2024年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（理科）（含详细答案解析）

这是一份2024年四川省遂宁市高考数学三诊试卷（理科）（含详细答案解析），共19页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.已知集合A={x|x2−19≤0}，B={x|1 x≥1}，则A∩B( )
A. [0,13]B. (0,13]C. (0,1]D. [0,1]
2.已知复数z=2+i，则i2025z−=( )
A. 15−2i5B. −15−2i5C. 15+2i5D. −15+2i5
3.下列函数中，既是周期函数又是偶函数的是( )
A. y=tanxB. y=|tanx|C. y=sin|x|D. y=cs(x2+π6)
4.设双曲线x2a2−y29=1(a>0)的渐近线方程为x±2y=0，则实数a的值为( )
A. 4B. 3C. 2D. 6
5.某公司研发新产品投入x(单位：百万)与该产品的收益y(单位：百万)的5组统计数据如下表所示：由表中数据求得投入金额x与收益y满足经验回归方程y =b x+2.6，则下列结论不正确的是( )
A. x与y有正相关关系B. 回归直线经过点(8,25)
C. b =2.4D. x=9时，残差为0.2
6.设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是( )
A. 若m⊥α，m//n，n⊥β，则α⊥β
B. 若α//β，m⊂α，m//n，则n//β
C. 若m，n是两条不同的异面直线，m//α，n//β，m⊂α，n⊂β，则α//β
D. 若m⊥n，α//β，则m与α所成的角和n与β所成的角互余
7.已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，对任意实数x都有f(2−x)=f(x).当x∈[1,2]时，f(x)=1−lg2x.则f(19)的值为( )
A. 0B. 1C. 1−lg221D. −1
8.已知函数f(x)=2sin(2x+π3)，把f(x)的图象向左平移π3个单位长度得到函数g(x)的图象，则( )
A. g(x)是偶函数
B. g(x)的图象关于直线x=−π4对称
C. g(x)在[0,π2]上单调递增
D. 不等式g(x)≤0的解集为[kπ+π2,kπ+π],k∈Z
9.若f(x)=−13x3+12x2+2x+1是区间(m−1,m+5)上的单调函数，则实数m的取值范围是( )
A. m≤−6或m≥3B. m≥3
C. m≤−6D. −6≤m≤3
10.在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2+b2=2026c2，则2tanAtanBtanC(tanA+tanB)的值为( )
A. 2023B. 2024C. 2025D. 2026
11.已知正四面体ABCD的棱长为4，动点P满足AP⋅CD=0，且PB⋅PC=0，则点P的轨迹长为( )
A. π2B. πC. 2πD. 2 3π
12.过抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F作直线l，与C1交于A，B两点(点A在x轴上方)，与y轴正半轴交于点D，A为DF中点，且|BD|=6，又点C(1,0)，曲线C2上任意一点P满足|PC|=1，过定点C的直线m与抛物线C1和曲线C2的四个交点从上到下依次为G，M，N，H，则|GN|+4|HM|的最小值为( )
A. 8B. 12C. 13D. 14
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.已知平面向量a=(2,x−1),b=(3,2−x)，若向量a与b共线，则x=______.
14.已知实数x，y满足约束条件x−y≤1x≥2yx+y≤1，则z=3x+2y的最大值为______.
15.已知圆x2+y2=4上一点A(65,85)，现将点A绕圆心顺时针旋转π6到点B，则点B的横坐标为______.
16.已知函数f(x)=a2x−a(x2+1),x≤aexa−x,x>a，若f(x)的最大值为−34，则实数a的取值构成的集合为______.
三、解答题：本题共7小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
某工厂为了检查一条流水线产品的某项指标值K，随机抽取流水线上的20件产品作为样本测出该项指标值K，指标值K的分组区间为(45,55],(55,65],…(85,95].由此得到样本的频率分布直方图(如图).
(1)估计该产品指标值K的平均值(同一组数据用该组区间的中点值作代表)；
(2)在上述抽取的20件产品中任取2件，设X为指标值超过65的产品数量，求X的分布列与数学期望.
18.(本小题12分)
如图，在四棱锥P−ABCD中，面PAD⊥面ABCD，AB//CD，AB⊥BC，AB=PA=2，BC=CD=1，AD= 2,PB=2 2，M为PC的中点.
