2024年宁夏中卫市第七中学中考数学一模试卷

这是一份2024年宁夏中卫市第七中学中考数学一模试卷，共21页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）有理数的相反数是（ ）
A．B．C．D．
2．（3分）斐波那契螺旋线也称为“黄金螺旋线”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线，自然界中存在许多斐波那契螺旋线图案．下列斐波那契螺旋线图案中属于轴对称图形的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（3分）下列运算正确的是（ ）
A．2a•3a2＝6a3B．（3a2）3＝9a6
C．（﹣5）2＝﹣25D．2x2+x2＝3x4
4．（3分）若a＞0，a2＝30，则a的值应在（ ）
A．4和4.5之间B．4.5和5之间
C．5和5.5之间D．5.5和6之间
5．（3分）如图是九（1）班的同学每周课外阅读时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值）．由图可知，每周课外阅读时间不少于6小时的概率是（ ）
A．B．C．D．
6．（3分）如图，三角形纸片ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与AC的交点为E，则AE的长是（ ）
A．B．C．D．
7．（3分）如图，把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，若点E恰好在边BC上，AB⊥DE于点F，则∠BAE的大小是（ ）
A．10°B．20°C．30°D．40°
8．（3分）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点O在坐标原点，边BO在x轴的负半轴上，∠BOC=60°，顶点C的坐标为（a,3），反比例函数y=的图象与菱形对角线AO交于点D，连接BD，当DB⊥x轴时，k的值是（ ）
A．﹣2B．﹣3C．﹣4D．﹣6
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）因式分解：2a3﹣8ab2＝ ．
10．（3分）如图，AB为半圆O的直径，C，D为半圆弧的三等分点，若AB=12，则阴影部分的面积为 ．
11．（3分）图1是伸缩折叠不锈钢晾衣架的实物图，图2是它的侧面示意图，AD与CB相交于点O，AB∥CD，根据图2中的数据可得x的值为 ．
12．（3分）如图，在4×4的正方形网格图中，已知点A、B、C、D、O均在格点上，其中A、B、D又在⊙O上，点E是线段CD与⊙O的交点．则∠AED的正切值为 ．
13．（3分）学校招募运动会广播员，从两名男生和两名女生共四名候选人中随机选取两人，则两人恰好是一男一女的概率为 ．
14．（3分）若二次函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，那么m的取值范围是 ．
15．（3分）如图，点A，B，C在数轴上，点A表示的数是-1，点C表示的数是5，点B是AC的中点，则点B表示的数是 ．
16．（3分）如图是某停车场的平面示意图，停车场外围的长为30米，宽为18米．停车场内车道的宽都相等，停车位总占地面积为288平方米．设车道的宽为x米，可列方程为 ．
三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每题6分，23、34题每题8分，25、26每题10分，共72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）下面是小明同学化简分式的过程，请认真阅读并完成相应任务：
解：原式＝……第一步
……第二步
………第三步
…………第四步
任务一：填空：
