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    3.8弧长及扇形面积 浙教版初中数学九年级上册同步练习(含详细答案解析)

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    初中数学第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积习题

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    这是一份初中数学第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积习题,共30页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。


    1.用一个圆心角为90∘,半径为8的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面直径是( )
    A. 6B. 5C. 4D. 3
    2.一个滑轮起重装置如图所示,滑轮的半径是15cm,当重物上升15cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为( )(π取3.14,结果精确到1∘)
    A. 115∘B. 60∘C. 57∘D. 29∘
    3.如图,在扇形MON中,∠MON=105°,半径OM=6,将扇形MON沿过点P的直线折叠,点O恰好落在MN上的点Q处,折痕交OM于点P,则阴影部分的面积为( )
    A. 9 2B. 9(π− 2)C. 9π2D. 9π2−9
    4.如图,点C是直径AB为4的半圆的中点,连接BC,分别以点B和C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于点D,作直线OD交BC于点E,连接AE,则阴影部分的面积为( )
    A. πB. 2πC. 2π−4D. 2 3−π
    5.如图,在扇形AOB中,∠AOB=130°,OA=3,若弦BC/​/AO,则AC的长为( )
    A. 5π12
    B. 2π3
    C. 5π6
    D. 4π3
    6.如图,在正方形ABCD中,边长AB=1,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1,则线段CD扫过的面积为( )
    A. π4
    B. π2
    C. π
    D. 2π
    7.如图,B,C是半径为6的半圆O上的两个点,AD是直径,BC//AD,若BC⌢的长度为83π,则图中阴影部分的面积为
    A. 8πB. 6πC. 5πD. 83π
    8.如图,在▵ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB,BC分别交于点D,E,连接AE,DE,若∠BED=45∘,AB=2,则阴影部分的面积为( )
    A. π4B. π3C. 2π3D. π
    9.如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O′处,得到扇形A′O′B′.若∠O=90∘,OA=2 6,则阴影部分的面积为( )
    A. 6B. π+6C. 43π+2 3D. 2π+3 3
    10.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⌢),点O是这段弧所在圆的圆心,B为AC⌢上一点,OB⊥AC于D.若AC=300 3 m,BD=150 m,则AC⌢的长为( )
    A. 300π mB. 200π mC. 150π mD. 100 3πm
    11.如图,扇形纸片AOB的半径为3,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在AB上的点C处,图中阴影部分的面积为( )
    A. 3π−3 3B. 3π−9 32C. 2π−3 3D. 6π−9 32
    12.如图,AB为圆O的直径,点C在圆O上,若∠BAC=50°,AB=2,则BC⌢的长为
    A. 103πB. 109πC. 53πD. 59π
    二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
    13.如图,在⊙O中,OA=2,∠C=45°,则图中阴影部分的面积为 .
    14.《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作,如图所示是书中记载的一个滑轮机械,称为“绳制”,若图中的定滑轮半径为6cm,滑轮旋转了150°,则重物“甲”上升了______cm(绳索粗细不计,且与滑轮之间无滑动,结果保留π)
    15.如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心,对角线BD的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,则图中阴影部分的面积为______.
    16.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以A为圆心,AC的长为半径画弧,得EC,则EC的长度为 .
    三、解答题:本题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
    17.(本小题8分)
    如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC/​/BD,交AD于点E,连结BC.
    (1)求证:AE=ED.
    (2)若AB=10,∠CBD=36∘,求AC的长.
    18.(本小题8分)
    已知:⊙O的直径AB=8,⊙B与⊙O相交于点C、D,⊙O的直径CF与⊙B相交于点E,设⊙B的半径为x,OE的长为y,
    (1) 如图,当点E在线段OC上时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
    (2) 当点E在直径CF上时,如果OE的长为3,求公共弦CD的长;
    (3) 设⊙B与AB相交于G,试问△OEG能否为等腰三角形?如果能够,请直接写出BC⌢的长度(不必写过程);如果不能,请简要说明理由.
    19.(本小题8分)
    如图所示,矩形OABD的边OA在x轴上,OD在y轴上,点B的坐标是(2, 3),反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B,以点A为圆心,AO为半径作OC交边BD于点C,连接OC.
    (1)求反比例函数的解析式.
    (2)求∠OAC的度数.
    (3)请直接写出图中阴影部分的面积.
