（全国通用）2022年中考数学命题点及重难题型分类突破练 模型九 与圆有关的最值(含隐圆问题)（原卷版+解析版）

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模型九与圆有关的最值(含隐圆问题)                【基础模型】 【隐圆题型】说明：圆外一点P到圆上的最短距离为PA、最长距离为PB；(P、A、0、B点在同一条直线 上，即P、A、B二点过圈心0)圆内一点P到圆上的最短距离为PA、最长距离为PB；(P、A、0、B四点在同一条直线上，即P、A、B三点过圆心0)     【常见的两种模型】【典例】如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，求四边形AGCD的面积的最小值.【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝BC/AC=，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝EH/AE=，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝． 【强化训练】1．数学兴趣小组在“中学生学习报”中了解到“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”，用含30°角的直角三角板做实验，如图，∠ACB＝90°，BC＝6cm，M，N分别是AB，BC的中点，标记点N的位置后，将三角板绕点C逆时针旋转，点M旋转到点M′，在旋转过程中，线段NM′的最大值是（　　）A．7cm B．8 cm C．9cm D．10cm【解析】：∵∠ACB＝90°，BC＝6cm，∠A＝30°，∴AB＝2BC＝12，∵M，N分别是AB，BC的中点，∴CM＝6，CN＝3，∵将三角板绕点C逆时针旋转，点M旋转到点M′，在旋转过程中，点M′始终在以C为圆心，CM为半径的圆上，∴当M′旋转当与B，C在一条直线上时，即到D的位置时，线段NM′的值最大，即NM′的最大值＝DN＝6+3＝9，故选：C．2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，点D是AC的中点，将CD绕着点C逆时针旋转一周，在旋转的过程中，点D的对应点为点E，连接AE、BE，则△AEB面积的最小值是（　　）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】：如图，作CH⊥AB于H，∵∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6，∴由勾股定理求得AB＝10，∵CHAB＝ACBC，∴CH＝，∵点D是AC的中点，∴CD＝4，∵将CD绕着点C逆时针旋转，在旋转过程中点D的对应点为点E，∴CE＝4，即点E在以C为圆心，4为半径的圆上，∵点E在HC的上，点E到AB的距离最小，∴S△AEB最小值＝×10×（ -4）＝4故选：D．3．如图，矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E是AB边上一点，且AE＝2，点F是边BC上的任意一点，把△BEF沿EF翻折，点B的对应点为G，连接AG，CG，则四边形AGCD的面积的最小值为________．【解析】∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝3，AD＝BC＝4，∠ABC＝∠D＝90°，根据勾股定理得，AC＝5，∵AB＝3，AE＝2，∴点F在BC上的任何位置时，点G始终在AC的下方，设点G到AC的距离为h，∵S四边形AGCD＝S△ACD+S△ACG＝AD×CD+AC×h＝×4×3+×5×h＝h+6，∴要四边形AGCD的面积最小，即：h最小，∵点G是以点E为圆心，BE＝1为半径的圆上在矩形ABCD内部的一部分点，∴EG⊥AC时，h最小，即点E，点G，点H共线．由折叠知∠EGF＝∠ABC＝90°，延长EG交AC于H，则EH⊥AC，在Rt△ABC中，sin∠BAC＝=，在Rt△AEH中，AE＝2，sin∠BAC＝=，∴EH＝AE＝，∴h＝EH﹣EG＝﹣1＝，∴S四边形AGCD最小＝h+6＝×+6＝．故答案为：．4．如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝2，M是AD边的中点，N是AB边上的动点，将△AMN沿MN所在直线折叠，得到△A′MN，连接A′C，则A′C的最小值是_______【解析】：∵四边形ABCD是矩形∴AB＝CD＝3，BC＝AD＝2，∵M是AD边的中点，∴AM＝MD＝1.∵将△AMN沿MN所在直线折叠，∴AM＝A'M＝1，∴点A'在以点M为圆心，AM为半径的圆上，∴如图，当点A'在线段MC上时，A'C有最小值，∵由勾股定理可求得MC＝，∴A′C的最小值＝MC﹣MA'＝﹣1.5．如图，Rt△ABC中，AB⊥BC，AB＝6，BC＝4，P是△ABC内部的一个动点，且满足∠PAB＝∠PBC，则线段CP长的最小值为_______.【解析】：∵∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠PAB＝∠PBC∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴点P在以AB为直径的⊙O上，连接OC交⊙O于点P，此时PC最小，在RT△BCO中，∵∠OBC＝90°，BC＝4，OB＝3，∴由勾股定理可求得OC＝5，∴PC＝OC﹣OP＝5﹣3＝2．∴PC最小值为2． 故答案为2．6．如图，在边长为1的正方形ABCD中，将射线AC绕点A按顺时针方向旋转α度（0＜α≤360°），得到射线AE，点M是点D关于射线AE的对称点，则线段CM长度的最小值为________．【解析】：如图所示：连接AM．∵四边形ABCD为正方形，∴由勾股定理可求得AC＝．∵点D与点M关于AE对称，∴AM＝AD＝1．∴点M在以A为圆心，以AD长为半径的圆上．如图所示，当点A、M、C在一条直线上时，CM有最小值．∴CM的最小值＝AC﹣AM′＝﹣1，故答案为：﹣1．7．如图，AB是⊙O的直径，C为圆上一点，且∠AOC＝120°，⊙O的半径为2，P为圆上一动点，Q为AP的中点，则CQ的长的最值是_______．【解析】：如图，连接OQ，作CH⊥AB于H．∵AQ＝QP，∴OQ⊥PA，∴∠AQO＝90°，∴点Q的运动轨迹为以AO为直径的⊙K，连接CK，当点Q在CK的延长线上时，CQ的值最大，在Rt△OCH中，∵∠COH＝60°，OC＝2，∴OH＝OC＝1，CH＝，在Rt△CKH中，由勾股定理可求得CK＝，∴CQ的最大值为1+.8.如图，△ABO为等边三角形，OA＝4，动点C在以点O为圆心，OA为半径的⊙O上，点D为BC中点，连接AD，则线段AD长的最小值为_______.　【解析】：如图1，取OB的中点E，在△OBC中，DE是△OBC的中位线，∴DE= OC=2，即点D是在以E为圆心，2为半径的圆上，∴求AD的最小值就是求点A与⊙E上的点的距离的最小值，如图2，当D在线段AE上时，AD取最小值2-2.9．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，点D是边BC的中点，点E是边AB上的任意一点（点E不与点B重合），沿DE翻折△DBE使点B落在点F处，连接AF，则线段AF的长取最小值时，BF的长为______　．【解析】：由题意得：DF＝DB，∴点F在以D为圆心，BD为半径的圆上，作⊙D； 连接AD交⊙D于点F，此时AF值最小，∵点D是边BC的中点，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得：AD2＝AC2+CD2∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5﹣3＝2，即线段AF长的最小值是2，连接BF，过F作FH⊥BC于H，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，故答案为：