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初中数学第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积习题
展开这是一份初中数学第3章 圆的基本性质3.8 弧长及扇形的面积习题,共30页。试卷主要包含了选择题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。
1.用一个圆心角为90∘,半径为8的扇形作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面直径是( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
2.一个滑轮起重装置如图所示,滑轮的半径是15cm,当重物上升15cm时,滑轮的一条半径OA绕轴心O按顺时针方向旋转的角度约为( )(π取3.14,结果精确到1∘)
A. 115∘B. 60∘C. 57∘D. 29∘
3.如图,在扇形MON中,∠MON=105°,半径OM=6,将扇形MON沿过点P的直线折叠,点O恰好落在MN上的点Q处,折痕交OM于点P,则阴影部分的面积为( )
A. 9 2B. 9(π− 2)C. 9π2D. 9π2−9
4.如图,点C是直径AB为4的半圆的中点,连接BC,分别以点B和C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,两弧相交于点D,作直线OD交BC于点E,连接AE,则阴影部分的面积为( )
A. πB. 2πC. 2π−4D. 2 3−π
5.如图,在扇形AOB中,∠AOB=130°,OA=3,若弦BC//AO,则AC的长为( )
A. 5π12
B. 2π3
C. 5π6
D. 4π3
6.如图,在正方形ABCD中,边长AB=1,将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1,则线段CD扫过的面积为( )
A. π4
B. π2
C. π
D. 2π
7.如图,B,C是半径为6的半圆O上的两个点,AD是直径,BC//AD,若BC⌢的长度为83π,则图中阴影部分的面积为
A. 8πB. 6πC. 5πD. 83π
8.如图,在▵ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB,BC分别交于点D,E,连接AE,DE,若∠BED=45∘,AB=2,则阴影部分的面积为( )
A. π4B. π3C. 2π3D. π
9.如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O′处,得到扇形A′O′B′.若∠O=90∘,OA=2 6,则阴影部分的面积为( )
A. 6B. π+6C. 43π+2 3D. 2π+3 3
10.如图,一条公路的转弯处是一段圆弧(AC⌢),点O是这段弧所在圆的圆心,B为AC⌢上一点,OB⊥AC于D.若AC=300 3 m,BD=150 m,则AC⌢的长为( )
A. 300π mB. 200π mC. 150π mD. 100 3πm
11.如图,扇形纸片AOB的半径为3,沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在AB上的点C处,图中阴影部分的面积为( )
A. 3π−3 3B. 3π−9 32C. 2π−3 3D. 6π−9 32
12.如图,AB为圆O的直径,点C在圆O上,若∠BAC=50°,AB=2,则BC⌢的长为
A. 103πB. 109πC. 53πD. 59π
二、填空题:本题共4小题,每小题3分,共12分。
13.如图,在⊙O中,OA=2,∠C=45°,则图中阴影部分的面积为 .
14.《墨经》是中国古籍中最早讨论滑轮力学的著作,如图所示是书中记载的一个滑轮机械,称为“绳制”,若图中的定滑轮半径为6cm,滑轮旋转了150°,则重物“甲”上升了______cm(绳索粗细不计,且与滑轮之间无滑动,结果保留π)
15.如图,正方形ABCD的边长为2,对角线AC,BD相交于点O,以点B为圆心,对角线BD的长为半径画弧,交BC的延长线于点E,则图中阴影部分的面积为______.
16.如图,正六边形ABCDEF的边长为2,以A为圆心,AC的长为半径画弧,得EC,则EC的长度为 .
三、解答题:本题共9小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
17.(本小题8分)
如图,已知AB是⊙O的直径,C,D是⊙O上的点,OC//BD,交AD于点E,连结BC.
(1)求证:AE=ED.
(2)若AB=10,∠CBD=36∘,求AC的长.
