2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 遇到中点如何添加辅助线 教学课件

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 遇到中点如何添加辅助线 教学课件，共28页。PPT课件主要包含了考情及趋势分析，例1题图，例2题图，例3题图，例4题图，例5题图，方法三倍长中线法，例6题图，例7题图，第1题图等内容，欢迎下载使用。
方法一　构造中位线(8年2考：2021.27，2020.25)
情形1　当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线条件：如图，点D，E分别为AB，AC边的中点． 辅助线作法：连接DE.结论：DE∥BC；DE＝ BC；△ADE∽△ABC.
情形2　遇到中线考虑中线中位法条件：如图，点D为AB边的中点． 辅助线作法：延长BC至点E，使得CE＝BC，连接AE.结论：CD∥AE；CD＝ AE；△BDC∽△BAE.
例1　 如图，在△ABC中，点D，E分别为AC，BC的中点，连接AE，BD交于点F，则 的值为________．例2　如图，在正方形ABCD中，P是BC边上一点，Q是CD边上的中点，连接AP，PQ，若E，F分别是AP，PQ的中点，AB＝4，则EF的长为________．
例3　 如图，在△ABC中，点D是AB的中点，点E为BC边上一点，且∠BCA＝2∠BED，BE＝ AC，CE＝3，求AC的长．
解法一：如图，过点D作DG∥AC交BC于点G，
∴∠BGD＝∠BCA.∵∠BCA＝2∠BED，∴∠BGD＝2∠BED.∵∠BGD＝∠BED＋∠EDG，∴∠BED＝∠GDE，∴DG＝EG.∵D是AB中点，DG∥AC.∴DG是△ABC的中位线，∴DG＝ AC.
∵BC＝BE＋CE＝ AC＋3，∴BG＝ BC＝ AC＋ .∵BG＝BE－GE＝ AC－ AC＝ AC，∴ AC＋ ＝ AC，∴AC＝9.
解法二：如图，延长BC至点G，使EG＝BE，连接AG.
∵点D是AB的中点，∴DE是△ABG的中位线，∴DE∥AG，∴∠BED＝∠G.∵∠BCA＝2∠BED，∴∠BCA＝2∠G＝∠G＋∠CAG，∴∠G＝∠CAG，∴CG＝AC.
∵BE＝ AC，∴设CG＝AC＝3x，则BE＝EG＝4x，∴CE＝EG－CG＝x＝3，∴AC＝3x＝9.
方法二　构造中线(8年4考：2023.26，2020.20，2018.27，2017.27)
情形1　遇等腰三角形底边中点时，考虑作底边上的中线，利用“三线合一”解题条件：如图，在等腰△ABC中，点D是底边BC的中点． 辅助线作法：连接AD.结论：AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD.
情形2　遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线条件：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点D为AB边的中点． 辅助线作法：连接CD.结论：CD＝ AB.
例4　如图，在△ABC中，D是BC上的点，AD＝AB，E，F分别是AC，BD的中点，AC＝6，则EF的长为________．例5　如图，将两个含30°的直角三角形摆放在一起，点E为AB的中点，连接DE.若AC＝2，则DE的长为________．
情形1　倍长中线条件：如图，在△ABC中，AD是BC边的中线． 辅助线作法1：延长AD至点E，使DE＝AD，连接BE.辅助线作法2：过点B作AC的平行线，交AD的延长线于点E.结论：△ACD≌△EBD.
情形2　倍长类中线条件：如图，在△ABC中，点D是边BC的中点，E是边AB上一点，连接DE. 辅助线作法1：延长ED至点F，使DF＝ED，连接CF.辅助线作法2：过点C作AB的平行线，交ED的延长线于点F.结论：△BDE≌△CDF.
例6　 如图，在△ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE＝AC，延长BE交AC于点F，求证：AF＝EF.
证法一：如图，延长AD至点G，使得AD＝DG，连接BG.
∵AD是BC边上的中线，∴DC＝DB.在△ADC和△GDB中，∴△ADC≌△GDB(SAS)，
∴∠CAD＝∠G，BG＝CA.又∵BE＝AC，∴BE＝BG，∴∠BED＝∠G.∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠CAD，∴AF＝EF.
证法二：如图，延长ED至点H，使得DH＝DE，连接CH.
