2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高一（下）入学数学试卷（含解析）

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这是一份2023-2024学年湖南省常德市汉寿一中高一（下）入学数学试卷（含解析），共13页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.设集合M={x|0A. {x|−1≤x≤0}B. {x|−1≤x<5}C. {x|−1≤x≤3}D. {x|02.为了得到函数y=cs(x−13)的图象，只需将余弦函数y=csx图象上各点( )
A. 向左平移π3个单位长度B. 向右平移π3个单位长度
C. 向左平移13个单位长度D. 向右平移13个单位长度
3.已知a=(34)−34，b=lg53，c=lg63，则( )
A. a4.如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，F是AD上的一点，且AFFD=15，连接CF并延长交AB于E，则AEEB等于( )
A. 112B. 13C. 15D. 110
5.设α，β，γ∈(0,π2)，且sinβ+sinγ=sinα，csα+csγ=csβ，则β−α等于( )
A. −π3B. π6C. π3或−π3D. π3
6.函数f(x)=x2+1,x≤02x,x>0，若f(a)=10，则实数a的取值是( )
A. 3B. −3C. 3或−3D. 5或−3
7.关于x的方程x2+ax+b=0，有四个命题：甲：该方程两根之和为2；乙：x=3是该方程的根；丙：x=1是该方程的根；丁：该方程两根异号.如果有且只有一个假命题，则该命题是( )
A. 甲B. 乙C. 丙D. 丁
8.已知a，b，c∈R，且aA. a21b
二、多选题：本题共3小题，共15分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列说法正确的是( )
A. 在0°～360°范围内，与−950°12′角终边相同的角是129°48′
B. 已知4弧度的圆心角所对的弦长为2，那么这个圆心角所对的弧长是4sin2
C. 一个扇形的周长为10，弧长为6，那么该扇形的面积是5
D. 若a>b>0，则lga>lgb
10.当a，b∈R时，下列不等关系不成立的是( )
A. a+b2≥ abB. a−b≥2 abC. a2+b2≥2abD. a2−b2≥2ab
11.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示，则下列结论正确的是( )
A. 函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π3个单位得到
B. x=−11π12是f(x)图象的一条对称轴
C. 若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x2−x1|的最小值为π2
D. 直线y=12与函数y=f(x)在[0,10π3]上的图象有7个交点
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数f(x)=xα的图象过点(2, 22)，那么α= ______．
13.已知α∈(0,π2)，β∈(0,π2)，且满足 3cs2α2+ 2sin2β2= 22+ 32，sin(2017π−α)= 2cs(52π−β)，则α+β=______．
14.在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称．若角α的终边经过点(3,4)，则tan(α−β)=______．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题12分)
已知y=f(x)是定义在R上的奇函数，当时x≥0，f(x)=x2+2x．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)解不等式f(x)≥x+2．
