2024年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学一模试卷

这是一份2024年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学一模试卷，共33页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（﹣y）2•y3＝﹣y5B．x3+x3＝2x3
C．D．（﹣2）0＝﹣1
2．（3分）已知点P的坐标为（3，2），点Q与点P关于x轴对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
3．（3分）在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为7.8×10﹣7米，还原为原数为（ ）
A．0.0000078B．0.00000078
C．0.000000078D．0.0000000078
4．（3分）为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，并将调查结果绘制成折线统计图，请根据学生收集到的废旧电池数（ ）
A．样本为30名学生B．众数是11节
C．中位数是5.5节D．平均数是6.5节
5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接AE，点F为CD的中点，若AE＝BE，OE＝3，则线段OF的长为（ ）
A．5B．2C．3D．6
6．（3分）直线y＝bx+c与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在同一坐标系中大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，以点O为圆心的半圆分别与边AB、AC相切于点D、E，连接OD．已知BD＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
8．（3分）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（ ）
A． S＝21+4＝25B． S＝21﹣4＝17
C． S＝21+4＝25D． S＝21﹣4＝17
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：x3﹣9x＝ ．
10．（3分）的算术平方根是 ．
11．（3分）在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值约为 ．
12．（3分）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72° ．
13．（3分）对于实数a、b，定义一种运算“※”为：a※b＝a2+ab﹣2，则不等式组的解集为 ．
14．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠EAB，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，则图中∠D应增加 度．
15．（3分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，…，按此规律排列下去，第n个图形中菱形的个数为 ．
16．（3分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段AB，B转动，已知AB＝18cm．当AB转动到∠BAD＝30°，点C恰好落在AD上；当AB转动到∠BAD＝60°，点C到AD的距离为 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，）
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕点（﹣1，0）逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2．
19．（6分）先化简，再从﹣1，0，1，2中选择一个值代入求值．
小陈同学在进行分式化简时，过程如下：
解：原式＝ ①
＝ ②
＝ ③
……
（1）上述过程中，从第 步开始出现错误，错误的原因是 ．
（2）请完成正确的完整解题过程．
20．（6分）如图，在△ABC中，点E，AC的中点，连接EF，∠ABD是△ABC的一个外角．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若BE＝FE
21．（6分）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．）
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？
（3）小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为1.8m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
22．（6分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