(1)求证：BD⊥PD；
(2)求二面角M−AD−B的余弦值.
19.(本小题12分)
已知点集L={(x,y)|y=m⋅n}，其中m=(2x−1,1),n=(1,2)，点Pn(an,bn)∈L，P1为L与y轴的公共点，等差数列{an}的公差为1.
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)令数列dn=bn2an+1，记数列{dn}的前n项和为Cn，是否存在整数k，使Cn20.(本小题12分)
已知函数f(x)=(x2−2ax)lnx,g(x)=12x2−2ax,a>12.
(1)当a=1时，求函数f(x)在点x=1处的切线方程；
(2)若方程f(x)=g(x)在x∈[12,+∞)上有两个不等实数根，求实数a的取值范围.
21.(本小题12分)
已知椭圆具有如下光学性质：从椭圆的一个焦点发出的光线射向椭圆上任一点，经椭圆反射后必经过另一个焦点.若从椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点F1发出的光线，经过两次反射之后回到点F1，光线经过的路程为8，且椭圆上的点到焦点的最远距离是2+ 3.
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)直线m交椭圆C于G，H两点，若GH中点坐标为(−1,12)，求直线m的方程；
(3)设直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，直线l与C交于A，B两点，点M(x0,y0)(x0,y0≠0)为弦AB的中点.过点M作直线l的垂线交椭圆C于D，E两点，N为弦DE的中点.直线l与直线ON交于T，若ON=λNT(λ>0)，求λ的最大值.
22.(本小题5分)
在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为x=1+3csαy=3sinα(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2ρcs(θ−π4)=2.
(1)求曲线C的极坐标方程以及直线l的直角坐标方程；
(2)直线l与曲线C交于M，N两点，且A(2,0)，求1|AM|+1|AN|的值.
23.(本小题5分)
已知关于x的不等式|x+2|−|2x−2|≥m有解.
(1)求实数m的取值范围；
(2)若a、b、c均为正数，n为m的最大值，且a+3b+4c=n.求证：a2+2ab+5b2+c2≥12.
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：集合A={x|x2−19≤0}={x|−13≤x≤13}，
B={x|1 x≥1}={x|0则A∩B=(0,13].
故选：B.
求出集合A，B，利用交集定义能求出A∩B.
本题考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
2.【答案】D
【解析】解：因为z=2+i，所以z−=2−i，所以i2025z−=i2−i=i(2+i)(2+i)(2−i)=2i+i25=−15+25i.
故选：D.
由题意，根据共轭复数的概念，结合复数的乘方、乘除法运算即可求解．
本题考查复数的运算，属于基础题．
3.【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，y=tanx，是正切函数，是奇函数，不满足题意，故A错误；
对于B，若y=f(x)=|tanx|，其定义域为{x|x≠π2+kπ,k∈Z}，关于原点对称，
且f(−x)=|tan(−x)|=|tanx|=f(x)，所以y=f(x)=|tanx|是偶函数，
又f(x+π)=|tan(x+π)|=|tanx|=f(x)，所以y=f(x)=|tanx|是周期函数，故B正确；
对于C，函数y=sin|x|的图象如图：
由此可知函数y=sin|x|不是周期函数，故C错误；
对于D，若y=f(x)=cs(x2+π6)，则f(2π3)=cs(π3+π6)=0≠f(−2π3)=cs(−π3+π6)=− 32，所以该函数不是偶函数，故D错误．
故选：B.
根据题意，由三角函数周期性，奇偶性逐一判断每一选项，综合可得答案．
本题考查三角函数的奇偶性和周期性，涉及函数图象的变换，属于基础题．
4.【答案】D
【解析】解：令x2a2−y29=0，即3x±ay=0，
故3x±ay=0为该双曲线的渐近线方程，
双曲线x2a2−y29=1(a>0)的渐近线方程为x±2y=0，
则a=6.
故选：D.
根据已知条件，结合渐近线方程的公式，即可求解．
本题主要考查双曲线的标准方程，属于基础题．
5.【答案】C
【解析】解：对于A，由表格可知，x越大，y越大，所以x与y有正相关关系，故A正确；
对于B，x−=5+6+8+9+125=8，y−=16+20+25+28+365=25，
则样本点中心为(8,25)，所以经验回归直线经过点(8,25)，故B正确；
对于C，将样本点中心代入直线方程，得25=8b +2.6，所以b =2.8，故C错误；
对于D，y =2.8x+2.6，当x=9时，y =2.8×9+2.6=27.8，
则残差为y−y =28−27.8=0.2，故D正确．
故选：C.