16.(本小题12分)
已知函数f(x)=lg1−x1+x．
(1)若a，b∈(−1,1)，求f(a)+f(b)−f(a+b1+ab)的值；
(2)若方程m=f(x)−x在[0,911]上有解，求实数m的取值范围．
17.(本小题12分)
已知函数f(x)=Acs(ωx+φ)+2(A>0,ω>0,0<φ<π)的最小值为1，最小正周期为π，且f(x)的图象关于直线x=π3对称．
(1)求f(x)的解析式、对称轴、对称中心；
(2)求函数y=f(x)在[−π,π]上的单调递减区间．
18.(本小题12分)
如图，有一条宽为60m的笔直的河道(假设河道足够长)，规划在河道内围出一块直角三角形区域(图中△ABC)养殖观赏鱼，AB⊥AC，顶点A到河两岸的距离AE=h1，AD=h2，C，B两点分别在两岸l1，l2上，设∠ABD=α．
(1)若α=30°，求养殖区域面积的最大值；
(2)现拟沿着养殖区域△ABC三边搭建观赏长廊(宽度忽略不计)，若h1=30m，求观赏长廊总长f(α)的最小值．
19.(本小题12分)
设函数f(x)=ax+k⋅a−x+csx(a>0且a≠1，k∈R)．
(1)若f(x)是定义在R上的偶函数，求实数k的值；
(2)若k=0，对任意的x∈[π6,π3]，不等式1+72csx+f(2x)>[f(x)]2恒成立，求实数a的取值范围．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：∵集合M={x|0∴M∩N={x|0故选：D．
利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】【分析】
本题主要考查三角函数图象的变换规律，属于基础题．
直接利用三角函数图象的变换规律，得出结论．
【解答】
解：将余弦曲线上所有的点向右平移13个单位长度，可得函数y=cs(x−13)，x∈R的图象，
故选：D．
3.【答案】B
【解析】解：因为a=(34)−34=(43)34>1，
b=lg53∈(0,1)，c=lg63∈(0,1)，且lg36>lg35>1，
所以lg53>lg63，
所以c故选：B．
由已知结合指数函数及对数函数的单调性即可比较a，b，c的大小．
本题主要考查了指数函数及对数函数单调性在函数值大小比较中的应用，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：如图：过点D作DG//EC交AB于G，
∵AD是BC边上的中线，∴BD=CD，∴BG=GE．
∵DG//EC，∴AE：EG=AF：FD=1：5．
∴AE：EB=1：10．
故选：D．
过点D作EC的平行线，得到BE的中点G，再用平行线分线段成比例定理得到AE：EG=AF：FD，然后求出AE：EB的值．
本题考查的是相似三角形的判定和性质，根据题目告诉AF：FD的值，可以过点D作EC的平行线，得到BE的中点，再根据平行线分线段成比例定理得到AE：EG=AF：FD，可以求出AE：EB的值．
5.【答案】A
【解析】解：由sinβ+sinγ=sinα，csα+csγ=csβ，
得sinγ=sinα−sinβ，csγ=csβ−csα，
平方得sin2γ=(sinα−sinβ)2=sin2α+sin2β−2sinαsinβ，
cs2γ=(csβ−csα)2=cs2α+cs2β−2csαcsβ，
相加得1=2−2cs(β−α)，
即cs(β−α)=12，
∵α，β，γ∈(0,π2)，sinγ=sinα−sinβ>0，
∴sinα>sinβ，则α>β，即β−α<0，
∴β−α=−π3，
故选：A
由条件消掉γ，利用两角和差的余弦公式即可得到结论．
本题主要考查三角函数的化简和求值，利用两角和差的余弦公式是解决本题的关键．
6.【答案】D
【解析】解：当a≤0时，f(a)=a2+1=10，解得a=−3；
当a>0时，f(a)=2a=10，解得a=5；
即实数a的取值是5或−3．
故选：D．
对于求解与分段函数有关的方程时，应分段考虑再合并．
本题主要考查分段函数的应用，属于基础题．
7.【答案】C
【解析】解：若x=3和x=1是该方程的根，则两根同号，
所以乙丙丁不可能同时为真命题，即甲是真命题；