（1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元
四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）自2024年起，排球垫球成为了银川中考体育的重要考试项目之一．下列图表中的数据是甲，乙，丙三名同学每人10次垫球测试的成绩
运动员丙测试成绩统计表
三人成绩的方差分别为．
利用以上数据完成下列问题：
（1）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明；
（2）甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，再经过三次传球
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AE为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，AD恰好平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求tan∠EDB的值．
25．（10分）民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅深OF为3dm，锅盖高OE为1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同）（单位：dm），如果把锅纵断面的抛物线的记为C，把锅盖纵断面所在的圆记作⊙M．
（1）求抛物线C解析式和弧AB所在⊙M的半径；
（2）锅中原有水的最大深度为1.5dm（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，求此时的水面宽度；
（3）如果将底面直径4dm，高度为0.5dm的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？
26．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE∥BC．将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BD
（1）观察猜想：若∠ABC＝45°，将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BD与CE的数量关系是 ，位置关系是 ；
（2）探究证明：如图3，若∠ABC＝60°，将△ADE绕点A逆时针旋转．（1），加以证明；否则，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AC＝3，当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时，直接写出CP的长．
2024年宁夏银川市兴庆区英才学校中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的）
1．（3分）下列计算结果正确的是（ ）
A．（﹣y）2•y3＝﹣y5B．x3+x3＝2x3
C．D．（﹣2）0＝﹣1
【分析】利用同底数幂的乘法的法则，合并同类项的法则，二次根式的乘法的法则，零指数幂对各项进行运算即可．
【解答】解：A、（﹣y）2•y3＝y4，故A不符合题意；
B、x3+x3＝2x3，故B符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、（﹣8）0＝1，故D不符合题意；
故选：B．
【点评】本题主要考查二次根式的乘法，合并同类项，同底数幂的乘法，零指数幂，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．
2．（3分）已知点P的坐标为（3，2），点Q与点P关于x轴对称，则点Q的坐标为（ ）
A．（3，2）B．（﹣3，﹣2）C．（﹣3，2）D．（3，﹣2）
【分析】利用关于x轴对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数．即点P（x，y）关于x轴的对称点P′的坐标是（x，﹣y），进而得出答案．
【解答】解：∵点P的坐标为（3，2），
∴点Q的坐标为：（5，﹣2）．
故选：D．
【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确记忆横纵坐标的关系是解题的关键．
3．（3分）在显微镜下，人体的一种细胞形状可以近似地看成圆形，它的半径约为7.8×10﹣7米，还原为原数为（ ）
A．0.0000078B．0.00000078
C．0.000000078D．0.0000000078
【分析】根据用科学记数法表示较小的数的方法，把7.8的小数点向左移动七位，判断出原数为多少即可．
【解答】解：7.8×10﹣3＝0.00000078．
故选：B．
【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，解答此题的关键是判断出要把7.8的小数点向左移动七位．
4．（3分）为了保护环境，加强环保教育，某中学组织学生参加义务收集废旧电池的活动，并将调查结果绘制成折线统计图，请根据学生收集到的废旧电池数（ ）
A．样本为30名学生B．众数是11节