①以上化简步骤中，第 步是进行分式的通分，通分的依据是 ；
②第 步开始出现错误；
任务二：请写出正确的解答过程．
19．（6分）如图，AE∥BF，AC平分∠BAE，交BF于点C，BD平分∠ABF交AE于点D，连接CD，求证：四边形ABCD是菱形．
20．（6分）为进一步落实“德、智、体、美、劳”五育并举工作，某中学以体育为突破口，准备从体育用品商场一次性购买若干个足球和篮球，用于学校球类比赛活动．每个足球的价格都相同，每个篮球的价格也相同．已知篮球的单价比足球单价的2倍少30元，用1200元购买足球的数量是用900元购买篮球数量的2倍．
（1）足球和篮球的单价各是多少元？
（2）根据学校实际情况，需一次性购买足球和篮球共200个，但要求足球和篮球的总费用不超过15500元，学校最多可以购买多少个篮球？
21．（6分）小欣在学习了反比例函数的图象与性质后，进一步研究了函数y＝的图象与性质．其研究过程如下：
（1）绘制函数图象．
①列表：如表是x与y的几组对应值，其中m＝ ；
②描点：根据表中的数值描点（x，y），请补充描出点（0，m）；
③连线：用平滑的曲线顺次连接各点，请把图象补充完整．
（2）探究函数性质．
判断下列说法是否正确（正确的填“√”，错误的填“×”）．
①函数图象关于原点对称；
函数图象与直线x＝﹣1没有交点；
②请写出该函数图象的变化趋势．
22．（6分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，AB，BC可分别绕点A，B转动，测量知BC=8cm,AB=16cm.当AB，BC转动到∠BAE=60°，∠ABC=50°时，求点C到AE的距离．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin70°≈0.94，≈1.73）
23．（8分）每年的6月6日为“全国爱眼日”．某初中学校为了解本校学生视力健康状况，组织数学兴趣小组按下列步骤来开展统计活动．
一、确定调查对象
（1）有以下三种调查方案：
方案一：从七年级抽取140名学生，进行视力状况调查；
方案二：从七年级、八年级中各随机抽取140名学生，进行视力状况调查；
方案三：从全校1600名学生中随机抽取600名学生，进行视力状况调查．
其中最具有代表性和广泛性的抽样调查方案是 ．
二、收集整理数据
按照国家视力健康标准，学生视力状况分为A，B，C，D四个类别．数学兴趣小组随机抽取本校部分学生进行调查，绘制成不完整的统计图表．
抽取的学生视力状况统计表
三、分析数据，解答问题
（2）求出m,n的值，并判断视力数据的中位数所在类别；
（3）该校共有学生1600人，请估算该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数；
（4）为更好保护视力，结合上述统计数据分析，请你提出一条合理化的建议．
24．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，O为AC上一点，经过点A、E的⊙O分别交AB、AC于点D、F．
（1）求证：BC是⊙O的切线．
（2）若CF＝2，sinC＝，求AE的长．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，一块等腰直角三角板ABC的直角顶点A在y轴上，坐标为（0，-1），另一顶点B坐标为（-2，0），已知二次函数的图象经过B、C两点．现将一把直尺放置在直角坐标系中，使直尺的边PQ∥y轴且经过点B，直尺沿x轴正方向平移，当PQ与y轴重合时运动停止．
（1）求点C的坐标及二次函数的关系式．
（2）若运动过程中直尺的边PQ交三角板的边BC于点M，交抛物线于点N，求线段MN长度的最大值．
26．（10分）问题情景，
在综合与实践课上，老师让同学们以“矩形纸片的剪拼”为主题开展数学活动，如图1，将矩形纸片ABCD沿对角线AC剪开，得到△ABC和△ACD、并且量得AB=2cm,AC=4cm.