因为该方程两根之和为2，则x=3和x=1不可能同时是该方程的根，
所以乙丙中有一个假命题，丁为真命题；
若甲乙丁为真命题，x=3是该方程的根，得另一根为x=−1，
此时方程为x2−2x−3=0，符合题意；
若甲丙丁为真命题，x=1是该方程的根，得另一根为x=1，
此时两根同号，不符合题意，所以可知丙为假命题．
故选：C．
由题意，可推断得乙丙丁不可能同时为真命题，所以甲是真命题，所以x=3和x=1不可能同时是该方程的根，则乙丙中有一个假命题，丁为真命题，然后分析甲乙丁为真命题和甲丙丁为真命题两种情况，即可得答案．
本题主要考查了韦达定理的应用，考查了复合命题真假的判断，属于基础题．
8.【答案】C
【解析】解：∵a，b，c∈R，且a∴当a、b<0时，例如当a=−2，b=−1时，a2>b2，故A错误；
当c=0时，ac2=bc2，故B错误；
由于y=2x是R上的增函数，故2a<2b，故C正确；
当a=−1，b=1时，1a<1b，故D错误，
故选：C．
由题意利用不等式的性质，指数函数的单调性，举反例来，从而得出结论．
本题主要考查不等式的性质，指数函数的单调性，通过举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法，属于基础题．
9.【答案】ABD
【解析】解：对于A，由于−950°12′=129°48′−360°×3，所以129°48′角与−950°12′角终边相同，A正确；
对于B，设圆的半径为r，则1r=sin(π−2)，即r=1sin(π−2)=1sin2，所以弧长为4r=4sin2，B正确；
对于C，扇形所在圆半径为10−62=2，所以该扇形的面积是12×2×6=6，C错误；
对于D，函数y=lgx在(0,+∞)上单调递增，而a>b>0，所以lga>lgb，D正确．
故选：ABD．
根据终边相同角的表示判断A；由锐角三角函数求出圆的半径r，再计算弧长判断B；由扇形面积公式计算判断C；由对数函数单调性判断D．
本题主要考查命题的真假判断与应用，属于基础题．
10.【答案】ABD
【解析】解：对于A，当ab<0时 ab无意义，所以当a，b∈R时，a+b2≥ ab不成立，
对于B，当ab<0时 ab无意义，所以当a，b∈R时，a−b≥2 ab不成立，
对于C，当a，b∈R时，(a−b)2≥0，所以a2+b2≥2ab成立，
对于D，若a=1，b=2，则a2−b2<2ab，所以当a，b∈R时，a2−b2≥2ab不成立，
故选：ABD．
当ab<0时 ab无意义，可判断AB不成立，由(a−b)2≥0可判断C成立，举反例可知D不成立．
本题主要考查了不等式的性质，考查了基本不等式的应用，属于基础题．
11.【答案】BCD
【解析】解：由图象知T=4(π12+π6)=π，可得2πω=π，∴ω=2，
又函数在x=π12取得最大值1，所以sin(2×π12+φ)=1，解得φ=π3，
故函数解析式为f(x)=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)，
函数f(x)的图象可由y=sin2x的图象向左平移π6个单位得到，故A错误；
f(−11π12)=sin[2×(−11π12)+π3]=1，所以x=−11π12是f(x)图象的一条对称轴，故B正确；
若|f(x1)−f(x2)|=2，则|x2−x1|的最小值为π2，故C正确；
函数y=f(x)在[0,10π3]有3个完整周期，每个周期有2个交点，
在[3π,103π]上有一个交点，故直线y=12与函数y=f(x)在[0,10π3]上的图象有7个交点，故D正确；
故选：BCD．
利用正弦型函数的图象可求得函数解析式，再结合各个选项判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数f(x)=Asin(ωx+φ)的性质，属于中档题．
12.【答案】−12
【解析】解：∵幂函数f(x)=xα的图象过点(2, 22)，
∴2α= 22，
解得α=−12；
∴幂函数f(x)的解析式是y=x−12．
故答案为：−12．
根据幂函数f(x)=xα的图象过点(2, 22)，求出α的值即可
