八年级下册数学 专题11 反比例函数压轴3模型6类题型（原卷版+解析版）

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题型一：
结论1：S矩形=|k|，结论2：S三角形=
1.在平面直角坐标系中，反比例函数的部分图象如图所示，AB⊥y轴于点B，点P在x轴上，若△ABP的面积为2，则k的值为（ ）
A．﹣2B．4C．2D．﹣4
【答案】D
【解答】解：连接OA，如图，
∵AB⊥y轴，
∴S△OAB＝S△PAB＝2，
∵S△OAB＝|k|，
∴|k|＝2，
而k＜0，∴k＝﹣4．
故选：D．
2．如图，点A在双曲线上，AB⊥x轴于B，且△AOB的面积S△AOB＝2，则k的值为（ ）
A．2B．4C．﹣2D．﹣4
【答案】D
【解答】解：∴S△AOB＝2，∴|k|＝4，
∵函数在二、四象限，∴k＝﹣4．故选：D．
题型二：面积模型四大类
结论：S△AOB=S梯形ABNM
结论：①AO=BO，AB关于原点对称；②S△ABC=2|k|
结论：①ABCD为平行四边形；②S四边形ABCD=4S△AOB
结论：S四边形ABOC=k2-k1
3.如图，过x轴正半轴任意一点P作x轴的垂线，分别与反比例函数y1＝和y2＝的图象交于点A和点B．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：设线段OP＝x，则PB＝，AP＝，
∴S四边形ACOP＝（OC+AP）×OP＝OC+1；SBCOP＝（OC+BP）×OP＝OC+2，
∴S△ABC＝S四边形BCOP﹣S四边形ACOP＝1．
故选：A．
4．如图，A，B是函数y＝的图象上关于原点对称的任意两点，BC∥x轴，AC∥y轴，△ABC的面积记为S，则（ ）
A．S＝2B．S＝4C．2＜S＜4D．S＞4
【答案】B
【解答】解：设点A的坐标为（x，y），则B（﹣x，﹣y），xy＝2．
∴AC＝2y，BC＝2x．
∴△ABC的面积＝2x×2y÷2＝2xy＝2×2＝4．
故选：B．
5．如图，A、B是第二象限内双曲线上的点，A、B两点的横坐标分别是a、3a，线段AB的延长线交x轴于点C，若S△AOC＝6．则k的值为（ ）
A．﹣3B．﹣4C．﹣5D．﹣6
【答案】A
【解答】解：分别过点A、B作AF⊥y轴于点F，AD⊥x轴于点D，BG⊥y轴于点G，BE⊥x轴于点E，
∵反比例函数y＝的图象在第二象限，
∴k＜0，
∵点A是反比例函数图象上的点，
∴S△AOD＝S△AOF＝，
∵A、B两点的横坐标分别是a、3a，
∴AD＝3BE，
∴点B是AC的三等分点，
∴DE＝2a，CE＝a，
∴S△AOC＝S梯形ACOF﹣S△AOF＝（OE+CE+AF）×OF﹣＝×5a×﹣＝6，解得k＝﹣3．
故选：A．
6．如图，过x轴正半轴上的任意一点P，作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝﹣和y＝的图象交于A、B两点．若点C是y轴上任意一点，连接AC、BC，则△ABC的面积为（ ）
A．3B．4C．5D．10
【答案】C
【解答】解：方法一：
设P（a，0），a＞0，则A和B的横坐标都为a，
将x＝a代入反比例函数y＝﹣中得：y＝﹣，故A（a，﹣）；
将x＝a代入反比例函数y＝中得：y＝，故B（a，），
∴AB＝AP+BP＝+＝，
则S△ABC＝AB•xP的横坐标＝××a＝5．
方法二：
连接AO，BO，
因为同底，所以S△AOB＝S△ABC，根据k的函数意义，得出面积为：3+2＝5．
故选：C．
7．如图，点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝（k≠0）上，AB∥x轴，分别过点A、B向x轴作垂线，垂足分别为D、C，若矩形ABCD的面积是8，则k的值为（ ）
A．12B．10C．8D．6
【答案】A
【解答】解：∵双曲线y＝（k≠0）在第一象限，
∴k＞0，
延长线段BA，交y轴于点E，
∵AB∥x轴，
∴AE⊥y轴，
∴四边形AEOD是矩形，