C．中位数是5.5节D．平均数是6.5节
【分析】根据众数、中位数、平均数及样本的定义列式计算即可．
【解答】解：A．样本为30名学生收集到的废旧电池数；
B．众数是6节；
C．中位数是从小到大排序后第15和16名学生收集电池数的平均数，即；
D．平均数为．
故选：C．
【点评】本题主要考查众数、中位数、加权平均数以及样本，解题的关键是掌握众数、中位数及加权平均数的定义．
5．（3分）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，连接AE，点F为CD的中点，若AE＝BE，OE＝3，则线段OF的长为（ ）
A．5B．2C．3D．6
【分析】先根据菱形的性质找到Rt△AOE和Rt△AOB，然后利用勾股定理计算出菱形的边长BC的长，再根据三角形中位线性质，求出OF的长．
【解答】解：已知菱形ABCD，对角线互相垂直平分，
∴AC⊥BD，
在Rt△AOE中，
∵OE＝3，OA＝4，
∴根据勾股定理得，
∵AE＝BE，
∴OB＝AE+OE＝8，
在Rt△AOB中，，
即菱形的边长为，
∵点F为CD的中点，点O为DB中点，
∴．
故选：B．
【点评】本题考查了菱形的性质、勾股定理、中位线的判定与性质；熟练掌握菱形性质，并能结合勾股定理、中位线的相关知识点灵活运用是解题的关键．
6．（3分）直线y＝bx+c与抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）在同一坐标系中大致图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
【分析】根据题意和各个选项中的函数图象，可以得到一次函数中b和c的正负情况和二次函数图象中a、b、c的正负情况，注意a＞0，然后即可判断哪个选项中的图象符合题意．
【解答】解：选项A中，由一次函数的图象可知b＜0，由二次函数的图象可知a＜0，c＞6；
选项B中，由一次函数的图象可知b＜0，由二次函数的图象可知a＞0，c＞6；
选项C中，由一次函数的图象可知b＜0，由二次函数的图象可知a＞0，c＜3；
选项D中，由一次函数的图象可知b＞0，由二次函数的图象可知a＞0，c＞6；
故选：B．
【点评】本题考查二次函数的图象、一次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
7．（3分）如图，在△ABC中，∠A＝90°，以点O为圆心的半圆分别与边AB、AC相切于点D、E，连接OD．已知BD＝2，则阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
【分析】连接OE，根据切线的性质可得∠ODA＝∠ODB＝∠OEA＝90°，从而可得四边形ADOE是矩形，然后利用矩形的性质可得∠DOE＝90°，从而可得∠DOB+∠EOC＝90°，再根据OD＝OE，从而可得四边形ADOE是正方形，再根据正方形的性质可得AD＝DO＝OE＝AE＝3，最后证明△BDO∽△BAC，从而利用相似三角形的性质可求出AC＝7.5，再根据阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形ADOE的面积﹣（扇形DOF的面积+扇形EOG的面积）进行计算即可解答．
【解答】解：如图：连接OE，
∵以点O为圆心的半圆分别与边AB、AC相切于点D、E，
∴∠ODA＝∠ODB＝∠OEA＝90°，
∵∠A＝90°，
∴四边形ADOE是矩形，
∴∠DOE＝90°，
∴∠DOB+∠EOC＝180°﹣∠DOE＝90°，
∵OD＝OE，
∴四边形ADOE是正方形，
∴AD＝DO＝OE＝AE＝3，
∵∠BDO＝∠A＝90°，∠B＝∠B，
∴△BDO∽△BAC，
∴＝，
∴＝，
解得：AC＝3.5，
∴阴影部分的面积＝△ABC的面积﹣正方形ADOE的面积﹣（扇形DOF的面积+扇形EOG的面积）
＝AB•AC﹣AD2﹣
＝×5×7.5﹣3﹣
＝，
故选：D．
【点评】本题考查了切线的性质，圆周角定理，正方形的判定与性质，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
8．（3分）对于一元二次方程，我国及其他一些国家的古代数学家曾研究过其几何解法，以方程x2+2x﹣35＝0为例，公元9世纪，阿拉伯数学家阿尔•花拉子米采用的方法是：将原方程变形为（x+1）2＝35+1，然后构造如图，一方面（x+1）2；另一方面，它又等于35+1，因此可得方程的一个根x＝5，解方程x2﹣4x﹣21＝0时构造的图形及相应正方形面积（阴影部分）S正确的是（ ）
A． S＝21+4＝25B． S＝21﹣4＝17
C． S＝21+4＝25D． S＝21﹣4＝17
【分析】利用配方法把方程变形，结合图形解答．
【解答】解：x2﹣4x﹣21＝2
x2﹣4x+2＝21+4
（x﹣2）7＝25
正方形面积（阴影部分）S＝21+4＝25，
故选：C．
【点评】本题考查的是一元二次方程的解法，掌握配方法解方程的一般步骤是解题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）分解因式：x3﹣9x＝ x（x+3）（x﹣3） ．
【分析】根据提取公因式、平方差公式，可分解因式．
【解答】解：原式＝x（x2﹣9）
＝x（x+6）（x﹣3），
故答案为：x（x+3）（x﹣2）．
