2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题11 全等三角形六种基本模型（含解析）

这是一份2024年中考数学压轴题型（全国通用）专题11 全等三角形六种基本模型（含解析），共128页。试卷主要包含了等边三角形手拉手-出全等，等腰直角三角形手拉手-出全等等内容，欢迎下载使用。
通用的解题思路：
模型一：一线三等角模型
一线三等角指的是有三个等角的顶点在同一条直线上构成的相似图形，这个角可以是直角，也可以是锐角或钝角。或叫 “K字模型”。
三直角相似可以看着是“一线三等角”中当角为直角时的特例，三直角型相似通常是以矩形或者正方形形为背景，或者在一条直线上有一个顶点在该直线上移动或者旋转的直角，几种常见的基本图形如下：
当题目的条件中只有一个或者两个直角时，就要考虑通过添加辅助线构造完整的三直角型相似，这往往是很多压轴题的突破口，进而将三角型的条件进行转化。
一般类型：
基本类型：
同侧“一线三等角” 异侧“一线三等角”
模型二：手拉手模型——旋转型全等
一、等边三角形手拉手-出全等
二、等腰直角三角形手拉手-出全等
两个共直角顶点的等腰直角三角形，绕点C旋转过程中（B、C、D不共线）始终有：[来源:Z#xx#k.Cm]
△BCD≌△ACE；②BD⊥AE（位置关系）且BD=AE（数量关系）；③FC平分∠BFE；
题型三：倍长中线模型构造全等三角形
倍长中线是指加倍延长中线，使所延长部分与中线相等，往往需要连接相应的顶点，则对应角对应边都对应相等。常用于构造全等三角形。中线倍长法多用于构造全等三角形和证明边之间的关系（通常用“SAS”证明）（注：一般都是原题已经有中线时用）。
三角形一边的中线（与中点有关的线段），或中点，通常考虑倍长中线或类中线，构造全等三角形.把该中线延长一倍，证明三角形全等，从而运用全等三角形的有关知识来解决问题的方法.
主要思路：倍长中线（线段）造全等
在△ABC中 AD是BC边中线

延长AD到E， 使DE=AD，连接BE

作CF⊥AD于F， 作BE⊥AD的延长线于E 连接BE

延长MD到N， 使DN=MD，连接CD
题型四：平行线+线段中点构造全等模型
题型五：等腰三角形中的半角模型
过等腰三角形顶点 两条射线，使两条射线的夹角为等腰三角形顶角的一半这样的模型称为半角模型。
解题思路一般是将半角两边的三角形通过旋转到一边合并成新的三角形，从而进行等量代换，然后证明与半角形成的三角形全等，再通过全等的性质得到线段之间的数量关系。
题型六：角平分线+垂直构造全等模型
类型一、角平分线垂两边
角平分线+外垂直
当已知条件中出现为的角平分线、于点时，辅助线的作法大都为过点作即可.即有、≌等，利用相关结论解决问题.
类型二、角平分线垂中间
角平分线+内垂直
当已知条件中出现为的角平分线,于点时，辅助线的作法大都为延长交于点即可.即有是等腰三角形、是三线等，利用相关结论解决问题.
模型一：一线三等角模型
1．（2023•石家庄模拟）如图①，矩形与以为直径的半圆在直线的上方，线段与点、都在直线上，且，，．点以1个单位秒的速度从点处出发，沿射线方向运动，矩形随之运动，运动时间为秒．
（1）如图②，当时，求半圆在矩形内的弧的长度；
（2）在点运动的过程中，当、都与半圆相交时，设这两个交点为、．连接、，若为直角，求此时的值．
【分析】（1）通过判定为等边三角形，然后根据弧长公式求解；
（2）通过判定，然后利用全等三角形的性质分析求解．
【解答】解：（1）设与交于点，
当时，，
，
，
，
，
在矩形中，，
，
又，
，
是等边三角形，
，
，
即半圆在矩形内的弧的长度为；
（2）连接，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，，
即的值为8或9．
【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，弧长公式的计算，勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定（一线三垂直模型），结合勾股定理列方程是解题关键．
2．（2023•怀化三模）如图所示，工人赵师傅用10块高度都是的相同长方体新型建筑材料，垒了两堵与地面垂直的墙和，点在上，已知，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【分析】（1）根据全等三角形的判定定理证得结论；
（2）利用（1）中全等三角形的对应边相等得到：，，则．
【解答】（1）证明：，，
（同角的余角相等）．
在与中，
，
；
（2）由题意知，，．
由（1）知，，
，，
．
【点评】本题主要考查了全等三角形的应用，用全等寻找下一个全等三角形的条件，全等的性质和判定往往是综合在一起应用的，这需要认真分析题目的已知和求证，分清问题中已知的线段和角与所证明的线段或角之间的联系．
3．（2023•承德二模）如图1，经过的三个顶点，圆心在斜边上，，直径所对的弧长为长的3倍，将等腰的直角顶点放置在边上，于点．
（1） 30 ；
（2）求证：；
（3）如图2，当点落在上时，求的长．
【分析】（1）先求出，即可求出答案；
（2）先同同角的余角相等判断出，进而用即可判断出；
（3）先求出，再判断出，，设，则，进而得出，最后用，建立方程求解，即可得出答案．
【解答】（1）解：连接，
直径所对的弧长为长的3倍，
直径所对的圆心角为所对的圆心角的3倍，
，
，
故答案为：30；
（2）证明：为的直径，
，
，
等腰的直角顶点放置在边上，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（3）由（1）知，，
在中，，
，
由（2）知，，
，，
设，则，
点落在上，
，
在中，，
，
，
，
即的长为．
【点评】此题是圆的综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质，圆的有关性质，等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，掌握“一线三等角构造全等模型”是解本题的关键．
4．（2023•凤台县校级二模）感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型．
应用：（1）如图2，中，，，直线经过点，过作于点，过作于点．求证；．
（2）如图3，在中，是上一点，，，，，求点到边的距离．
（3）如图4，在中，为边上的一点，为边上的一点．若，，，求的值．
【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明；
（2）过点作于点，过点作于，交的延长线于点，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案；
（3）过点作交的延长线于点，证明，由相似三角形的性质可得出答案．
【解答】（1）证明：，，
，
，，
，，
，
在和中，
，
；
（2）解：过点作于点，过点作于，交的延长线于点，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
即点到的距离为；
（3）解：过点作交的延长线于点，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．
5．（2023•鄂伦春自治旗二模）如图1，二次函数的图象交坐标轴于点，，点为轴上一动点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）过点作轴分别交线段，抛物线于点，，连接．当时，求的面积；
（3）如图2，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
①当点在抛物线上时，求点的坐标；
②点在抛物线上，连接，当平分时，直接写出点的坐标．
【分析】（1）把代入求出，即可得到二次函数的表达式；
（2）求出，的坐标，算出的长度，利用求；
（3）①构造一线三等角的全等，建立方程求解；
②因为平分，所以，得到，建立方程求解．
【解答】解：（1）把代入得，，
二次函数的表达式为；
（2）令，得或4，
，
设直线为，代入得，
，
，
，，
，
；
（3）①过作轴，垂足为，
，，
，
，，
，
，，
设，则，代入得
，
，
或，
或．
②连接，，
，，，
，
，
由①知，
，，
，
，
（舍或，
点的坐标为．
【点评】本题考查了二次函数的图象与性质，并与三角形全等，三角形面积，角平分线结合，渗透了方程和数形结合的思想，关键是如何将几何代数化．
6．（2023•潍坊三模）如图1，将一个等腰直角三角尺的顶点放置在直线上，，，过点作于点，过点作于点．
观察发现：
（1）如图1，当，两点均在直线的上方时
