2024年宁夏石嘴山一中高考数学三模试卷（理科）(含详细答案解析)

这是一份2024年宁夏石嘴山一中高考数学三模试卷（理科）(含详细答案解析)，共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合M={x|x2−3x−4<0}，N={x|y=ln(x−1)}，则M∩N=( )
A. (1,4)B. [1,4)C. (−1,4)D. [−1,4)
2.若复数z满足|z−2|=1，则|z|的最小值为( )
A. 0B. 1C. 3D. 2
3.某四面体的三视图如图所示，该四面体四个面的面积中，最大的是( )
A. 8B. 6 2C. 10D. 8 2
4.已知定义域为R的函数f(x)满足f(−x)+f(x−2)=0，f(x)=f(−x−4)，则f(2023)=( )
A. −3B. −2C. 0D. 3
5.与y轴相切且和半圆x2+y2=4(0≤x≤2)内切的动圆圆心的轨迹方程是( )
A. y2=4(x+1)(0C. y2=−4(x−1)(06.中国古代四大名楼鹳雀楼，位于山西省运城市永济市蒲州镇，因唐代诗人王之涣的诗作《登鹳雀楼》而流芳后世.如图，某同学为测量鹳雀楼的高度MN，在鹳雀楼的正东方向找到一座建筑物AB，高约为37m，在地面上点C处(B,C,N三点共线)测得建筑物顶部A，鹳雀楼顶部M的仰角分别为30∘和45∘，在A处测得楼顶部M的仰角为15∘，则鹳雀楼的高度约为( )
A. 91mB. 74mC. 64mD. 52m
7.如图给出的是计算12+14+16+⋯+120的值的一个程序框图，其中判断框内应填入的条件是( )
A. i>10B. i<10C. i<20D. i>20
8.春节期间，5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，则三个城市都有人选的概率是( )
A. 5081B. 2081C. 81125D. 27125
9.以下四个命题，其中正确的个数有( )
①在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，“认为两个分类变量有关”，这种判断犯错误的概率越小
②定积分01 (2x−ex)dx的值为2−e
③随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，若P(X≤4)=0.64，则P(2≤X≤3)=0.07
④两个随机变量相关性越强，则相关系数r的值越接近于1
A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个
10.若函数f(x)=8−2x,x≤23+lgax,x>2(a>0且a≠1)的值域是[4,+∞),则实数a的取值范围是( )
A. (1,+∞)B. (2,+∞)C. (1,2]D. [52,2]
11.已知数列{an}满足a1=1，an+1−an=an2，若数列{an2}的前50项和为m，则数列1an+1的前50项和为( )
A. 2m1+mB. m1+mC. m−1mD. m−12m
二、多选题：本题共1小题，共5分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
12.已知正方体ABC−A1B1C1D1的棱长为4，M为DD1的中点，N为ABCD所在平面上一动点，则下列命题正确的是( )
A. 若MN与平面ABCD所成的角为π4，则点N的轨迹为圆
B. 若MN=4，则MN的中点P的轨迹所围成图形的面积为2π
C. 若点N到直线BB1与直线DC的距离相等，则点N的轨迹为抛物线
D. 若D1N与AB所成的角为π3，则点N的轨迹为双曲线
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.设不等式组y≤1,x+y≥0,x−y−2≤0表示的平面区域为D，在区域D内随机取一点M，则区域D的外接圆面积为______.
14.在平行四边形ABCD中，E为CD的中点，若EF=2FB，AF=λAB+μAD(λ,μ∈R)，则2λ+μ=______.
15.已知函数f(x)=4csωxsin(ωx+π4)− 2(ω>0)的最小正周期为π，则ω=______，f(x)在区间[0,π2]上的单调递增区间为______.
16.已知F1，F2分别为双曲线C：x24−y2b2=1(b>0)的左右焦点，且F1到渐近线的距离为1，过F2的直线l与C的左、右两支曲线分别交于A，B两点，且l⊥AF1，则AF1⋅BF1=______.