【点评】本题考查了因式分解，利用了提公因式法与平方差公式，注意分解要彻底．
10．（3分）的算术平方根是 2 ．
【分析】根据算术平方根，即可解答．
【解答】解：＝4，
故答案为：2．
【点评】本题考查了算术平方根，解决本题的关键是熟记算术平方根的定义．
11．（3分）在一个不透明的暗箱中装有红、黄、蓝三种除颜色外完全相同的小球，其中红球5个，黄球7个，随机摸出一个小球记下颜色后，放回盒子里，摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值约为 8 ．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得：
×100%＝25%，
解得，a＝8，
经检验a＝8是原方程的解，
则a的值约为2；
故答案为8．
【点评】此题是利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．根据红球的频率得到相应的等量关系是解题的关键．
12．（3分）如图，∠DCE是⊙O内接四边形ABCD的一个外角，若∠DCE＝72° 144° ．
【分析】根据邻补角的概念求出∠BCD，根据圆内接四边形的性质求出∠A，根据圆周角定理解答即可．
【解答】解：∵∠DCE＝72°，
∴∠BCD＝180°﹣∠DCE＝108°，
∵四边形ABCD内接于⊙O，
∴∠A＝180°﹣∠BCD＝72°，
由圆周角定理，得∠BOD＝2∠A＝144°，
故答案为：144°．
【点评】本题考查的是圆内接四边形的性质，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．
13．（3分）对于实数a、b，定义一种运算“※”为：a※b＝a2+ab﹣2，则不等式组的解集为 x＞﹣4或x＞﹣1 ．
【分析】先运算（﹣2）※x﹣4，1※（﹣x）﹣3，化简关于x的不等式组，再求不等式组可得x的解集．
【解答】解：（﹣2）※x﹣4＝（﹣5）2+（﹣2）x﹣2﹣4＝﹣2x﹣4，
1※（﹣x）﹣3＝32﹣x﹣2﹣8＝﹣x﹣4，
∴﹣2x﹣2＜0，﹣x﹣4＜6，
解得：x＞﹣4或x＞﹣1，
故答案为：x＞﹣4或x＞﹣1．
【点评】本题考查了实数的运算，关键是掌握求不等式组的运算．
14．（3分）如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠EAB，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，则图中∠D应增加 10 度．
【分析】延长EF交BD于H，根据三角形的内角和可求∠EHC，进而可得∠DHF，再根据外角定理即可求解．
【解答】解：延长EF交BD于H，
∵∠CAB+∠CBA＝∠E+∠EHC，
∴∠EHC＝50°+60°﹣30°＝80°，
∴∠DHF＝180°﹣∠EHC＝100°，
∵∠D＝∠EFD﹣∠DHF，∠EFD＝130°，
∴∠D＝30°，
故∠D应增加10°．
故答案为：10．
【点评】本题考查了三角形的内角和、外角等知识点．熟记相关结论即可．
15．（3分）下列图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中一共有3个菱形，第②个图形中一共有7个菱形，…，按此规律排列下去，第n个图形中菱形的个数为 n2+n+1 ．
【分析】根据题意得出得出第n个图形中菱形的个数为n2+n+1．
【解答】解：第①个图形中一共有3个菱形，3＝52+2；
第②个图形中共有8个菱形，7＝24+3；
第③个图形中共有13个菱形，13＝34+4；
…，
第n个图形中菱形的个数为：n2+n+2；
故答案为：n2+n+1．
【点评】此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，找出规律是解决问题的关键．
16．（3分）如图1是一台手机支架，图2是其侧面示意图，线段AB，B转动，已知AB＝18cm．当AB转动到∠BAD＝30°，点C恰好落在AD上；当AB转动到∠BAD＝60°，点C到AD的距离为 7.1 cm．（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cs50°≈0.64，sin70°≈0.94，cs70°≈0.34，）
【分析】当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，点C恰好落在AD上，先在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义求出BC的长，当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时，过点B作BF⊥AD，垂足为F，过点C作CG⊥BF，垂足为G，过点C作CE⊥AD，垂足为E，根据题意可得FG＝CE，∠BGC＝90°，然后在Rt△ABF中，利用锐角三角函数的定义求出BF的长，再在Rt△BCG中，利用锐角三角函数的定义求出BG的长，进行计算即可解答．
【解答】解：当AB转动到∠BAD＝30°，BC转动到与AD垂直时，如图：
在Rt△ABC中，BC＝×18＝9（cm），
当AB转动到∠BAD＝60°，BC转动到∠ABC＝50°时
过点B作BF⊥AD，垂足为F，垂足为G，垂足为E，
则FG＝CE，∠BGC＝90°，
在Rt△ABF中，AB＝18cm，
