2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题13 隐圆问题3种模型（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题13 隐圆问题3种模型（含解析），共31页。试卷主要包含了圆的定义，已知抛物线与轴交于点，两点，，，学习心得等内容，欢迎下载使用。

通用的解题思路：
隐圆一般有如下呈现方式：（1）定点定长：当遇到同一个端点出发的等长线段时，通常以这个端点为圆心，等线段长为半径构造辅助圆；（2）定弦定角：当遇到动点对定点对定线段所张的角为定值时，通常把张角转化为圆周角构造辅助圆。当遇到直角时，通常以斜边为直径构造辅助圆。（3）四点共圆：对角互补的四边形的四个顶点共圆。隐圆常与线段最值结合考查。
类型1：定点定长
1．（2023•新城区校级三模）圆的定义：在同一平面内，到定点的距离等于定长的所有点所组成的图形．
（1）已知：如图1，，请利用圆规画出过、．三点的圆．若，则 ．
如图，中，，，．
（2）已知，如图2．点为边的中点，将沿方向平移2个单位长度，点、、的对应点分别为点、、，求四边形的面积和的大小．
（3）如图3，将边沿方向平移个单位至，是否存在这样的，使得直线上有一点，满足且此时四边形的面积最大？若存在，求出四边形面积的最大值及平移距离，若不存在，说明理由．
【分析】（1）利用圆的定义知，，三点共圆，再利用圆周角定理求解．
（2）根据图形的平移性质，判定平移后图形形状，继而确定面积的计算方式和方法，角度问题也迎刃而解．
（3）因角度不变，借助圆周角定点在圆周上运动时角度不变的思想，判断出点能够向右移动的最大距离，求出四边形的最大面积．
【解答】（1）以为圆心，为半径作辅助圆，如图，
，
，
，
故答案为．
（2）连接，，如图，
，
中，，，．
，，．
为斜边中点，
，
线段平移到之后，，，
四边形为菱形，
，
，
，且，
四边形为直角梯形，
，
（3）如图所示，以为斜边在的右侧作等腰直角三角形，以为圆心，为半径作，
当边沿方向平移个单位至时，
满足且此时四边形的面积最大，
直线与相切于点，
连接交于，过点作于，
则，，，
，，，
，，
，，，
，，
，
，
此时直角梯形的最大面积为：
．
【点评】本题主要考查图形的平移，圆心角，圆周角之间的关系，解题的关键是数形结合，找到极值点求解．
2．（2024•兰州模拟）综合与实践
【问题情境】在数学综合实践课上，“希望小组”的同学们以三角形为背景，探究图形变化过程中的几何问题，如图，在中，，，点为平面内一点（点，，三点不共线），为的中线．
【初步尝试】（1）如图1，小林同学发现：延长至点，使得，连接．始终存在以下两个结论，请你在①，②中挑选一个进行证明：
①；②；
【类比探究】（2）如图2，将绕点顺时针旋转得到，连接．小斌同学沿着小林同学的思考进一步探究后发现：，请你帮他证明；
【拓展延伸】（3）如图3，在（2）的条件下，王老师提出新的探究方向：点在以点为圆心，为半径的圆上运动，直线与直线相交于点，连接，在点的运动过程中存在最大值．若，请直接写出的最大值．
【分析】（1）利用证明，可得，再结合，即可证得；由全等三角形性质可得，再运用平行线的判定和性质即可证得；
（2）延长至点，使得，连接．利用证得，可得，再由，可证得；
（3）延长至，使，设交于，连接交于，取中点，连接，可证得，利用三角形中位线定理可得，即，利用直角三角形性质可得，得出点在以为圆心，2为半径的上运动，连接并延长交于，可得的长为的最大值，再运用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：①为的中线，
，
在和中，
，
，
，
，
；
②由①知，
，
，
；
（2）证明：延长至点，使得，连接．
由旋转得：，，
，，
，
由（1）②得：，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）如图3，延长至，使，设交于，连接交于，取中点，连接，
由旋转得：，，
，，
，
，
即，
在和中，
，
，
，即，
，
，
，
、分别是、的中点，
是的中位线，
，即，
，
，
点是的中点，
，
点在以为圆心，2为半径的上运动，
连接并延长交于，
的长为的最大值，
在中，，
，
的最大值为．
【点评】本题是几何综合题，考查了三角形的全等的性质与判定，两直线垂直的判定，三角形中位线定理，勾股定理，圆的性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解决本题的关键．
3．（2022•番禺区二模）已知抛物线与轴交于点，两点，，．其顶点的横坐标为．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设点在抛物线第一象限的图象上，垂足为，轴交直线于点，当面积等于4时，求点的坐标；
（3）在（2）的条件下，点是抛物线上的一点，点从点运动到达点，交直线于点，延长与线段的延长线交于点，点为，，三点构成的三角形的外心，求点经过的路线长．
【分析】（1）利用对称性，求得和的坐标，然后用待定系数法求得抛物线的解析式；
（2）证明和都为等腰直角三角形，利用等面积法求得，再求得直线的解析式为，设点的坐标，得到点的坐标，然后求解即可；
（3）先求得，推出点的运动路径时的中点绕点逆时针旋转得到的中点之间的弧长，证明四边形为正方形，即可求解．
【解答】解：（1）点，点两点关于直线对称，，
，，
代入得，
，解得：，
抛物线的解析式为．
（2）如图1所示：