根据x和y的变化规律，即可判断A；计算(x−,y−)，即可判断B；将样本点中心代入回归直线方程，即可求b ，即可判断C；根据回归直线方程计算x=9时的y ，计算y−y ，即可判断D.
本题主要考查线性回归，属于中档题．
6.【答案】C
【解析】解：对于A，m//n，m⊥α，则n⊥α，又n⊥β，则α//β，所以α⊥β不正确，故A不正确；
对于B，α//β，m⊂α，m//n，则n//β或n⊂β，故B不正确；
对于C，若m，n是两条不同的异面直线，m//α，n//β，m⊂β，n⊂α，则α//β，故C正确；
对于D，由m⊥n时，m，n与α所成的角没有关系，
α//β时，由面面平行的性质知n与α，β所成的角相等，m与α，β所成的角相等，
因此m与α所成的角和n与β所成的角不一定互余，故D不正确．
故选：C.
利用空间点线面的位置关系，点线面垂直平行的性质依次判断即可．
本题考查空间点线面的位置关系，点线面垂直平行的性质等基础知识，考查空间思维能力，是中档题．
7.【答案】D
【解析】解：根据题意，函数y=f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)=−f(−x)，
又由对任意实数x都有f(2−x)=f(x)，则有f(−x+2)=−f(x)，变形可得f(x+2)=−f(x)，
故f(x+4)=−f(x+2)=f(x)，f(x)是周期为4的周期函数，
f(19)=f(3+16)=f(3)=−f(1)，
当x∈[1,2]时，f(x)=1−lg2x，则f(1)=1−lg21=1，
故f(19)=−f(1)=−1.
故选：D.
根据题意，分析函数的周期，结合函数的解析式计算可得答案．
本题考查函数奇偶性的性质和应用，涉及函数值的计算，属于基础题．
8.【答案】B
【解析】解：对于A选项，g(x)=2sin(2x+2π3+π3)=2sin(2x+π)=−2sin2x，
由于g(x)的定义域为R，且g(−x)=−2sin(−2x)=sin2x=−g(x)，
故g(x)为奇函数，故A错误；
对于B选项，由选项A可知g(x)=−2sin2x，故g(x)的图象的对称轴为2x=π2+kπ,(k∈Z)，即x=π4+kπ2,(k∈Z)，
令k=−1可得x=−π4，即g(x)的图象关于直线x=−π4对称，故B正确；
对于C选项，x∈[0,π2]时，2x∈[0,π]，其中y=−sinz在z∈[0,π]上不单调，
故g(x)=−2sin2x在x∈[0,π2]上不单调，故C错误；
对于D选项，g(x)≤0，则sin2x≥0，则2x∈[2kπ,2kπ+π]，k∈Z，
故x∈[kπ,kπ+π2],k∈Z，D错误．
故选：B.
对于A选项，由函数的平移变换得到的解析式，可判断出奇偶性；B选项，由A选项求出的解析式求解对称轴可判断；C选项，整体代入法判断函数的单调性；D选项，由g(x)≤0得到sin2x≥0，即可求出不等式的解集．
本题考查的知识点：三角函数的图象和性质，主要考查学生的运算能力，属于中档题．
9.【答案】A
【解析】解：由题意，f′(x)=−x2+x+2=−(x−2)(x+1)，
故f(x)在(−∞,−1)和(2,+∞)上单调递减，在(−1.2)上单调递增，
若函数f(x)=−13x3+12x2+2x+1在区间(m−1,m+5)上单调，则m+5≤−1或m−1≥2或m−1≥−1m+5≤2，
解得m≤−6或m≥3.
故选：A.
先对函数求导，结合导数与单调性关系即可求解．
本题主要考查了导数与单调性关系的应用，属于基础题．
10.【答案】C
【解析】解：因为a2+b2=2026c2，由余弦定理可得：a2+b2=c2+2abcsC，
可得2025c2=2abcsC，
由正弦定理可得2025sin2C=2sinAsinCcsC，
所以2tanAtanBtanC(tanA+tanB)=2sinAsinBcsAcsBsinCcsC⋅(sinAcsA+sinBcsB)=2sinAsinBcsCsinCsin(A+B)=2sinAsinBcsCsin2C=2025sin2Csin2C=2025.
