（1）根据定义即可求解；
（2）证明四边形是平行四边形，根据即可求解；
（3）先构造平行四边形，可得对应线段相等，再求出，构造直角三角形求出，即可得出答案；
（4），根据（2）（3）的结论代入数据即可求解．
【解答】解：（1）①对角线所夹锐角为的平行四边形的对角线不一定相等，则不能判①是“等角线四边形”，
选择；
②对角线所夹锐角为的矩形，对角线相等，且所夹锐角为，故②是“等角线四边形”，
选择；
③对角线所夹锐角为，且顺次连接各边中点所形成的四边形是菱形的四边形，则四边形的对角线相等，故③是“等角线四边形”，
选择．
故答案为：①；②；③；
（2）是等边三角形，
，．
，
．
，
，
四边形是平行四边形，
．
中，，
即；
（3）如图，过作，且，连接，，
四边形是平行四边形，
，．
，
．
，
．
过点作，交于点，
，，
．
在中，，
，
则．
；
（4）若“等角线四边形”的对角线长为2，则，
由（2）（3）可得，，
．
该四边形周长的最小值为．
故答案为：．
【点评】本题主要考查了四边形综合问题，新定义问题，特殊角三角函数值，平行四边的性质与判定等，掌握特殊四边形的性质与判定是解题的关键．
12．（2023•任城区校级三模）定义：长宽比为为正整数）的矩形称为矩形．
下面，我们通过折叠的方式折出一个矩形，如图①所示．
操作1：将正方形沿过点的直线折叠，使折叠后的点落在对角线上的点处，折痕为．
操作2：将沿过点的直线折叠，使点，点分别落在边，上，折痕为．
则四边形为矩形．
证明：设正方形的边长为1，则．
由折叠性质可知，，则四边形为矩形．
．
．
，即．
．
．
四边形为矩形．
阅读以上内容，回答下列问题：
（1）在图①中，所有与相等的线段是 、 ，的值是 ；
（2）已知四边形为矩形，模仿上述操作，得到四边形，如图②，求证：四边形是矩形；
（3）将图②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，则的值是 ．
【分析】（1）由折叠即可得到，设，则有，，根据，就可求出，然后运用三角函数的定义即可求出的值；
（2）只需借鉴阅读中证明“四边形为矩形”的方法就可解决问题；
（3）同（2）中的证明可得：将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，由此就可得到的值．
【解答】解：（1）由折叠可得：
，，
．
设，则．
，，
，
解得．
．
故答案为：、，；
（2），，
．
由折叠可得，，．
四边形是矩形，
，
四边形是矩形，，
，
，即，
，
，
，
四边形是的矩形；
（3）同理可得：
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，
将矩形沿用（2）中的方式操作1次后，得到一个“矩形”，
所以将图②中的矩形沿用（2）中的方式操作3次后，得到一个“矩形”，
故答案为6．
【点评】本题主要考查了轴对称的性质、正方形的性质、矩形的判定与性质、平行线分线段成比例、勾股定理等知识，考查了阅读理解能力、操作能力、归纳探究能力、推理能力，运用已有经验解决问题的能力，是一道好题．
题型五：圆中的新定义问题
1．（2024•大连模拟）【发现问题】
如图，某公园在一个扇形草坪上的圆心处垂直于草坪的地上竖一根柱子，在处安装一个自动喷水装置，喷头向外喷水，爱思考的小腾发现喷出的水流呈现出抛物线形状．
【提出问题】
喷出的水距地面的高度米与喷出的水与池中心的水平距离米之间有怎样的函数关系？
【分析问题】
小腾测出连喷头在内柱高，喷出的水流在与点的水平距离4米处达到最高点，点距离地面2米．于是小腾以所在直线为轴，垂直于的地平线为轴，点为坐标原点建立如图1所示的平面直角坐标系，根据测量结果得到点，点的坐标，从而得到与函数关系式．
【解决问题】
（1）如图1，在建立的平面直角坐标系中，点的坐标为，水流的最高点的坐标为，求抛物线水流对应的函数关系式；
（2）当喷头旋转时，这个草坪刚好被水覆盖，求喷水装置能喷灌的草坪的面积（结果用含的式子表示）；
（3）在扇形的一块三角形区域地块中，现要建造一个矩形花坛，如图2的设计方案是使、分别在、上，在上．设米，当为多少米时，矩形花坛的面积最大？最大面积是多少平方米？
【分析】（1）设抛物线顶点式，代入、两点，可得；
（2）令，求得，即为草坪半径，用扇形面积公式可得；
（3）已知，借助辅助线和相似三角形对应边成比例，表示出，求得矩形花坛的面积表示，可得当为多少米时，矩形花坛的面积最大，最大面积是多少平方米．
【解答】解：（1）设抛物线的解析式为，
水流的最高点的坐标为，
，代入点，
得，
解得：，
；
（2）令，则，
喷水装置能喷灌的草坪的面积（平方米）；
（3）由矩形可得，，，，
，
过作，交于点，
，，
，
，
，，
同理可得，，
，，
，
，
同理可得，，
，，
，
，
，，
矩形花坛的面积，
时，矩形花坛的面积最大为平方米．
【点评】本题考查了扇形面积、二次函数，关键是掌握扇形面积公式．
2．（2023•湖南模拟）定义：如图1，是的直径，若弦，则称弦为的纬线．
（1）如图1，弦是的纬线，求证：；
（2）弦和弦都是半径为5的的纬线，，，，求这两条纬线之间的距离；
（3）如图2，弦和弦是直径两侧的纬线，连接、、、、、，的半径为，记四边形，，的面积依次为，，，若同时满足下列两个条件时，求的最大值（用含的式子表示）．
①；
②其中的一条纬线长不超过半径．
