2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 手拉手模型解决全等、相似问题 课件

这是一份2024成都中考数学第一轮专题复习之第四章 微专题 手拉手模型解决全等、相似问题 课件，共17页。PPT课件主要包含了例1题图，例2题图，第1题图，解题关键点，第2题图①，第2题图②等内容，欢迎下载使用。
1. 全等手拉手模型图形特点：双等腰：AB＝AC，AD＝AE，共顶点：线段AB，AC，AD，AE交于点A，顶角相等：∠BAC＝∠DAE，旋转得全等：△ADE绕点A旋转，连接CE，BD，则△ABD≌△ACE.
2. 相似手拉手模型图形特点：非等腰：AB≠AC，AD≠AE，共顶点：线段AB，AC，AD，AE交于点A，顶角相等：∠BAC＝∠DAE，旋转得相似：△ADE绕点A旋转，连接BD，CE，则△ABD∽△ACE.
例1　如图，在△ABC中，∠ABC＝30°，以AB，AC为边，分别向外作等边△ABD，△ACE，连接BE，DC.(1)求证：△ABE≌△ADC；
(1)证明：∵△ABD和△ACE均为等边三角形，∴AD＝AB，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，∴∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC，即∠DAC＝∠BAE.在△ABE和△ADC中，
∴△ABE≌△ADC(SAS)
(2)若AB＝4，BC＝6，求BE的长．
(2)解：∵△ABD为等边三角形，∴∠DBA＝60°，BD＝AB＝4.又∵∠ABC＝30°，∴∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝90°.在Rt△BDC中，CD＝ ，由(1)得△ABE≌△ADC，∴BE＝CD＝2 .
例2 如图，在△OAB和△OCD中，∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD＝30°，连接AC，连接BD并延长，分别交AO于点E，交AC于点M.(1)求 的值；
(1)解：∵∠AOB＝∠COD＝90°，∠OAB＝∠OCD，∴∠COD＋∠AOD＝∠AOB＋∠AOD，即∠AOC＝∠BOD.∵∠OAB＝∠OCD＝30°，∠AOB＝∠COD＝90°，∴tan ∠OCD＝tan ∠OAB＝ ，
∴ ，∴△AOC∽△BOD，∴ .
(2)求证：AM⊥BM.
(2)证明：∵△AOC∽△BOD，∴∠CAO＝∠DBO.∵∠MEA＝∠OEB，∴∠AMB＝∠AOB＝90°，∴AM⊥BM.
1. 如图，将正方形ABCD的边AB绕点A逆时针旋转至AB′，旋转角为α(0＜α＜180°)，连接BB′，过点D作DE垂直直线BB′，垂足为E，连接DB′，CE.求 的值．
解：如图，连接BD.
∵AB＝AB′，∠BAB′＝α，∴∠AB′B＝90°－ .∵∠B′AD＝α－90°，AD＝AB′，∴∠AB′D＝135°－ ，
∴∠EB′D＝∠AB′D－∠AB′B＝135°－ －(90°－ )＝45°.∵DE⊥BB′，∴∠EDB′＝∠EB′D＝45°，∴△DEB′是等腰直角三角形，∴ .∵四边形ABCD是正方形，∴ ，∠BDC＝45°，∴ .∵∠EDB′＝∠BDC，∴∠EDB′＋∠EDB＝∠BDC＋∠EDB，即∠B′DB＝∠EDC，∴△B′DB∽△EDC，∴ .
连接BD，构造手拉手相似模型求解．
2. 【问题情境】数学探究课上，老师出示了这样一个几何问题背景：在四边形ABCD中，已知E是四边形ABCD内部一点，BE⊥DE，连接BD，AE，CE，∠CBD＝∠ABE，∠ADB＝∠BCE＝60°.(1)【探究发现】如图①，小敏添加了两个条件：“AB＝AD，∠AEB＝150°”，请你证明：CE＝ AE；
(1)证明：∵AB＝AD，∠ADB＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴∠ABD＝60°，AB＝BD.∵∠CBD＝∠ABE，∴∠CBE＝∠CBD＋∠EBD＝∠ABE＋∠EBD＝∠ABD＝60°.
又∵∠BCE＝60°，∴△BEC是等边三角形，∴∠BCE＝∠BEC＝60°，BE＝BC＝CE.在△ABE和△DBC中， ∴△ABE≌△DBC(SAS)，∴AE＝CD，∠BCD＝∠BEA＝150°，∴∠DCE＝∠BCD－∠BCE＝90°.
又∵BE⊥DE，∴∠BED＝90°，∴∠CED＝∠BED－∠BEC＝30°，∴CE＝ CD，∴CE＝ AE；
证明△ABE≌△DBC，利用手拉手全等模型求解；
(2)【拓展迁移】在其他条件不变的情况下，老师将∠ABD定为90°，画出新图如图②，若A，E，C三点共线，求 的值．
(2)解：∵∠ABE＝∠CBD，∴∠ABE＋∠EBD＝∠DBC＋∠EBD，∴∠ABD＝∠EBC＝90°.又∵∠ADB＝∠BCE＝60°，∴ ，∠BEC＝30°.又∵∠ABE＝∠CBD，∴△ABE∽△DBC，
∴∠AEB＝∠DCB＝180°－∠BEC＝150°， ，∴∠ECD＝∠BCD－∠BCE＝90°.∵BE⊥DE，∴∠BED＝90°，∴∠CED＝∠BED－∠BEC＝60°.设BC＝x，则CE＝2x，BE＝ x，在Rt△ECD中，CD＝CE·tan 60°＝2 x，∴AE＝ ＝6x，∴ .
证明△ABE∽△DBC，利用手拉手相似模型求解．