故选：C.
由题意及余弦定理，正弦定理可得2025sin2C=2sinAsinCcsC，由正切的化简可得答案．
本题考查正弦定理，余弦定理及正切化为正余弦的应用，属于中档题．
11.【答案】D
【解析】解：如图，分别取BC，CD的中点O，E，连接AE，BE，
由AP⋅CD=0，可知AP⊥CD，
又在正四面体ABCD中，易知CD⊥平面ABE，
∴点P在平面ABE内①，
又PB⋅PC=0，∴PB⊥PC，
∴点P在以BC为直径的球O的球面上②，
综合①②可得点P在球O被平面ABE所截的截面小圆上，
又CE⊥平面ABE，过O作OF//BE，且OF∩BE=F，
∴OF⊥平面ABE，且|OF|=12|CE|=1，又球O半径R=2，
设截面小圆的半径为r，
则r= R2−|OF|2= 4−1= 3，
∴截面小圆的周长为2πr=2 3π，
即点P的轨迹长为2 3π.
故选：D.
作出图形，分别取BC，CD的中点O，E，根据题意可得P在球O被平面ABE所截的截面小圆上，再根据球的几何性质，即可求解．
本题考查动点轨迹问题，球的几何性质，属中档题．
12.【答案】D
【解析】解：抛物线C1:y2=2px(p>0)的焦点F为(p2,0)，准线方程为x=−p2，
设A(x1,y1)，B(x2,y2)，直线l的方程为y=k(x−p2)，k<0，
与抛物线方程联立，可得k2x2−(k2+2)px+14k2p2=0，
可得x1x2=14p2，
由A为DF中点，可得D(2x1−p2,2y1)，即有2x1−p2=0，可得x1=14p，x2=p，
即有y1= 2p⋅14p= 22p，y2=− 2p2=− 2p，
则B(p,− 2p)，D(0, 2p)，
|BD|= p2+8p2=6，解得p=2，
可得F(1,0)，与C(1,0)重合，
曲线C2上任意一点P满足|PC|=1，可得曲线C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆，
设直线m的方程为x=my+1，与抛物线y2=4x联立，可得y2−4my−4=0，
设G(x3,y3)，H(x4,y4)，可得y3y4=−4，x3x4=(y3y4)216=1，
又|GN|+4|HM|=|GF|+1+4(|HF|+1)=x3+2+4(x4+2)
=x3+4x4+10≥2 4x3x4+10=14(当且仅当x3=2，x4=12时，取得等号)，
则|GN|+4|HM|的最小值为14.
故选：D.
设直线l的方程为y=k(x−p2)，k<0，与抛物线的方程联立，运用韦达定理，由中点坐标公式和两点的距离公式，推得p=2，由题意可得曲线C2是圆心为(1,0)，半径为1的圆，设直线m的方程为x=my+1，与抛物线y2=4x联立，运用韦达定理，结合抛物线的定义和圆的性质，结合基本不等式可得所求最小值．
本题考查抛物线的定义和方程、性质和圆的性质、直线和抛物线的位置关系、基本不等式，考查方程思想和运算能力，属于中档题．
13.【答案】75
【解析】解：平面向量a=(2,x−1),b(3,2−x)，若向量a与b共线，
则2(2−x)=3(x−1)，解得x=75.
故答案为：75.
根据已知条件，结合向量共线的性质，即可求解．
本题主要考查向量共线的性质，属于基础题．
14.【答案】3
【解析】解：由约束条件作出可行域如图，
由图可知，当直线z=3x+2y过A(1,0)时，z有最大值为3.
故答案为：3.
由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案．
本题考查简单的线性规划，考查数形结合思想，是基础题．
15.【答案】3 3+45
【解析】解：设坐标原点为O(0,0)，
射线OA终边的角为α，射线OB为终边的角为α−π6，
由题意可知，csα=65 (65)2+(85)2=35，同理可得，sinα=45，
故cs(α−π6)=csαcsπ6+sinαsinπ6=4+3 310，
圆的半径为2，
则点B的横坐标为4+3 310×2=3 3+45.