①猜测线段，与的数量关系并说明理由；
②直接写出线段，与的数量关系；
操作证明：
（2）将等腰直角三角尺绕着点逆时针旋转至图2位置时，线段，与又有怎样的数量关系，请写出你的猜想，并写出证明过程；
拓广探索：
（3）将等腰直角三角尺绕着点继续旋转至图3位置时，与交于点，若，，请直接写出的长度．
【分析】（1）①过点作，交的延长线于点，利用证明，得，，再证四边形为正方形，得，从而证明结论；
②由①知：；
（2）过点作，交延长线于点，利用证明，得，，从而证明结论；
（3）过点作，交于点，由（2）同理可证，四边形为正方形，得，，从而得出，由，得，代入即可得出的长．
【解答】解：（1）①，理由如下：
如图，过点作，交的延长线于点，
，，
，
又，
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，，
又四边形为矩形，
四边形为正方形，
，
；
②由①知：；
（2），理由如下：
如图，过点作，交延长线于点，
，，
，
又，
，
四边形为矩形，
，
又，
，
，
在与中，
，
，
，，
又四边形为矩形，
四边形为正方形，
，
，
，
；
（3）如图，过点作，交于点，
由（2）同理可证，四边形为正方形，
，，
，
，
，
，，
，，
，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，平行线分线段成比例等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键．
7．（2023•尤溪县校级模拟）在矩形中，连接，线段是线段绕点逆时针旋转得到，平移线段得到线段（点与点对应，点与点对应），连接，分别交，于点，，连接．
（1）求证：；
（2）求的大小；
（3）若，，求矩形的面积（用含有，的式子表示）．
【分析】（1）先证四边形是平行四边形，得，，再证四边形是平行四边形，即可得出结论；
（2）延长、交于点，证，得，，再证是等腰直角三角形，即可得出结论；
（3）证，得，则，即可解决问题．
【解答】（1）证明：由平移的性质得：，，
四边形是平行四边形，
，，
四边形是矩形，
，，
，，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：如图，延长、交于点，
四边形是矩形，
，
由（1）可知，，，
，
，，
由旋转的性质得：，，
，
，
，
，，
，
，
即，
是等腰直角三角形，
；
（3）解：由（2）可知，，
由（1）可知，，
由旋转的性质得：，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、平行四边形的判定与性质、平移的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质和平行四边形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
8．（2024•龙马潭区一模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，顶点为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若在线段上存在一点，使得，过点作交的延长线于点，求点的坐标；
（3）点是轴上一动点，点是在对称轴上一动点，是否存在点，，使得以点，，，为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）把点，代入抛物线解析式得，解得，即可得出结论；
（2）由待定系数法得直线的解析式为，设点的坐标为，，过点作轴于点，过点作轴于点，证，得，．则，再由点在直线上，得，解得，即可解决问题；
（3）分两种情况讨论，①当为菱形的边时，②当为菱形的对角线时，分别求出点的坐标即可．
【解答】解：（1）抛物线经过点，两点，
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）由（1）得，点，
设直线的解析式为，
直线经过点，，
，
解得：
直线的解析式为，
设点的坐标为，，
如图1，过点作轴于点，过点作轴于点，
则，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．
，，
，
，
，．
，
点在直线上，
，
解得：，
把代入得：，
当时，点的坐标为；
（3）存在，理由如下：
抛物线的解析式为，顶点为，
点的坐标为，
分两种情况讨论：
①当为菱形的边时，
如图2，过作于
，，
，
，
点的坐标为或；
②当为菱形的对角线时，
如图3，设点，，
，，
，
，
，
，
，，
，
解得：，
点的坐标为；
综上所述，点的坐标为或或．
【点评】本题是二次函数综合题目，考查了待定系数法求抛物线和直线的解析式、坐标与图形性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、菱形的性质、两点间的距离、二次函数的图象、一次函数的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握待定系数法菱形的性质，证明三角形全等和进行分类讨论是解题的关键，属于中考常考题型．
9．（2023•太康县二模）在正方形中，是边上一点（点不与点，重合），，垂足为点，与正方形的外角的平分线交于点．
（1）如图1，若点是的中点，猜想与的数量关系是 ；证明此猜想时，可取的中点，连接．根据此图形易证．则判断的依据是 ．
（2）点在边上运动．
①如图2，（1）中的猜想是否仍然成立？请说明理由．
②如图3，连接，，若正方形的边长为1，直接写出的周长的取值范围．
【分析】（1）取的中点，连接．先证，再证，，然后由证，即可得出结论；
（2）①在上取一点，使，连接，证，即可得出结论；
②过作交于点，连接、，证是等腰直角三角形，则点与关于对称，得，，当、、三点共线时，即最短，此时，，再由勾股定理得，此时；当与相等时，即、、三点共线，此时，则；即可得出结论．
【解答】解：（1）如图1，取的中点，连接．
则，
点是的中点，
，
四边形是正方形，
，，
，，，，
是等腰直角三角形，
，
，
平分，
，
，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：，；
（2）①成立，理由如下：
如图2，在上取一点，使，连接，
则，
由（1）得：，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
在和中，
，
，
；
②如图3，过作交于点，连接、，
，
，
是等腰直角三角形，
点与关于对称，
，
，
当、、三点共线时，即最短，
此时，，
在中，由勾股定理得：，
此时；
当与相等时，即、、三点共线，
此时，
则；
的周长的取值范围是．
【点评】本题是四边形综合题目，考查了正方形的判定与性质、矩形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及勾股定理等知识，本题综合性强，熟练掌握正方形的判定与性质，证明三角形全等是解题的关键，属于中考常考题型．
模型二：手拉手模型——旋转型全等
1．（2023•巴中）综合与实践．
（1）提出问题．如图1，在和中，，且，，连接，连接交的延长线于点．
①的度数是 ．
② ．
（2）类比探究．如图2，在和中，，且，，连接、并延长交于点．
①的度数是 ；
② ．
（3）问题解决．如图3，在等边中，于点，点在线段上（不与重合），以为边在的左侧构造等边，将绕着点在平面内顺时针旋转任意角度．如图4，为的中点，为的中点．
①说明为等腰三角形．
②求的度数．
【分析】（1）（2）从图形可辩知，这个是手拉手全等或相似模型，按模型的相关结论解题．
（3）稍有变化，受前两问的启发，连接、完成手拉手的构造，再结合三角形中位线知识解题．
【解答】解：（1）①，
，
．
又，，
．
，
，
，
，
即：，
．
故的度数是．
②由①得，
．
故．
（2）①，，
，
又，
，
，．
，
．
，
，
．
故 的度数是．
②由①得：．
，
，且，
，
．
．
（3）①解：连接、，延长交于点，交于点．
在等边中，又于点，
为的中点，
又为的中点，为的中点，
、分别是、的中位线，
，．
，
．
．
在和中，
，
．
．
．
为等腰三角形．
②，
，
由（1）（2）规律可知：，
，
又，，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质及相似三角形的判定及性质．方法灵活多变，需要较强的构造能力．
2．（2024•武汉模拟）如图，在和中，，，，点在边上，是的中点．连接，是的中点．
（1）求证：；
（2）如图（2），若点在上，直接写出的值；
（3）如图（1），判定以，，为顶点的三角形的形状，并证明你的结论．