18.(本小题8分)
已知:⊙O的直径AB=8,⊙B与⊙O相交于点C、D,⊙O的直径CF与⊙B相交于点E,设⊙B的半径为x,OE的长为y,
(1) 如图,当点E在线段OC上时,求y关于x的函数解析式,并写出定义域;
(2) 当点E在直径CF上时,如果OE的长为3,求公共弦CD的长;
(3) 设⊙B与AB相交于G,试问△OEG能否为等腰三角形?如果能够,请直接写出BC⌢的长度(不必写过程);如果不能,请简要说明理由.
19.(本小题8分)
如图所示,矩形OABD的边OA在x轴上,OD在y轴上,点B的坐标是(2, 3),反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B,以点A为圆心,AO为半径作OC交边BD于点C,连接OC.
(1)求反比例函数的解析式.
(2)求∠OAC的度数.
(3)请直接写出图中阴影部分的面积.
20.(本小题8分)
如图,△ABC的顶点坐标分别为A(0,1),B(3,3),C(1,3).画出将△ABC绕点O旋转180°后的△A1B1C1,并求旋转过程中点B经过的路线长.
21.(本小题8分)
如图,在⊙O中,弦BC垂直于半径OA,垂足为点E点D是优弧BC上一点,连接BD,AD,OC,∠AOC=60°.
(1)求∠ADB的度数.
(2)若BC=2,求图中劣弧BC的长.
22.(本小题8分)
如图,在平面直角坐标系中,已知△ABC的三个顶点坐标分别是A(2,−1).B(1,−2),C(3,−3).
(1)将△ABC向上平移4个单位,再向右平移1个单位,得到△A1B1C1,请画出△A1BC1;
(2)请画出△ABC关于y轴对称的△A2B2C2;
(3)将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°,得到△A3B3C3,求线段A2C2在旋转过程中扫过的面积(结果保留π).
23.(本小题8分)
学习下面方框内的内容,并解答下列问题:
问题:
(1)方框内3个问题的解决都用到了 的数学思想方法(从下列选项中选一个);
A.分类讨论
B.数形结合
C.整体
D.从特殊到一般
(2)方框内问题3中a2−b2ab的值为 ;
(3)如图,已知⊙O的半径为5,AB、CD是⊙O的弦,且AB=8,CD=6,求AB与CD的长度之和.
24.(本小题8分)
如图,平面直角坐标系中,△ABC的顶点都在正方形(每个小正方形边长为单位1)网格的格点上.
(1)△ABC的形状是______(直接写答案)
(2)画出△ABC沿x轴翻折后的△A1B1C1;
(3)画出△ABC绕点B顺时针旋转90°的△BA2C2并求出旋转过程中△ABC扫过的面积.(结果保留π)
25.(本小题8分)
如图,网格中每个小正方形的边长均为1个单位长度,△ABC的顶点均在小正方形的格点上.
(1)将△ABC向下平移3个单位长度得到△A1B1C1,画出△A1B1C1;
(2)将△ABC绕点C按顺时针方向旋转90∘得到△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)在(2)的条件下,请求出线段AB在旋转过程中扫过的面积.
答案和解析
1.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了圆锥的计算:圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长,扇形的半径等于圆锥的母线长.根据弧长公式先计算出扇形的弧长,再利用圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长求解.
【解答】
解:扇形的弧长=90π×8180=4π,
设圆锥的底面直径为d,则πd=4π,
所以d=4.
2.【答案】C
【解析】【分析】
本题考查了弧长的计算公式:l=nπr180,其中l表示弧长,n表示弧所对的圆心角的度数.
重物上升15cm,说明点A转过的路径长为15cm,然后根据弧长公式l=nπr180得到n的方程,解方程即可.
【解答】
解:根据题意得,15=n×π×15180,
解得,n=180°π≈57°,
所以OA绕轴心O按逆时针方向旋转的角度约为57°.
故选:C.
3.【答案】D
【解析】解:连接OQ,交PN于E,
∵沿PN对折O和Q重合,OQ=6,
∴PN⊥OQ,QE=OE=3,∠QNE=∠ONE,ON=NQ=6,
∴∠NEO=90°,△QON是等边三角形,
∴∠QON=∠QNO=60°,
∵∠MON=105°,
∴∠POQ=∠MON−∠QON=45°,
∵∠OEP=90°,
∴PE=OE=3,
∴阴影部分的面积
=S扇形MOQ−S△POQ
=45π×62360−12×6×3
=92π−9,
故选:D.
