2024成都中考数学第一轮专题复习之第五章 微专题 对角互补模型 练习课件

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1. 问题呈现：已知等边△ABC边BC的中点为D，∠EDF＝120°，且点E，F分别在AB，AC上，现要探究线段BE，CF与BC之间的数量关系．【特例研究】(1)如图①，当DE⊥AB，DF⊥AC时，请直接写出BE，CF与BC之间的数量关系：_______________；
【类比探究】(2)如图②，当∠DEB≠∠DFC时，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明过程，若不成立，请说明理由；
(2)成立． 证明：如图，分别过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，
∵∠B＝∠C，∠BGD＝∠CHD＝90°，BD＝CD，∴△BDG≌△CDH(AAS)，∴BG＝CH，DG＝DH.
∵∠A＝60°，∠DGA＝∠DHA＝90°，∴∠GDH＝120°.∵∠EDF＝120°，∴∠EDG＝∠FDH，∴△DGE≌△DHF(ASA)，∴EG＝FH，DE＝DF，∴CF＋BE＝CH＋FH＋BE＝CH＋EG＋BE＝CH＋BG.由(1)可得，CH＋BG＝ (CD＋BD)＝ BC，∴BE＋CF＝ BC，即(1)中结论仍然成立；
【拓展应用】(3)若等边△ABC的边长为4，当∠FDC＝45°时，求BE的长和此时△BDE的面积．
(3)如图，分别过点D作DG⊥AB于点G，DH⊥AC于点H，过点F作FM⊥BC于点M.
∵CD＝DM＋CM＝FM＋ FM＝2，∴FM＝3－ ，∴CM＝ －1，CF＝2CM＝2 －2.由(2)可知，BE＝ BC－CF＝2－(2 －2)＝4－2 ，∵DG＝DH＝ CD＝ ，∴S△BDE＝ BE·DG＝2 －3.
2. 如图，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝4 ，点P为对角线AC上的一个动点(不与点A，C重合)，连接PD，过点P作PE⊥PD，交直线AB于点E.(1)如图①，求证：PD＝ PE；
(1)证明：如图，分别过点P作PM⊥AD于点M，PN⊥AB于点N.
∵四边形ABCD是矩形，∴∠MAN＝90°，∴四边形PMAN是矩形，
∴∠MPN＝90°＝∠DPE，∴∠DPM＋∠MPE＝∠MPE＋∠EPN，∴∠DPM＝∠EPN.∵∠DMP＝∠PNE，∴△DPM∽△EPN，∴∠PDA＝∠PEB， .∵PN∥BC，∴ ，∴ ，∴ ，即PD＝ PE；
过点P分别作AD，AB的垂线，得到一对相似三角形，再结合平行线分线段成比例求解；
(2)如图②，当点P为AC的中点时，连接DE，求证：DE⊥AC；