操作发现：
（1）将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转∠α，使∠α=∠BAC，得到如图2所示的△AC′D，过点C作AC′的平行线，与DC′的延长线交于点E，则四边形ACEC'的形状是 ；
（2）创新小组将图1中的△ACD以点A为旋转中心，按逆时针方向旋转，使B，A，D三点在同一条直线上，得到如图3所示的△AC′D，连接CC′，取CC'的中点F，连接AF并延长到点G，使FG=AF，连接CG，C′G，得到四边形ACGC′，发现它是正方形，请你证明这个结论；
实践探究：
（3）缜密小组在创新小组发现结论的基础上，进行如下操作：将△ABC沿着BD方向平移，使点B与点A重合，此时A点平移至A′点，A′C与BC′相交于点H．如图4所示，连接CC'，试求CH的长度．
2024年宁夏中卫七中中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确选项）
1．【答案】B
【解答】解：有理数的相反数是﹣．
故选：B．
2．【答案】A
【解答】解：A、是轴对称图形；
B、不是轴对称图形；
C、不是轴对称图形；
D、不是轴对称图形．
故选：A．
3．【答案】A
【解答】解：A、2a•3a4＝6a3，故本选项符合题意；
B、（7a2）3＝27a3，故本选项不符合题意；
C、（﹣5）2＝25，故本选项不符合题意；
D、2x2+x2＝6x2，故本本选项不符合题意；
故选：A．
4．【答案】C
【解答】解：∵＜＜，
∴5＜＜5.2，
∴a的值应在5和5.2之间．
故选：C．
5．【答案】B
【解答】解：由图可知，九（1）班的学生人数为9+22+8+2＝45（人），
每周课外阅读时间不少于6小时的频数为8+5＝14，
∴每周课外阅读时间不少于6小时的概率是．
故选：B．
6．【答案】A
【解答】解：∵沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边BC上的点D处，
∴AD＝AB＝2，∠B＝∠ADB，
∵折叠纸片，使点C与点D重合，
∴CE＝DE，∠C＝∠CDE，
∵∠BAC＝90°，
∴∠B+∠C＝90°，
∴∠ADB+∠CDE＝90°，
∴∠ADE＝90°，
∴AD2+DE6＝AE2，
设AE＝x，则CE＝DE＝3﹣x，
∴72+（3﹣x）6＝x2，
解得x＝，
∴AE＝，
故选：A．
7．【答案】B
【解答】解：∵把△ABC绕着点A顺时针转40°，得到△ADE，
∴∠CAE＝∠BAD＝40°，∠D＝∠B，
∴∠AEC＝∠ACE，
∴∠AEC＝（180°﹣∠CAE）＝70°，
∵AB⊥DE，
∴∠AFD＝90°，
∴∠D＝90°﹣∠BAD＝50°，
∵∠AEC是△BAE的外角，
∴∠BAE＝∠AEC﹣∠B＝20°．
故选：B．
8．【答案】C
【解答】解：过点C作CE⊥x轴于点E，
∵顶点C的坐标为（a，3），
∴OE＝﹣a，CE＝3，
∴OC＝＝3，
∵菱形ABOC中，∠BOC＝60°，
∴OB＝OC＝2，∠BOD＝，
∵DB⊥x轴，
∴DB＝OB•tan30°＝4×＝2，
∴点D的坐标为：（﹣2，2），
∵反比例函数y＝的图象与菱形对角线AO交于点D，
∴k＝xy＝﹣4．
故选：C．
二、填空题（本题共8小题，每小题3分，共24分）
9．【答案】见试题解答内容
【解答】解：2a3﹣3ab2
＝2a（a4﹣4b2）
＝4a（a+2b）（a﹣2b）．
故答案为：4a（a+2b）（a﹣2b）．
10．【答案】见试题解答内容
【解答】解：连接OC、OD．
∵△COD和△CAD等底等高，
∴S△COD＝S△CAD．
∵点C，D为半圆的三等分点，
∴∠COD＝180°÷3＝60°，
∴阴影部分的面积＝S扇形COD＝＝6π，
故答案为：6π．
11．【答案】见试题解答内容
【解答】解：在图2中，过点O作MN⊥AB于点M，则ON＝x，
∵AB∥CD，
∴△OCD∽△OBA，
∴＝，
∴即＝，
∴x＝0.96．
故答案为：0.96．
12．【答案】见试题解答内容
【解答】解：由题意得：∠AED＝∠ABD，∠ABD＝∠ABO＝45°，