∵AD是BC边上的中线，∴BD＝CD.在△BDE和△CDH中，∴△BDE≌△CDH(SAS)，∴BE＝CH，∠BED＝∠H.∵AC＝BE，∴AC＝CH，∴∠H＝∠FAE.∵∠BED＝∠AEF，∴∠AEF＝∠FAE，∴AF＝EF.
例7　如图，在正方形ABCD中，E是AB的中点，点F在BC上，且∠EFD＝∠ADF，求tan ∠CDF的值．
解：如图，延长FE至点G，使得EG＝EF，连接AG.
设正方形ABCD的边长为1，设CF＝x，则BF＝1－x，∵点E是AB的中点，∴AE＝BE.在△AEG和△BEF中，
∴△AEG≌△BEF(SAS)，∴AG＝BF＝1－x，∠EAG＝∠EBF＝∠BAD＝90°，∴D，A，G三点共线．∵∠EFD＝∠ADF，∴GF＝GD＝1－x＋1＝2－x，EF＝ GF＝1－ .在Rt△BEF中，由勾股定理得，BF2＋BE2＝EF2，即(1－x)2＋( )2＝(1－ )2，解得x＝ 或x＝1(舍去)，∴tan ∠CDF＝ ＝ .
1. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠C＝30°，D，E分别为边AC，BC的中点，连接AE，过点D作DF⊥AC交BC于点F，若EF＝2，求BF的长．
解：如图，连接DE，BD.
∵点D，E分别为边AC，BC的中点，∴DE∥AB，BD＝CD，∴∠DEC＝∠ABC＝90°，∠DBC＝∠C＝30°，∴∠DEF＝90°.
∵DF⊥AC，∴∠CDF＝90°，∴∠DFE＝90°－∠C＝60°，∴∠DBF＝∠BDF＝30°，∴BF＝DF.∵EF＝2，cs ∠DFE＝ ＝ ，∴DF＝4，∴BF＝4.
2. 如图，在△ABC中，D是边AC的中点，E为BC边上一点，且CD＝CE，∠ACB＝30°，∠BAC＝45°，若DE＝2，求AB的长．
解：如图，过点A作AF∥DE交CE的延长线于点F.
∵CD＝CE，∠ACB＝30°，∴∠CED＝∠CDE＝ (180°－∠ACB)＝75°.∵AF∥DE，点D是边AC的中点，∴DE为△ACF的中位线，∴∠CFA＝∠CAF＝∠CED＝∠CDE＝75°，∴∠BAF＝∠CAF－∠BAC＝30°，AF＝2DE＝4，
∴∠ABF＝180°－∠AFB－∠BAF＝75°.∵∠ABF＝∠AFB＝75°，∴AB＝AF＝4.
3. 如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ADC＝90°，∠BAD＝45°，E，F分别是AC，BD的中点．若AC＝2，求EF的长．
解：如图，连接BE，DE.
∵∠ABC＝∠ADC＝90°，点E是AC的中点，∴BE＝ AC，DE＝ AC，∴BE＝DE＝1.∵∠BEC是△ABE的外角，BE＝AE，∴∠BEC＝2∠BAE，同理可得∠DEC＝2∠DAC，∴∠BED＝∠BEC＋∠DEC＝2∠BAD＝90°，
∴在Rt△BDE中，BD＝ BE＝ .∵点F是BD的中点，∴EF＝ BD＝ .
连接BE，DE，通过线段关系推导出角度关系，从而得到△BED为等腰直角三角形．
4. 如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，E是边BC的中点，F是边AB上一点，连接EF并延长交CA的延长线于点G，若∠G＝45°，GF＝ ，AC＝4，求BF的长．
解：如图，延长FE至点Q，使得EQ＝EF，连接CQ.
∵点E是边BC的中点，∴BE＝CE.在△BEF和△CEQ中，
∴△BEF≌△CEQ(SAS)，∴BF＝CQ，∠B＝∠QCE，∴AB∥CQ.∵∠BAC＝90°，∴∠GCQ＝90°.∵∠G＝45°，∠GAF＝90°，∴△AFG和△GCQ均是等腰直角三角形，∴AG＝AF＝ GF＝1，∴CQ＝CG＝AG＋AC＝1＋4＝5，∴BF＝CQ＝5.