四、解答题：本题共7小题，共82分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某批发市场对某种商品的日销售量(单位：吨)进行统计，最近50天的结果如下：
(1)求表中a，b的值；
(2)以上表频率作为概率，且每天的销售量相互独立，
①求5天中该种商品恰有2天销售量为1.5吨的概率；
②已知每吨该商品的销售利润为2千元，X表示该种商品两天销售利润的和(单位：千元)，求X的分布列和期望．
18.(本小题12分)
如图，在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知ccsB=(2a−b)csC，点D在边BC上.
(Ⅰ)求角C；
(Ⅱ)若b=5，csB=1114，且△ABD的面积与△ADC的面积之比为3：1，求AD.
19.(本小题12分)
已知函数f(x)=−23x3+2ax2+3x.
(Ⅰ)当a=14时，求函数f(x)在[−2,2]上的最大值、最小值；
(Ⅱ)令g(x)=ln(x+1)+3−f′(x)，若g(x)在(−12,+∞)上单调递增，求实数a的取值范围.
20.(本小题12分)
已知三棱锥P−ABC(如图一)的平面展开图(如图二)中，四边形ABCD为边长等于a的正方形，△ABE和△BCF均为正三角形，在三棱锥P−ABC中：
(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；
(2)若点M在棱PC上运动，当直线BM与平面PAC所成的角最大时，求二面角P−BA−M的余弦值.
21.(本小题12分)
已知椭圆C的中心在原点，焦点F在x轴上，离心率e= 32，点Q( 2, 22)在椭圆C上．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若斜率为k(k≠0)的直线n交椭圆C与A、B两点，且kOA、k、kOB成等差数列，点M(1,1)，求S△ABM的最大值．
22.(本小题10分)
在直角坐标系xOy中，曲线M的参数方程为x=sinθ+csθy=sin2θ(θ为参数).若以该直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线N的极坐标方程为：ρsin(θ−π4)= 22t.(其中t为常数)
(1)求曲线M的普通方程；
(2)当t=−2时，点A在曲线M上，点B在曲线N上，求OA−OB模长的最小值.
23.(本小题12分)
已知函数f(x)=|2x−4|+|x+4|的最小值是m.
(1)求m的值；
(2)若正数a，b，c满足a+b+c=m，求证： a+ b+ c≤3 2.
答案和解析
1.【答案】A
【解析】解：M={x|x2−3x−4<0}={x|−11}，
故M∩N=(1,4).
故选：A.
先求出集合M，N，再结合交集的定义，即可求解．
本题主要考查交集及其运算，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：设z=x+yi(x,y∈R)，则|(x−2)+yi|=1，即(x−2)2+y2=1，
z在复平面上对应的点的轨迹为圆(x−2)2+y2=1，
又|z|是该圆上的点到原点距离的最小值，则|z|的最小值为1.
故选：B.
根据复数的几何意义求解．
本题考查复数的几何意义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：三视图复原的几何体是一个三棱锥，如图，四个面的面积分别为：8，6，6 2，10，
显然面积的最大值，10.
故选：C.
三视图复原的几何体是一个三棱锥，根据三视图的图形特征，判断三棱锥的形状，三视图的数据，求出四面体四个面的面积中，最大的值．
本题是基础题，考查三视图复原几何体的知识，考查几何体的面积，空间想象能力，计算能力，常考题型．
4.【答案】C
【解析】解：根据题意，因为f(x)=f(−x−4)，所以f(−x)=f(x−4).
又因为f(−x)+f(x−2)=0，所以f(x−4)+f(x−2)=0，
所以f(x−2)+f(x)=0，即f(x−2)=−f(x)，
所以f(x−4)=−f(x−2)=f(x)，所以函数f(x)是周期为4的函数．
在f(−x)+f(x−2)=0中，令x=1，则有2f(−1)=0，变形可得f(−1)=0，
所以f(2023)=f(506×4−1)=f(−1)=0.
故选：C.
