高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用图片课件ppt

这是一份高中数学苏教版 (2019)选择性必修第一册第5章 导数及其应用5.3 导数在研究函数中的应用图片课件ppt，共60页。PPT课件主要包含了第5章导数及其应用，31单调性，例10，答案4cm，习题53，感受·理解，答案符号为负，思考·运用，答案略，探究·拓展等内容，欢迎下载使用。

5.3导数在研究函数中的应用
我们知道，导数 f(x) 刻画了函数 f(x) 在每一点处的变化趋势，而函数在每一点处的变化趋势可以反映函数的一些性质.
●如何利用导数来研究函数的性质呢?
● 导数与函数的单调性有什么联系?
我们选几个具体的函数，考察一下它们的单调性与导数之间的关系：
观察上表，我们可以提出两个猜想：(1)如果 f(x) 在某区间上单调递增，那么在该区间上 f′(x)＞0；(2)如果在某区间上 f(x)＞0，那么 f(x) 在该区间上单调递增.
试结合 y＝x3 进行思考：如果 f(x) 在某区间上单调递增，那么在该区间上必有 f(x)＞0 吗?
一般地，我们有下面的结论：
若在某个区间内，f′(x)＞0，且只在有限个点处 f′(x)＝0，则在这个区间内，函数y＝f(x) 单调递增；若在某个区间内，f′(x)≤0，且只在有限个点处 f′(x)＝0，则在这个区间内，函数 y＝f(x) 单调递减.
上述结论可以用图 5-3-1 来直观理解.
确定函数 f(x)＝x2－4x＋3 在哪个区间上单调递增，在哪个区间上单调递减.
解 由题设知，f′(x)＝2x3－4.令 f′(x)＞0，解得 x＞2，因此，在区间 (2，＋∞)上，f′(x)＞0，f(x) 单调递增；令 f(x)＜0，解得 x＜2，因此，在区间 (－∞，2) 上，f′(x)＜0，f(x) 单调递减 (图5-3-2).
讨论函数 f(x)＝2x3－6x2＋7 的单调性.
解 由题设知，f′(x)＝6x2－12x.令 f′(x)＝0，解得 x＝0 或 x＝2.因此，在区间 (－∞，0) 上，f′(x)＞0，f(x) 单调递增；在区间 (0，2) 上，f′(x)＜0，f(x) 单调递减；在区间 (2，＋∞) 上，f′(x)＞0，f(x) 单调递增 (图5-3-3).
确定函数 f(x)＝sinx (x∈(0，2π)) 的减区间.
1. 确定下列函数的单调区间： (1) y＝x－x2； (2) y＝x－x3.
答案：(1) 当 k＞0 时，f(x)在 R 上单调递增；当 k＝0 时，f(x) 为常数函数；当 k＜0 时，f(x) 在 R 上单调递减.
答案：(1) 因为 f′(x)＝ex＞0 恒成立，所以 f(x)＝ex 在区间 (－∞，＋∞)上是增所数；(2) 因为 f(x)＝ex－1，令 f(x)＜0，即 ex－1＜0，解得 x＜0，所以 f(x)＝ex－x 在区间 (－∞，0) 上单调递减.
5.3.2 极大值与极小值
观察图5-3-4中的函数图象，不难发现，函数图象在点 P 处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”函数由单调递增变为单调递减)，这时在点 P 附近，点 P 的位置最高，即 f(x1) 比它附近点的函数值都要大，我们称 f(x1) 为函数 f(x) 的一个极大值.
一般地，若存在 δ＞0，当 x∈(x1－δ，x1＋δ) 时，都有 f(x)≤f(x1)，则称 f(x1) 为函数 f(x) 的一个极大值，x1 称为函数 y＝f(x) 的极大值点.
类似地，图中 f(x2) 为函数的一个极小值 x ；称为函数 y＝f(x) 的极小值点.函数的极大值、极小值统称为函数的极值(extremum)，极大值点、极小值点统称为极值点.
● 函数的极值与函数的导数有怎样的关系呢?
继续观察图 5-3-4 中的函数图象，在函数取得极大值的 x1 的左侧，函数单调递增，f(x)＞0；在 x1 的右侧，函数单调递减，f′(x)＜0；而在点 P 处的切线平行于 x 轴，即 f′(x)＝0.