    20.(本小题8分)
    如图,△ABC的顶点坐标分别为A(0,1),B(3,3),C(1,3).画出将△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1,并求旋转过程中点B经过的路线长.
    21.(本小题8分)
    如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为点E点D是优弧BC上一点,连接BD,AD,OC,∠AOC=60°.
    (1)求∠ADB的度数.
    (2)若BC=2,求图中劣弧BC的长.
    22.(本小题8分)
    如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1).B(1,−2),C(3,−3).
    (1)将△ABC向上平移4个单位,再向右平移1个单位,得到△A1B1C1,请画出△A1BC1;
    (2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;
    (3)将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°,得到△A3B3C3,求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积(结果保留π).
    23.(本小题8分)
    学习下面方框内的内容,并解答下列问题:
    问题:
    (1)方框内3个问题的解决都用到了 的数学思想方法(从下列选项中选一个);
    A.分类讨论
    B.数形结合
    C.整体
    D.从特殊到一般
    (2)方框内问题3中a2−b2ab的值为 ;
    (3)如图,已知⊙O的半径为5,AB、CD是⊙O的弦,且AB=8,CD=6,求AB与CD的长度之和.
    24.(本小题8分)
    如图,平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在正方形(每个小正方形边长为单位1)网格的格点上.
    (1)△ABC的形状是______(直接写答案)
    (2)画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1;
    (3)画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△BA2C2并求出旋转过程中△ABC扫过的面积.(结果保留π)
    25.(本小题8分)
    如图,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的顶点均在小正方形的格点上.
    (1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
    (2)将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90∘得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
    (3)在(2)的条件下,请求出线段AB在旋转过程中扫过的面积.
    答案和解析
    1.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.根据弧长公式先计算出扇形的弧长,再利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解.
    【解答】
    解:扇形的弧长=90π×8180=4π,
    设圆锥的底面直径为d,则πd=4π,
    所以d=4.
    2.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题考查了弧长的计算公式:l=nπr180,其中l表示弧长,n表示弧所对的圆心角的度数.
    重物上升15cm,说明点A转过的路径长为15cm,然后根据弧长公式l=nπr180得到n的方程,解方程即可.
    【解答】
    解:根据题意得,15=n×π×15180,
    解得,n=180°π≈57°,
    所以OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为57°.
    故选:C.
    3.【答案】D
    【解析】解:连接OQ,交PN于E,
    ∵沿PN对折O和Q重合,OQ=6,
    ∴PN⊥OQ,QE=OE=3,∠QNE=∠ONE,ON=NQ=6,
    ∴∠NEO=90°,△QON是等边三角形,
    ∴∠QON=∠QNO=60°,
    ∵∠MON=105°,
    ∴∠POQ=∠MON−∠QON=45°,
    ∵∠OEP=90°,
    ∴PE=OE=3,
    ∴阴影部分的面积
    =S扇形MOQ−S△POQ
    =45π×62360−12×6×3
    =92π−9,
    故选:D.
    连接OQ,交PN于E,根据对折得出PN⊥OQ,QE=OE=3,∠QNE=∠ONE,ON=NQ=6,得出△QON是等边三角形,根据等边三角形的性质得出∠QON=∠QNO=60°,求出∠QOP=∠MON−∠QON=45°,求出PE=OE=3,再分别求出扇形MOQ和△POQ的面积即可.
    本题考查了等边三角形的性质和判定,直角三角形的性质,扇形的面积计算等知识点,能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键,注意:圆心角为n°,半径为r的扇形的面积S=nπr2360.
    4.【答案】A
    【解析】解:连接OC,作EF⊥AB于F,
    ∵点C是直径AB为4的半圆的中点,
    ∴∠COB=90°,∠ABC=45°,
    ∴△BOC是等腰直角三角形,
    ∵分别以点B和C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,且OB=OC,
    ∴OD垂直平分BC,
    ∴CE=BE,
    ∵∠COB=90°,EF⊥AB,
    ∴EF//OC,
    ∴BFOF=BECE=1,
    ∴EF是△BOC的中位线,
    ∴EF=12OC=1,
    ∴S△ABE=12AB⋅EF=12×4×1=2,
    ∵S△OBC=12OB⋅OC=12×2×2=2,
    ∴S△ABE=S△OBC,
    ∴S阴影=S半圆AB−S△ABE−S弓形BC=S半圆AB−S扇形OBC=12S半圆AB=12×12π×22=π.
    故选:A.