【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质很容易得到，，进而得到，利用两边对应成比例且夹角相等即可判断；
（2）要求的值需要得到与的比值，由（1）可得，连接可得，进而得到，当的中点在上时，很容易得到，从而得到，进一步得到，由可得，从而得到与的关系，解决问题；
（3）由（2）可得，类似的可以延长交于点，得到，从而得到，连接，只要能够说明是以为直角顶点的等腰直角三角形即可得到是等腰直角三角形，为此需要证明，根据已知可得，由可得，再由和可得，从而利用可得到，从而解决问题．
【解答】解：（1），，，
和是等腰△，
，，
，
，
．
（2），
如图，连结，
是的中点，是等腰直角三角形，，
，，
由（1）得，
，，
，
，
，
又，，
，
，
在中，，，
，
，
，
，
在中，．
（3）是等腰直角三角形，证明如下：
如图，连结、、、，延长交于，连结，
由（2）得，
，
，
又，，
，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
在和中，
，
，
，，
又，，，
，
是等腰直角三角形，
又，
，，
是等腰直角三角形．
【点评】此题主要考查的是等腰直角三角形、全等三角形以及相似三角形等知识的综合，解决此题的关键是能够灵活运用已知以及等腰直角三角形的性质等知识点判断三角形相似，三角形全等，并灵活运用性质解决问题．
3．（2023•市中区校级四模）问题提出如图1，在等边内部有一点，，，，求的度数．
数学思考当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分数的条件集中起来解决问题．
尝试解决将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等边三角形．
，又，，．
△为 直角 三角形，
的度数为 ．
类比探究如图2，在中，，，其内部有一点，若，，，求的度数．
联想拓展如图3，在中，，，其内部有一点，若，，，求的度数．
【分析】类比探究类比上面的例题，将绕点逆时针旋转，得到△，利用勾股定理说明△为直角三角形；
联想拓展，直接旋转行不通，因为，所以旋转后再放缩即可，利用三角形相似解决．
【解答】解：尝试解决直角，；
类比探究将绕点逆时针旋转，得到△，连接，则为等腰直角三角形，
，
又，，
，
△为直角三角形，
，
．
联想拓展如图，在的左侧构造三角形，使，，
，，
，，
△，
，
，
，，
，
，
，
，
在△中，，，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转的知识，是手拉手的变式，渗透了类比的思想，对于联想拓展，因为，直接旋转行不通，因为，所以想到三角形相似．
4．（2023•深圳模拟）如图，是边长为3的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边，连接．
（1）【尝试初探】
如图1，当点在线段上运动时，与相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．
（2）【深入探究】
如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，求的值．
（3）【拓展延伸】
如图3，当点在的延长线上运动时，、相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可证明；
（2）过点作于点，由（1）可说明，从而得出，进而解决问题；
（3）过点作于点，由（1）同理得，再说明，得，设，则，在中，运用勾股定理列方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，，理由如下：
与都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
；
（2）如图2，过点作于点，
是边长为3的等边三角形，，
，，，
，
，
，
由（1）得，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图3，过点作于点，
与都是等边三角形，
，，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
，
，
设，
则，
，
，是边长为3的等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
解得，
点在的延长线上，
，
，
，
即．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手模型是解题的关键．
5．（2023•岱岳区二模）如图，正方形边长为7．、在半径为4的上，且，连接、、、．
（1）试探求线段、的数量和位置关系；
（2）求证：，并求的值．
【分析】（1）证明即可证明数量关系，再由全等转化，证明出，从而证明出位置关系；
（2）利用勾股定理推导出即可证明，再根据勾股定理求出和即可．
【解答】解：（1）如图，延长交于，
四边形是矩形，
，，
，
，
，即，
，
，
，，
，
，
，
，即，
、的数量和位置关系是，．
（2），
在和中，，
即，
在和中，，
即，
将所得两个等式相减得，，
即，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了正方形、等腰直角三角形的性质的应用，三角形的全等的证明及勾股定理的计算是解题关键．
6．（2023•苏州一模）如图，是边长为3的等边三角形，是上一动点，连接，以为边向的右侧作等边三角形，连接．
（1）【尝试初探】
如图1，当点在线段上运动时，，相交于点，在运动过程中发现有两个三角形始终保持全等，请你找出这对全等三角形，并说明理由．
（2）【深入探究】
如图2，当点在线段上运动时，延长，交的延长线于点，随着点位置的变化，点的位置随之发生变化，当时，求的值．
（3）【拓展延伸】
如图3，当点在的延长线上运动时，，相交于点，设的面积为，的面积为，当时，求的长．
【分析】（1）根据等边三角形的性质，利用即可证明；
（2）过点作于点，由（1）可说明，从而得出，进而解决问题；
（3）过点作于点，由（1）同理得，再说明，得，设，则，在中，运用勾股定理列方程即可解决问题．
【解答】解：（1）如图1，，理由如下：
与都是等边三角形，
，，，
，
即，
在与中，
，
；
（2）如图2，过点作于点，
是边长为3的等边三角形，，
，，，
，
，
，
由（1）得，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
；
（3）如图3，过点作于点，
与都是等边三角形，
，，
，
，
即，
在与中，
，
，
，
又，
，
，
，
，
设，
则，
，
，是边长为3的等边三角形，
，
，
，
，
，
即，
解得，
点在的延长线上，
，
，
，
即．
【点评】本题是几何变换综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手模型是解题的关键．
7．（2023•灌云县校级模拟）在中，，，点是平面内不与点，重合的任意一点，连接，将线段绕点旋转得到线段，连接，，．
（1）当时，
①如图1，当点在的边上时，线段绕点顺时针旋转得到线段，则与的数量关系是 ．
②如图2，当点在内部时，线段绕点顺时针旋转得到线段，①中与的数量关系还成立吗？若成立，请证明结论，若不成立，说明理由；
（2）当时，
①如图3，线段绕点顺时针旋转得到线段．试判断与的数量关系，并说明理由；
②若点，，在一条直线上，且，线段绕点逆时针旋转得到线段，求的值．
【分析】（1）①根据等边三角形的判定与性质知，，，，则，即可得出；
②由①同理得，得；
（2）①根据等腰直角三角形的判定与性质可得，得；
②分当点在的延长线上或点落在上两种情形，分别画出图形，利用勾股定理表示出的长，进而解决问题．
【解答】解：（1）①，，
是等边三角形，
，，
将线段绕点旋转得到线段，
，，
，
，
故答案为：；
②仍然成立，理由如下：
由①得，，
，
，，
，
；
（2）①，，
是等腰直角三角形，
，
同理可得，，
，
，
即，
，
，
；
②当点在的延长线上时，设，
则，，
，
，
在中，，，
，
，
当点落在上时，设，则，，
，
，
，
，
综上所述，的值为或．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握手拉手旋转型全等是解题的关键．
8．（2024•邳州市校级一模）（1）问题发现：
如图1，和均为等边三角形，点，，在同一直线上，连接．
①线段，之间的数量关系为 ；
②的度数为 ．
（2）拓展探究：