连接OQ,交PN于E,根据对折得出PN⊥OQ,QE=OE=3,∠QNE=∠ONE,ON=NQ=6,得出△QON是等边三角形,根据等边三角形的性质得出∠QON=∠QNO=60°,求出∠QOP=∠MON−∠QON=45°,求出PE=OE=3,再分别求出扇形MOQ和△POQ的面积即可.
本题考查了等边三角形的性质和判定,直角三角形的性质,扇形的面积计算等知识点,能把求不规则图形的面积转化成求规则图形的面积是解此题的关键,注意:圆心角为n°,半径为r的扇形的面积S=nπr2360.
4.【答案】A
【解析】解:连接OC,作EF⊥AB于F,
∵点C是直径AB为4的半圆的中点,
∴∠COB=90°,∠ABC=45°,
∴△BOC是等腰直角三角形,
∵分别以点B和C为圆心,以大于12BC的长为半径作弧,且OB=OC,
∴OD垂直平分BC,
∴CE=BE,
∵∠COB=90°,EF⊥AB,
∴EF//OC,
∴BFOF=BECE=1,
∴EF是△BOC的中位线,
∴EF=12OC=1,
∴S△ABE=12AB⋅EF=12×4×1=2,
∵S△OBC=12OB⋅OC=12×2×2=2,
∴S△ABE=S△OBC,
∴S阴影=S半圆AB−S△ABE−S弓形BC=S半圆AB−S扇形OBC=12S半圆AB=12×12π×22=π.
故选:A.
连接OC,作EF⊥AB于F,根据圆周角定理得到∠COB=90°,∠ABC=45°,从而得到△BOC是等腰直角三角形,判断OD是BC的垂直平分线,进一步即可求得EF=12OC=1,求得S△ABE=12AB⋅EF=12×4×1=2,S△OBC=12OB⋅OC=12×2×2=2,得到S△ABE=S△OBC,即可得到S阴影=12S半圆AB.
本题考查扇形的面积公式、圆周角定理,等腰直角三角形的判定和性质,线段垂直平分线的判定,解题的关键是解得S△ABE=S△OBC,属于中考常考题型.
5.【答案】C
【解析】解:连接OC,如图,
∵BC//OA,
∴∠AOB+∠OBC=180°,∠C=∠AOC,
∵∠AOB=130°,
∴∠OBC=50°,
∵OB=OC,
∴∠C=∠OBC=50°,
∴∠AOC=50°,
∴AC的长=50×π×3180=5π6.
故选:C.
连接OC,如图,利用等腰三角形的性质和平行线的性质可计算出∠AOC=50°,然后根据弧长公式计算AC的长.
本题考查了弧长公式,等腰三角形的性质,平行线的性质等知识,熟练掌握基本图形的性质是解题的关键.
6.【答案】B
【解析】解:∵将正方形ABCD绕点A按逆时针方向旋转180°至正方形AB1C1D1,
∴CC1=2AC=2× 2AB=2 2,
∴线段CD扫过的面积=12×( 2)2⋅π−12×π=12π,
故选:B.
根据中心对称的性质得到CC1=2AC=2× 2AB=2 2,根据扇形的面积公式即可得到结论.
本题考查了扇形的面积的计算,正方形的性质,熟练掌握扇形的面积公式是解题的关键.
7.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查了平行线的性质,圆周角定理,圆心角、弧、弦之间的关系,扇形面积的计算,弧长的计算,解答本题的关键是掌握利用“割补法”求面积的思路与方法;连接BD、OC,根据BC//AD,得出∠DBC=∠BDA,进一步得出CD=AB,∠COD=∠AOB,S弓形AB=S弓形CD,进而得出S阴影=S弓形AB+S△AOB=S扇形AOB,利用弧长公式求出∠BOC的度数为80°,进而得∠COD=∠AOB=50°,再利用扇形面积公式进行解答,即可求解.