∴BF＝AB•sin60°＝18×＝9，
∠ABF＝90°﹣∠BAD＝30°，
∵∠ABC＝50°，
∴∠CBG＝∠ABC﹣∠ABF＝20°，
∴∠BCG＝90°﹣∠CBG＝70°，
在Rt△BCG中，BC＝9cm，
∴BG＝BC•sin70°≈9×8.94＝8.46（cm），
∴CE＝FG＝BF﹣BG＝9﹣8.46≈7.7（cm），
∴点C到AD的距离为7.1cm，
故答案为：8.1．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
三、解答题（本题共6小题，每小题6分，共36分）
17．（6分）计算：．
【分析】首先计算特殊角的三角函数值、负整数指数幂、开平方和绝对值，然后计算乘法，最后从左向右依次计算，求出算式的值即可．
【解答】解：
＝2×+4﹣2）
＝+5﹣2
＝2．
【点评】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．
18．（6分）平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点坐标分别为A（﹣2，1），B（﹣4，5），C（﹣5，2）．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1，并写出点C1的坐标；
（2）画出将△ABC绕点（﹣1，0）逆时针旋转90°后的图形△A2B2C2．
【分析】（1）根据轴对称的性质作图，即可得出答案．
（2）根据旋转的性质作图即可．
【解答】解：（1）如图，△A1B1C4即为所求．
由图可得，点C1的坐标为（5，2）．
（2）如图，△A2B2C2即为所求．
【点评】本题考查作图﹣轴对称变换、旋转变换，熟练掌握轴对称的性质、旋转的性质是解答本题的关键．
19．（6分）先化简，再从﹣1，0，1，2中选择一个值代入求值．
小陈同学在进行分式化简时，过程如下：
解：原式＝ ①
＝ ②
＝ ③
……
（1）上述过程中，从第 ② 步开始出现错误，错误的原因是 除法没有分配律 ．
（2）请完成正确的完整解题过程．
【分析】（1）根据分式的除法法则判断；
（2）根据分式的除法法则、减法法则把原式化简，根据分式有意义的条件确定a的值，代入计算得到答案．
【解答】解：（1）上述过程中，从第②步开始出现错误，
故答案为：②，除法没有分配律；
（2）原式＝÷（﹣）
＝÷
＝•
＝，
由题意得：a≠2、±3，
当a＝0时，原式＝．
【点评】本题考查的是分式的化简求值、分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则是解题的关键．
20．（6分）如图，在△ABC中，点E，AC的中点，连接EF，∠ABD是△ABC的一个外角．
（1）用尺规完成以下基本作图：作∠ABD的角平分线BG，交FE的延长线于点G，连接AG．（只保留作图痕迹，不写作法）
（2）在（1）所作的图形中，若BE＝FE
【分析】（1）利用基本作图作∠ABD的平分线即可；
（2）先利用角平分线的定义得到∠ABG＝∠DBG，再利用三角形中位线性质得到EF∥BC，则∠DBG＝∠EGB，所以∠EGB＝∠ABG，于是得到EG＝EB，接着利用对角线互相平分的四边形是平行四边形可判断四边形AGBF是平行四边形，然后根据对角线相等的平行四边形为矩形得到四边形AGBF是矩形．
【解答】（1）解：如图，BG；
（2）证明：∵BG平分∠ABD，
∴∠ABG＝∠DBG，
∵点E，F分别是AB，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF∥BC，
∴∠DBG＝∠EGB，
∴∠EGB＝∠ABG，
∴EG＝EB，
∵BE＝FE，
∴EG＝EF，
∵点E是AB的中点，
∴AE＝BE，
∴四边形AGBF是平行四边形，
∵AB＝AE+BE，GF＝GE+FE，
∴AB＝GF，
∴四边形AGBF是矩形．
【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了角平分线的性质、三角形中位线定理和矩形的判定．
21．（6分）如图，小明想要用撬棍撬动一块大石头，已知阻力为1200N（N），动力臂长为x（m）．（杠杆平衡时，动力×动力臂＝阻力×阻力臂，图中撬棍本身所受的重力略去不计．）
（1）求y关于x的函数表达式．
（2）当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要多大的力？
（3）小明若想使动力不超过300N，在动力臂最大为1.8m的条件下，他能否撬动这块石头？请说明理由．
【分析】（1）根据动力×动力臂＝阻力×阻力臂，即可得出y关于x的函数表达式；
（2）将x＝1.5代入（1）中所求解析式，即可得出y的值；
（3）根据0＜x≤1.8以及（1）中所求解析式，可得出y的范围，进而与300进行比较即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得：xy＝1200×0.5，
则y＝，
即y关于x的函数表达式为y＝；
（2）∵y＝，
∴当x＝5.5时，y＝，
故当动力臂长为1.5m时，撬动石头至少需要400N的力；
（3）他不能撬动这块石头，理由如下：
∵y＝，
∴x＝，
∵6＜x≤1.8，
∴4＜≤1.8，
∴y≥333，
∵333＞300，