    连接OC,作EF⊥AB于F,根据圆周角定理得到∠COB=90°,∠ABC=45°,从而得到△BOC是等腰直角三角形,判断OD是BC的垂直平分线,进一步即可求得EF=12OC=1,求得S△ABE=12AB⋅EF=12×4×1=2,S△OBC=12OB⋅OC=12×2×2=2,得到S△ABE=S△OBC,即可得到S阴影=12S半圆AB.
    本题考查扇形的面积公式、圆周角定理,等腰直角三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定,解题的关键是解得S△ABE=S△OBC,属于中考常考题型.
    5.【答案】C
    【解析】解:连接OC,如图,
    ∵BC/​/OA,
    ∴∠AOB+∠OBC=180°,∠C=∠AOC,
    ∵∠AOB=130°,
    ∴∠OBC=50°,
    ∵OB=OC,
    ∴∠C=∠OBC=50°,
    ∴∠AOC=50°,
    ∴AC的长=50×π×3180=5π6.
    故选:C.
    连接OC,如图,利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC=50°,然后根据弧长公式计算AC的长.
    本题考查了弧长公式,等腰三角形的性质,平行线的性质等知识,熟练掌握基本图形的性质是解题的关键.
    6.【答案】B
    【解析】解:∵将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1,
    ∴CC1=2AC=2× 2AB=2 2,
    ∴线段CD扫过的面积=12×( 2)2⋅π−12×π=12π,
    故选:B.
    根据中心对称的性质得到CC1=2AC=2× 2AB=2 2,根据扇形的面积公式即可得到结论.
    本题考查了扇形的面积的计算,正方形的性质,熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.
    7.【答案】C
    【解析】【分析】
    本题主要考查了平行线的性质,圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系,扇形面积的计算,弧长的计算,解答本题的关键是掌握利用“割补法”求面积的思路与方法;连接BD、OC,根据BC/​/AD,得出∠DBC=∠BDA,进一步得出CD=AB,∠COD=∠AOB,S弓形AB=S弓形CD,进而得出S阴影=S弓形AB+S△AOB=S扇形AOB,利用弧长公式求出∠BOC的度数为80°,进而得∠COD=∠AOB=50°,再利用扇形面积公式进行解答,即可求解.
    【解答】
    解:连接BD、OC,如图:
    ∵BC//AD,
    ∴∠DBC=∠BDA,
    ∴CD=AB,∠COD=∠AOB,
    ∴S弓形AB=S弓形CD,
    ∴S阴影=S弓形AB+S△AOB=S扇形AOB,
    ∵BC的长度为83π,设∠BOC的度数为n°,
    ∴nπ×6180=83π,
    ∴n=80,
    ∴∠BOC的度数为80°,
    ∴∠COD=∠AOB=180°−∠BOC2=180°−80°2=50°,
    ∴S阴影=S扇形AOB=50π×62360=5π.
    故选:C.
    8.【答案】A
    【解析】解:连接OE,OD,
    ∵AC为⊙O的直径,
    ∴∠AEC=90°,
    ∵AB=AC,
    ∴BE=CE,
    即点E是BC的中点,
    ∵点O是AC的中点,
    ∴OE是△ABC的中位线,
    ∴OE/​/AB,
    ∴S△AOD=S△AED,
    ∴S阴影=S扇形OAD,
    ∵∠AEC=90°,
    ∴∠AEB=90°,
    ∵∠BED=45°,
    ∴∠AED=45°,
    ∴∠AOD=90°,
    ∴S扇形OAD=90π×12360=π4,
    ∴S阴影=π4,
    故选:A.
    根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC=90°,再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点,从而得出OE是△ABC的中位线,于是OE/​/AB,根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等,从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积,根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积.
    本题主要考查了扇形的面积,圆周角定理,中位线定理,平行线间的距离相等,等腰三角形的三线合一,不规则图形的面积求法,把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键.
    9.【答案】D
    【解析】解:如图,设O′A′交AB于点T,连接OT.
    ∵OT=OB,OO′=O′B,
    ∴OT=2OO′,
    ∵∠OO′T=90°,
    ∴∠O′TO=30°,∠TOO′=60°,
    ∴S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)
    =90π×(2 6)2360−[60π×(2 6)2360−12× 6× 32×2 6]
    =2π+3 3.
    故选:D.
    设O′A′交AB于点T,连接OT.首先证明∠OTO′=30°,根据S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)求解即可.
    本题考查扇形的面积,解直角三角形等知识,解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积.
