2024成都中考数学第一轮专题复习之微专题 与线段最值有关的问题 教学课件

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之微专题 与线段最值有关的问题 教学课件，共40页。PPT课件主要包含了考情及趋势分析，例1题图，例2题图，例3题图，例4题图，例5题图，例6题图，例7题图，例8题图，一题多解等内容，欢迎下载使用。

如图，已知直线l外一定点A和直线l上一动点B，求A，B之间距离的最值．辅助线作法：过点A作AB⊥直线l，此时AB为垂线段，点A到点B的距离最小，最小值为AB.
例1　如图，在Rt△ABC中，AC＝3，BC＝4，点D是AB上的动点，则线段CD的最小值是________．
例2　如图，△ABC为等边三角形，D为BC边上一动点，将AD绕点A逆时针旋转60°得到AE，连接CE，DE，若AO＝1，AB＝4，连接OE，则OE的最小值是________．
如图，已知点A，B是平面内固定的两点，点C是同一平面内一动点．
1．连接AC，BC.在△ABC中，根据三边关系，有AB－BC(2)如图，当点C在线段AB的延长线上时，AB＋BC的值最大，最大值为线段AC的长．
例3　 如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴的正半轴上，点B在x轴的正半轴上，AB＝4，以AB为直角边在第一象限内作等腰Rt△ABC，连接OC，则OC的最大值为____________．
例4　如图，平面内三点A，B，C，AB＝4，AC＝3，以BC为对角线作正方形BDCE，连接AD，则AD的最大值是________．
如图，两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使PA＋PB的值最小．辅助线作法：(将军饮马模型)作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′，与直线l交于点P.
注：也可以作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B，与直线l交于点P.
类型二　两条线段求最值
(8年2考：2022.23，2019.24)
例5　如图，等腰△ABC的底边BC长为6，面积是30，腰AC的垂直平分线EF分别交AC，AB边于点E，F，若点D为BC边的中点，点M为线段EF上一动点，则CM＋MD的最小值为________．
如图，P为∠AOB的OB边上一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得PM＋MN的值最小．辅助线作法：过点P作OA的对称点P′，过点P′作OB的垂线，分别与OA，OB交于点M，N.
例6　如图，在矩形ABCD中，E是AD边上的一个动点，F是对角线BD上的一个动点，连接BE，EF，若AB＝5，AD＝10，则BE＋EF的最小值为________．
情况1　如图，两定点A，B位于直线l同侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．辅助线作法：连接AB并延长与直线l交于点P.
情况2　如图，两定点A，B位于直线l异侧，在直线l上找一点P，使得|PA－PB|的值最大．辅助线作法：作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′并延长，与直线l交于点P.
例7　如图，在等边△ABC中，AB＝4，AD是中线，E是AD边的中点，P是AC边上一动点，则BP－EP的最大值为________.
例8　 如图，在菱形ABCD中，AB＝4，∠B＝60°，E是AB的中点，F在边CD上，且CF＝1，P是直线AC上一点，连接PE，PF，则PE－PF的最大值为________．
情况1　如图，已知l1∥l2，l1，l2之间距离为d，定点A，B分别在位于直线l1，l2的上方和下方，在l1，l2上分别找M，N两点，使得MN⊥l1，且AM＋MN＋NB的值最小．辅助线作法：将点A向下平移d个单位长度到点A′，连接A′B交直线l2于点N，过点N作NM⊥l1于点M.
情况2　如图，在直线l上找M，N两点(M在N左侧)，使得MN＝d，且AM＋MN＋NB的值最小．辅助线作法：将点A向右平移d个单位长度到点A′，作点A′关于直线l的对称点A″，连接A″B交直线于点N，将点N向左平移d个单位到点M.
例9　如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，点M，N在AC上，且MN＝1，连接BM，DN，则BM＋DN＋MN的最小值为________．
解法一：利用平移求解．解法二：利用菱形的性质求解．
例10　 如图，在▱ABCD中，AB＝6，AD＝2，∠BAD＝60°，E，F是CD边上的动点(不与点C，D重合)，点E在点F的左侧，且EF＝1，则AE＋EF＋BF的最小值为________．
例11　 如图，在平面直角坐标系中，长为2的线段CD(点D在点C右侧)在x轴上移动，A(0，2)，B(0，3)，连接AC，BD，则AC＋BD的最小值为________．
如图，点A为直线l上一定点，点B为直线l外一定点，点P为直线l上一动点，要使kAP＋BP(0＜k＜1)的值最小．方法：一找：找带有系数k的线段AP；二构：在点B异侧，构造以线段AP为斜边的直角三角形；①以定点A为顶点作∠NAP，使sin ∠NAP＝k；②过动点P作垂线，构造Rt△APE；三转化：化折为直，将kAP转化为PE；四求解：使得kAP＋BP＝PE＋BP，利用“垂线段最短”转化为求BF的长．
例12　如图，在△ABC中，AC＝4，∠A＝60°，BD⊥AC交AC于点D，P为线段BD上的动点，则PC＋ PB的最小值为________．
例13　 如图，在Rt△ABC中，AC＝10，∠B＝90°，∠C＝30°，点D是BC边上的动点，则2AD＋CD的最小值为________．
如图，P是∠AOB的内部一定点，在OA上找一点M，在OB上找一点N，使得△PMN的周长最小．辅助线作法：分别作点P关于OA，OB的对称点P′，P″，连接P′P″，分别交OA，OB于点M，N.
