高考物理一轮复习第四章曲线运动万有引力与航天第讲曲线运动运动的合成与分解学案新人教版

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第1讲 曲线运动 运动的合成与分解
知识梳理·双基自测
ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE
知识梳理
知识点1 曲线运动
1．速度方向
质点在某一点的速度方向，沿曲线上该点的切线方向。
2．运动性质
做曲线运动的物体，速度的方向时刻改变，故曲线运动一定是变速运动，即必然具有加速度。
注意：速度改变的运动是变速运动；加速度不变的运动是匀变速运动，匀变速运动分为匀变速直线运动和匀变速曲线运动，；加速度改变的运动是变加速运动，与速度大小如何改变无关。
3．曲线运动的条件：
(1)运动学角度：物体的加速度方向跟速度方向不在同一条直线上。
(2)动力学角度：物体所受合外力的方向跟速度方向不在同一条直线上。
思考：当物体的初速度v0和所受的外力F分别满足下列问题中所给定的条件时，物体的运动情况将会是怎样的？
①v0＝0，F＝0。静止运动
②v0≠0，F＝0。匀速直线运动
③v0≠0，F≠0且恒定，两者方向相同。匀加速直线运动
④v0≠0，F≠0且恒定，两者方向相反。匀减速直线运动
⑤v0≠0，F≠0且恒定，两者方向不在一条直线上。匀变速曲线运动
⑥v0≠0，F≠0不恒定，且大小、方向都随着时间变化。变速曲线运动。
知识点2 运动的合成与分解
1．分运动和合运动的关系
(1)等时性、独立性、等效性
各分运动与合运动总是同时开始，同时结束。经历的时间一定相等；各分运动是各自独立的，不受其他分运动的影响；各分运动的叠加与合运动具有相同的效果。
(2)合运动的性质是由分运动的性质决定的
2．运动的合成与分解
(1)运动的合成
由几个分运动求合运动。合成的方法是平行四边形定则。
(2)运动的分解
已知合运动求分运动，分解时应根据运动的效果确定两分运动的方向，然后由平行四边形定则确定大小，分解时也可按正交分解法分解，运动的分解与合成是互逆运算。
思考：如图所示，在军事演习中，飞机常常一边匀加速收拢绳索提升战士，一边沿着水平方向匀速飞行。
(1)战士在水平方向上和竖直方向上分别做什么运动？
(2)战士的合速度的大小、合位移的大小如何计算？
[答案] (1)水平方向做匀速直线，竖直方向做匀加速直线
(2)求出分速度、分位移，再利用平行四边形定则求合速度、合位移。
双基自测
一、堵点疏通
1．曲线运动一定是变速运动。( √ )
2．曲线运动的速度大小可能不变。( √ )
3．曲线运动的加速度可以为零。( × )
4．曲线运动的加速度可以不变。( √ )
5．合运动不一定是物体的实际运动。( × )
6．合运动的速度一定大于分运动的速度。( × )
二、对点激活
1．(2023·安徽皖南八校联考)对于做曲线运动的物体，下列说法正确的是( B )
A．受合力可能为零
B．加速度可能保持不变
C．一定受到变力的作用
D．加速度方向可能和运动方向相同
[解析] 本题考查物体做曲线运动的条件。物体所受合力为零，物体保持静止或做匀速直线运动，故A错误；物体做曲线运动的条件是合力方向与速度方向不在同一条直线上，即加速度方向与速度方向不在同一条直线上，该合力可以是变力，也可以是恒力，即加速度可能保持不变，如平抛运动，故B正确，C、D错误。
2．某人骑自行车以4 m/s的速度向正东方向行驶，天气预报报告当时是正北风，风速为4 m/s，那么，骑车人感觉到的风向
和风速为( D )
A．西北风 风速为4 m/s
B．西北风 风速为4eq \r(2) m/s
C．东北风 风速为4 m/s
D．东北风 风速为4eq \r(2) m/s
[解析] 以骑车人为参考系，人向正东方向骑行，感觉风刮向正西，风速大小为v1＝4 m/s，当时有正北风，人感觉到的风刮向为正南，风速为v2＝4 m/s，如图所示，可求得人感觉到的风向为东北风，风速为v＝4eq \r(2)m/s，D正确。
3．一个质点受两个互成锐角的恒力F1和F2作用，由静止开始运动，若运动过程中保持二力方向不变，但F1突然增大到F1＋ΔF，则质点以后( B )
A．一定做匀变速直线运动
B．在相等时间内速度的变化一定相等
C．可能做匀速直线运动
D．可能做变加速曲线运动
[解析] 在互成锐角的恒力F1和F2作用下，质点由静止开始运动，做匀加速直线运动。当保持F1，F2方向不变，F1大小突然增大到F1＋ΔF，则此时合力的方向与速度方向不共线，质点做曲线运动。由于合力恒定，所以质点做匀变速曲线运动，加速度是定值，所以在相等的时间内速度的变化一定相等，故B正确，A，C，D错误。