【分析】（1）连接，根据平行线的性质和圆周角定理即可证明；
（2）作交于，则，连接，；根据勾股定理可得，，分类讨论：当弦和弦在圆心的同一侧时；，即可求得；当弦和弦在圆心的两侧时；，即可求得；
（3）过点作于点，于点，设，，，，分别求出，，，根据，可得，，故，根据勾股定理可得，令，故，分析该二次函数可得当时，有最大值为，即可求得．
【解答】解：（1）如图，连接，
，
，
和所对的弧相等，
，
（2）弦和弦都是的纬线，
，，
作交于，则，连接，，
，，，
根据勾股定理可得，，
有两种情况：
当弦和弦在圆心的同一侧时，；
当弦和弦在圆心的两侧时，，
和的距离是1或7；
（3）过点作于点，于点，
设，，，，
则，，，
，
，
即，
或，
若，则
若，则
，
则，
，
，
在中，，
，
则号
令，
，
对称轴为，
，
，
当时，有最大值为，
的最大值为．
【点评】本题考查平行线的性质，圆周角定理，勾股定理，二次函数的性质等，运用分类讨论思想和借助二次函数求最值是解题的关键．
3．（2023•靖江市校级三模）【概念认识】定义：对角线互相垂直且相等的四边形叫做垂等四边形．
（1）如图1，已知在垂等四边形中，对角线与交于点，若，，，则的长度 5 ．
【数学理解】（2）在探究如何画“圆内接垂等四边形”的活动中，小李想到可以利用八年级的所学三角形全等．如图2，在中，已知是弦，、是半径，求作：的内接垂等四边形．（要求：尺规作图，不写作法，保留痕迹）
【问题解决】（3）如图3，已知是上一定点，为上一动点，以为一边作出的内接垂等四边形、不重合且、、三点不共线），对角线与交于点，的半径为，当点到的距离为时，求弦的长度．
【分析】（1）根据垂等四边形的定义列式求解即可；
（2）作，，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，连接，并相交于点，证明，得到，证明，即可得到结果；
（3）方法一：连接，，根据已知条件求出，，再根据相似三角形的性质列式计算即可；
【解答】（1）由垂等四边形的定义得，
又，
，
．
（2）作，，分别交于点和点，即可得到垂等四边形，如图，
连接，并相交于点，
．，
，，
，即，
，，，
．
．
，，
四边形是垂等四边形．
（3）连接，，由（2）可得等腰，
，
作，易证得，
设，，可得方程，
解得或3，如图：
或，
作，
．
，
，
或，
或．
【点评】本题主要考查了圆的综合应用，结合相似三角形的判定与性质、三角函数的应用和四边形综合知识的计算是解题的关键．
4．（2023•海淀区校级一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，，且，两点中至少有一点在外．给出如下定义：平移线段，得到线段，分别为点，的对应点），若线段上所有的点都在的内部或上，则线段长度的最小值称为线段到的“平移距离”．
（1）如图1，点，的坐标分别为，，线段到的“平移距离”为 2 ，点，的坐标分别为，，，，线段到的“平移距离”为 ；
（2）若点，都在直线上，记线段到的“平移距离”为，求的最小值；
（3）如图2，若点坐标为，线段到的“平移距离”为1，画图并说明所有满足条件的点形成的图形（不需证明）．
【分析】（1）根据平移的性质，以及线段到的“平移距离”的定义判断即可．
（2）如图1中，作等边，点在轴上，，设直线交轴于，交轴于．则，，，过点作于，解直角三角形求出即可判断．
（3）如图3，连接，交于点，则，，运用“平移距离”的定义和平移的性质即可得出答案．
【解答】解：（1）根据“平移距离”的定义可得：线段到的“平移距离”为2，
如图1，设与轴交于，线段向下平移得到的弦，线段与轴交于点，
则，，，
，
，
线段到的“平移距离”为，
故答案为：2，；
（2）如图2中，作等边，点在轴上，，
设直线交轴于，交轴于．则，，，
过点作于，
，，
，
，
，
观察图象可知，线段到的“平移距离”为的最小值为．
（3）如图3，连接，交于点，
则，
到任意一点距离的最小值为，
点，，
设平移后圆上另一点为，由题意得：，
有三种情况：
①点与点重合，则点的坐标为，；
②点与点重合，则点的坐标为，；
③点与点，重合，则点的坐标为；
如图可知所有满足条件的点形成的图形是以为圆心圆心角为的．
【点评】本题属于圆综合题，考查了平移变换，一次函数的性质，勾股定理，解直角三角形，线段到的“平移距离”的定义等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
5．（2023•青山区模拟）在同一个圆中两条互相垂直且相等的弦定义为“等垂弦”，如图①，、是的弦，如果，，垂足为，则、是等垂弦．
（1）如图②，是的弦，作、，分别交于点、，连接，求证：、是的等垂弦；
（2）在图①中，的半径为5，为等垂弦、的分割点，，求的长度．
【分析】（1）连接，证明可得，再利用圆周角定理得即可；
（2）作，垂足为，作，垂足为，则四边形为矩形，证明可得四边形为正方形，由可得，再根据勾股定理求出即可．
【解答】（1）证明：如图①，连接，
，，
，
，
，
，
，
同理，
，即，
，，
、是的等垂弦．
（2）解：如图②，作，垂足为，作，垂足为，则四边形为矩形，
、是的等垂弦，
，，
，
，，
，
，
矩形为正方形，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：，则．