【解答】
解:连接BD、OC,如图:
∵BC//AD,
∴∠DBC=∠BDA,
∴CD=AB,∠COD=∠AOB,
∴S弓形AB=S弓形CD,
∴S阴影=S弓形AB+S△AOB=S扇形AOB,
∵BC的长度为83π,设∠BOC的度数为n°,
∴nπ×6180=83π,
∴n=80,
∴∠BOC的度数为80°,
∴∠COD=∠AOB=180°−∠BOC2=180°−80°2=50°,
∴S阴影=S扇形AOB=50π×62360=5π.
故选:C.
8.【答案】A
【解析】解:连接OE,OD,
∵AC为⊙O的直径,
∴∠AEC=90°,
∵AB=AC,
∴BE=CE,
即点E是BC的中点,
∵点O是AC的中点,
∴OE是△ABC的中位线,
∴OE//AB,
∴S△AOD=S△AED,
∴S阴影=S扇形OAD,
∵∠AEC=90°,
∴∠AEB=90°,
∵∠BED=45°,
∴∠AED=45°,
∴∠AOD=90°,
∴S扇形OAD=90π×12360=π4,
∴S阴影=π4,
故选:A.
根据直径所对的圆周角是直角得到∠AEC=90°,再根据等腰三角形三线合一得出点E是BC的中点,从而得出OE是△ABC的中位线,于是OE//AB,根据同底等高得到△AOD和△AED的面积相等,从而阴影部分的面积转化为扇形AOD的面积,根据扇形面积公式计算出扇形AOD的面积即可得出阴影部分的面积.
本题主要考查了扇形的面积,圆周角定理,中位线定理,平行线间的距离相等,等腰三角形的三线合一,不规则图形的面积求法,把不规则图形转化为规则图形计算面积是解题的关键.
9.【答案】D
【解析】解:如图,设O′A′交AB于点T,连接OT.
∵OT=OB,OO′=O′B,
∴OT=2OO′,
∵∠OO′T=90°,
∴∠O′TO=30°,∠TOO′=60°,
∴S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)
=90π×(2 6)2360−[60π×(2 6)2360−12× 6× 32×2 6]
=2π+3 3.
故选:D.
设O′A′交AB于点T,连接OT.首先证明∠OTO′=30°,根据S阴=S扇形O′A′B′−(S扇形OTB−S△OTO′)求解即可.
本题考查扇形的面积,解直角三角形等知识,解题的关键是学会割补法求阴影部分的面积.
10.【答案】B
【解析】解:如图所示:
∵OB⊥AC,
∴AD=12AC=150 3m,∠AOC=2∠AOB,
在Rt△AOD中,
∵AD2+OD2=OA2,OA=OB,
∴AD2+(OA−BD)2=OA2,
∴(150 3)2+(OA−150)2=OA2,
解得:OA=300m,
∴sin∠AOB=ADOA= 32,
∴∠AOB=60°,
∴∠AOC=120°,
∴AC的长=120×300π180=200πm.
故选:B.
先根据垂径定理求出AD的长,由题意得OD=OA−BD,在Rt△AOD中利用勾股定理即可求出OA的值,然后再利用三角函数计算出AC所对的圆心角的度数,由弧长公式求出AC的长即可.
本题考查的是垂径定理,勾股定理及弧长的计算公式,根据垂径定理得出AD的长,再由勾股定理求出半径是解答此题的关键,同时要熟记圆弧长度的计算公式.
11.【答案】B
【解析】【分析】
根据折叠的性质推出AC=AO,BC=BO,推出四边形AOBC是菱形,连接OC交AB于D,根据等边三角形的性质得到∠CAO=∠AOC=60°,求得∠AOB=120°,根据菱形和扇形的面积公式即可得出答案.
本题考查了扇形面积的计算,菱形的判定和性质,等边三角形的判定和性质,正确地作出辅助线是解题的关键.