如图2，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一直线上，连接，求的值及的度数；
（3）解决问题：
如图3，在正方形中，，若点满足，且，请直接写出点到直线的距离．
【分析】（1）①由“”可证，由全等三角形的性质可求；
②由全等三角形的性质可得，即可求解；
（2）首先证明，由相似三角形的性质可得，，即可求解；
（3）由题意可得点在以为圆心，为半径的圆上，同时点也在以为直径的圆上，即点是两圆的交点，分两种情况讨论，由勾股定理即可求点到的距离．
【解答】解：（1）①和均为等边三角形，
，，，
，
，
在和中，
，
，
；
②，
，
，
，
；
故答案为：①，②；
（2）和均为等腰直角三角形，
，，，
，即，
，
，，
，
，
，
，
故，；
（3）点满足，
点在以为圆心，为半径的圆上，
，
点在以为直径的圆上，
如图3，点是两圆的交点，若点在上方，连接，过点作于，过点作于，
，
，
，
，
，，
，四边形是矩形，
，
在和中，
，
，
，，
，
，，
，
在中，，
即，
解得：或．
点到直线的距离为或．
【点评】本题是四边形形综合题，考查的是等边三角形的性质，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练运用这些性质进行推理是本题的关键．
9．（2023•酒泉一模）（1）感知：如图①，四边形和均为正方形，与的数量关系为 ；
（2）拓展：如图②，四边形和均为菱形，且，请判断与的数量关系，并说明理由；
（3）应用：如图③，四边形和均为菱形，点在边上，点在延长线上．若，，的面积为8，求菱形的面积．
【分析】（1）由“”可证，可得；
（2）由“”可证，可得；
（3）由面积和差关系可求解．
【解答】解：（1）四边形和均为正方形，
，，，
，
，
，
故答案为：；
（2），理由如下：
四边形和四边形均为菱形，
，，，．
，
．
，
即，
，
；
（3）四边形为菱形，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
10．（2023•海淀区校级四模）在平面直角坐标系中，的半径为1，为上一点，点．
对于点给出如下定义：将点绕点顺时针旋转，得到点，点关于点的对称点为，称点为点关于点，的“中旋点”．
（1）如图1，已知点，点为点关于点，的“中旋点”．
①若点，在图中画出点，并直接写出的长度为 ；
②当点在上运动时，直线上存在点关于点，的“中旋点” ，求的取值范围；
（2）点，当点在上运动时，若上存在点关于点，的“中旋点” ，直接写出的取值范围．
【分析】（1）①在图中依次画出点、，的长度为；
②确定点在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据圆与直线有交点求的范围；
（2）确定点在以为圆心，以为半径的圆上运动，根据圆与有交点求的取值范围．
【解答】解：（1）①连接，过点作，使，
则，
连接并延长至点，使，
则，
如图所示，点即为所求作的点；
，
故答案为：；
②取点，连接、，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
△，
，
，
，，，
△，
，
设点，则，即，
要使直线上存在点关于点，的“中旋点” ，需方程组有解，
，
，
△，
；
（2）取点，作关于的对称点，
，
，
由（1）②类似可得到，
点在以为圆心，以为半径的圆上运动，若上存在点关于点，的“中旋点” ，与，应有交点，则，即，
或，
或．
【点评】本题在新定义下考查了三角形全等，直线与圆及圆与圆的位置关系，中点坐标公式等知识点，关键是确定点在圆上运动．
11．（2023•黑龙江模拟）在中，，，为直线上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接．
（1）当点在线段上时，如图①，求证：；
（2）当点在的延长线上时，如图②；当点在的延长线上时，如图③，线段，，之间又有怎样的数量关系？直接写出你的猜想，不必证明．
【分析】（1）过点作，交于点，根据垂直定义可得，再根据旋转的性质可得：，，从而利用等式的性质可得，然后利用等腰直角三角形的性质可得，从而可得，进而可得，最后利用可证，从而可得，再在中，利用等腰直角三角形的性质可得，再根据线段的和差关系以及等量代换可得，即可解答；
（2）当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，利用（1）的解题思路进行推理论证，即可解答；当点在的延长线上时，过点作，交的延长线于点，利用（1）的解题思路进行推理论证，即可解答．
【解答】（1）证明：过点作，交于点，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
（2）解：当点在的延长线上时，，
理由：如图：过点作，交的延长线于点，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
；
当点在的延长线上时，，
理由：如图：过点作，交的延长线于点，
，
由旋转得：，，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
12．（2024•东城区一模）在中，，，点，是边上的点，，连接．过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点．连接交于点．
（1）如图1，当点与点重合时，直接写出与之间的数量关系；
（2）如图2，当点与点不重合（点在点的左侧）时，
①补全图形；
②与在（1）中的数量关系是否仍然成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，直接用等式表示线段，，之间的数量关系．
【分析】（1）运用等腰三角形性质可得，，再证明、、在同一条直线上，即可得出答案；
（2）①按照题意作图即可；
②过点作于点，可证得，得出，即是等腰直角三角形，即可证得结论；
（3）将绕点顺时针旋转得到，可证得，运用勾股定理可得，再证得，即可得出答案．
【解答】解：（1）当点与点重合时，，理由如下：
如图1，
点与点重合，点，是边上的点，且，
是的中点，
，，
，，
，
，
，即、、在同一条直线上，
，即；
（2）①补全图形如图2所示：
②仍然成立，理由如下：
如图3，过点作于点，则，
，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
，
；
（3），理由如下：
如图4，将绕点顺时针旋转得到，
则，，，，
，，
，
，即，
，
由（2）知，即，
，
，即，
，
在和中，
，
，
，
．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．
13．（2023•天宁区校级模拟）在平面直角坐标系中，点，点在轴正半轴上，点在第一象限内．
（1）如图1，．
①若是以为斜边的直角三角形，且．请在图（1）中利用圆规、无刻度直尺作出点的位置（不写作法，保留作图痕迹），写出点的坐标： ；
②若是等边三角形．求点的坐标；
（2）如图2，是等边三角形，点在以，为圆心，半径为的圆上．若存在两个满足条件，求的取值范围．
【分析】（1）①以点为圆心，为半径画弧交的延长线于点，分别以、为圆心，大于的长度为半径画弧，交于第一象限内点，在射线上截取，连接，点即为所求作的点；设，过点作轴于点，由，得，即，得出，即，由勾股定理得，建立方程求解即可；
②过点作于点，作轴于点，过点作轴于点，交于点，设，则，，由，可得，即，即可求得答案；
（2）以为边作等边三角形，使点落在第一象限，以为边在第一象限作等边三角形，取的中点，连接，过点作轴于，过点作作于，作射线，则，，，，，，设，利用勾股定理可求得，，再运用待定系数法可求得射线的解析式为，根据题意分别求出当射线与相切时和过点时对应的值，即可求得答案．
【解答】解：（1）①如图①，点即为所求作的点．
设，过点作轴于点，
则，，
，
点，
，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，
，
，即，
，即，
，
，
，
在中，，
，
解得：（舍去）或，
，
点的坐标为，
故答案为：；
②如图②，过点作于点，作轴于点，过点作轴于点，交于点，
设，则，，
为等边三角形，，
，
，是的中点，
是的中位线，
，，
，
，
四边形是矩形，
，
，
在中，，
，
，
，
，
，即，
解得：，，
点的坐标为，；
（2）如图2，以为边作等边三角形，使点落在第一象限，以为边在第一象限作等边三角形，取的中点，连接，过点作轴于，过点作作于，作射线，
则，，，，，，
设，
则，，，，
由勾股定理可得：
解得：，（不符合题意，舍去），
，，
设射线的解析式为，则，
解得：，
射线的解析式为，