    10.【答案】B
    【解析】解:如图所示:
    ∵OB⊥AC,
    ∴AD=12AC=150 3m,∠AOC=2∠AOB,
    在Rt△AOD中,
    ∵AD2+OD2=OA2,OA=OB,
    ∴AD2+(OA−BD)2=OA2,
    ∴(150 3)2+(OA−150)2=OA2,
    解得:OA=300m,
    ∴sin∠AOB=ADOA= 32,
    ∴∠AOB=60°,
    ∴∠AOC=120°,
    ∴AC的长=120×300π180=200πm.
    故选:B.
    先根据垂径定理求出AD的长,由题意得OD=OA−BD,在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值,然后再利用三角函数计算出AC所对的圆心角的度数,由弧长公式求出AC的长即可.
    本题考查的是垂径定理,勾股定理及弧长的计算公式,根据垂径定理得出AD的长,再由勾股定理求出半径是解答此题的关键,同时要熟记圆弧长度的计算公式.
    11.【答案】B
    【解析】【分析】
    根据折叠的性质推出AC=AO,BC=BO,推出四边形AOBC是菱形,连接OC交AB于D,根据等边三角形的性质得到∠CAO=∠AOC=60°,求得∠AOB=120°,根据菱形和扇形的面积公式即可得出答案.
    本题考查了扇形面积的计算,菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,正确地作出辅助线是解题的关键.
    【解答】
    解:沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在AB上的点C处,
    ∴AC=AO,BC=BO,
    ∵AO=BO,
    ∴四边形AOBC是菱形,
    连接OC交AB于D,
    ∵OC=OA,
    ∴△AOC是等边三角形,
    ∴∠CAO=∠AOC=60°,
    ∴∠AOB=120°,
    ∵AC=3,
    ∴OC=3,AD= 32AC=3 32,
    ∴AB=2AD=3 3,
    ∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB−S菱形AOBC=120π×32360−12×3×3 3=3π−9 32,
    故选:B.
    12.【答案】D
    【解析】解:∵∠OCA=50°,OA=OC,
    ∴∠A=50°,
    ∴∠BOC=2∠A=100°,
    ∵AB=2,
    ∴OB=1,
    ∴BC的长度=100×1×π180=59π,
    直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数,再利用圆周角定理得出∠BOC的度数,再利用弧长公式求出答案.
    此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理,正确得出∠BOC的度数是解题关键.
    13.【答案】π−2
    【解析】略
    14.【答案】5π
    【解析】解:由题意得,重物上升的距离是半径为6cm,圆心角为150°所对应的弧长.
    即:150360×2×π×6=5π(cm)
    故答案为:5π.
    根据弧长的计算方法L=n×2πr360=nπr180,计算弧长即可.
    本题考查弧长的计算,熟练掌握弧长计算公式是关键.
    15.【答案】π
    【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,
    ∴AO=CO,BO=DO,AD=CD,∠DBE=45°,
    ∴△AOD≌△COB(SSS),
    ∵正方形ABCD的边长为2,
    ∴BD= 22+22=2 2,
    ∴阴影部分的面积为扇形BED的面积,即45π⋅(2 2)2360=π,
    故答案为:π.
    根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积,然后由勾股定理得出BD=2 2,再由扇形面积公式求解即可.
    本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积,能够理解题意,将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键.
    16.【答案】2 33π
    【解析】【分析】
    本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,掌握扇形弧长公式是解题的关键.
    由正六边形ABCDEF的边长为2,可得AB=BC=2,∠ABC=∠BAF=120°,进而求出∠BAC=30°,∠CAE=60°,过B作BH⊥AC于H,由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH,BH=1,在Rt△ABH中,由勾股定理求得AH= 3,得到AC=2 3,根据扇形的弧长公式即可得到结论.
    【解答】
    解:∵正六边形ABCDEF的边长为2,
    ∴AB=BC=2,∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°,
    ∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,
    ∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=12×(180°−120°)=30°,
    过B作BH⊥AC于H,
    ∴AH=CH,BH=12AB=12×2=1,
    在Rt△ABH中,AH= AB2−BH2= 22−12= 3,
    ∴AC=2 3,
    同理可证,∠EAF=30°,
    ∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°,
    ∴EC长度为60⋅π×2 3180=2 33π
    故答案为:2 33π.
    17.【答案】【小题1】
    证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90∘.∵OC//BD,∴∠AEO=∠ADB=90∘,即OC⊥AD,∴AE=ED.