∵点A在双曲线y＝上，
∴S矩形AEOD＝4，
同理S矩形OCBE＝k，
∵S矩形ABCD＝S矩形OCBE﹣S矩形AEOD＝k﹣4＝8，
∴k＝12．
故选：A．
8．已知反比例函数y＝﹣（x＜0）与y＝（x＞0）的图象如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P作x轴的平行线，分别与这两个函数的图象交于M，N两点．若点A是x轴上的任意一点，连接MA，NA，则S△AMN等于（ ）
A．8B．6C．4D．2
【答案】C
【解答】解：连接ON、OM，
∵MN∥x轴，
∴S△AMN＝S△OMN＝S△OPM+S△OPN，
∵S△OPM＝＝3，S△OPN＝＝1，
∴S△AMN＝S△OMN＝S△OPM+S△OPN＝3+1＝4，
故选：C．
9．两个反比例函数C1：和C2：在第一象限内的图象如图所示，设点P在C1上，PC⊥x轴于点C，交C2于点A，PD⊥y轴于点D，交C2于点B，则四边形PAOB的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】A
【解答】解：∵PC⊥x轴，PD⊥y轴，
∴S△AOC＝S△BOD＝|k|＝，S矩形PCOD＝|2|＝2，
∴四边形PAOB的面积＝2﹣2•＝1．
故选：A．
10．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，AB⊥y轴于点B，函数（k＞0，x＞0）的图象与线段AB交于点C，且AB＝3BC．若△AOB的面积为12，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】C
【解答】解：连接OC，如图，
∵AB⊥y轴于点B，AB＝3BC，
∴S△AOB＝3S△BOC，
∴S△BOC＝×12＝4，
∴|k|＝4，
而k＞0，
∴k＝8．
故选：C．
11．双曲线C₁：和C₂：的图象如图所示，点A是C₁上一点，分别过点A作AB⊥x轴，AC⊥y轴，垂足分别为点B，点C，AB与C₂交于点D，若△AOD的面积为2，则k的值（ ）
A．3B．5C．﹣3D．﹣5
【答案】D
【解答】解：∵S△AOD＝S△AOB﹣S△DOB，
∴，
∴|k|＝5，
∵反比例函数位于第三象限，
∴k＝﹣5，
故选：D．
12．如图，函数和的图象分别是l1和l2．设点P在l2上，PA∥y轴交l1于点A，PB∥x轴交l1于点B，则△PAB的面积为（ ）
A．1B．4C．D．
【答案】C
【解答】解：如图，延长PA、PB分别交x轴，y轴于点C、D，连接OA、OB，
设点A的横坐标为x，则点A的纵坐标为，点P的纵坐标为，
∴PA＝PC﹣AC＝﹣＝，
∵点B在反比例函数y＝的图象上，点B的纵坐标为，
∴点B的横坐标为x，
即BD＝x，
∴PB＝PD﹣BD＝x﹣x＝x，
∴S△PAB＝PA•PB
＝××x
＝，
故选：C．
13．如图，在平面直角坐标系中，过x轴正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别交函数y＝（x＞0）、y＝﹣（x＞0）的图象于点A、点B．若C是y轴上任意一点，则△ABC的面积为（ ）
A．9B．6C．D．3
【答案】C
【解答】解：连接OA、OB，
∵C是y轴上任意一点，
∴S△AOB＝S△ABC，
∵S△AOP＝×3＝，S△BOP＝×|﹣6|＝3，
∴S△AOB＝S△AOP+S△BOP＝+3＝，
∴S△ABC＝，
故选：C．
14．如图，在平面直角坐标系中，△OAB的顶点A在x轴正半轴上，OC是△OAB的中线，点B、C在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，则△OAB的面积等于（ ）
A．2B．3C．4D．6
【答案】B
【解答】解：如图，过点B、点C作x轴的垂线，垂足为D，E，则BD∥CE，
∴＝＝，
∵OC是△OAB的中线，
∴＝＝＝，
设CE＝m，则BD＝2m，
∴C的横坐标为 ，B的横坐标为，
∴OD＝，OE＝，
∴DE＝OE﹣OD＝，