∴他不能撬动这块石头．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出y与x之间的关系是解题关键．
22．（6分）创建文明城市，构建美好家园．为提高垃圾分类意识，幸福社区决定采购A，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元．
（1）求每个A型垃圾桶和每个B型垃圾桶各为多少元；
（2）若需购买A，B两种型号的垃圾桶共200个，总费用不超过15200元
【分析】（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，根据购买2个A型垃圾桶和3个B型垃圾桶共需要420元，购买5个A型垃圾桶和1个B型垃圾桶共需要400元，列出二元一次方程组，即可求解；
（2）设A型垃圾桶a个，根据总费用不超过15200元，列出不等式，即可求解．
【解答】解：（1）设A型垃圾桶单价为x元，B型垃圾桶单价为y元，
由题意可得，
解得，
答：A型垃圾桶单价为60元，B型垃圾桶单价为100元；
（2）设A型垃圾桶a个，
由题意可得：60a+100（200﹣a）≤15200，
a≥120，
答：至少需购买A型垃圾桶120个．
【点评】本题考查了一元一次不等式组的应用以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．
四、解答题（本题共4小题，其中23、24题每题8分，25、26题每题10分，共36分）
23．（8分）自2024年起，排球垫球成为了银川中考体育的重要考试项目之一．下列图表中的数据是甲，乙，丙三名同学每人10次垫球测试的成绩
运动员丙测试成绩统计表
三人成绩的方差分别为．
利用以上数据完成下列问题：
（1）若在三名队员中选择一位垫球成绩优秀且较为稳定的同学作为某场排球比赛的自由人，你认为选谁更合适？请用你所学过的知识加以分析说明；
（2）甲、乙、丙三人之间进行随机传球游戏，先由甲传出球，再经过三次传球
【分析】（1）分别求出甲，乙，丙三名同学成绩的平均数，中位数，利用平均数，中位数和方差的意义即可作出选择；
（2）利用树状图或列表法即可求出球回到甲手中的概率．
【解答】解：（1）选乙更合适．
理由：甲成绩的平均数为：（2×5+2×6+3×4+8）÷10＝6.8（分），中位数为：6分，
乙成绩的平均数为：（2×4+6×7+4×8）÷10＝7（分），中位数为：4分，
丙成绩的平均数为：（5+6+4×7+3×8）÷10＝7（分），中位数为：7分，
从平均数和中位数看：乙和丙成绩较优秀，
∵．
∴乙成绩波动较小，
∴选乙更合适．
（2）画树状图如下：
一共有8种可能，最后球传回到甲手中的情况有5种可能，
∴第二轮结束时球到甲手中的概率为＝．
【点评】本题考查条形统计图，折线统计图，平均数，中位数，方差，用列表法或树状图法求等可能事件的概率，能从统计图表中获取数据，掌握用列表法或树状图法求等可能事件的概率的方法是解题的关键．
24．（8分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，以AE为直径作⊙O交BC于点D，连接AD，AD恰好平分∠BAC．
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）若AC＝3，BC＝4，求BE的长；
（3）在（2）的条件下，求tan∠EDB的值．
【分析】（1）连接OD，利用角平分线的定义，同圆的半径相等的性质，等腰三角形的性质和平行线的判定与性质得到OD⊥BC，再利用圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用勾股定理求得AB，设⊙O的半径为x，则OA＝OE＝OD＝x，则OB＝5﹣x，利用相似三角形的判定与性质求得x值，AE可得，则BE＝AB﹣AE；
（3）利用同角的余角相等的性质得到∠EDB＝∠CAD，利用相似三角形的判定与性质求得AD，利用勾股定理求得CD，再利用直角三角形的边角关系定理解答即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接OD，如图，
∵AD平分∠BAC，
∴∠CAD＝∠BAD，
∵OA＝OD，
∴∠BAD＝∠ODA，
∴∠ODA＝∠CAD，
∴OD∥AC，
∴∠ODC+∠C＝180°，
∵∠ACB＝90°，
∴∠ODC＝90°，
∴OD⊥BC，
∵OD为⊙O的半径，
∴BC是⊙O的切线；
（2）解：∵AC＝3，BC＝4，
∴AB＝＝5．
设⊙O的半径为x，则OA＝OE＝OD＝x，
∴OB＝5﹣x，
由（1）知：OD∥AC，
∴△BOD∽△BAC，
∴，
∴，
∴x＝，
∴AE＝2x＝，
∴BE＝AB﹣AE＝．
（3）解：∵AE为直径，
∴∠ADE＝90°，
∴∠EDB+∠ADC＝90°．
∵∠ACB＝90°，
∴∠ADC+∠CAD＝90°，
∴∠EDB＝∠CAD．
∵∠ACD＝∠ADE＝90°，∠CAD＝∠DAE，
∴△CAD∽△DAE，
∴，
∴，
∴AD＝，
∴CD＝＝，
∴tan∠EDB＝tan∠CAD＝＝．
【点评】本题主要考查了圆的有关性质，圆周角定理，圆的切线的判定定理，直角三角形的性质，勾股定理，直角三角形的边角关系定理，角平分线的定义，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质，连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