【点评】本题属于新定义题型，运用了圆周角定理、全等三角形的判定及性质、勾股定理等相关知识，熟练掌握各知识点是解决本题的关键．
6．（2023•天宁区校级一模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为任意一点，为上任意一点．给出如下定义：记，两点间的距离的最小值为（规定：点在上时，，最大值为，那么把的值称为点与的“关联距离”，记作．
（1）如图，点，，的横、纵坐标都是整数．
① 2 ；
②若点在线段上，求的取值范围；
（2）若点在直线上，直接写出的取值范围；
（3）正方形的边长为，若点在该正方形的边上运动时，满足的最小值为1，最大值为，直接写出的最小值和最大值．
【分析】（1）①运用新定义“关联距离”，即可求得答案；
②根据新定义“关联距离”，分别求出，，即可得出答案；
（2）设，可得，，运用新定义“关联距离”，可得，再利用，即可求得答案；
（3）如图2，找出特殊位置，分别画出图形，即可得出答案．
【解答】解：（1）①到的距离的最小值，最大值，
，
故答案为：2；
②当在点处，，
当在点处，，
；
（2）设，
，，
，
点在直线上，
设直线交轴于点，交轴于点，如图1，
则时，，时，，
，，，
，，
，
当时，最小，
，即，
，
无最大值，
；
（3）如图2，的最小值为1，最大值为，
两个同心圆中，小圆的半径为1，大圆的半径为，
，
的最小值是，
在中，，，，
，
解得：（舍去）或；
的最小值为，最大值为．
【点评】此题考查考查了圆的性质和新定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊位置解决数学问题，属于中考压轴题．
7．（2024•朝阳区校级模拟）如图，在平面直角坐标系中，点，．对于一个角，将一个图形先绕点顺时针旋转，再绕点逆时针旋转，称为一次“对称旋转”．
（1）点在线段上，则在点，，，中，有可能是由点经过一次“对称旋转”后得到的点是 ， ；
（2）轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点．
①当时， ；
②当时，若轴，求点的坐标；
（3）以点为圆心作半径为1的圆．若在上存在点，使得点经过一次“对称旋转”后得到的点在轴上，直接写出的取值范围．
【分析】（1）根据“对称旋转”新定义即可判断；
（2）①由旋转可得和均为等边三角形，进而推出△△，即可证得结论；
②根据“对称旋转”新定义得点的坐标为，，，进而得出，再利用勾股定理即可求得答案；
（3）点在上，则绕顺时针旋转度以后的的轨迹为绕顺时针旋转度以后的上，关于逆时针旋转度以后得到点，则在关于逆时针旋转度以后的上，若满足题意，只需与轴有交点在粉弧上，且，则与轴相切，再证得△△，即可求得答案．
【解答】解：（1）如图，当点与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，点绕点逆时针旋转得到点；
当点与点重合时，点绕点顺时针旋转得到点，点绕点逆时针旋转得到点；
故答案为：，；
（2）①当时，如图，
轴上的一点经过一次“对称旋转”得到点，
和均为等边三角形，
，，，
，
，
△△，
，
故答案为：2；
②当时，设点绕点顺时针旋转得到点，则，
如图，将轴作一次“对称旋转”后得到直线，
轴，点经过一次“对称旋转”得到点，
点的坐标为，
点绕点逆时针旋转得到点，
，，
，
，
，
，
，
，
点的坐标为，．
（3）点在上，则绕顺时针旋转度以后的的轨迹为绕顺时针旋转度以后的上，关于逆时针旋转度以后得到点，则在关于逆时针旋转度以后的上，若满足题意，只需与轴有交点在粉弧上，且，
如图，与轴相切，则，在轴上取点，连接，使，
，
，，，，
△△，
，
故；
如图，与轴相切，则，在轴上取点，连接，使，
，，
，
，
，
，
△，
，
，
；
综上所述，或．
【点评】本题是圆的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转变换的性质，等边三角形的判定和性质，圆的性质等，理解并熟练运用“对称旋转”新定义是解题关键．
8．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于与，给出如下定义：若的一个顶点在上，除这个顶点外与存在且仅存在一个公共点，则称为的“相关三角形”．
（1）如图1，的半径为1，点，为的“相关三角形”．
在点，，，这三个点中，点可以与 点重合；
（2）如图2，的半径为1，点，点是轴上的一动点，且点的横坐标的取值范围是，点在第一象限，若为直角三角形，且为的“相关三角形”．求点的横坐标的取值范围；
（3）的半径为，直线与在第一象限的交点为，点，若平面直角坐标系中存在点（点在轴下方），使得为等腰直角三角形，且为的“相关三角形”．直接写出的取值范围．
【分析】（1）利用相关三角形的定义逐个经判断即可；
（2）由相关三角形有一个顶点在圆上，得到点在第一象限的圆上，再通过点的位置和点的位置，明确直角只有，先确定点，作，然后根据找到点符合条件的位置，得到对应点符合条件的位置，分别计算即可．
（3）通过点的位置及交点个数，明确与只能有一个交点，得到半径最大值，再由与直线交点在第一象限，得到半径最小值，画图确定无论点在圆上还是圆内，圆外均存在满足条件的等腰直角三角形，得到半径的取值范围．
【解答】解：（1）如图，各点在图中位置，
由于边已与圆有1个交点，且点、均不在圆上，故只有在圆上，且与与点除外只有一个交点，