当射线与相切于点时，如图3，连接，过点作轴，交射线于，
则，，，
，，
，，
，
在中，，
，
当经过点，时，如图4，过点作轴，过点作轴交于，
则，，，，
，
点在轴正半轴上，存在两个，使点在以，为圆心，半径为的圆上，
．
【点评】本题是几何变换综合题，考查了勾股定理，等边三角形的判定和性质，直角三角形性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，添加辅助线构造全等三角形和相似三角形是解题关键．
14．（2023•牡丹区校级一模）有共同顶点的与中，，，且，连接，，线段，相交于点．
（1）如图①，当时，的值是 1 ，的度数是 ；
（2）如图②，当时，求的值和的度数，并说明理由；
（3）如果，，当点与的顶点重合时，请直接写出的值．
【分析】（1）证明，由全等三角形的性质得出，，则可得出答案；
（2）由直角三角形的性质得出，证明，由相似三角形的性质得出．，则可得出答案；
（3）分三种情况：①当点与的顶点重合时，如图③，②当点与的顶点重合时，如图③，③当点与的顶点重合时，如图③，结合（2）则可得出答案．
【解答】（1）解：如图①，与交于点，
，，，
和是等边三角形，
，
，
，
，，
，
，
故答案为：1；；
（2）证明：，且，
是等腰直角三角形，
，，
同理，，
，且，
，
．
，
，
；
的值为，的度数为；
（3）解：分三种情况：
①当点与的顶点重合时，如图③，
，，
由（2）知：，
设，
，
，
，
；
②当点与的顶点重合时，如图③，
在中，，
，
在中，，
，
，
；
③当点与的顶点重合时，如图③，
，，
，
．
综上所述：或或，
【点评】本题是三角形综合题，主要考查了等边三角形性质，等腰直角三角形性质，全等三角形判定和性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形性质，熟练掌握全等三角形判定和性质和相似三角形的判定和性质是解题关键．
15．（2023•泰州）已知：、为圆上两定点，点在该圆上，为所对的圆周角．
知识回顾
（1）如图①，中，、位于直线异侧，．
①求的度数；
②若的半径为5，，求的长；
逆向思考
（2）如图②，若为圆内一点，且，，．求证：为该圆的圆心；
拓展应用
（3）如图③，在（2）的条件下，若，点在位于直线上方部分的圆弧上运动．点在上，满足的所有点中，必有一个点的位置始终不变．请证明．
【分析】（1）①根据，结合圆周角定理求的度数；
②构造直角三角形；
（2）只要说明点到圆上、和另一点的距离相等即可；
（3）根据，构造一条线段等于，利用三角形全等来说明此线段和相等．
【解答】（1）解：①，，
，
．
②连接，过作，垂足为，
，，
是等腰直角三角形，且，
，，
是等腰直角三角形，
，
在直角三角形中，，
．
（2）延长交圆于点，则，
，
，
，
，
，
，
，
为该圆的圆心．
（3）过作的垂线交的延长线于点，连接，延长交圆于点，连接，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，
，
是直径，
，
，
，
，
，
，
，
必有一个点的位置始终不变，点即为所求．
．
【点评】本题考查了圆周角定理，并对圆周角定理的逆命题进行了创新，还考查了解直角三角形和三角形全等的知识，对于（3）构造一条线段等于是关键．
题型三：倍长中线模型构造全等三角形
1．（2023•兴宁区校级模拟）【模型启迪】
（1）如图1，在中，为边的中点，连接并延长至点，使，连接，则与的数量关系为 ，位置关系为 ；
【模型探索】
（2）如图2，在中，为边的中点，连接，为边上一点，连接交于点，且．求证：；
【模型应用】
（3）如图3，在（2）的条件下，延长至点，使，连接，交的延长线于点．若，，，求线段的长．
【分析】（1）易根据证明，得到，，由“内错角相等，两直线平行”得到，以此即可解答；
（2）延长至点，使，连接，利用（1）中方法同理可证，得到，，由可得，根据等边对等角可得和对顶角相等可得，进而可得，以此即可证明；
（3）延长至点，使，连接，由（2）可知，可得，，进而可得，易得，由相似三角形的性质得，设，，，于是可得方程，求解即可．
【解答】（1）解：为边的中点，
，
在和中，
，
，
，，
，
故答案为：，；
（2）证明：延长至点，使，连接，
由（1）同理可得：，
，，
，
，
，
，即，
；
（3）解：延长至点，使，连接，
由（2）可知，，
，，
，
，
，
设，
，，
，
，
整理得：，
解得：，
经检验，是原方程的解，
．
【点评】本题主要考查全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．
2．（2023•抚州三模）课本再现：
（1）我们研究平行四边形时，常常把它分成几个三角形，利用三角形全等的性质研究平行四边形的有关问题，同时也可以利用平行四边形研究三角形的有关问题，如探究三角形中位线的性质．
如图（1），在中，点，分别是，的中点，连接．则与的关系是 ， ．
定理证明
（2）请根据（1）中内容结合图（1），写出（1）中结论的证明过程．
定理应用
（3）如图（2），在四边形中，点，，分别为，，的中点，，的延长线交于点．若，则的度数是 ．
（4）如图（3），在矩形中，，，点在边上，且．将线段绕点旋转一定的角度，得到线段，点是线段的中点，求旋转过程中线段长的最大值和最小值．
【分析】（1）根据题意直接判断关系；
（2）作辅助线延长至点，使，连接，然后证明，得出，再证明四边形为平行四边形，即可得出，根据，，得出；
（3）根据平行线的性质和几个角之间的关系即可求出；
（4）根据勾股定理先求出的长度，再画隐形圆作辅助线，分别求出最大值和最小值．
【解答】解：（1）如图，延长至点，使，
连接，
，
，，
，
，，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，．
故答案为：且；
（2）证明：如图，延长至点，使，
连接，
，
，，
，
，，
，
，，
，
四边形为平行四边形，
，，
，．
（3）点，分别为，的中点，
，
，
点，分别为、的中点，
，
，
．
故答案为：．
（4）如图，延长至点，使，连接，
连接，
，
，，
，
由勾股定理得，，
，，
，
点在以点为圆心，3为半径的圆上（不与点重合），
当点在线段上时，最小，最小值为；
当点在线段的延长线上时，最大，最大值为．
故：长的最大值为4，最小值为1．
【点评】本题主要考查了全等三角形的知识、勾股定理的知识、旋转的知识、平行四边形的知识、中位线的知识、圆的知识，难度较大，需认真作答即可．
3．（2023•蜀山区校级一模）如图，在中，，，于点，点是的中点，连接．
（1）若，，求的长；
（2）求证：；
（3）求证：．
【分析】（1）根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式计算，求出；
（2）根据题意得到，根据勾股定理计算即可证明；
（3）延长至点，使，连结，证明△，根据全等三角形的性质得到，，再证明，得到，证明结论．
【解答】（1）解：在中，，，，
由勾股定理得：，
，，
，即，
解得：；
（2）证明：点是的中点，
，
，
，
，，
；
（3）证明：延长至点，使，连结，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的面积计算、勾股定理的应用，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．
4．（2023•沙坪坝区校级模拟）如图，中，在上，在上，，在上，．
（1）如图1，若，求证：；
（2）如图2，若，在上，，求证：；
（3）如图3，若，，，当周长最小时，请直接写出的面积．
【分析】（1）先说明，然后用证明，得到；
（2）仿照（1）得，出现中点倍长中线，利用相似得；
（3）先说明，即点的轨迹是条直线，然后考虑将军饮马，最后求的面积．
【解答】（1）证明：，，，
，
，，
，
；
（2）证明：延长至使，由（1）得，
，，
延长至使，连接，则，
，，
，
，，
，，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：延长至使，
，
，
，
，
，
，，
，
过作的对称点，连接、、、，
，
当、、三点共线时周长最小，
当周长最小时如图所示：
，
，
，
是正三角形，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题是三角形的综合题，难度很大，关键是联想到常见的模型：截长补短、倍长中线、将军饮马等．
5．（2023•南关区校级二模）【提出问题】兴趣小组活动中老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到，使得，，再连接（或将绕点逆时针旋转得到，把、、集中在中，利用三角形的三边关系可得，则．