本题考查了求幂函数解析式的应用问题，是基础题目．
13.【答案】512π
【解析】解：∵ 3cs2α2+ 2sin2β2= 22+ 32，
∴ 32(1+csα)+ 22(1−csβ)= 22+ 32，
则 32csα− 22csβ=0，即 3csα= 2csβ，①
∵sin(2017π−α)= 2cs(52π−β)，
∴sin(π−α)= 2cs(12π−β)，
则sinα= 2sinβ，②
①2+②2得，3cs2α+sin2α=2，
则cs2α=12，
由α∈(0,π2)得csα= 22，则α=π4，
代入②可得，sinβ=12，
由β∈(0,π2)得β=π6，
∴α+β=π4+π6=5π12，
故答案为：5π12．
由二倍角公式的变形、诱导公式化简已知的式子，利用平方关系、α和β的范围、特殊角的三角函数值求出α和β的值，可得α+β的值．
本题考查二倍角公式的变形、诱导公式，三角函数值的符号，以及平方关系的应用，考查化简、变形能力．
14.【答案】−247
【解析】解：∵角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
角α的终边经过点(3,4)，可得：角β的终边经过点(−3,4)，
∴tanα=43，tanβ=−43，
∴tan(α−β)=tanα−tanβ1+tanαtanβ=43−(−43)1+43×(−43)=−247．
故答案为：−247．
由题意得到角β的终边经过点(−3,4)，可求tanα，tanβ的值，再由两角差的正切函数公式化简求解即可．
本题考查了两角差的正切函数公式，考查同角的三角函数的基本关系式，是基础题．
15.【答案】解：(1)∵y=f(x)是定义在R上的奇函数，当时x≥0，f(x)=x2+2x，
当x<0时，−x>0，则f(−x)=x2−2x，
∴当x<0时，f(x)=−f(−x)=−x2+2x，
∴f(x)=x2+2x(x≥0)−x2+2x(x<0)．
(2)当x≥0时，原不等式为x2+2x≥x+2，解得x≥1，或x≤−2，从而x≥1；
当x<0时，原不等式为−x2+2x≥x+2，此不等式的解集为⌀．
综上，原不等式的解集为{x|x≥1}．
【解析】(1)由题意利用函数为奇函数，求得当x<0时函数的解析式，从而得出结论．
(2)分类讨论，求得不等式的解集．
本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，解不等式，属于中档题．
16.【答案】解：(1)∵f(x)=lg1−x1+x，
∴f(a)+f(b)=lg1−a1+a+lg1−b1+b=lg(1−a)(1−b)(1+a)(1+b)=lg1−a−b+ab1+a+b+ab，
f(a+b1+ab)=lg1−a+b1+ab1+a+b1+ab=lg1−a−b+ab1+ab1+a+b+ab1+ab=lg1−a−b+ab1+a+b+ab，
∴f(a)+f(b)−f(a+b1+ab)=0；
(2)f(x)=lg1−x1+x=lg2−(1+x)1+x=lg(21+x−1)，
∵t=21+x−1在(−1,1)上单调递减，y=lgt在(0,+∞)上单调递增，
∴f(x)在(−1,1)上单调递减，
∴f(x)−x在(−1,1)上单调递减，
∴当x∈[0,911]时，f(911)−911≤f(x)−x≤f(0)−0，即−2011≤f(x)−x≤0，
∴若方程m=f(x)−x在[0,911]上有解，则−2011≤m≤0，
即实数m的取值范围为[−2011,0]．
【解析】(1)根据对数的运算法则进行运算求解即可；
(2)根据复合函数单调性的性质进行求解即可．
本题主要考查了函数与方程的关系，考查了复合函数的单调性，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题意可知−A+2=1，T=π所以A=1，ω=2πT=2，f(x)=cs(2x+φ)+2，
因为f(x)的图象关于直线x=π3对称，所以2×π3+φ=kπ，k∈Z，
得φ=−23π+kπ，k∈Z，又因0<φ<π，所以φ=π3，故f(x)=cs(2x+π3)+2，
令2x+π3=kπ，k∈Z，得x=−π6+kπ2，k∈Z，故函数的对称轴为x=−π6+kπ2，k∈Z；