核心考点·重点突破
HE XIN KAO DIAN ZHONG DIAN TU PO
考点一 合运动的性质和轨迹
1．运动类型的判断
(1)判断物体是否做匀变速运动，要分析合力是否为恒力。
(2)判断物体是否做曲线运动，要分析合力方向是否与速度方向成一定夹角。
①当合力方向与速度方向的夹角为锐角时，物体的速率增大；
②当合力方向与速度方向的夹角为钝角时，物体的速率减小；
③当合力方向与速度方向垂直时，物体的速率不变。
2．合运动的性质和轨迹的判断
合运动的性质和轨迹，由两个分运动的性质及合初速度与合加速度的方向关系决定。
(1)根据加速度判定合运动的性质：若合加速度不变，则为匀变速运动；若合加速度(大小或方向)变化，则为非匀变速运动。
(2)根据合加速度的方向与合初速度的方向判定合运动的轨迹：若合加速度的方向与合初速度的方向在同一直线上则为直线运动，否则为曲线运动。
(3)合力(或合加速度)方向与轨迹的关系
物体做曲线运动的轨迹一定夹在合力(或合加速度)方向和速度方向之间，速度方向与轨迹相切，合力(或合加速度)方向指向曲线的凹侧。
例1 (多选)如图所示的直角三角板紧贴在固定的刻度尺上方，若使三角板沿刻度尺向右匀速运动的同时，一支铅笔从三角板直角边的最下端，由静止开始沿此边向上做匀加速直线运动，下列关于铅笔尖的运动及其留下的痕迹的判断，其中正确的有( AD )
A．笔尖留下的痕迹是一条抛物线
B．笔尖留下的痕迹是一条倾斜的直线
C．在运动过程中，笔尖的速度方向始终保持不变
D．在运动过程中，笔尖的加速度方向始终保持不变
[解析] 笔尖水平方向是匀速直线运动，竖直方向是初速度为零的匀加速直线运动，故笔尖做匀变速曲线运动，其轨迹是抛物线，A、D正确。
名师点拨 两个直线运动的合运动性质的判断
根据合加速度方向与合初速度方向判定合运动是直线运动还是曲线运动，具体分以下几种情况：
〔变式训练1〕(2023·山东实验中学月考)(多选)一物体在以xOy为直角坐标系的平面上运动，其运动规律为x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t(式中的物理量单位均为国际单位)。关于物体的运动，下列说法正确的是( BC )
A．物体在x轴方向上做匀减速直线运动
B．物体在y轴方向上做匀加速直线运动
C．物体运动的轨迹是一条直线
D．物体运动的轨迹是一条曲线
[解析] 对应位移时间公式x＝v0t＋eq \f(1,2)at2，x＝－2t2－4t，y＝3t2＋6t，可得初速度v0x＝－4 m/s，v0y＝6 m/s；加速度ax＝－4 m/s2，ay＝6 m/s2。物体在x轴上分运动的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故A错误；物体在y轴方向的初速度和加速度同方向，是匀加速直线运动，故B正确；题中分运动的初速度和加速度数值完全相同，故合运动的初速度和加速度数值和方向也是相同的，故合运动一定是匀加速直线运动，故C正确，D错误。
考点二 运动的合成与分解的应用
1．合运动和分运动的关系
(1)等时性：各个分运动与合运动总是同时开始，同时结束，经历时间相等(不同时的运动不能合成)。
(2)独立性：一个物体同时参与几个分运动时，各分运动独立进行，互不影响。
(3)等效性：各分运动叠加起来与合运动有完全相同的效果。
(4)同一性：各分运动与合运动是指同一物体参与的分运动和实际发生的运动，不能是几个不同物体发生的不同运动。
2．运动的合成与分解的运算法则
运动的合成与分解是指描述运动的各物理量即位移、速度、加速度的合成与分解，由于它们均是矢量，故合成与分解都遵守平行四边形定则。
例2 (2023·重庆垫江中学月考)质量为0.2 kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度随时间变化的图线分别如图甲、乙所示，由图可知( B )
A．第4 s末物体的速度大小为2eq \r(3) m/s
B．最初4 s内物体的位移大小为8eq \r(2) m
C．从开始至第6 s末物体一直做曲线运动
D．最初4 s内物体做直线运动，之后的2 s内物体做曲线运动