【方法感悟】当条件中出现“中点”、“中线”等条件时，可以考虑作“辅助线”，把一条过中点的线段延长一倍，构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中，这种作辅助线的方法称为“中线加倍”法．
【解决问题】如图②，在中，点是边的中点，点在边上，过点作，交边于点，连接．
（1）求证：．
（2）若，则线段、、之间的等量关系为 ．
（3）【应用拓展】如图③，在中，，点为边的中点，点和点分别在边、上，点为线段的中点．若，，则的长为 ．
【分析】（1）延长到点，使得，连接、，根据证得，可得结论；
（2）延长到点，使得，连接、，由（1）得，，则，，即，利用勾股定理解题即可；
（3）如图，延长到点，使得，连接、，由（1）得，则，，即，可求出，利用中位线解得．
【解答】（1）证明：如图，延长到点，使得，连接、，
，
，
是的中点，
又，
，
，
在中
，
；
（2）解：如图，延长到点，使得，连接、，
，
，
由（1）可知，，
，，
在中，
，
，
故答案为：；
（3）如图，如图，延长到点，使得，连接、，
，
，
由（1）可知，
，，
，
在中，
，
，是、的中点，
是的中位线，
，
故答案为：．
【点评】本题主要考查了倍长中线全等、全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、勾股定理以及三角形的中位线，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，并用类比的方法解决问题．
题型四：平行线+线段中点构造全等模型
1．（2023•射洪市校级一模）在中，，是的中点，是的中点，过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，菱形的面积为40．求的长．
【分析】（1）利用平行线的性质可得，，利用中点的定义可得，从而证明，然后利用全等三角形的性质可得，再根据是的中点，可得，从而可证四边形是平行四边形，最后利用直角三角形斜边上的中线可得，从而利用菱形的判定定理即可解答；
（2）利用（1）的结论可得菱形的面积的面积，再根据点是的中点，可得的面积的面积，进而可得菱形的面积的面积，然后利用三角形的面积进行计算即可解答．
【解答】（1）证明：，
，，
点是的中点，
，
，
，
点是的中点，
，
，
四边形是平行四边形，
，是的中点，
，
四边形是菱形；
（2）解：四边形是菱形，
菱形的面积的面积，
点是的中点，
的面积的面积，
菱形的面积的面积，
，
，
，
的长为10．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线，全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，以及菱形的判定与性质是解题的关键．
2．（2022•前进区校级一模）已知：是的角平分线，点为直线上一点，，过点作交直线于点，当点在边的延长线上时，如图①易证；当点在边上，如图②；当点在边的延长线上，是的外角平分线时，如图③．写出、与的数量关系，并对图②进行证明．
【分析】（1）延长、交于点，根据角平分线可得，再由平行线性质可得，等量代换可得，利用等角对等边可得：，再证明，即可证得结论；
（2）如图2，延长、交于点，运用角平分线和平行线证得，再证明，即可证得结论；
（3）如图3，延长交于点，运用角平分线和平行线证得，再证明，即可证得结论．
【解答】（1）证明：如图①，延长、交于点，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（2）结论：．
证明：如图②，延长、交于点，
平分，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，
；
（3）结论：．
证明：如图③，延长交于点，
平分，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
；
【点评】本题是三角形综合题目，考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、平行线的性质等知识，本题综合性强，熟练掌握等腰三角形的判定与性质，证明是解题的关键，属于中考常考题型．
3．（2022•寿光市一模）如图，在矩形中，，，为边的一动点（不与端点重合），连接并延长，交的延长线于点，延长至点，使；分别连接，，．
（1）在点的运动过程中，四边形能否成为菱形？请判断并说明理由．
（2）若与相似，求的长．
【分析】（1）当点运动到线段的中点时，四边形能成为菱形，根据矩形的性质可得，，，然后利用平行线和线段中点可证，从而可得，即可证明四边形是平行四边形，再根据菱形的判定定理即可解答；
（2）分两种情况：当时，当时，然后利用相似三角形的性质进行计算即可解答．
【解答】解：（1）当点运动到线段的中点时，四边形能成为菱形，
理由：四边形是矩形，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，
四边形是菱形；
（2）四边形是矩形，
，
分两种情况：
当时，
，
，
，
当时，
，
，
或，
综上所述，的长为1.5，或．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质．矩形的性质，相似三角形的性质，熟练掌握菱形的判定与性质，以及全等三角形的判定与性质是解题的关键，同时渗透了分类讨论的数学思想．
4．（2022•九江三模）（1）化简并求值：，其中．
（2）如图，在中，点是的中点，点在边的延长线上，连接并延长交的延长线于点，分别与、交于点、．求证：．
【分析】（1）利用异分母分式加减法法则进行化简，然后把的值代入化简后的式子进行计算即可解答；
（2）利用平行四边形的性质可得，从而可得，，再根据线段中点的定义可得，然后证明，利用全等三角形的性质即可解答．
【解答】（1）解：
，
当时，原式；
（2）证明：四边形是平行四边形，
，
，，
点是的中点，
，
，
．
【点评】本题考查了分式的化简求值，平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线线段中点构造全等模型是解题的关键．
5．（2023•薛城区校级模拟）【感知】小亮遇到了这样一道题：已知如图①在中，，在上，在的延长线上，交于，且，求证：，小亮仔细分析了题中的已知条件后，如图②过点作交于，进而解决了该问题．（不需证明）
【探究】如图③，在四边形中，，为边的中点，，与的延长线相交于点．试探究线段与、之间的数量关系，并证明你的结论．
【应用】如图④，在正方形中，为边的中点，、分别为，边上的点，若，，，则的长为 ．
【分析】【探究】分别延长、，交于点，根据已知条件可以得到，由此得到，又，，利用平行线的性质和等腰三角形的判定定理可以证明，即可得出结论．
【应用】延长交的延长线于．只要证明，推出，再根据线段的垂直平分线的性质，即可解决问题．
【解答】【探究】解：．
如图1，分别延长、，交于点，
，
，，
为边的中点，
，
，
，
又，
而，
，
，
．
【应用】解：如图2，延长交的延长线于．
四边形是正方形，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，
．
故答案为：．
【点评】本题是四边形综合题，考查正方形的性质、三角形的中线、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．
6．（2022•婺城区校级模拟）如图，点，是上的点，且，过点作，连接交于点，点是的中点．
（1）求的度数；
（2）求的值．
【分析】（1）连接并延长交于点，利用证明，得，由，得，从而得出的度数；
（2）由（1）知，得，由含角的直角三角形的性质得，得，从而解决问题．
【解答】解：（1）如图，连接并延长交于点，
，
，
，
，
，
，
是的中点，
，
在与中，
，
，
，
在中，，
，
为的外角，
，
，
，
，，
；
（2）由（1）知，
，
在中，，
，
，
，
．
【点评】本题主要考查了圆的性质，全等三角形的判定与性质，含角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握平行加中点模型，构造全等三角形是解题的关键．
7．（2022•丰泽区校级模拟）在四边形中，平分，点是上任意一点，连接，且，，点为延长线上一点，连接，．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求证：；
（3）如图3，在（2）的条件下，点在上，连接，，，，求线段的长．