∴AE＝DE＝，
∴OA＝OE+AE＝，
∴S△OAB＝OA•BD＝××2m＝3．
故选：B．
15．反比例函数y＝与y＝在第一象限的图象如图所示，作一条平行于x轴的直线分别交双曲线于A、B两点，连接OA、OB，则△AOB的面积为（ ）
A．B．2C．3D．1
【答案】A
【解答】解：由于AB∥x轴，设A点坐标是（a，c），B点坐标是（b，c），那么＝，
即b＝a，
∴AB＝|a﹣b|＝a，
∵c＝，
∴S△AOB＝AB•c＝×a×＝．
故选：A．
16．如图，点P在y轴正半轴上运动，点C在x轴上运动，过点P且平行于x轴的直线分别交函数和于A、B两点，则三角形ABC的面积等于（ ）
A．3B．4C．5D．6
【答案】A
【解答】解：设点P的纵坐标为a，
则﹣＝a，＝a，
解得x＝﹣，x＝，
所以点A（﹣，a），B（，a），
所以AB＝﹣（﹣）＝，
∵AB平行于x轴，
∴点C到AB的距离为a，
∴△ABC的面积＝••a＝3．
故选：A．
17．如图，点A是反比例函数y＝（x＞0）的图象上任意一点，AB∥x轴交反比例函数y＝﹣的图象于点B，以AB为边作平行四边形ABCD，其中C、D在x轴上，则S平行四边形ABCD为（ ）
A．2B．3C．4D．5
【答案】D
【解答】解：连接OA、OB，AB交y轴于E，如图，
∵AB∥x轴，
∴AB⊥y轴，
∴S△OEA＝×3＝，S△OBE＝×2＝1，
∴S△OAB＝1+＝，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴S平行四边形ABCD＝2S△OAB＝5．
故选：D．
18．如图，点A在函数y＝（x＞0）的图象上，点B在函数y＝（x＞0）的图象上，且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C，则四边形ABCO的面积为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【答案】C
【解答】解：如图，延长BA交y轴于D，则四边形OCBD为矩形．
∵点A在双曲线y＝上，点B在双曲线y＝上，
∴S△OAD＝1，S矩形OCBD＝4，
∴四边形ABCO的面积＝S矩形OCBD﹣S△OAD＝4﹣1＝3．
故选：C．
19．如图，过点P（2，3）分别作PC⊥x轴于点C，PD⊥y轴于点D，PC，PD分别交反比例函数y＝（x＞0）的图象于点A，B，△OAB的面积为，则k的值是（ ）
A．2B．C．D．3
【答案】A
【解答】解：由题意B（，3），A（2，），
∵S△AOB＝，
∴2×3﹣﹣﹣•（2﹣）（3﹣）＝，
解得k＝2或﹣2（舍弃），
故选：A．
题型三：矩形模型
20．如图，在以O为原点的直角坐标系中，矩形OABC的两边OC、OA分别在x轴、y轴的正半轴上，反比例函数y＝（x＞0）与AB相交于点D，与BC相交于点E，若BD＝3AD，且△ODE的面积是9，则k＝（ ）
A．B．C．D．12
【答案】C
【解答】解：∵四边形OCBA是矩形，
∴AB＝OC，OA＝BC，
设B点的坐标为（a，b），
∵BD＝3AD，
∴D（，b），
∵点D，E在反比例函数的图象上，
∴＝k，∴E（a，），
∵S△ODE＝S矩形OCBA﹣S△AOD﹣S△OCE﹣S△BDE＝ab﹣﹣k﹣•（b﹣）＝9，
∴k＝，
故选：C．
21．如图，在平面直角坐标系中，BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C，函数y＝（x＞0）的图象分别交BA，BC于点D，E．当AD：BD＝1：3，且△BDE的面积为18时，则k的值是（ ）
A．9.6B．12C．14.4D．16
【答案】D
【解答】解：如图，过点D作DF⊥x轴于点F，过点E作EG⊥y轴于点G．
设B（4a，b），E（4a，d）．
∵AD：BD＝1：3，
∴D（a，b）．
又∵△BDE的面积为18，
∴BD＝3a，BE＝b﹣d，
∴×3a（b﹣d）＝18，
∴a（b﹣d）＝12，即ab﹣ad＝12，
∵D，E都在反比例函数图象上，