[解析] 本题考查运动的合成。由题图可知，第4 s末，vx＝4 m/s，vy＝2 m/s，根据矢量的合成法则可知，第4 s末物体的速度大小v＝eq \r(v\\al(2,x)＋v\\al(2,y))＝eq \r(42＋22) m/s＝2eq \r(5) m/s，故A错误。v－t图线与时间轴围成的面积表示物体运动的位移，最初4 s内物体在x方向上的位移x＝eq \f(1,2)×4×4 m＝8 m，在y方向上的位移y＝2×4 m＝8 m，所以最初4 s内物体的位移大小为eq \r(x2＋y2)＝8eq \r(2) m，故B正确。开始时物体的初速度方向沿y方向，加速度方向沿x方向，初速度方向和加速度方向不在同一条直线上，所以物体做曲线运动，第4 s末物体的速度方向与x方向夹角的正切值为eq \f(vy,vx)＝eq \f(2,4)＝eq \f(1,2)，4 s后物体在x、y方向的加速度大小分别为ax＝eq \f(4,2) m/s2＝2 m/s2，ay＝eq \f(2,2) m/s2＝1 m/s2，加速度方向与x方向夹角的正切值为eq \f(ay,ax)＝eq \f(1,2)，所以速度方向与加速度方向在同一条直线上，所以4～6 s物体做直线运动，故C、D错误。
考点三 绳、杆上速度的分解(牵连速度问题)
解决绳、杆上速度的分解问题，非常重要的一点是清楚绳或杆的特点：(1)不计质量；(2)不可伸长；(3)沿绳(或杆)方向的速度分量大小相等。
解题的一般思路与方法：
合运动→绳拉物体的实际运动速度v
分运动→eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(沿绳或杆的分速度v1,与绳或杆垂直的分速度v2))
方法：v1与v2的合成遵循平行四边形定则。
常见的模型如图所示。
例3 质量为m的物体P置于倾角为θ1的固定光滑斜面上，轻细绳跨过光滑定滑轮分别连接着P与小车，P与滑轮间的细绳平行于斜面，小车以速率v水平向右做匀速直线运动，重力加速度为g。当小车与滑轮间的细绳和水平方向成夹角θ2时(如图)，下列判断正确的是( B )
A．P的速率为v
B．P的速率为vcs θ2
C．绳的拉力等于mgsin θ1
D．绳的拉力小于mgsin θ1
[解析] 将小车速度沿绳子和垂直绳子方向分解为v1、v2，P的速率vP＝v1＝vcs θ2，A错误，B正确；小车向右做匀速直线运动，θ2减小，P的速率增大，绳的拉力大于mgsin θ1，C、D错误。
〔变式训练2〕(2023·陕西宝鸡月考)如图所示的机械装置可以将圆周运动转化为直线上的往复运动。连杆AB、OB可绕图中A、B、O三处的转轴转动，连杆OB在竖直面内的圆周
运动可通过连杆AB使滑块在水平横杆上左右滑动。已知OB杆长为L，绕O点沿逆时针方向匀速转动且角速度为ω，当连杆AB与水平方向夹角为α，AB杆与OB杆的夹角为β时，滑块的水平速度大小为( D )
A．eq \f(ωLsin β,sin α) B．eq \f(ωLcs β,sin α)
C．eq \f(ωLcs β,cs α) D．eq \f(ωLsin β,cs α)
[解析] 设滑块的速度大小为v，A点的速度方向沿水平方向，如图将A点的速度进行分解，根据运动的合成与分解可知，A点在沿杆AB方向的分速度为vA分＝vcs α，B点做圆周运动，实际速度是圆周运动的线速度，可以分解为沿杆方向的分速度和垂直于杆方向的分速度，如图，设B的线速度为v′，设v′与杆AB夹角为θ，由几何知识可知θ＝β－eq \f(π,2)，则vB分＝v′·cs θ＝v′cs(90°－β)＝v′sin β，v′＝ωL，二者沿杆AB方向的分速度是相等的，即vA分＝vB分，联立可得v＝eq \f(ωLsin β,cs α)，故D正确。
名师讲坛·素养提升
MING SHI JIANG TAN SU YANG TI SHENG
“小船过河”模型
一条宽为L的河流，水流的速度为v1，船在静水中的速度为v2，船从河的一边渡到对岸。船过河的过程同时参与了两个运动，即船相对于水的运动和随水流的运动，船的实际运动为合运动。船在静水中的速度v2方向取决于船头朝向，船的实际运动方向取决于合速度方向。
1．船过河的最短时间
如图甲所示，设船头斜向上游与河岸成θ角，船在垂直于河岸方向的速度为：v⊥＝v2sin θ，渡河所需时间为：t＝eq \f(L,v⊥)＝eq \f(L,v2sin θ)，当θ＝90°时，t最小。所以当船头垂直于河岸渡河时，渡河所需时间最短，最短时间为t＝eq \f(L,v2)。
2．船过河的最短航程
(1)当v2>v1时，如图乙所示，为了使船过河的航程最短，必须使船的合速度v方向与河岸垂直，则船头指向上游，与河岸成一定的角度θ，cs θ＝eq \f(v1,v2)。由于0v1时，船头与上游河岸成θ＝arccseq \f(v1,v2)的角，船过河的航程最短，最短航程为L。
(2)当v2