2023年宁夏石嘴山重点学校高考数学四模试卷（文科）（含解析）

2023年宁夏石嘴山重点学校高考数学四模试卷（文科）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）

1.  设全集，，，则图中阴影部分所表示的集合为(    )

 

A.  B.  C.  D.

2.  已知复数为虚数单位，则复数在复平面内对应的点位于(    )

A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限

3.  已知甲、乙两人进行篮球罚球训练，每人练习组，每组罚球个，每组命中个数的茎叶图如图所示，则下列结论错误的是(    )

A. 甲命中个数的极差为
B. 乙命中个数的众数是
C. 甲的命中率比乙高
D. 甲命中个数的中位数是

4.  已知等比数列的首项为，前项和为，若，则公比(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知某几何体的三视图如图所示，其中侧视图是一个边长为的正三角形，则该几何体中最长棱的长度为(    )

A.
B.
C.
D.

6.  已知非零向量，满足，且，则与的夹角为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知两条不同的直线，及三个不同的平面，，，下列条件中能推出的是(    )

A. 与，所成角相等 B. ，
C. ，， D. ，，

8.  定义在上的函数满足，，且时，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  早在两千年前，古人就通过观测发现地面是球面，并会运用巧妙的方法对地球半径进行估算如图所示，把太阳光视为平行光线，为地球球心，，为北半球上同一经度的两点，且，之间的经线长度为，于同一时刻在，两点分别竖立一根长杆和，通过测量得到两根长杆与太阳光的夹角和和的单位为弧度，由此可计算地球的半径为(    )

A.  B.  C.  D.

10.  在中．，分别是双曲线的左、右焦点，点在上．若，则双曲线的离心率为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知函数，若方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围是(    )

A.  B.
C.  D.

12.  已知函数的部分图象如图所示，且，则(    )

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）

13.  已知圆台的上底面、下底面的半径分别是和，母线长为，则其侧面积是______．

14.  山西应县木塔如图是世界上现存最古老、最高大的木塔，是中国古建筑中的瑰宝，是世界木结构建筑的典范如图，某校数学兴趣小组为测量木塔的高度，在木塔的附近找到一建筑物，高为米，塔顶在地面上的射影为，在地面上再确定一点三点共线，测得约为米，在点，处测得塔顶的仰角分别为和，则该小组估算的木塔的高度为______ 米

 

15.  已知，分别是圆：，圆：上动点，是直线上的动点，则的最小值为______ ．

16.  关于函数，有如下四个命题：
函数的图像关于轴对称；
函数的图像关于直线对称；
函数的最小正周期为；
函数的最小值为其中所有真命题的序号是______ ．

三、解答题（本大题共7小题，共82.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17.  本小题分
“绿水青山就是金山银山”的理念越来越深入人心，据此，某网站调查了人们对生态文明建设的关注情况，调查数据表明，参与调查的人员中关注生态文明建设的约占现从参与调查的关注生态文明建设的人员中随机选出人，并将这人按年龄单位：岁分组：第组，第组，第组，第组，第组，得到的频率分布直方图如图所示．
求的值和这人的平均年龄每一组用该组区间的中点值作为代表；
现在要从年龄在第，组的人员中用分层抽样的方法取人，再从这人中随机抽取人进行问卷调查，求抽取的人中至少有人的年龄在第组中的概率．

18.  本小题分
正方体中，与交于点，点，分别为，的中点．
Ⅰ求证：平面平面；
Ⅱ若正方体的棱长为，求三棱锥的体积．

19.  本小题分
在等差数列中，，其前项和满足．
求实数的值，并求数列的通项公式；
若数列是首项为，公比为的等比数列，求证：数列的前项和．

20.  本小题分
已知椭圆的右焦点与抛物线：的焦点相同，曲线的离心率为为上一点且．
求曲线和曲线的标准方程；
过的直线交曲线于、两点，若线段的中点为，且，求四边形面积的最大值．

21.  本小题分
已知函数的图象在点处的切线与直线平行．
求实数的值，并求函数的单调区间；
若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围．

22.  本小题分
在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
求曲线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
已知点，曲线与曲线交于，两点，求的值．

23.  本小题分
已知函数的最小值为．
求的值；
若实数，满足，求的最小值．

答案和解析

1.【答案】 

【解析】

【分析】

求出集合，从而求出，图中阴影部分所表示的集合为，由此能求出结果．
本题考查集合的运算，考查并集、补集、韦恩图等基础知识，运算能力，属于基础题．

【解答】

解：全集，，
，
，
则图中阴影部分所表示的集合为：
．
故选：．

2.【答案】 

【解析】解：，，，，
，且余，
复数，
复数，在复平面内对应的点为，位于第二象限．
故选：．
根据复数的性质以及复数的几何意义求解即可．
本题考查复数的几何意义，考查复数的运算，属于基础题．
 