【解答】
解:沿AB折叠扇形纸片,点O恰好落在AB上的点C处,
∴AC=AO,BC=BO,
∵AO=BO,
∴四边形AOBC是菱形,
连接OC交AB于D,
∵OC=OA,
∴△AOC是等边三角形,
∴∠CAO=∠AOC=60°,
∴∠AOB=120°,
∵AC=3,
∴OC=3,AD= 32AC=3 32,
∴AB=2AD=3 3,
∴图中阴影部分的面积=S扇形AOB−S菱形AOBC=120π×32360−12×3×3 3=3π−9 32,
故选:B.
12.【答案】D
【解析】解:∵∠OCA=50°,OA=OC,
∴∠A=50°,
∴∠BOC=2∠A=100°,
∵AB=2,
∴OB=1,
∴BC的长度=100×1×π180=59π,
直接利用等腰三角形的性质得出∠A的度数,再利用圆周角定理得出∠BOC的度数,再利用弧长公式求出答案.
此题主要考查了弧长公式应用以及圆周角定理,正确得出∠BOC的度数是解题关键.
13.【答案】π−2
【解析】略
14.【答案】5π
【解析】解:由题意得,重物上升的距离是半径为6cm,圆心角为150°所对应的弧长.
即:150360×2×π×6=5π(cm)
故答案为:5π.
根据弧长的计算方法L=n×2πr360=nπr180,计算弧长即可.
本题考查弧长的计算,熟练掌握弧长计算公式是关键.
15.【答案】π
【解析】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴AO=CO,BO=DO,AD=CD,∠DBE=45°,
∴△AOD≌△COB(SSS),
∵正方形ABCD的边长为2,
∴BD= 22+22=2 2,
∴阴影部分的面积为扇形BED的面积,即45π⋅(2 2)2360=π,
故答案为:π.
根据正方形的性质得出阴影部分的面积为扇形BED的面积,然后由勾股定理得出BD=2 2,再由扇形面积公式求解即可.
本题主要考查正方形的性质以及扇形的面积,能够理解题意,将阴影部分的面积转化为扇形BED的面积是解题的关键.
16.【答案】2 33π
【解析】【分析】
本题考查的是正六边形的性质和弧长的计算、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形的性质,勾股定理,掌握扇形弧长公式是解题的关键.
由正六边形ABCDEF的边长为2,可得AB=BC=2,∠ABC=∠BAF=120°,进而求出∠BAC=30°,∠CAE=60°,过B作BH⊥AC于H,由等腰三角形的性质和含30°直角三角形的性质得到AH=CH,BH=1,在Rt△ABH中,由勾股定理求得AH= 3,得到AC=2 3,根据扇形的弧长公式即可得到结论.
【解答】
解:∵正六边形ABCDEF的边长为2,
∴AB=BC=2,∠ABC=∠BAF=(6−2)×180°6=120°,
∵∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°,
∴∠BAC=12(180°−∠ABC)=12×(180°−120°)=30°,
过B作BH⊥AC于H,
∴AH=CH,BH=12AB=12×2=1,
在Rt△ABH中,AH= AB2−BH2= 22−12= 3,
∴AC=2 3,
同理可证,∠EAF=30°,
∴∠CAE=∠BAF−∠BAC−∠EAF=120°−30°−30°=60°,
∴EC长度为60⋅π×2 3180=2 33π
故答案为:2 33π.
17.【答案】【小题1】
证明:∵AB是⊙O的直径,∴∠ADB=90∘.∵OC//BD,∴∠AEO=∠ADB=90∘,即OC⊥AD,∴AE=ED.
【小题2】
∵OC⊥AD,∴AC=CD,∴∠ABC=∠CBD=36∘,∴∠AOC=2∠ABC=2×36∘=72∘,∴AC的长为72π×5180=2π.