轴，
，
抛物线的解析式为，
顶点，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
为等腰直角三角形，
，，
，
，
，
设直线的解析式为，则
，解得：，
直线的解析式为，
设点，则，
，
解得：或（舍，
，．
（3）如图2所示，
是直角三角形，
的外心是斜边的中点，
当点位于点时，△，其外心是斜边的中点，
当点位于点时，得△，其外心是斜边的中点，即的中点，
，，
，
，
由（2）得，，
，
，
，
平分，，
点，，，四点共圆，
点在线段的垂直平分线上，即点在上运动，即点的运动轨迹是一条线段．
，，
四边形为正方形，
此时点在上，且；
当点与点重合时，此时点在上，即为，且，
由题意，，，，，
△，
，解得，
，
由勾股定理可得：，
即点的运动轨迹长为1．
【点评】本题主要考查二次函数的综合问题，包括待定系数法确定函数解析式，三角形外接圆的性质，弧长公式，勾股定理，三角函数解直角三角形等，理解题意，作出相应辅助线是解题的关键．
4．（2021•红谷滩区校级模拟）（1）学习心得：小刚同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到有一些几何问题，如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助圆，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 ．
（2）问题解决：
如图，在四边形中，，，求的度数．
（3）问题拓展：
抛物线与轴交于点，顶点为，对称轴与轴交于点，点在抛物线上，直线交轴于点，连接．
①若含角的直线三角板如图所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上，求的坐标；
②若含角的直角三角板一个顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点在上，点与点，点不重合，求点的坐标．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由、、、共圆，得出，
（3）①先求出抛物线顶点的坐标，再由点、、、共圆，得出，求出，再求点的坐标．
②分两种情况，Ⅰ、当的角的顶点与点重合时，Ⅱ、当的角的顶点与点重合时，运用点、、、共圆，求出即点的横坐标，再代入抛物线求出点的纵坐标，即可求出点的坐标．
【解答】解：（1），，
以点为圆心，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
（2）如图2，
，
点、、、共圆，
，
，
，
（3）①如图3
点为抛物线的顶点，
点的坐标为，
角的直角三角板如图所示放置，其中，一个顶点与重合，直角顶点在上，另一顶点在上，
点、、、共圆，
，
，
，
点的坐标为，
②如图4，
Ⅰ、当的角的顶点与点重合时，
直角三角板角的顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点在上
点、、、共圆，
，
，
，
把代入得，
点的坐标是，
Ⅱ、如图5，
当的角的顶点与点重合时，
直角三角板角的顶点与点重合，直角顶点在上，另一个顶点在上
点、、、共圆，
，
，
，
把代入得，
点的坐标是，
综上所述，点的坐标是，或，．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，解题的关键就是运用同弦对的圆周角相等．
类型2：定弦定角
1．（2022•雁塔区校级三模）问题提出
（1）如图①，已知为边长为2的等边三角形，则的面积为 ；
问题探究
（2）如图②，在中，已知，，求的最大面积；
问题解决
（3）如图③，某校学生礼堂的平面示意为矩形，其宽米，长米，为了能够监控到礼堂内部情况，现需要在礼堂最尾端墙面上安装一台摄像头进行观测，并且要求能观测到礼堂前端墙面区域，同时为了观测效果达到最佳，还需要从点出发的观测角，请你通过所学知识进行分析，在墙面区域上是否存在点满足要求？若存在，求出的长度；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）作于，由勾股定理求出的长，即可求出面积；
（2）作的外接圆，可知点在上运动，当时，的面积最大，求出的长，从而得出答案；
（3）以为边，在矩形的内部作一个等腰直角三角形，且，过作于，交于，利用等腰直角三角形的性质求出，的长，则以为圆心，为半径的圆与相交，从而上存在点，满足，此时满足条件的有两个点，过作于，作于，连接，利用勾股定理求出的长，从而解决问题．
【解答】解：（1）作于，
是边长为2的等边三角形，
，
，
的面积为，
故答案为：；
（2）作的外接圆，
，，
点在上运动，
当时，的面积最大，
，，
，，
，
的最大面积为；
（3）存在，以为边，在矩形的内部作一个等腰直角三角形，且，
过作于，交于，
米，
米，米，
米，
米，
，
以为圆心，为半径的圆与相交，
上存在点，满足，此时满足条件的有两个点，
过作于，作于，连接，
米，米，
米，
米，
米，
同理（米，
的长度为8米或12米．
【点评】本题是四边形综合题，主要考查了等边三角形的性质，矩形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，垂径定理等知识，熟练掌握定角定边的基本模型是解题的关键．
2．（2023•灞桥区校级模拟）问题提出：（1）如图①，为等腰三角形，，，是上一点，且平分的面积，则线段的长度为 4 ．