类型三　三条线段求最值
例14　如图，∠AOB＝30°，M，N分别是射线OA，OB上的动点，P为∠AOB内一点，且OP＝20，则△PMN周长的最小值是________．
如图，P，Q是∠AOB内部的两定点，M，N分别是OA，OB上的动点，试确定M，N的位置，使得四边形PQNM周长的最小．
辅助线作法：作点P关于OA 的对称点P′，点Q关于OB的对称点Q′，连接P′Q′ ，分别交OA，OB于点M ，N.
例15　如图，在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝3，E是AB的中点，若P，F分别是边BC，CD上的动点，则四边形AEPF周长的最小值为________．
AE的长固定，即求AF＋FP＋PE的最小值，通过作对称，转化所求线段即可．
1. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝10，BC＝8，线段DE的两个端点D，E分别在边AC，BC上滑动，且DE＝6，若M，N分别是DE，AB的中点，则MN的最小值为________．
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，连接AC，O是AC的中点，M是AD上一点，且MD＝1，P是BC上一动点，则PM－PO的最大值为________．
3. 如图，在正方形ABCD中，AB＝4. M为对角线AC上一点，且CM＝ ，N是对角线BD上的一个动点，则MN＋ NB的最小值是________．
4. (2023东营节选)如图，正方形ABCD的边长为4，点E，F分别在边DC，BC上，且BF＝CE，AE平分∠CAD，连接DF，分别交AE，AC于点G，M.P是线段AG上的一个动点，过点P作PN⊥AC，垂足为N，连接PM.则PM＋PN的最小值为________．
【解析】如解图，连接BD与AC交于点O，交AG于点H，连接HM.∵四边形ABCD是正方形，∴AC⊥BD，即DO⊥AM，AD＝DC＝BC，∠ADC＝∠DCB＝90°.
∵BF＝CE，∴BC－BF＝DC－CE，即CF＝DE，在△ADE和△DCF中，
∴△ADE≌△DCF(SAS)，∴∠DAE＝∠CDF.∵∠CDF＋∠ADG＝90°，∴∠DAE＋∠ADG＝90°，∴∠AGD＝90°，∴∠AGM＝90°，∴∠AGM＝∠AGD.
∵AE平分∠CAD，∴∠MAG＝∠DAG.∵AG为公共边，∴△AGM≌△AGD(ASA)，∴GM＝GD.∵∠AGM＝∠AGD＝90°，∴AE垂直平分DM，∴HM＝HD，
当点P与点H重合时，PM＋PN的值最小，此时PM＋PN＝HM＋HO＝HD＋HO＝DO，即PM＋PN的最小值是DO的长，
∵正方形ABCD的边长为4，∴AC＝BD＝4 ，∴DO＝ BD＝2 ，即PM＋PN的最小值为2 .
5. 如图，某景区为了增加景点特色，在景区修建了一条两河岸平行的人工河，凉亭A，B位于河两岸，为了游玩通行方便，现计划要在河上造一座桥(桥垂直于河岸)，使凉亭A，B之间的路程最短．已知河宽为100 m，凉亭A到河岸MN的距离为800 m，凉亭B到河岸PQ的距离为400 m，且凉亭A，B的水平距离为1 600 m，请计算从凉亭A出发经过桥后到达凉亭B的最短路程．
解：如解图，作点A到河岸的垂线，分别交河岸MN，PQ于点E，G，
在AG上取AF＝CD，连接FB交PQ于点D′，在D′处作到对岸的垂线D′C′，那么D′C′就是造桥的位置，此时从凉亭A出发经过桥后到达凉亭B的路程最短．∵AF＝C′D′，AF∥C′D′，∴四边形FD′C′A是平行四边形，∴AC′＝FD′，∴AC′＋C′D′＋D′B＝FD′＋D′B＋C′D′＝FB＋C′D′.过点B作BH∥PQ交AG的延长线于点H，