由，，可知点在圆上，且与相切，可知△与圆只有及两个交点，满足“相关三角形”条件，故点可与重合，
与有额外交点，不在圆上，均不满足条件．
故答案为：．
（2）为的“相关三角形”．点在圆内，点在圆外，与有一个交点，故点只能在圆上，且除点外与没有其他交点．
为直角三角形，且点在第一象限，
当时，点不在圆上；当时，点不在第一象限，
故只有，又，
当点在处，时，最小，但此时不合题意，的中点，到点的距离为的一半，得到，
，在圆上，得到，解得，
当与相切时，最大，因为继续增大，则与会有2个交点，此时点与原点重合，作于点，
则，
，
解得，
，
综上所述，，
（3）直线与在第一象限的交点为，直线与轴的交点为，
故最大时，在上，最大为，最小时，直线与相切，最小为，
顶点在上，当与有两个交点时，若点在圆上，与有3个交点，不满足“相关三角形”的条件；
若点在圆内，则与无交点，与有一个交点，不满足“相关三角形”的条件；
若点在圆外，则与有一个交点，与无交点，不满足“相关三角形”的条件；
故与仅能有一个交点，
当与相切时，，直线与轴的交点，
，，
恰有，，
当时，与只有两个交点，
当点在圆内，圆上，圆外时，与均只有两个交点，满足“相关三角形”的条件，
故．
【点评】本题为新定义类型的综合题，需按照定义进行判断，本题还涉及直角三角形，等腰直角三角形等知识，解题时还需注意分类讨论．
9．（2024•海淀区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于直线，给出如下定义：若直线与某个圆相交，则两个交点之间的距离称为直线关于该圆的“圆截距”．
（1）如图1，的半径为1，当，时，直接写出直线关于的“圆截距”；
（2）点的坐标为，
①如图2，若的半径为1，当时，直线关于的“圆截距”小于，求的取值范围；
②如图3，若的半径为2，当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值2，直接写出的值．
【分析】（1）根据和的值直接写出直线的解析式，设直线与轴交于点，与轴交于点，根据勾股定理求出“圆截距”即可；
（2）①根据圆的垂径定理，确定弦长为时，弦的位置，注意分类，确定直线的解析式，根据直线的增减性确定的取值范围即可；
②当最短弦长为2时，分弦在轴上方和轴下方两种情况讨论求解．
【解答】解：（1），，
直线的解析式为，
设直线与轴交于点，与轴交于点，
则，，
，
即直线关于的“圆截距”为；
（2）
①如图2，设直线与正半轴交点为，且，
点的坐标为，的半径为1，
圆与轴正半轴交点为，
当时，直线的解析式为，
当直线经过点时，，
解得；
过点作，垂足为，
，，
，
，
，，
，，
设直线与圆的另一个交点为，
则，
关于的“圆截距”小于，
的取值范围是；
设直线与圆的交点为，
点，点的坐标为，
，
，
，
根据圆的对称性，直线和直线关于直线对称，此时，
，
，
的坐标为，
，
解得，
直线的解析式为，
关于的“圆截距”小于，
的取值范围是；
综上，的取值范围是或．
②当的取值在实数范围内变化时，直线关于的“圆截距”的最小值2，
设直线与轴交点为，则过点的“圆截距”的最小值2，
如图，即，，
由题知，为等边三角形，
，
，
由勾股定理得，，
根据图形的对称性可知，的值为．
【点评】本题考查了垂径定理，一次函数的解析式和性质，特殊角的三角函数值，勾股定理，熟练掌握圆的性质，灵活运用特殊角的三角函数值是解题的关键．
10．（2024•天宁区校级模拟）对于与上一点，若平面内的点满足：射线与交于点，且，则称点为点关于的“倍距点”．已知平面直角坐标系中，点的坐标是，．
（1）如图1，点为坐标原点，的半径是，点是点关于的“倍距点”．
①若点在轴正半轴上，直接写出点的坐标是 ， ；
②若点在第一象限，且，求点的坐标；
（2）设点，以点为圆心，长为半径作，一次函数的图象分别与轴、轴交于、，若一次函数的图象上存在唯一一点，使点是点关于的“倍距点”，求的值．
【分析】（1）①在轴正半轴时，如图1，设点为与轴正半轴的交点，根据“倍距点”的定义，可求得，，即可求出答案；
②若时，如图2，作轴于，轴于，连接，先证得，再根据“倍距点”的定义和三角函数即可求得答案；
（2）先求得，，，进而得出，取的中点，，过点作交轴于点，则直线的解析式为，当与直线相切时，一次函数的图象上存在唯一一点，使点是点关于的“倍距点”，设切点为或，连接，，根据，，，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）①在轴正半轴时，如图1，设点为与轴正半轴的交点，
点为坐标原点，的半径是，点是点关于的“倍距点”，
，，
点离开原点的距离，
点的坐标是，，
故答案为：，；
②若时，如图2，作轴于，轴于，连接，
，
，
，
，
点为坐标原点，的半径是，点是点关于的“倍距点”， ，
，，
，
，
，
在中，，，
，，
，
由比例式得：，，
，
，；
（2）存在符合条件的点．如图3，
一次函数的图象分别与轴、轴交于、，
令，则，令，则，
解得，
，，，
，，
轴轴，
，
，
，
取的中点，，过点作交轴于点，
则直线的解析式为，
当与直线相切时，一次函数的图象上存在唯一一点，使点是点关于的“倍距点”，
设切点为或，连接，，
则，
，
，
，，，
，，，，
或，
解得：或．
【点评】本题是圆与一次函数综合题，考查了圆的性质，切线的性质，待定系数法，一次函数图象，特殊角三角函数值，相似三角形的判定和性质，新定义等，解题关键是对新定义“倍距点”的理解和运用．