∴ab＝4ad，
∴4ad﹣ad＝12，
解得：ad＝4，
∴k＝4ad＝16．
故选：D．
22．如图，已知矩形ABCD的对角线BD中点E与点B都经过反比例函数的图象，且S矩形ABCD＝8，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】B
【解答】解：过点E作EM⊥AD于点M，过点E作EN⊥AB于点N，
设B（a，b），
∴AB＝a，
∵S矩形ABCD＝8，
∴AD＝，
∵点E为矩形ABCD对角线BD的中点，EM⊥AD，EN⊥AB，
∴ME∥AB，EN∥AD，
∴ME＝＝，EN＝，
∴E，
∵点E与点B都经过反比例函数的图象，
∴，
∴ab＝4，
由图可知，反比例函数的图象经过第一象限，
∴k＝ab＝4．
故选：B．
23．如图，矩形ABCD的顶点A和对称中心在反比例函数y＝（k≠0，x＞0）上，若矩形ABCD的面积为8，则k的值为（ ）
A．8B．3C．2D．4
【答案】D
【解答】解：如图，延长DA交y轴于点E，
∵四边形ABCD是矩形，
设A点的坐标为（m，n）则根据矩形的性质得出矩形中心的纵坐标为，
∵矩形ABCD的中心都在反比例函数y＝上，
∴x＝，
∴矩形ABCD中心的坐标为（，）
∴BC＝2（）＝﹣2m，
∵S矩形ABCD＝8，
∴（﹣2m）•n＝8．
4k﹣2mn＝8，
∵点A（m，n）在y＝上，
∴mn＝k，
∴4k﹣2k＝8
解得：k＝4
故选：D．
24．如图，在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，有点P1、P2、P3、P4，它们的横坐标依次为1，2，3，4．分别过这些点作x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为S1、S2、S3，则S1+S2+S3＝（ ）
A．1B．1.5C．2D．无法确定
【答案】B
【解答】解：由题意可知点P1、P2、P3、P4坐标分别为：（1，2），（2，1），（3，），（4，）．
∴由反比例函数的几何意义可知：S1+S2+S3＝2﹣1×＝＝1.5．
故选：B．
25．如图，已知双曲线（x＞0）经过矩形OABC的边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为2．则k＝（ ）
A．2B．C．1D．4
【答案】A
【解答】解：设B点坐标为（a，b），
∵矩形OABC的边AB的中点为F，
∴F点的坐标为（a，），
∴S△OAF＝S△OEC＝|k|＝a•，
∴ab＝2k，
∵S矩形＝S四边形OEBF+S△OAF+S△OEC，
∴ab＝2+k+k，
∴2k＝k+2，
∴k＝2．
故选：A．
26．如图，四边形OABC是矩形，四边形ADEF是正方形，点A、D在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，点F在AB上，点B、E在反比例函数y＝的图象上，OA＝1，OC＝6，则正方形ADEF的面积为（ ）
A．2B．4C．6D．12
【答案】B
【解答】解：设正方形ADEF的边长AD＝t，则OD＝1+t．
∵四边形ADEF是正方形，
∴DE＝AD＝t．
∴E点坐标为（1+t，t）．
由题意得，点B（1，6），
将点B的坐标代入反比例函数表达式并解得k＝6，
故反比例函数的表达式为y＝，
∵E点在反比例函数y＝的图象上，
∴（1+t）•t＝6．
整理，得 t2+t﹣6＝0．
解得t1＝﹣3，t2＝2．
∵t＞0，
∴t＝2．
∴正方形ADEF的边长为2，
∴正方形ADEF的面积为4．
故选：B．
27．如图，A、B两点在双曲线y＝上，分别经过A、B两点向坐标轴作垂线段，已知S阴影＝1.7，则S1+S2等于（ ）
A．4B．4.2C．4.6D．5
【答案】C
【解答】解：如图，
∵A、B两点在双曲线y＝上，
∴S四边形AEOF＝4，S四边形BDOC＝4，
∴S1+S2＝S四边形AEOF+S四边形BDOC﹣2×S阴影，
∴S1+S2＝8﹣3.4＝4.6
故选：C．