根据题意，先分析函数的周期性，结合周期性利用特殊值分析可得答案．
本题考查抽象函数的性质，涉及函数的周期性，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：设圆心为(x,y)，则动圆的半径为x，
因为与已知圆内切，还要与y轴相切，所以可知x的范围为0同时原点到动圆圆心的距离为： x2+y2，
则由题意有下列方程：
x+ x2+y2=2.
整理得y2=4−4x(0所以动圆圆心的轨迹方程为：y2=4−4x(0故选C.
设出动圆的圆心坐标(x,y)，由题意得到关系式x+ x2+y2=2，整理后即可得到答案．
本题考查了轨迹方程，解答的关键是结合平面几何知识得到动圆圆心所满足的关系式，是中档题．
6.【答案】B
【解析】解：由题意，在Rt△ABC中，AC=ABsin30∘=74，
在△ACM中，∠CAM=30∘+15∘=45∘，∠ACM=180−45∘−30∘=105∘，
∴∠AMC=30∘，由正弦定理ACsin∠AMC=MCsin∠CAM，
得CM=ACsin30∘⋅sin45∘=74 2，
又在Rt△CMN中，MN=MC⋅sin45∘=74.
故选：B.
先在Rt△ABC中求出AC的长度，然后再求出△ACM中的∠CAM，∠ACM，利用正弦定理求出CM，最后在△CNM中利用三角函数的定义求出MN的长度即可．
本题考查解三角形的应用题的解题思路，侧重考查了正弦定理和三角函数的定义，属中档题．
7.【答案】B
【解析】解：第一次，n=2，i=1满足条件．，S=12，n=4，i=2，
第二次，n=4，i=2满足条件．，S=12+14，n=6，i=3，
…
第10次，n=20，i=10，满足条件，S=12+14+16+⋯+120，n=22，i=11，
此时i=11不满足条件．
故选：B.
根据程序框图进行模拟计算即可．
本题主要考查程序框图的判断和识别，根据条件进行模拟是解决本题的关键．
8.【答案】A
【解析】解：5位同学各自随机从“三峡明珠，山水宜昌”、“荆楚门户，秀丽荆门”、
“三国故里，风韵荆州”三个城市中选择一个旅游，基本事件总数n=35，
其中三个城市都有人选包含的基本事件个数m=(C53C21C11A22+C52C32C11A22)×A33=150，
则三个城市都有人选的概率p=mn=15035=5081.
故选：A.
基本事件总数n=35，其中三个城市都有人选包含的基本事件个数m=(C53C21C11A22+C52C32C11A22)×A33=150，由此能求出三个城市都有人选的概率．
本题考查概率的求法，考查排列组合等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
9.【答案】C
【解析】解：根据题意，依次分析4个命题：
对于①，由独立性检验的原理，在独立性检验中，随机变量K2的观测值越大，则“认为两个分类变量有关”，这种判断犯错误的概率越小，正确；
对于②，01 (2x−ex)dx=(x2−ex)|01=(1−e)−(0−1)=2−e，②正确；
对于③，随机变量X服从正态分布N(3,σ2)，则P(X≤3)=P(X>3)=0.5，
若P(X≤4)=0.64，则P(3≤X≤4)=0.64−0.5=0.14，
故P(2≤X≤3)=P(3≤X≤4)=0.14，③错误；
对于④，两个随机变量相关性越强，则|r|的值越接近于1，④错误．
有2个命题正确．
故选：C.
根据题意，由独立性检验的原理分析①，由定积分计算公式分析②，由正态分布的性质分析③，由相关系数的性质分析④，综合可得答案．
本题考查命题真假的判断，涉及独立性检验、正态分布的性质，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】【分析】
本题主要考查函数值域的求解，结合分段函数的性质是解决本题的关键．
先求出当x≤2时的值域是[4,+∞),然后求出当x>2时，f(x)≥4即可．
【解答】
解：当x≤2时，f(x)=8−2x≥8−4=4，
当x>2时，f(x)=3+lgax，
∵函数f(x)的值域是[4,+∞),
∴当x>2时的值域是[4,+∞)的子集，
若0所以a>1，当x>2时，f(x)=3+lgax是增函数，且f(x)>f(2)=3+lga2，
此时只要3+lga2≥4，即lga2≥1即可，
得1即实数a的取值范围是(1,2].
