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    2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 教学课件

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    这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 一线三等角模型解决全等、相似问题 教学课件,共25页。PPT课件主要包含了△APC∽△BDP,一线三等角,例1题图,例2题图,引入模型,成都26题图,例3题图,例4题图,第1题图,第2题图等内容,欢迎下载使用。
    1. 模型特点:∠1,∠2,∠3的顶点在同一条直线上,且∠1=∠2=∠3.基本图形: 一线三等角 一线三垂直
    2. 一线三等角模型的结论:(1)△APC和△BDP的关系是________________;(2)若在(1)中的条件下,增加条件____________________________,可以得到△APC≌△BDP.
    PC=PD(或AP=BD或AC=BP)
    例1 (北师八下P35第17题改编)如图,在等边△ABC中,AB=6,点D,E,F分别在AB,BC,AC边上,连接DE,EF,且∠DEF=60°.若BD=4,E为BC的中点,求CF的长.
    解:∵△ABC为等边三角形,∴∠B=∠C=60°.∵∠DEF=60°,∴∠BDE+∠BED=120°.∴∠CEF+∠BED=120°,∴∠BDE=∠CEF,∴△BDE∽△CEF,
    ∴ .∵E为BC的中点,△ABC为等边三角形,∴BE=CE=3,∴ ,解得CF= .
    例2 如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,E为AD上一点,连接CE,过点E作EF⊥EC交AB于点F,若EF=CE,求四边形BCEF的周长.
    解:∵四边形ABCD为矩形,∴∠A=∠D=90°,CD=AB=6,AD=BC=8,∴∠AFE+∠AEF=90°.∵EF⊥CE,∴∠AEF+∠DEC=90°,∴∠AFE=∠DEC,在△AEF和△DCE中,
    ∴△AEF≌△DCE(AAS),∴AE=CD=6,∴AF=DE=AD-AE=2,∴EF=CE= ,∴BF=AB-AF=4,∴四边形BCEF的周长为4+8+2 +2 =12+4 .
    条件:如图,△AOB是等腰直角三角形,直角顶点O在直线MN上. 辅助线作法:分别过A,B两点作AC⊥MN于点C,BD⊥MN于点D.结论:△AOC≌△OBD,CD=BD+AC.
    条件:如图,△AOB是直角三角形,直角顶点O在直线MN上,且AO≠OB. 辅助线作法:分别过A,B两点作AC⊥MN于点C,BD⊥MN于点D.结论:△AOC∽△OBD.
    例3 如图,已知正方形ABCD的边长为4,E是边CD的中点,且EF⊥AE,EF=AE,连接CF,求CF的长.
     解:如图,过点F作FG⊥DC交DC的延长线于点G.
    ∵四边形ABCD是正方形,∴AD=CD=4,∠D=90°.∵EF⊥AE,∴∠AEF=90°,∴∠DAE+∠AED=∠GEF+∠AED=90°,∴∠DAE=∠GEF.在△ADE和△EGF中,
    ∴△ADE≌△EGF(AAS),∴AD=EG=4.∵E为CD的中点,∴DE=CE=GF= CD=2,∴CG=EG-EC=2,∴在Rt△CGF中,CF= .
    例4 如图,在△ABC中,D是BC上一点,连接AD,E是AD上一点,连接BE,若∠BAC=∠BED,∠BAC+∠ADC=180°,AE=1,BE=CD=2,求DE的长.
    解:∵∠BAC=∠BED,∠BAC+∠ADC=180°,∠BDE+∠ADC=180°,∴∠BAC=∠BED=∠BDE.∵∠BDE=∠ACD+∠DAC,∠BAC=∠BAE+∠DAC,∴∠ACD=∠BAE.∵∠BED=∠ABE+∠BAE,∠BDE=∠DAC+∠ACD,
    ∴∠DAC=∠EBA,∴△ACD∽△BAE,∴ .∵AE=1,BE=CD=2,∴AD=4,∴DE=AD-AE=3.
    1. 如图,在等腰Rt△ABC中,∠ACB=90°,E是AB边上方一点,连接CE.AD⊥CE于点D,BE⊥CE于点E,若DE=2BE,求cs ∠CAD的值.
    解:∵∠ACB=90°,AD⊥CE,BE⊥CE,∴∠BCE+∠ACD=90°,∠ACD+∠CAD=90°,∠BED=∠ADC=90°,∴∠BCE=∠CAD.∵△ABC为等腰直角三角形,∴AC=BC.在△BCE和△CAD中,
    ∴△BCE≌△CAD(AAS),∴CD=BE,∵DE=2BE,∴CE=3BE,∴BC= ,∴cs ∠CAD=cs ∠BCE= .
    2. 如图,在菱形ABCD中,P是边AD上一点,连接CP,在线段CP上取点E,F,分别连接BE,DF,使得∠BEC=∠ADC,∠CDF=∠CPD.(1)求证:△BCE≌△CDF;
    (1)证明:∵四边形ABCD是菱形,∴AD∥BC,BC=CD,∴∠BCE=∠CPD.∵∠CDF=∠CPD,∴∠BCE=∠CDF.∵∠BEC=∠ADC,∠CBE=180°-∠BCE-∠BEC,∠DCF=180°-∠CPD-∠ADC,
    ∴∠CBE=∠DCF.在△BCE和△CDF中,∴△BCE≌△CDF(ASA);
    (2)若菱形的边长为 ,且BE=4,求PF的长.
    (2)解:由(1)知△BCE≌△CDF,则CF=BE=4,∵∠CDF=∠CPD,∠DCF=∠DCP,∴△CDF∽△CPD,∴ ,即CD2=CF·CP=4CP.∵菱形的边长为2 ,∴CD2=(2 )2=28,∴CP=7,∴PF=CP-CF=7-4=3.
    3. 如图,在▱ABCD中,AB=3,BC=4,∠B=60°,E是AB边上一点,过点E作EF⊥DE,交BC边于点F,且∠EFD=60°,求AE的长.
    解法一:如图,过点F作FM⊥AB于点M,过点D作DN⊥BA,交BA的延长线于点N.
    ∵∠MEF+∠DEN=∠NDE+∠DEN=180°-90°=90°,∴∠MEF=∠NDE.∵∠EMF=∠DNE=90°,∴△EMF∽△DNE.
    ∵四边形ABCD为平行四边形,∠B=60°,∴AD∥BC,AD=BC=4,∴∠NAD=∠B=60°,∴AN= AD=2,DN= AD=2 .∵∠DFE=60°,∠DEF=90°,∴ ,∴ ,∴EM=2.设AE=x,则BM=AB-AE-EM=1-x,NE=2+x,在Rt△BMF中,MF= BM= - x,∴ ,解得x= ,∴AE= .
    解法二:如图,延长BC至点G,连接DG,使∠G=60°.
    ∵∠B=∠EFD=60°,∴∠BFE+∠BEF=∠BFE+∠DFC=120°,∴∠BEF=∠DFC.∵∠B=∠G=60°,∴△BEF∽△GFD,∴ .∵∠DFE=60°,∠DEF=90°,∴DF=2EF,
    ∴ .∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB∥CD,AB=CD=3,∴∠DCG=∠B=∠G=60°,∴△DCG是等边三角形,∴CG=DG=CD=3,∴ ,∴BF= .∵BC=4,
    ∴CF=BC-BF=4- = ,
    ∴FG=CF+CG= +3= ,∴ ,∴BE= ,∴AE=AB-BE= .

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