11．（2023•石景山区一模）对于平面直角坐标系中的点和图形、给出如下定义：若图形上存在点，使得点绕着点旋转得到的对应点在图形上，则称点为图形的“关联点”．
（1）图形是线段，其中点的坐标为，点的坐标为，
①如图1，在点，，，中，线段的“关联点”是 、 ；
②如图2，若直线上存在点，使点为线段的“关联点”，求的取值范围；
（2）图形是以为圆心，1为半径的．已知点，，．若线段上存在点，使点为的“关联点”，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①根据“关联点”的定义可知是线段的“关联点”；
②当直线经过点时，可得的最小值，当直线经过点时，可得的最大值，可得的取值范围为；
（2）根据“关联点”的定义可知：当线段与的“关联点”轨迹有交点时，取得最大值；当线段与的“关联点”轨迹相切时，取得最小值；列出不等式分别求得的最小值和最大值即可．
【解答】解：（1）①如图1，点的坐标为，点的坐标为，
绕着点逆时针旋转得到的对应点在线段上，绕着点顺时针旋转得到的对应点在线段上，
点、为图形线段的“关联点”，
故答案为：、．
②如图2，当直线经过点时，可得的最小值，
当直线经过点时，可得的最大值，
把代入，得，
解得：；
把代入，得；
解得：；
的取值范围为；
（2）根据“关联点”的定义可知：当线段与的“关联点”轨迹有交点时，取得最大值；当线段与的“关联点”轨迹相切时，取得最小值；如图3，
则，
解得：，
的取值范围为．
【点评】本题是圆的综合题，考查了旋转变换，圆的性质，“关联点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题，学会寻找特殊点解决问题，属于中考压轴题．
12．（2023•大兴区二模）在平面直角坐标系中，已知点，．点为平面内一点（不与点，点重合），若是以线段为斜边的直角三角形，则称点为线段的直点．
（1）若，
①在点，，这三个点中，点 是线段的直点；
②点为线段的直点，点，求的取值范围；
（2）点在直线上，若点的横坐标 满足，点为线段的直点，且，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①按所给点，逐个计算，再根半径比较即可；
②连接作直线，交于、，则是的最小值，是的最大值，再分别计算、即可；
（2）若点在处和若点在处时，分别求出当时的长即可．
【解答】解：（1）①若，
则，．
以为圆心，1为半径作圆，
则线段的直点满足在上，
，，
，
在内，
不是线段的直点；
，
，
在上，
是线段的直点；
，
，
在外，
不是线段的直点；
故答案为：．
②如图，作直线，交于、，则是的最小值，是的最大值，
点，
，
，，
，
（2）在直线上且满足，
点在如图中的两个点之间，
当时，
若点在处，，
连接交于，
当时，，
即，
若点在处，，
连接交于，
当时，，
即，
的取值范围．
当时，
即，
的取值范围．
【点评】本题考查了点圆最值的应用解答，一次函数性质及勾股定理的计算是解题关键．
13．（2023•房山区二模）在平面直角坐标系中，有图形和点，我们规定：若图形上存在点、（点和可以重合），满足，其中点是点关于轴的对称点，则称点是图形的“对称平衡点”．
（1）如图1所示，已知，点，点．
①在点，，中，是线段的“对称平衡点”的是 ， ；
②线段上是否存在线段的“对称平衡点”？若存在，请求出符合要求的“对称平衡点”的横坐标的范围，若不存在，请说明理由．
（2）如图2，以点为圆心，1为半径作．坐标系内的点满足，再以点为圆心，1为半径作，若上存在的“对称平衡点”，直接写出点纵坐标的取值范围．
【分析】（1）①根据“对称平衡点”的定义进行判断即可；
②不存在，根据“对称平衡点”的定义进行讨论可得结论；
（2）画出图形进行判断即可．
【解答】解：（1）①如图1，点，，，
，
，，
，
线段的“对称平衡点”是，，
故答案为：，；
②不存在，理由如下：
设为线段上任意一点，则它与线段上点的距离最小值为0，最大值为和中的较大值，
，，
点关于轴的对称点为，它到线段上任意一点的距离大于等于4，
若、是线段上的任意两点，则，，
不存在，
线段上不存在线段的“对称平衡点”；
（2）如图2，由②可知线段上不存在的“对称平衡点”， 上存在的“对称平衡点”，
，，
．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握两圆的位置关系，点与圆的位置关系等知识，理解题意，弄清“对称平衡点”的定义，取特殊点特殊位置是解题的关键．
14．（2023•广陵区校级一模）【概念学习】
在平面直角坐标系中，的半径为1，若平移个单位后，使某图形上所有点在内或上，则称的最小值为对该图形的“最近覆盖距离”．例如，如图①，，，则对线段的“最近覆盖距离”为3．
【概念理解】
（1）对点的“最近覆盖距离”为 4 ．
（2）如图②，点是函数图象上一点，且对点的“最近覆盖距离”为3，则点的坐标为 ．
【拓展应用】
（3）如图③，若一次函数的图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为1，求的取值范围．
（4）、，且，将对线段的“最近覆盖距离”记为，则的取值范围是 ．
【分析】（1）由题意即可求解；
（2）由题意可知，到圆的最小距离为3，即到圆心的距离为4，设，则，即可求解；