∵∠BAE＝∠BDC，
∴tan∠AED＝tan∠ABD＝tan45°＝1，
故答案为：1．
13．【答案】见试题解答内容
【解答】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，抽取的两人恰好是一男一女的结果有8种，
∴两人恰好是一男一女的概率为＝，
故答案为：．
14．【答案】m≥﹣4．
【解答】解：∵函数y＝x2﹣4x﹣m的图象与x轴有公共点，
∴方程x6﹣4x﹣m＝0有两个实数根，即Δ＝62﹣4×8×（﹣m）≥0，
解得：m≥﹣4．
故答案为：m≥﹣3．
15．【答案】2．
【解答】解：∵点A表示的数是﹣1，点C表示的数是5，
∴点B表示的数是：＝2，
故答案为：2．
16．【答案】见试题解答内容
【解答】解：设车道的宽为x米，则停车位总占地长为（30﹣x）米，
根据题意，得（18﹣x）（30﹣x）＝288．
故答案为：（18﹣x）（30﹣x）＝288．
三、解答题（本题共10小题，其中17-22题每题6分，23、34题每题8分，25、26每题10分，共72分）
17．【答案】5+．
【解答】解：原式＝5﹣1+8×﹣（
＝5﹣1+4﹣+6
＝5+．
18．【答案】任务一：①二，分式的基本性质；
②三；
任务二：解答见解析．
【解答】解：任务一：①以上化简步骤中，第二步是进行分式的通分，
故答案为：二，分式的基本性质；
②第三步开始出现了错误，
故答案为：三；
任务二：正确解答过程如下：
原式＝
＝
＝
＝．
19．【答案】证明见解析．
【解答】证明：∵AE∥BF，
∴∠ADB＝∠CBD，
又∵BD平分∠ABF，
∴∠ABD＝∠CBD，
∴∠ABD＝∠ADB，
∴AB＝AD，
同理：AB＝BC，
∴AD＝BC，
又∵AD∥BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
又∵AB＝AD，
∴四边形ABCD是菱形．
20．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）设足球的单价是x元，则篮球的单价是（2x﹣30）元，
依题意得：＝2×，
解得：x＝60，
经检验，x＝60是原方程的解，
∴2x﹣30＝90．
答：足球的单价是60元，篮球的单价是90元．
（2）设学校可以购买m个篮球，则可以购买（200﹣m）个足球，
依题意得：90m+60（200﹣m）≤15500，
解得：m≤．
又∵m为正整数，
∴m可以取的最大值为116．
答：学校最多可以购买116个篮球．
21．【答案】（1）①1；②见详解；③见详解；（2）①×，√；②当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．
【解答】解：（1）①当x＝0时，y＝，
故答案为：1．
②如图所示：
∵m＝8，
∴A（0，m）．
③图象补充如图：
（2）根据函数图象可知：
①函数图象关于点（﹣1，4）对称，函数图象与直线x＝﹣1没有交点；
故答案为：×，√．
②当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，y随x的增大而减小．
22．【答案】6.3cm．
【解答】解：如图，过点B，垂足分别为M、N，
在Rt△ABM中，∠A＝60°，
∴BM＝AB•sinA
＝16×
＝7（cm），
∵∠ABM＝90°﹣60°＝30°，∠ABC＝50°，
∴∠CBD＝50°﹣30°＝20°，
∴∠BCD＝90°﹣20°＝70°，
在Rt△BCD中，BC＝8cm，
∴BD＝BC•sin70°
≈2×0.94
＝7.52（cm），
CN＝DM＝BM﹣BD
＝5﹣7.52
≈3.3（cm），
答：点C到AE的距离约为6.3cm．
23．【答案】（1）方案三；
（2）64；120；B；
（3）704人；
（4）该校学生近视程度为中度及以上占44%，说明该校学生近视程度较为严重，建议学校加强电子产品进校园及使用的管控（答案不唯一）．
【解答】解：（1）根据抽样的代表性、普遍性和可操作性可得，进行视力状况调查，是最符合题意的．