在这里，x1，左(右)侧是指以 x1 为右(左)端点的一个小区间.
表 5-3-1 清楚地表明了极大值与导数之间的关系.
符号“↗”“↘”分别表示“单调递增”和“单调递减”
类似地，极小值与导数之间的关系，如表 5-3-2 所示.
求 f(x)＝x2－x－2 的极值.
解 f′(x)＝x2－4. 令 f′(x)＝0，解得 x1＝－2，x2＝2.列表如表 5-3-4 所示.
试联系函数 y＝x3 思考：当 f′(x0)＝0 时，能否肯定函数 f(x) 在 x0 处取得极值?
2. 如果函数 f(x) 有极小值 f(a)，极大值 f(b)，问：f(a) 一定小于 f(b) 吗?试作图说明.
解：不一定. 如图所示，极小值 f(a)大于极大值 f(b).
解：(1)如图 1所示，(答案不唯一)；(2)如图2所示(答案不唯一)
4. 求函数 y＝x－ln x，x∈(0，2) 的极值.
答案：极小值：1，没有极大值.
5.3.3 最大值与最小值
我们知道，如果在数定义域 I 内存在 x0，使得对任意的 x∈I，总有 f(x)≤f(x0)，那么 f(x0) 为函数在定义域上的最大值. 最大值是相对函数定义域整体而言的，如果存在最大值，那么最大值唯一.
●如何求函数的最大(小)值?
观察函数 y＝f(x) 在区间 [a，b] 上的图象 (图5-3-6) 可知，f(x2)，f(x1) 是极大值，而函数 f(x) 的最大值是 f(b).
类似地，f(x1)，f(x3)，f(x5) 是极小值，而函数 f(x) 的最小值是 f(x3).
因此，求 f(x) 在区间 [a，b] 上的最大值与最小值可以分为两步：
第一步 求 f(x) 在区间 (a，b) 上的极值；第二步 将第一步中求得的极值与f(a)，f(b) 比较，得到 f(x) 在区间 [a，b] 上的最大值与最小值.
求 f(x)＝x2－4x＋3 在区间 [－1，4] 上的最大值与最小值.
你能根据表5-3-6大致作出函数 f(x) 的图象吗?
1. 对于函数 f(x)，如果 f(x)≤c (c为常数) 对定义域中的每个自变量 x 均成立，那么 c 一定是函数 y＝f(x) 的最大值吗?如果 f(x)≤f(x0) 对定义域中的每个自变量 x 均成立，那么 f(x0) 一定是函数的最大值吗?
答案：不一定是；一定是.
2. 如果函数，f(x) 有最小值 f(a)，最大值 f(b)，问：f(a)一定小于 f(b) 吗?
答案：不一定.证明略.
4. 求函数 y＝x－x3，x∈[0，2] 的值域.
5. 求函数 y＝x－ln x，x∈(0，1] 的值域.
答案： [1，＋∞).
在边长为 60cm 的正方形铁皮的四角切去边长相等的小正方形，再把它的边沿虚线折起 (图5-3-7)，做成一个无盖的方底铁皮箱.当箱底边长为多少时，箱子容积最大?最大容积是多少?
某种圆柱形饮料罐的容积一定,如何确定它的高与底半径，才能使它的用料最省?
因此，当 h＝2R 时，S(R) 取得极小值，且是最小值.答 当罐高与罐底的直径相等时，用料最省.
在经济学中，生产 x 单位产品的成本称为成本函数，记为 C(x)，出售 x 单位产品的收益称为收益数，记为 R(x)，R(x)－C(x) 称为利润函数，记为 P(x).(1) 如果 C(x)＝10－6x3－0.003x2＋5x＋1000，那么生产多少单位产品时，边际成本 C′(x) 最低?(2) 如果 C(x)＝50x＋10000，产品的单价 p(x)＝100－0.01x，那么怎样定价可使利润最大?
解 (1) C′(x)＝3×10－6x2－0.006x＋5，记 g(x)＝C′(x).由 g′(x)＝6×10－6x－0.006＝0，解得 x＝1000.结合 C′(x) 的图象(图5-3-9(2))可知，当 x＝1000 时，边际成本最低.