故答案为：3 3+45.
根据已知条件，结合任意角的三角函数的定义，以及三角函数的同角公式，即可求解．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，以及三角函数的同角公式，属于基础题．
16.【答案】{1, 13−12}
【解析】解：因为当x≤a时，f(x)=−ax2+a2x−a，对称轴为x=a2；
当x>a时，f(x)=exa−x，
f′(x)=ex(a−x)+ex(a−x)2=(a+1−x)ex(a−x)2，
令f′(x)=0，得x=a+1，
所以当x∈(a,a+1)时，f′(x)>0，f(x)单调递增；
当x∈(a+1,+∞)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；
当a<0时，a2<0且a当x此时，函数在(−∞,a)和∈(a+1,+∞)上单调递减，
在(a,a+1)上单调递增，
其大致图象，如图所示：
此时函数无最大值；
当a=0时，f(x)=0,x≤0−exx,x>0，
易知函数的最大值为0，不满足题意；
当a>0时，
a2>0，a>a2，
此时函数在(−∞,a]上的图象是开口向下的抛物线，
其大致图象如图所示：
则f(x)=max{f(a2),f(a+1)}=max{a34−a,−ea+1}，
当a34−a=−34时，
则a3−4a+3=0，a3−4a+4−1=0，
即(a−1)(a2+a−3)=0，
解得：a=1或a= 13−12；
当−ea+1=−34时，
解得a=ln34−1<0，不满足a>0.
综上，a=1或a= 13−12；
所以实数a的取值构成的集合为{1, 13−12}.
故答案为：{1, 13−12}.
利用导数确定函数在(a,+∞)上的单调性和极值，分a<0、a=0、a>0，结合二次函数的性质求解即可．
本题考查了分类讨论思想、数形结合思想，考查了二次函数的性质及导数的综合运用，属于中档题．
17.【答案】解：(1)由题，该产品指标值K的平均值：
(50×0.015+60×0.020+70×0.035+80×0.025+90×0.005)×10=68.5；
(2)指标值K超过65的频率为(0.035+0.025+0.005)×10=0.65，
所以20件产品中指标值超过65的件数为：0.65×20=13件，
X的所有可能取值为0，1，2，
则 P(X=0)=C130C72C202=21190，
P(X=1)=C131C71C202=91190，
P(X=2)=C132C70C202=78190，
故X的分布列为：
E(X)=0×21190+1×91190+2×78190=247190.
【解析】(1)利用频率分布直方图中均值的定义即可求解；
(2)根据题意求出X的所有取值对应的概率即可得解．
本题考查了频率分布直方图中均值的求解及离散型随机变量的分布列和期望，属于中档题．
18.【答案】解：(1)证明：连接BD，因为AB//CD，AB⊥BC，所以CD⊥BC，
所以BC2+CD2=BD2=2，
所以AD2+BD2=AB2=4，所以AD⊥BD，
因为平面PAD⊥面ABCD，BD⊂平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以BD⊥平面PAD，PD⊂平面PAD，所以BD⊥PD.
(2)由(1)知BD⊥平面PAD，
因为PA⊂平面PAD，所以BD⊥PA，
因为PA2+AB2=PB2，所以PA⊥AB，又AB∩BD=B，
所以PA⊥平面ABCD，
连接AC，取AC中点O，则MO//PA，所以MO⊥面ABCD，
因为AD⊂平面ABCD，所以MO⊥AD，
过O作OE⊥AD，交AD于E，连接ME，
又ME∩MO=M，所以AD⊥平面MEO，
则∠MEO为二面角M−AD−B的平面角，
因为S△ADO=12S△ADC，所以12AD×EO=12×12CD×BC，
所以12 2×EO=12×12×1×1，所以EO= 24，
又MO=12PA=1，所以ME=32 2，所以cs∠MEO=13，
即二面角M−AD−B的余弦值为13.