故选：C.
11.【答案】B
【解析】【分析】
本题考查数列递推式，熟练掌握“裂项法”求和是关键，考查运算求解能力，属于中档题．
由已知可得a51=1+m，再由an+1−an=an2，得到1an+1=1an−1an+1，结合“裂项法”求和可得数列{1an+1}的前50项和．
【解答】
解：由题意，数列{an}满足a1=1，an+1−an=an2，若数列{an2}的前50项和为m，
则m=a12+a22+⋯+a502=(a2−a1)+(a3−a2)+…+(a51−a50)
=a51−a1=a51−1，∴a51=1+m，
∵an+1−an=an2，∴an+1=an2+an=an(an+1)，
∴1an+1=1an(an+1)=1an−1an+1，即1an+1=1an−1an+1，
∴数列1an+1的前50项和为1a1−1a2+1a2−1a3+⋯+1a50−1a51=1−1a51=1−11+m=m1+m.
故选：B.
12.【答案】ACD
【解析】解：对于A，因为MN与平面ABCD所成的角为π4，即∠MND=π4，
所以DN=DM=2，所以点N的轨迹是D为圆心，2为半径的圆，故选项A正确；
对于B，若MN=4，因为MD⊥DN，MD=2，所以ND= MN2−MD2= 42−22=2 3，
所以点P到DM的中点Q的距离为12DN= 3，
又因为点P到平面ABCD的距离等于DQ=1为定值，
所以点P的轨迹是以Q为圆心， 3为半径的圆，
其面积为π⋅( 3)2=3π，故选项B错误；
对于C，因为BB1⊥平面ABCD，所以点N到直线BB1的距离为NB，即点N到点B的距离与到直线DC的距离相等，
又B不在直线DC上，所以点N的轨迹为以B为焦点，直线DC为准线的抛物线，故选项C正确；
对于D，以D为坐标原点，DA，DC，DD1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系如图所示，
则A(4,0,0)，B(4,4,0)，D1(0,0,4)，设N(x,y,0)，
则AB=(0,4,0),D1N=(x,y,−4)，
因为D1N与AB所成的角为π3，
所以|cs|=|AB⋅D1N||AB||D1N|=|0+4y−0| 0+16+0× x2+y2+16=csπ3=12，
化简可得3y2−x2=16，所以点N的轨迹为双曲线，故选项D正确．
故选：ACD.
利用线面角的定义得到∠MND=π4，从而得到DM=2，由圆的定义即可判断选项A，利用勾股定理求出ND，从而得到点P到平面ABCD的距离等于DQ=1为定值，由圆的定义以及其面积公式即可判断选项B，由题意得到点N到点B的距离与到直线DC的距离相等，结合抛物线的定义即可判断选项C，建立空间直角坐标系，利用向量法表示D1N与AB所成的角为π3，得到点N的轨迹方程，从而判断选项D.
本题以命题的真假的判断为载体，考查了立体几何知识的理解和应用，涉及了空间向量法的应用，动点轨迹的求解，综合性强，涉及知识点多，对学生逻辑思维能力有较高的要求，属于中档题．
13.【答案】4π
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由已知可得，BC⊥AC，
则△ABC为以AB为斜边的直角三角形，其外接圆的直径为AB，
联立y=1x+y=0，求得xB=−1，
联立y=1x−y−2=0，求得xA=3.
∴外接圆的半径为2，面积为4π.
故答案为：4π.
由约束条件画出可行域，求出其外接圆的半径，则答案可求．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
14.【答案】2
【解析】解：∵EF=2FB，E为CD的中点，
∴BF=13BE=13(BC+CE)=13AD−16AB，
∴AF=AB+BF=AB+13AD−16AB=56AB+13AD，
∵AF=λAB+μAD(λ,μ∈R)，
∴λ=56，μ=13，
∴2λ+μ=2，
故答案为：2.