【解析】1. 见答案
2. 见答案
18.【答案】解:(1)联结BE,如图:
∵⊙O的直径AB=8,
∴OC=OB=12AB=4,
∵⊙B的半径为x,
∴BC=x,
∵BC=BE,
∴∠BEC=∠C=∠CBO,
∴△BCE∽△OCB,
∴CECB=BCOC,
∵CE=OC−OE=4−y,
∴4−yx=x4,
∴y关于x的函数解析式为y=4−14x2,定义域为0
∵CE是⊙B的弦,BM⊥CE,
∴EM=12CE,
设两圆的公共弦CD与AB相交于H,则AB垂直平分CD,
∴CD=2CH,
在Rt△COH中,∠CHO=90°,sin∠COB=CHOC,
在Rt△BMO中,∠BMO=90°,sin∠COB=BMOB,
∴CH=OC⋅sin∠COB=OB⋅sin∠COB=BM,
当点E在线段OC上时,EM=12CE=12(OC−OE)=12×(4−3)=12,
∴OM=EM+OE=12+3=72,
∴BM= OB2−OM2= 42−(72)2= 152,
∴CD=2CH=2BM= 15;
当点E在线段OF上时,EM=12CE=12(OC+OE)=12(4+3)=72,
∴OM=EM−OE=72−3=12,
∴BM= OB2−OM2= 42−(12)2=3 72,
∴CD=2CH=2BM=3 7;
综上所述,公共弦CD的长为 15或3 7;
(3)△OEG能为等腰三角形,BC的长度为45π或127π.
【解析】【分析】
本题主要考查了圆的综合,圆的相关概念,相似三角形的判定与性质,函数关系式,自变量的取值范围,勾股定理,弧长的计算,解答本题的关键是掌握圆的相关概念与性质.
(1)联结BE,证明△BCE∽△OCB,利用相似三角形的性质得出CECB=BCOC,即4−yx=x4,进而得出y关于x的函数解析式,并写出定义域即可;
(2)作BM⊥CE,垂足为M,根据垂径定理得出EM=12CE,设两圆的公共弦CD与AB相交于H,则AB垂直平分CD,CD=2CH,根据锐角三角函数的概念得出CH=OC⋅sin∠COB=OB⋅sin∠COB=BM,根据点E的位置分两种情况:当点E在线段OC上时,当点E在线段OF上时,分情况画出图形,结合图形,求出CD的长,即可求解;
(3)△OEG能为等腰三角形,分两种情况:①当点E在线段OC上时,OG=EG,连接BE,②当点E在线段OF上时,OE=EG,连接BE,分情况画出图形,结合图形,根据等腰三角形的性质,三角形的内角和定理求出∠BOC的度数,再利用弧长公式进行解答,即可求解.
【解答】
解:(1)见答案;
(2)见答案;
(3)△OEG能为等腰三角形,分两种情况:
①当点E在线段OC上时,OG=EG,连接BE,如图:
则∠GOE=∠GEO,
设∠GOE=∠GEO=x,则∠BGE=∠GOE+∠GEO=2x,
∵BG=BE,
∴∠BEG=∠BGE=2x,
∴∠OEB=∠GEO+∠BEG=x+2x=3x
∴∠BEC=180°−∠OEB=180°−3x,
∵BC=BE,
∴∠BCE=∠BEC=180°−3x,
∵OB=OC,
∴∠OBC=∠OCB=180°−3x,
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴x+180°−3x+180°−3x=180°,解得x=36°,
∴∠BOC=36°,
∴BC的长度为36π×4180=45π;
②当点E在线段OF上时,OE=EG,连接BE,如图:
则∠EOG=∠EGO,
设∠EOG=∠EGO=y,则∠GEO=180°−∠EOG−∠EGO=180°−2y,
∵BE=BG,
∴∠BEG=∠BGE=y,
∴∠BEO=∠BEG−∠GEO=y−(180°−2y)=3y−180°,
∵BE=BC,
∴∠BCE=∠BEC=3y−180°,
∵OC=OB,
∴∠OBC=∠OCB=3y−180°,
根据对顶角的性质可得,∠BOC=∠EOG=y,
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°,
∴y+3y−180°+3y−180°=180°,解得y=540°7,
∴∠BOC=540°7,
∴BC的长度为5407π×4180=127π;
综上所述,BC的长度为45π或127π.
19.【答案】解:(1)把点B(2, 3)代入y=kx,得k=2× 3=2 3.