问题探究：（2）如图②，中，，，试分析和判断的面积是否存在最大值，若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
问题解决：（3）如图③，2023年第九届丝绸之路国际电影开幕式在西安曲江竞技中心举行，主办方要在会场旁规划一个四边形花圃，满足米，米，，，主办方打算过的中点点（入口）修建一条径直的通道（宽度忽略不计）其中点（出口）为四边形边上一点，通道把四边形分成面积相等并且尽可能大的两部分，分别规划成不同品种的花圃以供影迷休闲观赏．问是否存在满足上述条件的通道？若存在，请求出点距出口的距离的长；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）由题意可知，是的中线，利用等腰三角形的性质推出，利用三角函数求解即可解决问题；
（2）当的边上的高最大时，三角形的面积最大，即过圆心，连接．求出的最大值即可得出答案；
（3）连接，．首先证明，求出，推出的面积是定值，要使得四边形的面积最大，只要的面积最大即可，因为为定值，为定角，推出当是等边三角形时，求出四边形的面积最大值，然后再求出，构建方程解决问题即可．
【解答】解：（1）如图①，
平分的面积，
，
，
，，
，
的长度为4，
故答案为：4；
（2）存在．如图②，
，都是定值，
点在上，并且当点在的中点时，的面积最大；
连接交于点，则，，
，
，，
，
答：的面积最大值是；
（3）存在．如图③，连接，，
是的中点，
，
，
又，
是等边三角形，
，，
，
，
米，
在中，米，为定值，
由（2）可知当时，即为等边三角形时的面积最大，
此时也为四边形的最大值的面积不变），
；
是等边三角形，
，
，
由，得：
，
解得：，
（米，
答：点距出口的距离的长为米．
【点评】本题是圆的综合题，考查了勾股定理，垂径定理，解直角三角形，等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意构造辅助圆，灵活运用所学知识解决问题，难度较大，属于中考压轴题．
3．（2023•柯城区校级一模）如图，点与点的坐标分别是，，点是该直角坐标系内的一个动点．
（1）使的点有 无数 个；
（2）若点在轴上，且，求满足条件的点的坐标；
（3）当点在轴上移动时，是否有最大值？若有，求点的坐标，并说明此时最大的理由；若没有，也请说明理由．
【分析】（1）已知点、点是定点，要使，只需点在过点、点的圆上，且弧所对的圆心角为即可，显然符合条件的点有无数个．
（2）结合（1）中的分析可知：当点在轴的正半轴上时，点是（1）中的圆与轴的交点，借助于垂径定理、等边三角形的性质、勾股定理等知识即可求出符合条件的点的坐标；当点在轴的负半轴上时，同理可求出符合条件的点的坐标．
（3）由三角形外角的性质可证得：在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角大于同弧所对的圆外角．要最大，只需构造过点、点且与轴相切的圆，切点就是使得最大的点，然后结合切线的性质、三角形外角的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识即可解决问题．
【解答】解：（1）以为边，在第一象限内作等边三角形，
以点为圆心，为半径作，交轴于点、．
在优弧上任取一点，如图1，
则．
使的点有无数个．
故答案为：无数．
（2）①当点在轴的正半轴上时，
过点作，垂足为，如图1．
点，点，
，．
．
点为圆心，，
．
．
是等边三角形，
．
．
点的坐标为，．
过点作轴，垂足为，连接，如图1，
点的坐标为，，
，．
、是与轴的交点，
．
，，
．
点为圆心，，
．
，．，．
②当点在轴的负半轴上时，
同理可得：．．
综上所述：满足条件的点的坐标有：
，、，、、．
（3）当过点、的与轴相切于点时，最大．
理由：可证：，当最大时，最大．由 得：当最小即最小时，最大．所以当圆与轴相切时，最大．
①当点在轴的正半轴上时，
连接，作轴，垂足为，如图2．
与轴相切于点，
．
，，
．
四边形是矩形．
，．
．
，，，
．
②当点在轴的负半轴上时，
同理可得：．
理由：
①若点在轴的正半轴上，
在轴的正半轴上任取一点（不与点重合），
连接，，交于点，连接，如图2所示．
是的外角，
．
，
．
②若点在轴的负半轴上，
同理可证得：．
综上所述：当点在轴上移动时，有最大值，
此时点的坐标为和．
【点评】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理、等边三角形的性质、矩形的判定与性质，切线的性质、三角形外角性质等知识，综合性强．同时也考查了创造性思维，有一定的难度．构造辅助圆是解决本题关键．
类型3：四点共圆
1．（2022•中原区校级模拟）阅读下列材料，并完成相应的任务．
任务：
（1）填空：
①依据1指的是中点的定义及 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ；
②依据2指的是 ．
（2）请将证明过程补充完整．
（3）善于思考的小虎发现当点是的中点时，，请你利用图（2）证明该结论的正确性．
【分析】（1）利用直角直角三角形斜边上的中线的性质和圆内接四边形对角互补即可；
（2）利用直角三角形斜边上中线的性质证明点，，，和点，，，四点分别共圆，再说明，可证明结论；
（3）连接，，，利用证明，从而得出结论．