故答案为：方案三；
（2）调查的总人数为：160÷40%＝400（人），
由题意可知，m＝400×16%＝64（人），
n＝400﹣64﹣56﹣160＝120（人），
由题意可得，调查视力数据的中位数所在类别为B类；
故答案为：B；
（3）1600×＝704（人），
所以该校学生中，中度视力不良和重度视力不良的总人数约为704人；
（4）该校学生近视程度为中度及以上占44%，说明该校学生近视程度较为严重．
24．【答案】（1）证明见解答过程；
（2）．
【解答】（1）证明：连接OE，
方法一：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠BAC＝2∠OAE，
∵∠FOE＝2∠OAE，
∴∠FOE＝∠BAC，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
方法二：∵AE平分∠BAC交BC于点E，
∴∠OAE＝∠BAE，
∵OA＝OE，
∴∠OAE＝∠OEA，
∴∠BAE＝∠OEA，
∴OE∥AB，
∵∠B＝90°，
∴OE⊥BC，
又∵OE是⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：连接EF，
∵CF＝6，sinC＝，
∴，
∵OE＝OF，
∴OE＝OF＝3，
∵OA＝OF＝4，
∴AC＝OA+OF+CF＝8，
∴AB＝AC•sinC＝8×＝，
∵∠OAE＝∠BAE，
∴cs∠OAE＝cs∠BAE，
即，
∴，
解得AE＝（舍去负数），
∴AE的长为．
25．【答案】（1）C（﹣1，﹣3）；y＝x2+x﹣3；（2）．
【解答】解：（1）如图1，过点C作CD⊥y轴于D，
∵△CDA≌△AOB，
∴AD＝BO＝2，CD＝AO＝2，
∴OD＝OA+AD＝3，
∴C（﹣1，﹣3）．
将B（﹣2，0），﹣3）代入抛物线y＝x6+bx+c，
解得 b＝，c＝﹣7，
∴抛物线的解析式为y＝x7+x﹣8．
（2）由题意，设lBC：y＝kx+b，
∵B（﹣2，0），﹣3），
∴．
∴．
∴lBC：y＝﹣8x﹣6，
设M（xM，﹣3xM﹣8），N（xN，+xN﹣4），
∵xM＝xN（记为x），yM≥yN，
∴线段MN长度＝﹣3x﹣6﹣（x2+x﹣3）＝﹣）2+（﹣2≤x≤﹣1），
∴当x＝﹣时，线段MN长度为最大值．
26．【答案】见试题解答内容
【解答】解：（1）在如图1中，
∵AC是矩形ABCD的对角线，
∴∠B＝∠D＝90°，AB∥CD，
∴∠ACD＝∠BAC，
在如图2中，由旋转知，∠AC'D＝∠ACD，
∴∠BAC＝∠AC'D，
∵∠CAC'＝∠BAC，
∴∠CAC'＝∠AC'D，
∴AC∥C'E，
∵AC'∥CE，
∴四边形ACEC'是平行四边形，
∵AC＝AC'，
∴▱ACEC'是菱形，
故答案为：菱形；
（2）在图2中，∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠CAD＝∠ACB，∠B＝90°，
∴∠BAC+∠ACB＝90°，
在图3中，由旋转知，
∴∠ACB＝∠DAC'，
∴∠BAC+∠DAC'＝90°，
∵点D，A，B在同一条直线上，
∴∠CAC'＝90°，
由旋转知，AC＝AC'，
∵点F是CC'的中点，
∴AG⊥CC'，CF＝C'F，
∵AF＝FG，
∴四边形ACGC'是平行四边形，
∵AG⊥CC'，
∴▱ACGC'是菱形，
∵∠CAC'＝90°，
∴菱形ACGC'是正方形；
（3）在Rt△ABC中，AB＝2，
∴BC'＝AC＝4，BD＝BC＝2＝，
∴∠ACB＝30°，
由（2）结合平移知，∠CHC'＝90°，
在Rt△BCH中，∠ACB＝30°
∴CH＝BC•cs30°＝8．x
…
﹣4
﹣3
﹣2
﹣
﹣
﹣
﹣
0
1
2
…
y
…
﹣
﹣
﹣1
﹣2
﹣3
3
2
m
…
类别
A
B
C
D
视力
视力≥5.0
4.9
4.6≤视力≤4.8
视力≤4.5
健康状况
视力正常
轻度视力不良
中度视力不良
重度视力不良
人数
160
m
n
56