【分析】（1）设，则，通过计算得出，从而命题得证；
（2）在上截取，取的中点，根据三角形中位线定理得，，从而，进而可证，进而得出是等边三角形，进一步命题得证；
（3）连接，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于，可证得，从而，进而得出，再证明点、、、共圆，进而得出，进一步求得结果．
【解答】（1）证明：如图1，
设，则，
在中，，，
，
平分，
，
在中，，，
，
是的外角，
，
，
；
（2）证明：如图2，
在上截取，取的中点，
，
，，
，
，，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，
；
（3）解：如图3，
连接，以为圆心，长为半径画弧交的延长线于，
，
，
由（2）知：，，
，
，
，
，
，
，
由（2）得：，，
，
点、、、共圆，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，确定圆的条件等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造全等及相似．
题型五：等腰三角形中的半角模型
1．（2023•昌平区二模）在等边中，点是中点，点是线段上一点，连接，，将射线绕点顺时针旋转，得到射线，点是射线上一点，且，连接，．
（1）补全图形；
（2）求度数；
（3）用等式表示，的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意可直接画出图形，
（2）利用旋转的性质和三角形内角和定理解答，
（3）添加辅助线得到，进而为等边三角形，可得线段相等，再证明即可得出．
【解答】解：
（1）
（2）是等边三角形，
．
射线绕点顺时针旋转，得到射线，
．
．
，
．
．
（3），
证明如下：在上截取，使，
连接，
连接，
是等边三角形，
，．
是等边三角形．
，．
，，
是等边三角形．
，．
．
．
．
．
，
．
点是的中点，
．
，
，
，
．
【点评】此题是一个综合性很强的题目，主要考查等边三角形的性质、三角形相似、旋转的特征，本题有一定难度．
2．（2023•大连模拟）综合与实践
问题情境：数学活动课上，王老师出示了一个问题：如图1，在中，点在边上，于交于，．求证．
独立思考：（1）请解答王师提出的问题．
实践探究：（2）在原有问题条件不变的情况下，王老师增加下面条件，并提出新问题，请你解答．“如图2，作于点，若，探究线段与之间的数量关系，并证明．”
问题解析：（3）数学活动小组同学对上述问题进行特殊化研究之后发现，当点与点重合时，连接，若给出的值，则可求出的值．该小组提出下面的问题，请你解答．”
如图3，在（2）的条件下，当点与点重合时，连接，若，求的长”．
【分析】（1）根据直角三角形性质和已知条件，可推出，再由等腰三角形的判定即可证得结论；
（2）过点作于，先证明，设，则，利用三角形内角和定理和等腰三角形性质可推出，再运用解直角三角形即可求得答案；
（3）如图3，过点作于，过点作于，应用勾股定理可得，利用面积法可得，再证明，可求得，，再利用勾股定理即可求得答案．
【解答】（1）证明：如图1，
，
，
，，
，
，，
，
，
，
．
（2）解：，理由如下：
过点作于，如图2，
则，
由（1）得：，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
．
（3）解：如图3，过点作于，过点作于，
由（2）知：，
点与点重合，，
，，
，
，，
，
，
，即，
，
，
，
，
，
，
，即，
，，
，
在中，．
【点评】本题是三角形综合题，考查了直角三角形性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键．
3．（2023•南岗区校级二模）圆内接，是圆的切线，点为切点，．
（1）如图1，连接，求证：；
（2）如图2，当为直径，点在弧上，连接、、时；求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，连接与交于点，连延长与交于点，，，求的长．
【分析】（1）如图1，连接并延长交于点，根据切线的性质得到根据平行线的性质即可得的答案；
（2）在上取一点，使得根据圆周角定理得到，根据垂径定理得到是的垂直平分线，求得，根据全等三角形的性质得到，推出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得到，于是得到结论；
（3）过点作于，过点作于，设，则，根据全等三角形的性质得到，求得，设，则，根据平行线的性质得到，根据勾股定理得到（舍，，根据相似三角形的性质得到，，，根据勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）证明：如图1，连接并延长交于点，
是切线，为半径，
，
；
（2）证明：在上取一点，使得，
与所对的是，
，
又由（1）得，且是直径，为圆心，
是的垂直平分线，
，
，
，
，
又是直径，
，
，
是等腰直角三角形，
，
又，
；
（3）解：过点作于，过点作于，
设，则，
，
，
，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
在中，，
，
在中，，
，
，
解得（舍，，
，，，，
，
，
，
，
，
，
，
，，
在中，．
【点评】本题是圆的综合题，考查了切线的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形及勾股定理，勾股定理，平行线的性质，是一道综合性大题，通过本题，我们要学习到线段长度的求法，以及几何图形的性质在实际问题的应用，切线的性质，全等及相似的构造成为解决本题的关键．
题型六：角平分线+垂直构造全等模型
1．（2024•平谷区一模）如图，在中，，，点为边中点，于，作的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点．
（1）依题意补全图形；
（2）求证：；
（3）判断线段、与之间的数量关系，并证明．
【分析】（1）根据题意补全图形即可；
（2）易通过证明，得到，根据题意易得，由，可得为等腰直角三角形，于是；
（3）过点作于点，易得为的中位线，则，根据三角形内角和定理求得，于是，进而，以此得出，即，在中，利用勾股定理即可得到结论．
【解答】（1）解：补全图形如图所示．
（2）证明：平分，
，
，
，
在和中，
，，，
，
，
在中，，，
为等腰直角三角形，
，
又，即，
为等腰直角三角形，
．
（3）解：，证明如下：
如图，过点作于点，
则为等腰直角三角形，
，
，
又为的中点，
为的中位线，
，
，
，
平分，
，
，
，即，
，
，
，即，
在中，由勾股定理得，
．
【点评】本题主要考查等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定于性质、三角形中位线定理、角平分线的定义、勾股定理，解题关键是利用等腰直角三角形的性质将目标线段转化到直角三角形中，再根据勾股定理解决问题．
2．（2024•金华一模）已知：如图，在中，于点，为上一点，且，．
（1）求证：．
（2）已知，，求的长．
【分析】（1）根据即可证明三角形全等；
（2）根据全等三角形的性质，得出，再利用勾股定理即可得出答案．
【解答】（1）证明：，
，
在和中，
，
．
（2）解：，，
．
在中，，
，
即：，
．
【点评】此题考查全等三角形的判定和性质、勾股定理，关键是根据证明．
3．（2023•武陟县一模）如图，在中，，点是边上一点，，于点，交于点，若，，求的长．
【分析】过点作于点，过点作于点，根据等腰三角形的性质的，，根据等角的余角相等得，由等腰直角三角形性质得，则，根据三角形外角性质得，因此，进而得到，再通过证明，得到，根据勾股定理可求出，再求出，则，再根据勾股定理即可求解．
【解答】解：如图，过点作于点，过点作于点，
，，
，，
，
，
，
，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在中，由勾股定理得，
在中，由勾股定理得，
，
，
，，
为等腰直角三角形，
，
．
【点评】本题主要考查等腰三角形的性质、等腰直角三角形的性质、三角形外角性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，利用全等三角形的性质得出是解题关键．
4．（2023•沙坪坝区校级一模）如图，在中，，点为边上一点，连接．
（1）如图1，若，，，求线段的长；
（2）如图2，若，为边上一点且，为上一点且，为的中点，连接，，，．猜想与之间存在的数量关系，并证明你的猜想；