利用平面向量的线性运算，平面向量基本定理求解即可．
本题考查平面向量的线性运算，平面向量基本定理，属于中档题．
15.【答案】1[0,π8]
【解析】解：因为f(x)=4csωxsin(ωx+π4)− 2
=2 2csωx(sinωx+csωx)− 2
=2 2sinωxcsωx+2 2cs2ωx− 2
= 2sin2ωx+ 2cs2ωx
=2sin(2ωx+π4)，
由题意得，2π2ω=π，则ω=1，f(x)=2sin(2x+π4)，
令−π2+2kπ≤2x+π4≤π2+2kπ，k∈Z，
则−3π8+kπ≤x≤π8+kπ，
故f(x)在区间[0,π2]上的单调递增区间为[0,π8].
故答案为：1，[0,π8].
结合和差角公式，二倍角公式及辅助角公式进行化简，然后结合周期公式可求ω，再由正弦函数的单调性即可求解．
本题主要考查了辅助角公式，二倍角公式在三角化简中的应用，还考查了正弦函数单调性的应用，属于中档题．
16.【答案】10−4 6
【解析】解：由双曲线的方程可得a=2，
设F1(−c,0)，渐近线方程为bx±ay=0，
可得bc b2+a2=b=1，
则c= 4+1= 5，
在直角三角形AF1F2中，由勾股定理可得|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2=4c2=20，
由双曲线的定义，可得|AF2|−|AF1|=2a=4，
解得|AF1|= 6−2，
在直角三角形AF1B中，AF1⋅BF1=F1A⋅F1B=|AF1|2=( 6−2)2=10−4 6.
故答案为：10−4 6.
由点到直线的距离公式求得b=1，可得c的值，运用直角三角形的勾股定理和向量数量积的定义、双曲线的定义，可得所求值．
本题考查双曲线的定义和性质，以及向量数量积定义，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
17.【答案】解：(1)∵100.2=50∴a=2550=0.5，b=1550=0.3
(2)①依题意，随机选取一天，销售量为1.5吨的概率p=0.5
设5天中该种商品有X天的销售量为1.5吨，则X∼B(5,0.5)
P(X=2)=C52×0.52×(1−0.5)3=0.3125
②X的可能取值为4，5，6，7，8，则
p(X=4)=0.22=0.04
p(X=5)=2×0.2×0.5=0.2
p(X=6)=0.52+2×0.2×0.3=0.37
p(X=7)=2×0.3×0.5=0.3
p(X=8)=0.32=0.09
所有X的分布列为：
EX=4×0.04+5×0.2+6×0.37+7×0.3+8×0.09=6.2.
【解析】(1)利用频率等于频数除以样本容量，求出样本容量，再求出表中的a，b.
(2)①利用二项分布的概率公式求出5天中该种商品恰好有2天的销售量为1.5吨的概率．
②写出X可取得值，利用相互独立事件的概率公式求出X取每一个值的概率．列出分布列，求得期望．
本题主要考查随机事件、互斥事件、相互独立事件等概率知识、考查离散型随机变量的分布列和期望等基础知识，考查运用概率与统计知识解决实际问题的能力．
18.【答案】解：(Ⅰ)∵(2a−b)csC=ccsB，由正弦定理可得(2sinA−sinB)csC=sinCcsB，
即2sinAcsC=sinCcsB+sinBcsC，
∴2sinAcsC=sin(B+C)=sin(π−A)=sinA，
在△ABC中，0∴sinA≠0.∴csC=12，又在△ABC中，0∴C=π3；
(Ⅱ)在△ABC中，0由(1)可知C=π3，sinA=sin(B+C)=sinBcsC+sinCcsB=12×5 314+ 32×1114=4 37，
在△AC中，由正弦定理可得，BC=bsin∠BACsinB=5×4 375 314=8，
∵△ABD的面积与△ADC的面积之比为3：1，
∴BD=3DC，∴DC=2，
在△ADC中，由余弦定理可得，AD2=AC2+DC2−2AD⋅DC⋅csC
=25+4−2×5×2×2×12=19，
∴AD= 19.