3.【答案】 

【解析】解：甲的最大值是，最小值是，极差为，故A正确，
B.乙命中个数的众数是，故B正确，
C.由茎叶图知甲的命中数集中在附近，而乙的数值集中在左右，故甲的命中率高，故C正确，
D.甲的中位数为，故D错误，
故选：．
根据茎叶图，结合极差，众数，中位数的定义分别进行判断即可．
本题主要考查命题的真假判断，结合茎叶图以及相关概念是解决本题的关键．
 

4.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查等比数列前项和的计算及性质，利用数列前项和定义避免了在转化时对公比是否为的讨论，利用数列前项和的定义及等比数列通项公式得出，解出即可．

【解答】

解：是等比数列，由数列前项和的定义及等比数列通项公式得，
，
，
解得，
故选B．

5.【答案】 

【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为四棱锥体；
如图所示：

所以；
，；，，
．
故选：．
首先把三视图转换为几何体的直观图，进一步利用关系式的应用求出各棱长，进一步确定结果．
本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查了平面向量的数量积和向量的夹角，属于基础题．
由，可得，进一步得到，然后求出夹角即可．

【解答】

解：，

，
，
，
，
故选B．

7.【答案】 

【解析】解：对于，正方体中，设边长为，
连接，则为与平面所成角，
由勾股定理得到，故，
同理可得和所成角的正弦值为，
故AC与平面和所成角大小相等，
但平面与平面不平行，故A错误；

选项，平面平面，平面平面，
但平面与平面不平行，故B错误；
对于，由，得，又，所以，故C正确；
对于，与可同时平行于与的交线，故D错误．
故选：．
可举出反例；选项，可根据平行的传递性和垂直关系进行证明．
本题考查空间中线面角的概念，面面垂直的证明，线面平行的证明，属中档题．
 

8.【答案】 

【解析】解：，
，
，
又定义在上的函数满足，
，周期为，
，
时，，

，
故．
故选：．
由，可得，结合定义在上的函数满足，，可得：，再由时，，可得答案．
本题考查的知识点是函数的周期性，函数的奇偶性，函数求值，是函数图象和性质的综合应用，难度中档．
 

9.【答案】 

【解析】解：如图所示，过点作太阳光的平行线，与的延长线交于点，

则，，所以，
设地球半径为，则根据弧长公式得，
所以 ，
故选：．
过点作太阳光的平行线，与的延长线交于点，可求出，利用弧长公式即可求得地球的半径．
本题考查解三角形问题，弧长公式的应用，属基础题．
 

10.【答案】 

【解析】解：，又，
，
则，即，
又，是一个等腰直角三角形，
由题意得：点在双曲线的右支上，
，，又，
即，解得离心率，
故选：．
由，得，结合，得是一个等腰直角三角形，求出的长，再利用双曲线的定义建立与的关系式，即可求出离心率．
本题考查了平面向量的数量积的性质，考查了双曲线的定义和性质，考查运算能力，属于中档题．
 

11.【答案】 

【解析】解：设，该直线恒过点，如图，

结合函数图象，可知若方程有四个不同的实数根，则，
又直线与曲线在时有两个不同的公共点，
所以在时有两个不同的实数根，
令，则，
解得．
故选：．
恒过点，结合函数图象，先得到，然后转化为在时有两个不同的实数根，进而得到的范围．
本题考查了函数的零点问题，考查了二次函数根的分布问题，属于中档题．
 

12.【答案】 

【解析】解：设的横坐标为，则，，，
则由，得，
得，则，得，
由五点对应法得，得，
则，
故选：．
利用五点对应法设出，，的坐标，利用向量关系建立方程进行求解即可．
本题主要考查三角函数解析式的求解，利用五点对应法和向量关系建立方程进行求解是解决本题的关键，是中档题．
 

13.【答案】 

【解析】解：圆台的上底面、下底面的半径分别是和，母线长为，
圆台的侧面积．
故答案为：．
由已知直接利用圆台侧面积公式求解．
本题考查圆台侧面积的求法，是基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：如图，过点作作垂线，垂足为，

由题意可知，，米，
设米，则米，米，
，则，解得，
所以估算木塔的高度为米．
故答案为：．
设，根据题意结合列式求解即可．
本题主要考查解三角形，考查转化能力，属于中档题．
 

15.【答案】 

【解析】解：，，，
，，，
设关于的对称点为，
则，解得，即．
所以圆关于直线的对称圆：
因为，，
所以．
故答案为：．
首先求出圆关于直线的对称圆：，再根据，即可得到．
本题主要考查两圆的位置关系，考查转化能力，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：对于：定义域为，
因为，所以是上的偶函数，
所以图像关于轴对称，故正确；
对于：对于任意的，，
所以函数的图像关于直线对称，故正确；
对于：因为，
所以函数的最小正周期为，故错误；
对于：设，
则，
因为，当且仅当，即时等号成立，
所以函数的最小值为，故正确，
故答案为：．
对于：由奇偶函数的定义，可判断出为偶函数，图像关于轴对称；对于：由即可判断出函数的图像关于直线对称；对于：由得出函数的最小正周期为；对于：设，则，由基本不等式即可求出最小值．
本题主要考查了函数奇偶性的判断，考查了函数的对称性和周期性，属于中档题．
 