（3）考虑临界状态，当时，函数图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为1，利用三角形相似求出；同理，另一个临界状态为，即可求解；
（4）由题意可知，是一条倾斜角度为，长度为的线段，可在圆上找到两条与之平行且等长的弦，，如果落在弧上，或者落在弧上，进而求解．
【解答】解：（1）由题意得，对点的“最近覆盖距离”为4，
故答案为：4；
（2）由题意可知，到圆的最小距离为3，
即到圆心的距离为4，
设，
则，
解得，
故点的坐标为或，，
故答案为：或，；
（3）如图，考虑临界状态，
当时，函数图象上存在点，使对点的“最近覆盖距离”为1，
，，
，
，
则，
设，则，
由勾股定理可得：，
解得（舍，
，
此时．
同理，另一个临界状态为，
经分析可知，函数相比临界状态更靠近轴，则存在点，
或；
（4）由题意可知，是一条倾斜角度为，长度为的线段，
可在圆上找到两条与之平行且等长的弦，，
如果落在弧上，或者落在弧上，则成立，
当时，到弧的最小距离为，
此时，
当时，到弧的最小距离为，
此时，
综上，，
故答案为：．
【点评】本题是圆的综合题，主要考查了一次函数的性质、圆的基本知识、三角形相似、新定义等，数形结合是本题解题的关键．
15．（2023•海淀区校级三模）在平面直角坐标系中，给定图形和点，若图形上存在两个点，满足且，则称点是图形的关联点．
已知点，，．
（1）在点，，，，，中， ， 是线段的关联点；
（2）是以点为圆心，为半径的圆．
①当时，若线段上任一点均为的关联点，求的取值范围；
②记线段与线段组成折线，若存在，使折线的关联点都是的关联点，直接写出的最小值．
【分析】（1）根据关联点的定义，结合勾股定理进行判断即可；
（2）①根据题意推得三角形为含30度角的直角三角形，根据瓜豆原理可得求得点到点的最大距离为，最小距离为，推得的所有关联点在以为圆心，和为半径的两个圆构成的圆环中，结合图形求得半径的取值范围；
②结合①中的结论，画出满足条件的关联点的范围，进行求解即可．
【解答】解：（1），
为直角三角形，
满足，
根据勾股定理可得：，
，，
；
，，
；
，，
，
，且，
是线段的关联点；
，且，
是线段的关联点；
，且，
，，
，
对于线段上的任意两点、，
当 时，，如图，则必是锐角，不可能是直角，
不是线段的关联点；
故答案为：，．
（2）①由（1）可得：，
为直角三角形，
，
即，
即三角形为含30度角的直角三角形，如图：
则点是以为斜边且含30度角的直角三角形的直角顶点．
在圆上取点，，则对于任意位置的和，符合的关联点有2个，如图：
以点为例，当点在半径为的上运动时，点为圆上一定点，且，，
则点的运动轨迹为圆，故点的轨迹也为圆，令点的轨迹为圆，如图：
当，，三点共线，，，三点共线时，，
，，
则点到点的最大距离为，最小距离为，
当点也在上运动时，也随之运动，
则扫过的区域为 和为半径围成的圆，
即的所有关联点在以为圆心，和为半径的两个圆构成的圆环中，
当线段与半径为 交于点时，最小，如图：
则，
解得，
当线段与半径为的圆相切时，最大，过点作，如图：
则，
即，
解得，
则，
解得，
②当关联点在线段上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在线段上时，满足条件的关联点所在范围如图阴影部分：
当关联点在不同线段上时，满足条件的关联点在点和点上的范围如图阴影部分：
综上，所有区域叠加一起为：
由①可知，满足的所有关联点所在范围为圆环，
故若使得圆环能够完整“包住”关联点，圆环中外圆 的必须经过点，
，，，，
四边形为矩形，
，
则，
即，
解得 （负值舍去）；
综上，的最小值为．
【点评】本题考查了圆的综合应用，勾股定理，圆的相关性质，借助三角形面积求高，解一元一次方程，解一元二次方程等，根据圆的相关性质推得满足条件关联点的范围是圆环，根据临界点求最值是解题的关键．
16．（2024•北京一模）对于平面内的两点、，作出如下定义：若点是点绕点旋转所得到的点，则称点是点关于点的旋转点；若旋转角小于，则称点是点关于点的锐角旋转点．如图1，点是点关于点的锐角旋转点．
（1）已知点，在点，，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是 ， ．
（2）已知点，点在直线上，若点是点关于点的锐角旋转点，求实数的取值范围．
（3）点是轴上的动点，，，点是以为圆心，3为半径的圆上一个动点，且满足．若直线上存在点关于点的锐角旋转点，请直接写出的取值范围．
【分析】（1）如图中，满足条件的点在半圆上（不包括点以及轴上的点），点，满足条件．
（2）如图中，以为圆心，3为半径作半圆，交轴于，当直线与半圆有交点（不包括，时，满足条件．
（3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，求出图3（2），图3（3）中，的值，可得结论．
【解答】解：（1）如图，，，
，，
点不是点关于点的锐角旋转点；
，作轴于点，
，
，
，
点是点关于点的锐角旋转点；
，作轴于点，
则，
，
，
，
不是点关于点的锐角旋转点；
，，作轴于点，
则，
，
，
是点关于点的锐角旋转点；
综上所述，在点，，，中，是点关于点的锐角旋转点的是，，
故答案为：，．
（2）在轴上取点，当直线经过点时，可得，