令2x+π3=π2+kπ，k∈Z，得x=π12+kπ2，k∈Z，
故对称中心为(π12+kπ2,2)，k∈Z．
(2)f(x)=cs(2x+π3)+2，
令2kπ≤2x+π3≤π+2kπ，k∈Z，得−π6+kπ≤x≤π3+kπ，k∈Z，
故函数的递减区间为[−π6+kπ,π3+kπ]，k∈Z，
当k=−1时得[−7π6,−2π3]，当k=0时得[−π6,π3]，当k=1时得[5π6,4π3]，又因x∈[−π,π]，
所以f(x)在[−π,π]上的单调递减区间为[−π,−2π3]，[−π6,π3]，[5π6,π]
【解析】(1)先根据函数的最值，最小正周期，对称轴求出函数的解析式，再利用函数f(x)=Acs(ωx+φ)+m
的性质求对称轴与对称中心；
(2)利用函数f(x)=Acs(ωx+φ)+m的性质求出递减区间，再结合区间[−π,π]即得．
本题考查三角函数的图象与性质，属于中档题．
18.【答案】解：(1)α=30°时，AB=h2sinα=2h2,AC=h1csα=2 3h1，
所以S△ABC=12AB⋅AC=2 3h1h2，
又因为h1+h2=60≥2 h1h2(当且仅当h1=h2时等号成立)，
所以h1h2≤900，
于是S△ABC=2 3h1h2≤600 3，
因此，养殖区域面积的最大值为600 3m2．
(2)由题意，AB=30sinα,AC=30csα，
所以BC= (30sinα)2+(30csα)2=30 1sin2α+1cs2α=30sinαcsα，
所以△ABC的周长f(α)=30(1sinα+1csα+1sinαcsα)=30(sinα+csα+1sinαcsα)，
其中α∈(0,π2)．
设t=sinα+csα，则t=sinα+csα= 2sin(α+π4)∈(1, 2],
所以sinαcsα=t2−12．
所以y=30⋅t+1t2−12=60t−1，
于是当t= 2时，f(α)min=60 2−1=60( 2+1)，
因此，观赏长廊总长的最小值为60( 2+1)m．
【解析】本题考查三角函数模型的选择及应用，训练了利用换元法及基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．
(1)α=30°时，AB=h2sinα=2h2,AC=h1csα=2 3h1，利用基本不等式可得h1h2≤900，可求养殖区域面积的最大值．
(2)AB=30sinα,AC=30csα，f(α)=30(sinα+csα+1sinαcsα)，令t=sinα+csα，可得y=30⋅t+1t2−12=60t−1，t∈(1, 2]，可求f(α)的最小值．
19.【答案】解：(1)因为f(x)为偶函数，
所以f(−x)=f(x)，
所以a−x+kax+csx=ax+ka−x+csx，对任意x∈R恒成立，
所以a−x+kax=ax+ka−x对任意x∈R恒成立，
所以(k−1)(ax−a−x)=0对于任意x∈R成立，
所以k=1．
(2)当k=0时，f(x)=ax+csx，
由1+72csx+a2x+cs2x>(ax+csx)2，
即有72csx+a2x+2cs2x>a2x+2axcsx+cs2x，
即72csx−2axcsx+cs2x>0，
又当x∈[π6,π3]时，csx>0，
故有2ax−csx−72<0对x∈[π6,π3]恒成立，
①若0②若a>1，则函数y=2ax−csx−72在x∈[π6,π3]上单调递增，
故有ymax=2aπ3−csπ3−72<0，解得a<2 3π
综上所述，a的取值范围(0,1)∪(1,2 3π).
【解析】本题考查函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．
(1)又f(x)为偶函数，得f(−x)=f(x)，则a−x+kax+csx=ax+ka−x+csx，对任意x∈R恒成立，即可得出k的值．
(2)当k=0时，f(x)=ax+csx，即有72csx+a2x+2cs2x>a2x+2axcsx+cs2x，且csx>0，问题等价于2ax−csx−72<0对x∈[π6,π3]恒成立．讨论函数y=2ax−csx−72的单调性，从而求出a的取值范围．