    【小题2】
    ∵OC⊥AD,∴AC=CD,∴∠ABC=∠CBD=36∘,∴∠AOC=2∠ABC=2×36∘=72∘,∴AC的长为72π×5180=2π.

    【解析】1. 见答案
    2. 见答案
    18.【答案】解:(1)联结BE,如图:
    ∵⊙O的直径AB=8,
    ∴OC=OB=12AB=4,
    ∵⊙B的半径为x,
    ∴BC=x,
    ∵BC=BE,
    ∴∠BEC=∠C=∠CBO,
    ∴△BCE∽△OCB,
    ∴CECB=BCOC,
    ∵CE=OC−OE=4−y,
    ∴4−yx=x4,
    ∴y关于x的函数解析式为y=4−14x2,定义域为0(2)作BM⊥CE,垂足为M,如图:
    ∵CE是⊙B的弦,BM⊥CE,
    ∴EM=12CE,
    设两圆的公共弦CD与AB相交于H,则AB垂直平分CD,
    ∴CD=2CH,
    在Rt△COH中,∠CHO=90°,sin∠COB=CHOC,
    在Rt△BMO中,∠BMO=90°,sin∠COB=BMOB,
    ∴CH=OC⋅sin∠COB=OB⋅sin∠COB=BM,
    当点E在线段OC上时,EM=12CE=12(OC−OE)=12×(4−3)=12,
    ∴OM=EM+OE=12+3=72,
    ∴BM= OB2−OM2= 42−(72)2= 152,
    ∴CD=2CH=2BM= 15;
    当点E在线段OF上时,EM=12CE=12(OC+OE)=12(4+3)=72,
    ∴OM=EM−OE=72−3=12,
    ∴BM= OB2−OM2= 42−(12)2=3 72,
    ∴CD=2CH=2BM=3 7;
    综上所述,公共弦CD的长为 15或3 7;
    (3)△OEG能为等腰三角形,BC的长度为45π或127π.
    【解析】【分析】
    本题主要考查了圆的综合,圆的相关概念,相似三角形的判定与性质,函数关系式,自变量的取值范围,勾股定理,弧长的计算,解答本题的关键是掌握圆的相关概念与性质.
    (1)联结BE,证明△BCE∽△OCB,利用相似三角形的性质得出CECB=BCOC,即4−yx=x4,进而得出y关于x的函数解析式,并写出定义域即可;
    (2)作BM⊥CE,垂足为M,根据垂径定理得出EM=12CE,设两圆的公共弦CD与AB相交于H,则AB垂直平分CD,CD=2CH,根据锐角三角函数的概念得出CH=OC⋅sin∠COB=OB⋅sin∠COB=BM,根据点E的位置分两种情况:当点E在线段OC上时,当点E在线段OF上时,分情况画出图形,结合图形,求出CD的长,即可求解;
    (3)△OEG能为等腰三角形,分两种情况:①当点E在线段OC上时,OG=EG,连接BE,②当点E在线段OF上时,OE=EG,连接BE,分情况画出图形,结合图形,根据等腰三角形的性质,三角形的内角和定理求出∠BOC的度数,再利用弧长公式进行解答,即可求解.
    【解答】
    解:(1)见答案;
    (2)见答案;
    (3)△OEG能为等腰三角形,分两种情况:
    ①当点E在线段OC上时,OG=EG,连接BE,如图:
    则∠GOE=∠GEO,
    设∠GOE=∠GEO=x,则∠BGE=∠GOE+∠GEO=2x,
    ∵BG=BE,
    ∴∠BEG=∠BGE=2x,
    ∴∠OEB=∠GEO+∠BEG=x+2x=3x
    ∴∠BEC=180°−∠OEB=180°−3x,
    ∵BC=BE,
    ∴∠BCE=∠BEC=180°−3x,
    ∵OB=OC,
    ∴∠OBC=∠OCB=180°−3x,
    ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
    ∴x+180°−3x+180°−3x=180°,解得x=36°,
    ∴∠BOC=36°,
    ∴BC的长度为36π×4180=45π;
    ②当点E在线段OF上时,OE=EG,连接BE,如图:
    则∠EOG=∠EGO,
    设∠EOG=∠EGO=y,则∠GEO=180°−∠EOG−∠EGO=180°−2y,
    ∵BE=BG,
    ∴∠BEG=∠BGE=y,
    ∴∠BEO=∠BEG−∠GEO=y−(180°−2y)=3y−180°,
    ∵BE=BC,
    ∴∠BCE=∠BEC=3y−180°,
    ∵OC=OB,
    ∴∠OBC=∠OCB=3y−180°,
    根据对顶角的性质可得,∠BOC=∠EOG=y,
    ∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
    ∴y+3y−180°+3y−180°=180°,解得y=540°7,
    ∴∠BOC=540°7,
    ∴BC的长度为5407π×4180=127π;
    综上所述,BC的长度为45π或127π.