【解析】(1)证明BD⊥平面PAD即可证明BD⊥PD；(2)首先通过作图及证明确定二面角M−AD−B的平面角，再求出相关线段长，即可求解其余弦值．
本题考查了空间中直线与直线垂直的证明，考查了二面角的计算，考查了数形结合思想及转化思想，属于中档题．
19.【答案】解：(1)由m=(2x−1,1),n=(1,2)，得y=m⋅n=2x+1，直线L：y=2x+1，
P1(0,1)，即a1=0，b1=1，
由等差数列{an}的公差为1，得an=n−1，bn=2an+1=2n−1；
(2)设dn=bn2an+1=2n−12n，
数列{dn}的前n项和为Cn=12+322+523+...+2n−12n，
则12Cn=122+323+⋯+2n−12n+1，
Cn−12Cn=12Cn=12+222+223+⋯+22n−2n−12n+1=12+2×14×(1−12n−1)1−12−2n−12n+1，
即有Cn=3−2n+32n，
由Cn=3−2n+32n<3恒成立，
假设存在整数k，Cn则k的最小值为3.
【解析】(1)由向量数量积的坐标表示和等差数列的通项公式、直线方程，可得所求；
(2)由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得Cn，再由不等式的性质和恒成立思想，可得结论．
本题考查等差数列和等比数列的通项公式、求和公式，以及向量数量积的坐标表示、不等式恒成立问题，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)函数f(x)=(x2−2ax)lnx,g(x)=12x2−2ax,a>12，
则f′(x)=(2x−2)lnx+(x2−2x)⋅1x=(2x−2)lnx+x−2，
所以f′(1)=−1，
又f(1)=0，切点(1,0)
所以切线方程为：y=−x+1；
(2)方程f(x)=g(x)有2个不等实数根⇔函数h(x)=f(x)−g(x)有2个零点，
设h(x)=f(x)−g(x)=(x2−2ax)lnx−12x2+2ax,a>12，
因为a>12，所以h(12)=(14−a)ln12−18+a=(a−14)ln2−18+a>0，
h′(x)=2(x−a)⋅lnx，
则令h′(x)=2(x−a)⋅lnx=0，得x1=1，x2=a，
①当a>1时，x∈(12,1),h′(x)>0，h(x)单调递增；x∈(1,a)，h′(x)<0，h(x)单调递减；x∈(a,+∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以y=h(x)在x=1处取到极大值h(1)=−12+2a>0，在x=a处取到极小值h(a)=a2(32−lna)，
要使y=h(x)有2个零点，须h(a)=a2(32−lna)<0，
所以a>e32，
②当a=1时，x∈[12,+∞),h′(x)≥0,h(x)单调递增，所以h(x)至多一个零点，不合题意，
③当120，h(x)单调递增；x∈(a,1)，h′(x)<0，h(x)单调递减；x∈(1,+∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增，
所以y=h(x)在x=1处取到极小值h(1)=−12+2a，在x=a处取到极大值h(a)=a2(32−lna)>h(12)，
要使y=h(x)有2个零点，须h(1)=−12+2a<0，
所以0综上，a的取值范围为(e32,+∞).
【解析】(1)利用导数的几何意义求解；
(2)由题意可知，函数h(x)=f(x)−g(x)有2个零点，设h(x)=f(x)−g(x)=(x2−2ax)lnx−12x2+2ax,a>12，对a分情况讨论，得到h(x)的单调性和最值，进而求出a的取值范围．
本题主要考查了导数的几何意义，考查了利用导数研究函数的单调性和最值，属于中档题．
21.【答案】解：(1)因为光线经过的路程为8，且椭圆上的点到焦点的最远距离是2+ 3，
所以4a=8,a+c=2+ 3，
又a2=b2+c2，
解得a=2,c= 3,b=1，
则椭圆C的标准方程为x24+y2=1；
(2)易知直线m的斜率存在，
不妨设G(x3,y3)，H(x4,y4)，
此时x324+y32=1x424+y42=1，
两式相减得x32−x424+y32−y42=0，
即14+y3−y4x3−x4.y3+y4x3+x4=0，
因为G，H中点坐标为(−1,12)在椭圆内部，
所以y3−y4x3−x4=12，
则直线m的方程为y=12x+1；
(3)因为直线l不过坐标原点且不垂直于坐标轴，