当直线经过点时，则，
解得：，
当时，绕点逆时针旋转锐角时，点一定可以落在某条直线上，
过点作直线，垂足在第四象限时，如图，
则，，
，
当时，取得最小值，
，
，
．
（3）根据题意，点关于点的锐角旋转点在半圆上，设点在半圆上，点在半圆上（将半圆绕点旋转），如图3（1），半圆扫过的区域为图3（1）中阴影部分，
如图3（2）中，阴影部分与直线相切于点，，，过点作轴于点，过点作于点，
，
，
，，
，
，
，即，
解得，
如图3（3）中，阴影部分与相切于点，，，则，，
，
解得，
观察图象可知，．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，点是点关于点的锐角旋转点的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会寻找特殊点，特殊位置解决问题，属于压轴题．
17．（2023•清江浦区校级模拟）在平面直角坐标系中，对于点和线段，若线段或的垂直平分线与线段有公共点，则称点为线段的融合点．
（1）已知，，
①在点，，中，线段的融合点是 ， ；
②若直线上存在线段的融合点，求的取值范围；
（2）已知的半径为4，，，直线过点，记线段关于的对称线段为．若对于实数，存在直线，使得上有的融合点，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①分别求出的线段垂直平分线与轴的交点为，，直线的垂直平分线与轴的交点为，，直线的垂直平分线与轴的交点为，再根据定义判断即可；
②线段的融合点在以、为圆心，为半径的圆及内部，当与圆有交点时，直线上存在线段的融合点；
（2）由（1）可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，圆与圆、圆的公共区域为以为圆心2为半径，以为圆心的圆环与圆有交点，临界情况是圆内含时，当时，的最大值为，最小值为，当时，的最大值为，最小值为，由此可求的取值范围为或．
【解答】解：（1）①，，
的线段垂直平分线与轴的交点为，，
是线段的融合点；
，，
设直线的垂直平分线与轴的交点为，
，
解得，
直线的垂直平分线与轴的交点为，，
不是线段的融合点；
，，
设直线的垂直平分线与轴的交点为，
，
解得，
直线的垂直平分线与轴的交点为，
是线段的融合点；
故答案为：，；
②线段的融合点在以、为圆心，为半径的圆及内部，
，，
，
当与圆相切时，或，
时，直线上存在线段的融合点；
（2）由（1）可知，的融合点在以、为圆心，为圆心的圆及内部，
，，
，
上有的融合点，
圆与圆、有交点，
圆与圆、圆的公共区域为以为圆心2为半径，以为圆心的圆环与圆有交点，临界情况是圆内含时，
当时，的最大值为，最小值为，
；
当时，的最大值为，最小值为，
；
综上所述：的取值范围为或．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握线段垂直平分线的性质，弄清定义，根据题意能够确定线段的融合点的轨迹是解题的关键．
18．（2023•西城区校级模拟）在平面内，为线段外的一点，若以点，，为顶点的三角形为直角三角形，则称为线段的直角点．特别地，当该三角形为等腰直角三角形时，称为线段的等腰直角点．
（1）如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，在点，，，中，线段的直角点是 、 ；
（2）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．
①若，如图2所示，若是线段的直角点，且点在直线上，求点的坐标；
②如图3，点的坐标为，的半径为1，若上存在线段的等腰直角点，求出的取值范围．
【分析】（1）根据给出的定义结合图形可直接判断；
（2）①根据题意，可以分三种情况：当点为直角顶点，当点为直角顶点，当点为直角顶点，结合直角三角形的性质可得出结论；
②以为边向下作正方形，则，，是线段的等腰直角点．求出点，的运动轨迹，再利用直线与圆的位置关系确定的取值范围．
【解答】解：（1），，
，
是线段的直角点；
，，
，
，，
，
在以为圆心，为直径的圆上，
，
是线段的直角点；
故答案为：、；
（2）①，，
，
．
根据题意，若点为线段的直角点，则需要分三种情况：
当点为直角顶点，过点作于点，过点作轴于点，
，
，
设，
，
，解得，
；
当点为直角顶点，过点作于点，过点作轴于点，
，
，
设，
，
，解得，
；
当点为直角顶点，取的中点，
则，
设的横坐标为，则，
由直角三角形的性质可知，，
，解得，
，
综上，点的坐标为或或．
②如图，以为边向下作正方形，连接，交于点，则，，是线段的等腰直角点．
根据点的运动可知，点在直线上运动，在直线上运动，在直线上运动．
设与相交于点，与相交于点，
，．
由此可得出临界情况如图：
如图3（1）中，当与相切时，；
如图3（2）中，当与相切时，点为切点，连接，
则为等腰直角三角形，且，
；
，，即；
如图3（3）中，当与相切时，点为切点，连接，
则为等腰直角三角形，且，
；
，，即；
如图3（4）中，当与相切时，点为切点，连接，
则为等腰直角三角形，且，
；
，，即；
综上，符合题意的的取值范围：或．
【点评】本题属于圆综合题，考查了直线与圆的位置关系，直角三角形的存在性，等腰直角三角形的存在性等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题．