    19.【答案】解:(1)把点B(2, 3)代入y=kx,得k=2× 3=2 3.
    ∴反比例函数的解析式是y=2 3x.
    (2)∵矩形OABD中B(2, 3),
    ∴OA=BD=2,AB=OD= 3,∠B=∠ODC=90∘.
    ∴AC=AO=2.
    由勾股定理得BC= 22−( 3)2=1,
    故CD=2−1=1.
    由勾股定理得OC= 12+( 3)2=2.
    ∴AO=AC=OC,
    ∴△OAC是等边三角形.
    ∴∠OAC=60°;
    (3)32 3−23π.
    【解析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数的性质,勾股定理,扇形的面积等知识.
    (1)利用待定系数法求解即可;
    (2)由点的坐标确定出各线段的长,利用勾股定理求得BC,OC的长,证明△OAC是等边三角形,即可得解;
    (3)利用梯形OACD的面积减去扇形OAC的面积即可.
    【解答】
    解:(1)见答案;
    (2)见答案;
    (3)阴影部分的面积=梯形OACD的面积−扇形OAC的面积
    =12(1+2)× 3−60360×π×22
    =32 3−23π.
    20.【答案】解:如图所示:△A1B1C1即为所求,
    ∵OB= 32+32=3 2,
    ∴旋转过程中点B经过的路线长为:180π×3 2180=3 2π.
    【解析】此题主要考查了旋转变换以及弧长公式,勾股定理有关知识,直接利用旋转的性质得出对应点位置,再利用弧长公式得出答案
    21.【答案】解:(1)连接OB,

    ∵OA⊥BC,OA过圆心O,
    ∴AB=AC,
    ∵∠AOC=60°,
    ∴∠BOA=∠AOC=60°,
    ∴∠ADB=12∠BOA=30°;
    (2)∵∠BOA=∠AOC=60°,
    ∴∠BOC=60°+60°=120°,
    ∵OA⊥BC,BC=2,OA过圆心O,
    ∴BE=CE=1,
    则OC=CEcs30∘=1 32=2 33,
    ∴劣弧BC的长为120π×2 33180=4 39π.
    【解析】(1)连接OB,根据垂径定理求出AB=AC,根据圆周角定理求出∠BOA=∠AOC=60°,再求出答案即可;
    (2)求出圆心角∠BOC的度数,解直角三角形求出OC,再根据弧长公式求出答案即可.
    本题考查了垂径定理,圆周角定理,弧长公式,解直角三角形等知识点,能熟记垂径定理是解此题的关键.
    22.【答案】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
    (2)如图所示,△A2B2C2即为所求;
    (3)将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°,得到△A3B3C3,如图,连接OC3交A2A3于D,连接OC2交B2B3于E,
    ∵A2(−2,−1),B2(−1,−2),C2(−3,−3),
    ∴OA2= 22+12= 5,OB2= 12+22= 5,OC2= 32+32=3 2,
    ∴OA2=OB2=OD=OE= 5,
    由旋转得:OA2=OA3,OB2=OB3,OC2=OC3,A2C2=A3C3,∠C2OC3=DOE=90°,
    ∴△OA2C2≌△OA3C3(SSS),
    ∴S△OA2C2=S△OA3C3,
    ∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积=S扇形C2OC3−S扇形DOE=90⋅π⋅(3 2)2360−90⋅π⋅( 5)2360=13π4.
    【解析】(1)根据平移的性质得出对应点的位置,画出平移后的图形即可;
    (2)利用轴对称的性质得出对应点的位置,画出图形即可;
    (3)根据题意画出旋转后的图形,先求得:OA2= 22+12= 5,OB2= 12+22= 5,OC2= 32+32=3 2,再利用线段A2C2在旋转过程中扫过的面积=S扇形C2OC3−S扇形DOE,即可求得答案.