∴反比例函数的解析式是y=2 3x.
(2)∵矩形OABD中B(2, 3),
∴OA=BD=2,AB=OD= 3,∠B=∠ODC=90∘.
∴AC=AO=2.
由勾股定理得BC= 22−( 3)2=1,
故CD=2−1=1.
由勾股定理得OC= 12+( 3)2=2.
∴AO=AC=OC,
∴△OAC是等边三角形.
∴∠OAC=60°;
(3)32 3−23π.
【解析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式,反比例函数的性质,勾股定理,扇形的面积等知识.
(1)利用待定系数法求解即可;
(2)由点的坐标确定出各线段的长,利用勾股定理求得BC,OC的长,证明△OAC是等边三角形,即可得解;
(3)利用梯形OACD的面积减去扇形OAC的面积即可.
【解答】
解:(1)见答案;
(2)见答案;
(3)阴影部分的面积=梯形OACD的面积−扇形OAC的面积
=12(1+2)× 3−60360×π×22
=32 3−23π.
20.【答案】解:如图所示:△A1B1C1即为所求,
∵OB= 32+32=3 2,
∴旋转过程中点B经过的路线长为:180π×3 2180=3 2π.
【解析】此题主要考查了旋转变换以及弧长公式,勾股定理有关知识,直接利用旋转的性质得出对应点位置,再利用弧长公式得出答案
21.【答案】解:(1)连接OB,
∵OA⊥BC,OA过圆心O,
∴AB=AC,
∵∠AOC=60°,
∴∠BOA=∠AOC=60°,
∴∠ADB=12∠BOA=30°;
(2)∵∠BOA=∠AOC=60°,
∴∠BOC=60°+60°=120°,
∵OA⊥BC,BC=2,OA过圆心O,
∴BE=CE=1,
则OC=CEcs30∘=1 32=2 33,
∴劣弧BC的长为120π×2 33180=4 39π.
【解析】(1)连接OB,根据垂径定理求出AB=AC,根据圆周角定理求出∠BOA=∠AOC=60°,再求出答案即可;
(2)求出圆心角∠BOC的度数,解直角三角形求出OC,再根据弧长公式求出答案即可.
本题考查了垂径定理,圆周角定理,弧长公式,解直角三角形等知识点,能熟记垂径定理是解此题的关键.
22.【答案】解:(1)如图所示,△A1B1C1即为所求;
(2)如图所示,△A2B2C2即为所求;
(3)将△A2B2C2绕着原点O顺时针旋转90°,得到△A3B3C3,如图,连接OC3交A2A3于D,连接OC2交B2B3于E,
∵A2(−2,−1),B2(−1,−2),C2(−3,−3),
∴OA2= 22+12= 5,OB2= 12+22= 5,OC2= 32+32=3 2,
∴OA2=OB2=OD=OE= 5,
由旋转得:OA2=OA3,OB2=OB3,OC2=OC3,A2C2=A3C3,∠C2OC3=DOE=90°,
∴△OA2C2≌△OA3C3(SSS),
∴S△OA2C2=S△OA3C3,
∴线段A2C2在旋转过程中扫过的面积=S扇形C2OC3−S扇形DOE=90⋅π⋅(3 2)2360−90⋅π⋅( 5)2360=13π4.
【解析】(1)根据平移的性质得出对应点的位置,画出平移后的图形即可;
(2)利用轴对称的性质得出对应点的位置,画出图形即可;
(3)根据题意画出旋转后的图形,先求得:OA2= 22+12= 5,OB2= 12+22= 5,OC2= 32+32=3 2,再利用线段A2C2在旋转过程中扫过的面积=S扇形C2OC3−S扇形DOE,即可求得答案.
本题考查简单作图、扇形面积的计算、平移变换、轴对称变换、旋转变换,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.
23.【答案】(1)C
(2) 5
(3)解:连接AO并延长,交⊙O交于点M,连接MB,
∵AM是⊙O的直径,
∴∠ABM=90°.