25．（10分）民以食为天．我们常见的炒菜锅可近似的看作抛物线面，锅盖可近似的看作圆形面．经过锅心和盖心的纵断面是一段抛物线和圆弧线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅深OF为3dm，锅盖高OE为1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同）（单位：dm），如果把锅纵断面的抛物线的记为C，把锅盖纵断面所在的圆记作⊙M．
（1）求抛物线C解析式和弧AB所在⊙M的半径；
（2）锅中原有水的最大深度为1.5dm（如图2），由于加工食物的需要，又重新加入一定量的水，求此时的水面宽度；
（3）如果将底面直径4dm，高度为0.5dm的圆柱形蒸笼若干个叠加起来（如图3）放入锅中蒸食物（不考虑叠加缝隙），那么最多可以放入这种规格的圆柱形蒸笼多少个？
【分析】（1）在Rt△BOM中，OA＝OB＝3，由勾股定理可得：BM2＝OM2+OB2，即可求解；
（2）当y＝﹣1时，，解得：，即可求解；
（3）对于⊙M，当NG＝4dm时，IG＝2dm，则I，进而求解．
【解答】解：（1）由题意知抛物线C的顶点为F（0．﹣3），4）B（3，
∴设抛物线C解析式为：y＝ax2﹣2．
∴0＝a×9﹣3，
解得：，
∴抛物线C解析式为：；
如图：圆心为M，连接BM，
设 BM＝r，则 MB＝ME＝r，
∵OE＝1，
∴OM＝r﹣1，
在Rt△BOM中，OA＝OB＝4，
由勾股定理可得：BM2＝OM2+OB2，
即r2＝（r﹣1）7+9，
，解得：r＝5，
∴⊙M的半径为5dm；
（2）∵锅中原有水的最大深度为1.5dm，又重新加入一定量的水，
∴加水后水面水的最大深度为3dm，
∴水面距锅沿的竖直高度为1m，
∴当y＝﹣1时，，
解得：，
∴水面宽度为；
（3）对于抛物线C，如图所示：
当x＝2时，，
则DP＝dm，
对于⊙M，如图所示：
当 NG＝6dm时，IG＝2dm，
∴I，
∵OM＝5﹣3＝4，
∴OI＝PG＝M﹣OM＝﹣4，
∴，
则EO＝（﹣）×＝﹣，
∵，
∴为了让锅盖能够盖上，那么最多可以放入这种规格的蒸笼4个．
【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到圆的基本知识、勾股定理的运用等，正确作出辅助线是解题的关键．
26．（10分）如图1，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，DE∥BC．将△ADE绕点A逆时针旋转α（0°＜α≤360°），直线BD
（1）观察猜想：若∠ABC＝45°，将△ADE绕点A逆时针旋转至如图2所示的位置，则线段BD与CE的数量关系是 BD＝CE ，位置关系是 BD⊥CE ；
（2）探究证明：如图3，若∠ABC＝60°，将△ADE绕点A逆时针旋转．（1），加以证明；否则，并说明理由．
（3）拓展延伸：在（2）的条件下，若AC＝3，当以A、D、E、P为顶点的四边形是矩形时，直接写出CP的长．
【分析】（1）易证△ABC，△ADE都是等腰直角三角形，再证明△ABD≌△ACE（SAS），可得结论；
（2）易证，，从而证明△BAD∽△CAE，可得结论；
（3）分两种情形：当点P在线段CE上时，四边形AEPD是矩形，此时PC＝EC﹣PE，分别求出EC和PE即可得解；当点P在线段CE的延长线上时，四边形ADPE是矩形，此时P与B重合，PC＝BC，即可得解．
【解答】解：（1）如图，设AC交PB于J，
 
当∠ABC＝45°时，△ABC，
∴AB＝AC，AD＝AE，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，
∠AJB＝∠CJP，
∴∠CPJ＝∠BAJ＝90°，
∴BD⊥CE，
故答案为：BD＝CE，BD⊥CE．
（2）结论不成立．结论：，
理由：如图，设AC交BP于H，
 
∵DE∥BC，
∴∠ABC＝∠ADE＝60°，
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＝∠CAE，，
∴，
∴AE：AD＝AC：AB，
∴△BAD∽△CAE，
∴，∠ABD＝∠ACE，
∴，
∵∠ABD+∠AHB＝90°，∠AHB＝∠CHP，
∴∠ACE+∠PHC＝90°，
∴，
∴BD⊥CE．
（3）如图，当点P在线段CE上，
 
在Rt△ACB中，∠CAB＝90°，∠ABC＝60°，
∴∠ACB＝30°，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴；
如图，当点P在线段CE的延长线上时，此时P与B重合，，
 
∴；
综上所述，满足条件的PC的值为：或．
【点评】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，正确寻找全等三角形或相似三角形是解题的关键．
声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/7/10 14:38:49；用户：李佳琳；邮箱：19523779563；学号：55883986测试序号
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