（3）如图3，当，时，将绕着点沿顺时针方向旋转得到，连接．点、点分别是线段、上的两个动点，连接、．点为延长线上一点，连接，将沿直线翻折到同一平面内的，连接．在、运动过程中，当取得最小值且，时，请直接写出四边形的面积．
【分析】（1）看已知条件：，，明显是等腰直角三角形，可以用旋转解决．
（2）在等边三角形中有垂直，有中点（中线），又观察图形的形况，猜倍的关系．已知为中点，，联想到相似三角形对应边成比例．边中线与的比刚好是，所以以为边构造的相似三角形．
（3）经过简单推理可知：，，能找到点关于的对称点．这样，取得最小值时的、位置可以确定．再根据题意绘出相应的图形，求面积即可．
【解答】解：（1），．
将绕顺时针旋转得，如图
由旋转可得：，，，．
，
在、中，根据勾股定理得：
，
即：；解得．
．
（2）猜想．
过作于，找到中点，连接、．如图
为等边三角形，
又，得：；
又，
，
．
，得．
，得；
；
、分别为、的中点
，得；，得；
，又；得，；
；
；
；
．
即．
（3）将绕着点沿顺时针方向旋转得到；
，又，
．
在上找到，使；连接．
△；
，可得：．
当、、共线且时取得最小值，如图：
，，
．
；
，；
．
根据题意将沿直线翻折到同一平面内的，得，
，
；
；
．
，；
；
；．
，．
，．
；
；
；即．
；
．
．
【点评】本题第一问考查旋转的简单应用、第二问考查构造图形的能力，灵感来自于对等边三角形的熟悉．第三问同时考查对称和旋转性质，需要对两种变换有深入的理解．处理点到直线最小值是关键中的关键．
题型六：正方形中的半角模型
一．解答题（共5小题）
1．（2023•增城区二模）在正方形中，点、分别在边、上，且，连接．
（1）如图1，若，，求的长度；
（2）如图2，连接，与、分别相交于点、，若正方形的边长为6，，求的长；
（3）判断线段、、三者之间的数量关系并证明你的结论．
【分析】（1）延长至点，使，连接，先根据证明，得到，，，于是可通过证明，得到，则；
（2）设，则，由（1）可得，于是在中，根据勾股定理列出方程，求解即可；
（3）延长至点，使，连接，在上截取，连接，，易通过证明，得到，，进而得出，再通过证明，得到，在中，根据勾股定理得，再等量代换即可得到结论．
【解答】解：（1）如图，延长至点，使，连接，
四边形为正方形，
，，
，
在和中，
，
，
，，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
，，
；
（2）四边形是边长为6的正方形，
，
设，则，
由（1）知，，
，
，，
在中，，
，
解得：，
；
（3），证明如下：
如图，延长至点，使，连接，在上截取，连接，，
由（1）知，，，
四边形为矩形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
在和中，
，
，
，
在中，，
．
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，正确作出辅助线，构造全等三角形解决问题是解题关键．
2．（2023•明水县二模）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交、（或它们的延长线）于点、．当绕点旋转到时（如图，易证．
（1）当绕点旋转到时（如图，线段、和之间有怎样的数量关系？写出猜想，并加以证明；
（2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段、和之间又有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想．
【分析】（1）成立，证得、、三点共线即可得到，从而证得．
（2）．证明方法与（1）类似．
【解答】解：（1）成立．
证明：如图，把绕点顺时针旋转，
得到，则可证得、、三点共线（图形画正确）．
，
又，
在与中，
，
，
，
；
（2）．
在线段上截取，
在与中，
，
，
，
．
在和中，
，
，
．
【点评】本题考查了旋转的性质，解决此类问题的关键是正确的利用旋转不变量．
3．（2023•昆明模拟）综合与实践
【问题情境】
数学活动课上，杨老师出示了教材上的一个问题：
如图1，四边形是正方形，是上的任意一点，于点，，交于点，求证：．
数学兴趣小组的小明同学做出了回答，解题思路如下：
由正方形的性质得到，，
再由垂直和平行可知，
再利用同角的余角相等得到，
则可根据“”判定，
得到，所以．
【建立模型】
该数学小组小芳同学受此问题启发，对上面的问题进行了改编，并提出了如下问题：
（1）如图2，四边形是正方形，，是对角线上的点，，连接，．
求证：四边形是菱形；
【模型拓展】
该兴趣小组的同学们在杨老师的指导下大胆尝试，改变图形模型，发现并提出新的探究点；
（2）如图3，若正方形的边长为12，是对角线上的一点，过点作，交边于点，连接，交对角线于点，，求的值．
【分析】（1）利用证明，得，从而得出四边形是平行四边形，再利用证明，得，则是菱形；
（2）把绕点逆时针旋转点得到，连接，根据，知以为直径作圆，则点，，，均在此圆上，则，根据半角模型知，得，设，则，则，进而解决问题．
【解答】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，，
，
，
是菱形；
（2）解：如图，把绕点逆时针旋转点得到，连接，
四边形是正方形，
，，
，
，
，
以为直径作圆，则点，，，均在此圆上，
，
，
由旋转得，，，，
，
，
，
，
在与中，
，
，
，
，，
，
由，
设，则，
在中，，则，
正方形的边长为12，
由勾股定理得，
即，
，
，，
，，
，
，
．
【点评】本题是相似形综合题，主要考查了正方形的性质，菱形的判定，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，证明是解决问题（2）的关键．
4．（2022•绥化三模）已知，正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边长分别交、（或它们的延长线）于点、，于点．
（1）如图①，当点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ；
（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．
【分析】（1）由三角形全等可以证明，
（2）延长至，使，证明，能得到，
（3）分别沿、翻折和，得到和，然后分别延长和交于点，得正方形，设，则，，在中，由勾股定理，解得．
【解答】解：（1）如图①，
四边形是正方形，
，，
在与中，，
，
，，
，
，
，
，
在与中，，
，
；
故答案为：；
（2）数量关系成立．如图②，延长至，使．
是正方形，
，，
在和中，，
，
，，
，
在和中，，
，
，，
、是和对应边上的高，
；
（3）如图③分别沿、翻折和，得到和，
，，，
分别延长和交于点，得正方形，
由（2）可知，，
设，则，，
在中，由勾股定理，得，
，
解得，（不符合题意，舍去）
．
【点评】本题考查了正方形的性质，全等三角形的性质和判定，勾股定理，翻折的性质，此题比较典型，具有一定的代表性，且证明过程类似，同时通过做此题培养了学生的猜想能力和类比推理能力．
5．（2022•集贤县模拟）已知正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交，（或它们的延长线）于点，，于点．
（1）如图①，当绕点旋转到时，请你直接写出与的数量关系： ； ；
（2）如图②，当绕点旋转到时，（1）中发现的与的数量关系还成立吗？如果不成立请写出理由，如果成立请证明；
（3）如图③，已知，于点，且，，求的长．（可利用（2）得到的结论）
【分析】（1）由可得，从而可证，，即可得；
（2）延长至，使，由得，，从而可证，根据全等三角形对应边上的高相等即可得；
（3）分别沿，翻折和，得到和，分别延长和交于点，可证四边形是正方形，设，在中，由勾股定理列方程即可得答案．
【解答】解：（1）正方形，
，，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
故答案为：；
（2）成立，理由如下：
延长至，使，如图：
四边形是正方形，
，，
，
，，
，
，
，
，
又，
，
，是和对应边上的高，
．
（3）分别沿，翻折和，得到和，分别延长和交于点，如图：
沿，翻折和，得到和，
，，，
四边形是正方形，
．
由（2）可知，设，则，，
在中，由勾股定理，得，
，
解得，
．
【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形判定与性质、勾股定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．