【解答】（1）解：①依据1指的是中点的定义及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，
②依据2指的是圆内接四边形对角互补，
故答案为：①直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半；②圆内接四边形对角互补；
（2）解：如图（1），连接，，，，取的中点，连接．，
则，
点，，，四点共圆，
，
又，
，
同上可得点，，，四点共圆，
，
，
，
点，，在同一直线上；
（3）证明：如图，连接，，，
点是的中点，
，
，，
又，，
，
，
．
【点评】本题主要考查了四点共圆，以及圆内接四边形的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键．
2．（2021•哈尔滨模拟）（1）【学习心得】
于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．
例如：如图1，在中，，，是外一点，且，求的度数．若以点为圆心，为半径作辅助，则点、必在上，是的圆心角，而是圆周角，从而可容易得到 45 ．
（2）【问题解决】
如图2，在四边形中，，，求的度数．
（3）【问题拓展】
如图3，如图，，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为2，则线段长度的最小值是 ．
【分析】（1）利用同弦所对的圆周角是所对圆心角的一半求解．
（2）由、、、共圆，得出，
（3）根据正方形的性质可得，，，然后利用“边角边”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，利用“”证明和全等，根据全等三角形对应角相等可得，从而得到，然后求出，取的中点，连接、，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理列式求出，然后根据三角形的三边关系可知当、、三点共线时，的长度最小．
【解答】解：（1）如图1，，，
以点为圆心，为半径作圆，点、、必在上，
是的圆心角，而是圆周角，
，
故答案为：45；
（2）如图2，取的中点，连接、．
，
点、、、共圆，
，
，
，
（3）如图3，在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
取的中点，连接、，
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，，
当、、三点共线时，的长度最小，
最小值．
（解法二：可以理解为点是在，直径的半圆上运动当、、三点共线时，长度最小）
故答案为：．
【点评】本题主要考查了圆的综合题，需要掌握垂径定理、圆周角定理、等腰直角三角形的性质以及勾股定理等知识，难度偏大，解题时，注意辅助线的作法．
3．（2022•潢川县校级一模）如图1，点在直线上，过点构建等腰直角三角形，使，且，过点作直线于点，连接．
（1）小亮在研究这个图形时发现，，点，应该在以为直径的圆上，则的度数为 45 ，将射线顺时针旋转交直线于点，可求出线段，，的数量关系为 ；
（2）小亮将等腰直角三角形绕点在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段，，的数量关系是否变化，请说明理由；
（3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请直接写的长．
【分析】（1）由，且，可得，由，推出、、、四点共圆，所以；由题意知，所以，由，，可知是等腰直角三角形，推出；
（2）如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．易证，则，由，，所以是等腰直角三角形，则，由，推出；
（3）当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，的面积最大．
【解答】解：（1）①如图，在图1中．
，且，
，
，
、、、四点共圆，
；
②由题意可知，，
，
又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
故答案为，；
（2）线段，，的数量关系会变化，数量关系为．
理由如下：
如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．
则，
，
又，，
，
，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
；
（3）由（2）知，，
，
，
，
，
，
、、、四点共圆，
于是作、、、外接圆，如图，
当点在线段的垂直平分线上且在的左侧时，经过圆心，此时最长，因此的面积最大．
作，则平分，，在上截取一点，使得，
，
，，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题．
西姆松定理是一个平面几何定理，其表述为：过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边或其延长线的垂线，则三垂足共线（此线常称为西姆松线）．
某数学兴趣小组的同学们尝试证明该定理．
如图（1），已知内接于，点在上（不与点，，重合），过点分别作，，的垂线，垂足分别为点，，．求证：点，，在同一条直线上．
如下是他们的证明过程（不完整）
如图（1），连接，，，，取的中点，连接．，
则，（依据
点，，，四点共圆，
．（依据
又，
．
同上可得点，，，四点共圆，