    本题考查简单作图、扇形面积的计算、平移变换、轴对称变换、旋转变换,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
    23.【答案】(1)C
    (2) 5
    (3)解:连接AO并延长,交⊙O交于点M,连接MB,
    ∵AM是⊙O的直径,
    ∴∠ABM=90°.
    在Rt△ABM中,
    BM= 102−82=6,
    ∴BM=CD,
    ∴BM=CD,
    ∴AB+CD=AB+BM,
    又∵∠AOM=180∘,
    ∴AB+BM=180⋅π⋅5180=5π,
    即AB与CD的长度之和为5π
    【解析】【分析】
    本题考查的是勾股定理,弧长的计算有关知识
    (1)根据所给三个问题,发现都用到了整体思想,据此可解决问题.
    (2)按要求继续表示出a−b,再将a ​2−b ​2转化为(a+b)(a−b)即可解决问题.
    (3)连接AO并延长,与⊙O交于点M,利用勾股定理求出BM的值,发现BM=CD,进一步得出CD=BM即可解决问题.
    【解答】
    解:(1)由题中所给三个问题可知,
    在解决问题的过程中都用到了整体思想
    (2)继续问题3的解题过程,
    a2+b2−2ab=ab,
    所以(a−b)2=ab,
    因为a>b>0,
    所以a−b= ab,
    所以a2−b2ab=(a+b)(a−b)ab= 5ab⋅ abab= 5
    (3)见答案
    24.【答案】解:(1)等腰直角三角形;
    (2)如图,△A1B1C1即为所求.
    (3)如图,△BA2C2即为所求,
    △ABC扫过的面积为12× 5× 5+90×π×( 10)2360=52+52π.
    【解析】【分析】
    本题主要考查作图−轴对称变换和旋转变换,解题的关键是掌握轴对称变换与旋转变换的定义及其性质,扇形的面积公式等知识点.
    (1)根据勾股定理及其逆定理即可判断;
    (2)分别作出三顶点关于x轴的对称点,再顺次连接可得答案;
    (3)作出点A,C绕点B顺时针旋转90°的对应点,再顺次连接可得,旋转过程中三角形扫过的面积是三角形面积与扇形的面积和,据此列式计算.
    【解答】
    解:(1)∵AB2=12+22=5,AC2=12+22=5,BC2=12+32=10,
    ∴AB2+AC2=BC2,且AB=AC,
    ∴△ABC是等腰直角三角形,
    故答案为:等腰直角三角形;
    (2)见答案;
    (3)见答案.
    25.【答案】解:(1)△A1B1C1如图所示;
    (2)△A2B2C2如图所示;
    (3)由网格图可知:AC= 32+12= 10,BC= 22+12= 5
    根据旋转,∠ACA2=90°,可知S扇形ACA2=90×π( 10)2360=5π2
    根据旋转,∠BCB2=90°,可知 S扇形BCB2=90×( 5)2360=5π4
    由图可见:AB在旋转过程中扫过的面积为:(S△ABC+S扇形ACA2)−(S扇形BCB2+S△A2B2C2)=S扇形ACA2−S扇形BCB2=5π2−5π4=5π4
    【解析】本题考查网格作图——平移、旋转,以及网格中图形面积的计算,解题涉及平移的性质,旋转的性质,勾股定理,扇形面积公式,掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键.
    (1)按平移变换的性质分别确定A,B,C平移后的位置,再按原来的连接方式连接即可;
    (2)按旋转变换的性质分别确定A,B,C绕点C顺时针旋转90度后的位置,再按原来的连接方式连接即可;
    (3)AB在旋转过程中扫过的面积为:(S△ABC+S扇形ACA2)−(S扇形BCB2+S△A2B2C2),根据扇形的面积公式求解即可.小明在反思学习时,发现解决下列3个问题时都用到了同一种数学思想方法:
    问题1:若a−2b=3,求2a−4b+1的值.
    解决思路:2a−4b+1=2(a−2b)+1=2×3+1=7.
    问题2:如图,分别以△ABC的3个顶点为圆心,2为半径画圆,求图中3块阴影面积之和.
    解决思路:将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆,则阴影面积为2π.
    问题3:已知a2+b2=3ab(a>b>0),求a2−b2ab的值.
    解题思路:对已知条件进行恒等变形,a2+b2+2ab=5ab,(a+b)2=5ab,因为a>b>0,所以a+b= 5ab,类似可以得到a−b=⋯.

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