(2) 由 p(x)＝100－0.01x，得收益函数R(x)＝x(100－0.01x)，则利润函数 P(x)＝R(x)－C(x) ＝x(100－0.01x)－(50x－10 000) ＝－0.01x2＋50x－10 000.由 P′(x)＝－0.02x＋50＝0，解得 x＝2 500.结合图 5-3-9(3) 可知，当 x＝2500 时，利润最大，此时p(2500)＝100－0.01×2500＝75.答 生产1000个单位产品时，边际成本最低；当产品的单价为75时，利润最大.
一般地，为使利润函数 P(x)＝R(x)－C(x) 最大，生产规模广确定为 x＝a，且 P′(a)＝0，即 R′(a)＝C′(a).
用图象来表示有下列 3 种形式 (图5-3-10)，这就是如何确定生产规模的一般数学模型.
1. 把长为 60cm 的铁丝围成矩形，当长、宽各为多少时矩形的面积最大?
答案：长为 15 cm，宽为 15 cm 时，矩形的面积最大.
2. 把长为 100cm 的铁丝分成两段，各围成一个正方形，怎样分才能使两个正方形的面积之和最小?
答案：将铁丝分为等长的两段时，所围成的两个正方形的面积之和最小.
3. 做一个容积为 256 m 的方底无盖水箱，它的高为多少时材料最省?
4. 为了保证某隧道内的行车安全，交通部门规定，隧道内的车距 d (单位：m) 正比于车速 v (单位：km/h) 的平方与自身长 (单位：m) 的积，且车距不得小于半个车身长. 而当车速为 60 (km/h)时，车距为 1.44 个车身长，当车速多大时，隧道的车流量最大?
答案：50 km/h .
5.3 导数在研究函数中的应用
答案：(1)小于0；(2) 小于0.
6. 一杯80℃的热茶置于客厅桌面上，热茶的温度 T (单位：℃) 随着时间 t (单位：min) 的增加而逐渐下降，设 T 与 t 的函数关系为 T＝f(t)，若 f(3)＝3，试解释其实际意义.
答案：杯子中的热茶在第 3 min 时其温度下降的速度为 3 ℃/min.
8. 甲、乙两地相距 s (单位：km)，汽车从甲地以速度 v (单位：km/h) 匀速行驶到乙地. 已知汽车每小时的运输成本由固定成本和可变成本组成，固定成本为 a 元，可变成本与速度 v 的平方成正比，比例系数为 k. 为使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶?
9. 当某种针剂药注人人体后，血液中药的浓度 C 与时间 t 的关系 C＝C(t)的图象如图所示，试解释此图.
10. 已知函数 y＝f(x) 的图象如图所示，试作出 y＝f′(x) 的草图.
11. 出版社出版某一读物，1页上所印文字占去 150cm，上、下边要留1.5cm 空白，左、右两侧要留 1cm 空白. 出版商为降低成本，应选用怎样尺寸的纸张?
答案：宽：12 cm，长：18 cm.
12. 一列车队以速度 (单位：km/h) 行进，每辆车长 5m，两车之间的合适间距为 0.18v＋0.006v2 (m). 问：当车速 v 为多少时，单位时段内通过的汽车数量最多?
14. (1) 求内接于半径为 R 的圆且面积最大的矩形； (2) 求内接于半径为 R 的球且体积最大的圆柱.
15. 如图，酒杯的形状为倒立的圆锥. 杯深8cm，上口宽6cm. 水以20 cm3/s的流量倒人杯中，当水深4cm时，求水升高的瞬时变化率 (精确到0.01).
答案：2.83 (cm/s).
16. 如图，船以定速直行，航线距灯塔 L 的最近距离为 500m，已知灯塔对小船现在的位置 B 及小船航线与灯塔的最近点 P 的张角∠BLP＝83°，且该角正以 0.8°/min 的比率减小，求小船的速度.