【解析】(I)由已知结合正弦定理及和差角公式进行化简即可求解；
(Ⅱ)由csB结合同角基本关系先求出sinB，然后结合和差角公式及正弦定理可求BC，进而可求AD.
本题主要考查了和差角公式，同角基本关系，正弦定理，余弦定理在求解三角形中的应用，属于中档题．
19.【答案】解：(Ⅰ)当a=14时，f(x)=−23x3+12x2+3x，f′(x)=−(2x−3)(x+1)
令f′(x)>0，可得−132
∴函数的单调增区间为(−1,32)；单调减区间为(−∞,−1)，(32,+∞)
∴x=−1时，函数取得极小值为−116，x=32时，函数取得极大值为278
∵f(−2)=43，f(2)=83
∴函数f(x)在[−2,2]上的最大值为278、最小值为−116；
(Ⅱ)g(x)=ln(x+1)+3−f′(x)=ln(x+1)+2x2−4ax，g′(x)=4x2+4(1−a)x+1−4ax+1
在(−12,+∞)上恒有x+1>0
考查h(x)=4x2+4(1−a)x+1−4a的对称轴为x=−4−4a8=a−12(9分)
(i)当a−12≥−12，即a≥0时，应有Δ=16(1−a)2−16(1−4a)≤0
解得：−2(ii)当a−12<−12，即a<0时，应有h(−12)>0，即：1−4(1−a)×12+1−4a>0，解得a<0(13分)
综上：实数a的取值范围是a≤0(14分)
【解析】(Ⅰ)当a=14时，f(x)=−23x3+12x2+3x，求导函数，确定函数的单调性，从而可确定函数的极值，进一步可得函数f(x)在[−2,2]上的最大值与最小值；
(Ⅱ)g(x)=ln(x+1)+3−f′(x)=ln(x+1)+2x2−4ax，求导函数，再考查h(x)=4x2+4(1−a)x+1−4a的对称轴为x=−4−4a8=a−12，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．
本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性与极值、最值，考查二次函数的单调性，综合性强．
20.【答案】(1)证明：取AC的中点O，连接OB，OP，
由图二可知，OB⊥AC，OP=OB= 22a，PB=BE=a，
∴OP2+OB2=PB2，即OP⊥OB，
又AC∩OP=O，AC、OP⊂平面PAC，
∴OB⊥平面PAC，
∵OB⊂平面ABC，
∴平面PAC⊥平面ABC.
(2)解：由(1)知，OB⊥平面PAC，
连接OM，则∠BMO即为直线BM与平面PAC所成的角，
在Rt△BOM中，tan∠BMO=OBOM，
当直线BM与平面PAC所成的角最大时，OM最小，此时M为PC的中点，
以O为原点，OC、OB、OP分别为x、y、z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则P(0,0, 22a)，A(− 22a,0,0)，B(0, 22a,0)，M( 24a,0, 24a)，
∴PA=(− 22a,0,− 22a)，AB=( 22a, 22a,0)，BM=( 24a,− 22a, 24a)，
设平面PAB的法向量为m=(x,y,z)，则m⋅PA=0m⋅AB=0，即− 22ax− 22az=0 22ax+ 22ay=0，
令x=1，则y=−1，z=−1，∴m=(1,−1,−1)，
同理可得，平面MAB的法向量为n=(1,−1,−3)，
∴cs=m⋅n|m|⋅|n|=1+1+3 3× 11=5 3333，
由图可知，二面角P−BA−M为锐角，
故二面角P−BA−M的余弦值为5 3333.