在Rt△ABM中,
BM= 102−82=6,
∴BM=CD,
∴BM=CD,
∴AB+CD=AB+BM,
又∵∠AOM=180∘,
∴AB+BM=180⋅π⋅5180=5π,
即AB与CD的长度之和为5π
【解析】【分析】
本题考查的是勾股定理,弧长的计算有关知识
(1)根据所给三个问题,发现都用到了整体思想,据此可解决问题.
(2)按要求继续表示出a−b,再将a 2−b 2转化为(a+b)(a−b)即可解决问题.
(3)连接AO并延长,与⊙O交于点M,利用勾股定理求出BM的值,发现BM=CD,进一步得出CD=BM即可解决问题.
【解答】
解:(1)由题中所给三个问题可知,
在解决问题的过程中都用到了整体思想
(2)继续问题3的解题过程,
a2+b2−2ab=ab,
所以(a−b)2=ab,
因为a>b>0,
所以a−b= ab,
所以a2−b2ab=(a+b)(a−b)ab= 5ab⋅ abab= 5
(3)见答案
24.【答案】解:(1)等腰直角三角形;
(2)如图,△A1B1C1即为所求.
(3)如图,△BA2C2即为所求,
△ABC扫过的面积为12× 5× 5+90×π×( 10)2360=52+52π.
【解析】【分析】
本题主要考查作图−轴对称变换和旋转变换,解题的关键是掌握轴对称变换与旋转变换的定义及其性质,扇形的面积公式等知识点.
(1)根据勾股定理及其逆定理即可判断;
(2)分别作出三顶点关于x轴的对称点,再顺次连接可得答案;
(3)作出点A,C绕点B顺时针旋转90°的对应点,再顺次连接可得,旋转过程中三角形扫过的面积是三角形面积与扇形的面积和,据此列式计算.
【解答】
解:(1)∵AB2=12+22=5,AC2=12+22=5,BC2=12+32=10,
∴AB2+AC2=BC2,且AB=AC,
∴△ABC是等腰直角三角形,
故答案为:等腰直角三角形;
(2)见答案;
(3)见答案.
25.【答案】解:(1)△A1B1C1如图所示;
(2)△A2B2C2如图所示;
(3)由网格图可知:AC= 32+12= 10,BC= 22+12= 5
根据旋转,∠ACA2=90°,可知S扇形ACA2=90×π( 10)2360=5π2
根据旋转,∠BCB2=90°,可知 S扇形BCB2=90×( 5)2360=5π4
由图可见:AB在旋转过程中扫过的面积为:(S△ABC+S扇形ACA2)−(S扇形BCB2+S△A2B2C2)=S扇形ACA2−S扇形BCB2=5π2−5π4=5π4
【解析】本题考查网格作图——平移、旋转,以及网格中图形面积的计算,解题涉及平移的性质,旋转的性质,勾股定理,扇形面积公式,掌握平移、旋转的性质和网格中图形面积的计算方法是解题的关键.
(1)按平移变换的性质分别确定A,B,C平移后的位置,再按原来的连接方式连接即可;
(2)按旋转变换的性质分别确定A,B,C绕点C顺时针旋转90度后的位置,再按原来的连接方式连接即可;
(3)AB在旋转过程中扫过的面积为:(S△ABC+S扇形ACA2)−(S扇形BCB2+S△A2B2C2),根据扇形的面积公式求解即可.小明在反思学习时,发现解决下列3个问题时都用到了同一种数学思想方法:
问题1:若a−2b=3,求2a−4b+1的值.
解决思路:2a−4b+1=2(a−2b)+1=2×3+1=7.
问题2:如图,分别以△ABC的3个顶点为圆心,2为半径画圆,求图中3块阴影面积之和.
解决思路:将3块阴影扇形拼成一个半径为2的半圆,则阴影面积为2π.
问题3:已知a2+b2=3ab(a>b>0),求a2−b2ab的值.
解题思路:对已知条件进行恒等变形,a2+b2+2ab=5ab,(a+b)2=5ab,因为a>b>0,所以a+b= 5ab,类似可以得到a−b=⋯.
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