17. 探究一元二次方程 x2＋x－1＝0 的求解问题，这是经典的求黄金分割的方程式. 令 f(x)＝x2＋x－1，对抛物线 y＝f(x) 持续实施下面“牛顿切线法”的步骤：在点 (1，1) 处作抛物线的切线，交 x 轴于点(x1，0)；在点 (x1，f(x1)) 处作抛物线的切线，交 x 轴于点(x2，0)；在点 (x2，f(x2)) 处作抛物线的切线，交x 轴于点(x3，0)；······得到一个数列 {xn}. 回答下列问题：
(1) 求 x1 的值；(2) 设 xn＋1＝g(xn)，求 g(xn) 的解析式；(3) 用“二分法”求方程的近似解，给出前四步结果，比较“牛顿切线法”和“二分法”的求解速度.
18. (阅读题)圆锥曲线的光学性质(续). 在圆锥曲线部分，我们曾介绍了圆锥曲线的光学性质，现以抛物线为例，予以证明. 抛物线的光学性质如下：位于焦点 F 的光源所射出的光线 FP，经抛物线(在实际问题中是旋转抛物线面)上的任一点 P(x0，y0) 反射后，反射光线 PM 与抛物线的轴平行.
根据光学中的反射原理，光线的反射角等于入射角. 在图中，设 PT 是抛物线在点 P 处的切线 ( T 为切线与 y 轴的交点)，PH⊥PT，
考察图1中的数据，怎样描出一条光滑的曲线连接这些点?
方法1 利用曲线板工具(图2)，在两个数据点间合理地选择曲线，并使其光滑地转接到下一个数据对的另一条.方法2 取一根非常纤细的木条 (称为样条spline)，在每一个数据点钉住它(图 3).
三次样条模型的基本思想同此，只是在光滑化的方式上，在连续的数据点对间使用不同的三次多项式.因为多项式容易求导，所以在构造经验模型追踪数据的趋势时，常使用多项式，考虑到高次多项式在邻近数据区间的端点处摆动的倾向，且系数对数据中小的变化太敏感，通常采用低次多项式进行光滑化.在连续的数据点对间使用三次多项式追踪数据的趋势，既保证了基本关系的特征，同时又减少了摆动的倾向和数据变化的敏感性.
(1) 三次样条模型如图 4，在区间 [x1，x2] 和 [x2，x3]上，分别定义样条函数：S1(x)＝a1＋b1x＋c1x2＋d1x3，x∈[x1，x2]；S2(x)＝a2＋b2x＋c2x2＋d2x3，x∈[x2，x3].
其次，要求样条系统的光滑性，在内部数据点邻接的一阶导数必须匹配：
同时还要求在每一内部数据点邻接的二阶导数必须匹配：
这样产生的样条称为自然样条(natural spline)，如图5所示.
另一种假设是在外侧端点处的一阶导数的值是已知的，即在外侧端点处的一阶导数要求与这些值匹配，若在外侧端点处的导数为 f′(x1) 和f′(x3)，则这样产生的样条称为强制样条 (clamped spline)，如图6所示
(2) 示例试建立过P1(1，5)，P2(2，8)，P3(3，25)三点的自然三次样条模型.
解 将三点的坐标代入①~⑧,得
因此，过 P1，P2，P3 三点的一个自然三次样条模型为
样条插值是工业设计中常用的得到平滑曲线的插值方法，三次样条模型是其中用得较为广泛的一种.(3)尝试自己选三个点，利用上述方法建立相应的模型。
在17世纪后半叶，牛顿(I. Newtn，1643-1727)和莱布尼茨(G. W. Leibniz，1646—1716) 总结了诸多数学家的工作之后，分别独立建立了微积分学，牛顿和莱布尼茨对微积分学最突出的贡献是建立了微积分基本定理
它把原以为不相干的两个事物紧密联系在一起，揭示了微分与积分的逆运算关系.所不同的是，牛顿创立的微积分有深刻的力学背景他更多的是从运动变化的观点考虑问题，把力学问题归结为数学问题.而莱布尼茨主要是从几何学的角度考虑，他创建的微积分的符号以及微积分的基本法则，对以后微积分的发展有极大的影响.
19世纪，柯西 (A. L. Cauchy，1789-1857)和魏尔斯特拉斯 (K. weierstrass，1815-1897) 为微积分学奠定了坚实的基础，使微积分学成为一套完整的、严谨的理论体系.微积分的建立充分说明，数学来源于实践，又反过来作用于实践.数学的内容、思想、方法和语言已成为现代文化的重要组成部分.