19．（2023•秀洲区校级二模）婆罗摩芨多是公元7世纪古印度伟大的数学家，他在三角形、四边形、零和负数的运算规则，二次方程等方面均有建树，他也研究过对角线互相垂直的圆内接四边形，我们把这类对角线互相垂直的圆内接四边形称为“婆氏四边形”；
（1）若平行四边形是“婆氏四边形”，则四边形是 ③ ．（填序号）
①矩形②菱形③正方形
（2）如图1，中，，以为弦的交于，交于，连接、、，，，若四边形是“婆氏四边形”，求的长；
（3）如图2，四边形为的内接四边形，连接，，，，，，已知，
①求证：四边形是“婆氏四边形”；
②当时，求半径的最小值．
【分析】（1）先证明平行四边形是矩形，再由定义证明矩形是正方形，即可求解；
（2）根据垂径定理和圆周角定理可得，，，设，则，，在中，用勾股定理可求解；
（3）①根据圆周角定理得出，从而得出，即可证明；
②过点作交于，过作交于，证明，设，则，，，在中，，当时，有最小值，即半径的最小值为．
【解答】（1）解：平行四边形为的内接四边形，
，，
，
平行四边形是矩形，
四边形是“婆氏四边形”，
，
矩形是正方形，
故答案为：③；
（2）解：，，，
，，
为直径，
，
四边形是“婆氏四边形”，
，
，，
设，则，，
在中，，
解得，
；
（3）①证明：如图2，设，相交于点，
，，，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
四边形是“婆氏四边形”；
②解：过点作交于，过作交于，
，，，
，
，
，，
，
，
，
，
，
设，则，，，
在中，，
当时，有最小值，
半径的最小值为．
【点评】本题考查圆的综合应用，熟练掌握圆的性质，三角形全等的判定及性质，平行四边形的性质，矩形的性质，正方形的性质，理解新定义是解题的关键．
20．（2023•西城区校级模拟），是上的两个点，点在的内部．若为直角，则称为关于的内直角，特别地，当圆心在边（含顶点）上时，称为关于的最佳内直角．如图1，是关于的内直角，是关于的最佳内直角．在平面直角坐标系中．
（1）如图2，的半径为5，，是上两点．
①已知，，，在，，中，是关于的内直角的是 ， ；
②若在直线上存在一点，使得是关于的内直角，求的取值范围．
（2）点是以为圆心，4为半径的圆上一个动点，与轴交于点（点在点的右边）．现有点，，对于线段上每一点，都存在点，使是关于的最佳内直角，请直接写出的最大值，以及取得最大值时的取值范围．
【分析】（1）判断点，，是否在以为直径的圆弧上即可得出答案；
（2）求得直线的解析式，当直线与弧相切时为临界情况，证明，可求出此时，则答案可求出；
（3）可知线段上任意一点（不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为2，则当点在该圆的最高点时，有最大值2，再分点不与点重合，点与点重合两种情况求出临界位置时的值即可得解．
【解答】解：（1）如图1，
，，，
，，，
不在以为直径的圆弧上，
故不是关于的内直角，
，，，
，，，
，
，
是关于的内直角，
同理可得，，
是关于的内直角，
故答案为：，；
（2）是关于的内直角，
，且点在的内部，
满足条件的点形成的图形为如图2中的半圆（点，均不能取到），
过点作轴于点，
，，
，，
并可求出直线的解析式为，
当直线过直径时，，
连接，作直线交半圆于点，过点作直线，交轴于点，
，，
，
，
是半圆的切线．
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，直线的解析式为，
直线的解析式为，此时，
的取值范围是．
（3）对于线段上每一个点，都存在点，使是关于的最佳内直角，
点一定在的边上，
，，线段上任意一点（不包含点都必须在以为直径的圆上，该圆的半径为2，
当点在该圆的最高点时，有最大值，
即的最大值为2．
分两种情况：
①若点不与点重合，那么点必须在边上，此时，
点在以为直径的圆上，
如图3，当与相切时，，
，，
，
，，，
，
，
，
，
当与重合时，，
此时的取值范围是，
②若点与点重合时，临界位置有两个，一个是当点与重合时，，另一个是当时，，
此时的取值范围是，
综合以上可得，的取值范围是．
【点评】本题是圆的综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质，圆周角定理，勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，利用数形结合的思想，正确理解最佳内直角的意义是解本题的关键．
抽取序号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
箱沙糖桔直径
4.5
4.4
4.6
4.5
4.4
4.5
4.6
4.6
4.5
4.4
箱沙糖桔直径
4.4
4.3
4.4
4.7
4.4
4.8
4.5
4.2
4.8
4.5
统计量
平均数
众数
中位数
4.5
4.5
4.4
三角形的旁心
三角形一个内角的平分线和其他两个内角的外角平分线的交点，称为三角形的旁心，每个三角形有三个旁心．如图1，的平分线与另外两个内角，的外角平分线相交于点，则点是的一个旁心．
旁心与三角形的半周长（即周长的一半）关系密切，如图2，过的旁心分别作于点，交的延长线于点，交的延长线于点，则．
下面是部分证明过程：
平分，，，
．（依据）
同理可得，．