所以x0y0≠0，
不妨点A(x1,y1)，B(x2,y2)，
此时x0=x1+x22,y0=y1+y22，
因为A，B两点均在椭圆上，
所以x124+y12=1x224+y22=1，
两式相减得x12−x224+y12−y22=0，
即(x1+x2)(x1−x2)4+(y1+y2)(y1−y2)=0，
整理得y1−y2x1−x2⋅y1+y2x1+x2=y1−y2x1−x2⋅2y02x0=−14，
所以kAB⋅kOM=−14，
此时kl=kAB=−14kOM=−x04y0，
同理得kON⋅kDE=−14，
因为kAB⋅kOM=−14，
两式相乘得kON⋅kDE⋅kAB⋅kOM=(−14)2，
因为kDE⋅kAB=−1,kOM=y0x0，
所以kON=−x016y0，
则直线l的方程为y−y0=−x04y0(x−x0)，直线DE的方程为y−y0=4y0x0(x−x0)，
直线ON的方程为y=−x016y0x，
联立解得yT=−x02+4y0212y0,yN=−3x02y0x02+64y02，
则|λ|=|ON||NT|=|ON||OT|−|ON|=1|OT||ON|−1，
因为|OT||ON|=|yTyN|=|−x02+4y0212y0−3x02y0x02+64y02|=136⋅(x02+4y02)(x02+64y02)x02y02=136⋅(1+4y02x02)(1+64y02x02)y02x02
=136(256y02x02+x02y02+68)≥259，
当且仅当x02=16y02，即x0=±4y0时，等号成立，
因为x024+y02<1，
当且仅当x0=±4y0− 55所以|λ|=1|OT||ON|−1≤916，
故λ的最大值为916.
【解析】(1)由题意，根据题目所给信息以及a，b，c之间的关系列出等式求出a和b的值，进而可得椭圆的方程；
(2)设出G，H两点的坐标，根据G，H两点均在椭圆上以及GH的中点坐标，列出等式即可求出直线m的方程；
(3)设出A，B两点的坐标，得到点M的坐标，结合斜率公式得到kAB⋅kOM=−14，kON⋅kDE=−14，推出直线l，DE，ON的方程，进而可得点T，N的纵坐标，再代入公式进行求解即可．
本题考查椭圆的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于难题．
22.【答案】解：(1)由题意得，曲线C：(x−1)2+y2=9，即x2+y2−2x−8=0，
∴曲线C的极坐标方程为ρ2−2ρcsθ−8=0.
∵直线l的极坐标方程为ρcsθ+ρsinθ=2，
∴直线l的直角坐标方程为x+y−2=0.
(2)设直线l的参数方程为x=2− 22ty= 22t(t为参数)，
代入(x−1)2+y2=9中，化简得t2− 2t−8=0，
设M，N两点对应的参数分别为t1，t2，则t1+t2= 2，t1t2=−8，
则1|AM|+1|AN|=|AM|+|AN||AM|⋅|AN|=|t1−t2||t1t2|= (t1+t2)2−4t1t2|t1t2|= 348.
【解析】(1)利用消参法即可得曲线的一般方程，由极坐标与直角坐标之间的互化即可求解，
(2)由直线的参数方程的几何意义，即可由韦达定理求解．
本题主要考查极坐标、参数方程的应用，属于中档题．
23.【答案】解：(1)令f(x)=|x+2|−|2x−2|=x−4,x≤−23x,−2当x≤−2时，f(x)≤−6，
当−2当x≥1时，f(x)≤3.
∴f(x)的最大值为3，而关于x的不等式|x+2|−|2x−2|≥m有解，
∴f(x)max=3≥m，
则实数m的取值范围为(−∞,3]；
证明：(2)由(1)可知，m的取值范围为(−∞,3],且n为m的最大值，∴n=3，
则a+3b+4c=3，即a+b+2b+4c=3，
由柯西不等式可得[(a+b)2+(2b)2+c2](12+12+42)≥(a+b+2b+4c)2=9，
当且仅当a+b1=2b1=c4，即a=112，b=112，c=23时等号成立．
又a2+2ab+5b2+c2=(a+b)2+4b2+c2，
∴18(a2+2ab+5b2+c2)≥9，即a2+2ab+5b2+c2≥12.
【解析】(1)写出分段函数解析式，求其最大值，即可求解实数m的取值范围；
(2)把要证明的不等式左侧变形，然后利用柯西不等式证明．
本题考查绝对值不等式的解法，训练了柯西不等式的应用，考查逻辑思维能力与推理论证能力，是中档题．x
5
6
8
9
12
y
16
20
25
28
36
X
0
1
2
P
21190
91190
78190