【解析】(1)取AC的中点O，连接OB，OP，先证OB⊥AC，OP⊥OB，可推出OB⊥平面PAC，从而得证；
(2)连接OM，则∠BMO为直线BM与平面PAC所成的角，可确定点M为PC的中点，于是以O为原点，OC、OB、OP分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，根据法向量的性质求得平面PAB和平面MAB的法向量m与n，再由cs=m⋅n|m|⋅|n|，即可得解．
本题考查空间中线与面的垂直关系、二面角的求法，熟练掌握线面垂直的判定定理与性质定理，以及利用空间向量处理二面角的方法是解题的关键，考查学生的空间立体感、逻辑推理能力和运算求解能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)设椭圆方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0)，则
∵椭圆离心率e= 32，点Q( 2, 22)在椭圆C上，
∴ a2−b2a= 322a2+12b2=1，
解得a=2，b=1，
∴椭圆方程为x24+y2=1；
(2)设直线n的方程为y=kx+m，A(x1,y1)，(x2,y2)，则
∵kOA、k、kOB成等差数列，
∴m(x1+x2)=0，
∴m=0，
∴直线n的方程为y=kx
代入椭圆方程得(1+4k2)x2=4，
∴|AB|=4 1+k2 1+4k2.
∵M到y=kx的距离为d=|k−1| k2+1
∴S=124 1+k2 1+4k2⋅|k−1| k2+1=2|k−1| 1+4k2
∴S2=4(k−1)21+4k2，
∴(S2)′=8(k−1)(4k+1)(1+4k2)2，
∴k<−14，(S2)′>0，−141，(S2)′>0，
∴k=−14时，S取得最大值 5.
【解析】(1)设出椭圆方程，根据椭圆离心率e= 32，点Q( 2, 22)在椭圆C上，建立方程组，求解a2，b2，则椭圆的方程可求；
(2)确定直线n的方程为y=kx，代入椭圆方程，借助于弦长公式求出|AB|的长度，由点到直线的距离公式求出M到直线y=kx的距离，写出三角形AOB的面积后转化为含有k的代数式，利用导数法求最值．
本题考查了椭圆的标准方程，考查了直线与圆锥曲线的关系，考查弦长问题、最值问题．属难题．
22.【答案】解：(1)对于曲线M，x=sinθ+csθ，两边平方得：x2=(sinθ+csθ)2=1+sin2θ=1+y，
且x=sinθ+csθ= 2sin(θ+π4)∈[− 2, 2]，
所以曲线M的普通方程为y=x2−1,|x|≤ 2.
(2)t=−2时，ρsin(θ−π4)=− 2，即ρ( 22sinθ− 22csθ)=− 2，
化为普通方程是 22y− 22x=− 2，即x−y−2=0；
设点A(x0,x02−1)，则点A到直线x−y−2=0的距离为：
d=|x0−x02+1−2| 2=|(x0−12)2+34| 2≥3 28，当x0=12时取“=”，
所以OA−OB=BA的模长最小值为3 28.
【解析】(1)由x=sinθ+csθ，两边平方得x2=1+y，即可得出曲线M的普通方程，求出x的取值范围．
(2)t=−2时，化极坐标方程为普通方程，曲线M上的点A(x0,x02−1)，利用点到直线的距离求解即可．
本题考查了参数方程与极坐标的应用问题，也考查了运算求解能力，是中档题．
23.【答案】(1)解：f(x)=|2x−4|+|x+4|=3x,x≥2−x+8,−4所以f(x)在(−∞,2)上单调递减，在(2,+∞)上单调递增，
所以f(x)的最小值m=f(2)=6.
(2)证明：由(1)知，a+b+c=6，
因为( a+ b+ c)2=a+b+c+2 ab+2 bc+2 ac，
2 ab≤a+b，2 bc≤b+c，2 ac≤a+c，
所以( a+ b+ c)2≤3×(a+b+c)=18，当且仅当a=b=c时等号成立，
所以 a+ b+ c≤3 2.
【解析】(1)将f(x)写成分段函数的形式，求出单调性，即可求得最小值m；
(2)由a+b+c=6，再利用基本不等式即可证明不等式．
本题主要考查分段函数的图象和性质，考查分段函数的最值和利用基本不等式证明不等式，考查学生推理能力、运算能力，属于中档题．.日销售量
1
1.5
2
频数
10
25
15
频率
0.2
a
b
X
4
5
6
7
8
P
0.04
0.2
0.37
0.3
0.09