17.【答案】解：由小矩形面积和等于可得：，
，
平均年龄为岁．
第组总人数为，第组总人数为，
故根据分层抽样可得：第组抽取人，
设为，，
第组抽取人，
设为，，，
从这人中抽取人有：，，，，，，，，，，
共有种等可能的结果，
若人的年龄都在第组的有，，，共种等可能的结果，
即“至少人的年龄在第组中”为事件，其概率为． 

【解析】根据频率和为求的值，再根据平均数的计算公式运算求解；
根据古典概型结合对立事件分析运算．
本题主要考查频率分布直方图的应用，属于基础题．
 

18.【答案】证明：根据题意连接，交于，继续连接，，

由题意知在正方体中，为的中点，为的中点，
故可以得到，
同理可得，
故，
又因为平面，平面，
所以面，
又因为，
而平面，平面，
所以平面，
所以，，平面，
所以平面平面．
解：，，，，平面，
平面，
正方体棱长为，，
． 

【解析】Ⅰ利用中位线定理与线面平行的判定定理证得面，平面，从而利用面面平行的判定定理即可得证；
Ⅱ先利用线面垂直的判定定理证得平面，再利用等体积法即可得解．
本题主要考查几何体的体积，属于中档题．
 

19.【答案】解：设等差数列的公差为，
，
，解得，
，即，
；
证明：由得，
，
，


，
为正整数，
成立． 

【解析】利用等差数列的定义，求出，即可得出答案；
由得，结合题意可得，即，利用分组求和法，即可证明结论．
本题考查等差数列的定义和数列的求和，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：椭圆，
又，
所以椭圆，
抛物线：；
因为直线斜率不为，设为，
设，，
联立，得，
所以，
所以，
所以，
，，
设四边形的面积为，
则，
令，再令，
易知在单调递增，
所以时，，
此时取得最小值，所以． 

【解析】根据离心率以及抛物线的焦半径即可求解，，进而可根据，， 的关系求解，
联立直线与抛物线的方程得韦达定理，根据弦长公式求解弦长，进而根据向量共线得面积的关系为，结合对勾函数的性质即可求解最值．
本题考查有的几何性质，抛物线的几何性质，直线与椭圆的位置关系，函数思想，属中档题．
 

21.【答案】解：函数的定义域为，
，
因为函数的图象在点处的切线与直线平行，
所以，故，解得，
所以，所以，
当时，，又，则，，所以在上单调递减．
设，则，
当时，，，是增函数，即在上单调递增，
所以，因此在上单调递增，
所以的单调递增区间是，
单调递减区间是．
不等式，
可化为，
设，
由已知可得在上恒成立，满足题意．
因为，
令，
则，，
则，所以即在上是增函数，
，
当时，，
函数即在上单调递增，
所以，
在上单调递增，所以恒成立，原不等式恒成立：
当时，则，又，
所以存在，使得，
时，，即在上单调递减，
时，，即在上单调递增，
又，所以时，，
从而在在上单调递减，
于是当时，，不合题意，
综上，实数的取值范围是 

【解析】求出导函数，通过函数的图象在点处的切线与直线平行，求解，利用导函数的符号判断函数的单调性即可．
不等式，可化为，设，通求出函数的导数，构造函数，然后求解函数的导数，构造函数，求解导数，通过的范围，判断函数的单调性求解函数的最值，推出时，恒成立，原不等式恒成立，同理判断时，推出，不合题意，得到结果．
本题考查函数的导数的应用，切线方程的应用，函数的导数判断函数的单调性，考查分类讨论思想以及转化思想的应用，是难题．
 

22.【答案】解：曲线的参数方程为为参数，
消去参数可得，，
，
则，
，，
曲线的直角坐标方程为；
点在曲线上，
曲线的标准参数方程为为参数，代入曲线的直角坐标方程，
化简整理可得，，
设点，对应的参数分别为，，
则，，
，
故． 

【解析】根据已知条件，消去参数，即可求解曲线的普通方程，再结合极坐标公式，即可求解．
根据已知条件，结合参数方程的几何意义，即可求解．
本题主要考查简单曲线的极坐标方程，以及极坐标公式，属于中档题．
 

23.【答案】解：，当且仅当时等号成立，
故；
由得，由柯西不等式得，当且仅当，时，等号成立，
，
故的最小值为． 

【解析】利用绝对值不等式的性质即可求得；
由得，再利用柯西不等式直接得解，注意取等条件．
本题考查绝对值不等式的性质以及利用柯西不等式求最值，考查计算能力，属于基础题．