八年级下册数学 专题06 分式方程及应用压轴（原卷版+解析版）

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考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值
考点三：分式方程的特殊解问题
考点四：分式方程的无解（增根）问题
考点五：分式方程的应用问题
【考点一：解分式方程】
【典例1】（2023春•万源市校级期末）解方程：
（1）1﹣＝
（2）﹣＝．
【变式1-1】（2023•青秀区校级模拟）解方程：+＝．
【变式1-2】（2023秋•高邮市期末）解方程：
（1）
（2）﹣＝1．
【变式1-3】（2023秋•石河子校级期末）解方程：
（1）；
（2）．
【变式1-4】（2023秋•铁岭县期末）解方程：
（1）
（2）．
【考点二：已知分式方程的解，求字母参数的值】
【典例2】（2023秋•绥中县期末）已知关于x的方程的解是x＝1，则a的值为（ ）
A．2B．1C．﹣1D．﹣2
【变式2-1】（2023秋•常德期末）已知关于x的分式方程的解为x＝4，则a的值为（ ）
A．4B．3C．0D．﹣6
【变式2-2】（2023•武侯区校级模拟）已知x＝1是分式方程的解，则a的值为（ ）
A．﹣1B．1C．3D．﹣3
【变式2-3】（2023秋•平舆县期末）若分式方程的解为x＝2，则a的值是（ ）
A．1B．2C．﹣1D．﹣2
【变式2-4】（2023秋•绵阳期末）已知x＝2是关于x的分式方程的解，则a＝ ．
【考点三：分式方程的特殊解问题】
【典例3】（2023秋•南陵县期末）若关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ）
A．m＜4且m≠3B．m＜4C．m≠3D．m＞4且m≠3
【变式3-1】（2023秋•陵城区期末）若关于x的分式方程的解为非负数，则a的取值范围是（ ）
A．a＞1且a≠2B．a＜1C．a≥1且a≠2D．a≤1且a≠﹣2
【变式3-2】（2023秋•重庆期末）若关于x的不等式组的解集为x≥3，且关于y的分式方程有非负数解，则满足条件的所有整数a的和为 ．
【考点四：分式方程的无解（增根）问题】
【典例4】（2023秋•滨州期末）若关于x的分式方程＝1无解，则a的值为（ ）
A．0B．1C．1或5D．5
【变式4-1】（2023秋•安顺期末）若关于x的分式方程无解，则k的取值是（ ）
A．﹣3B．﹣3或﹣5C．1D．1或﹣5
【变式4-2】（2023秋•凉州区期末）若分式方程无解，则k的值为（ ）
A．±1B．2C．1或2D．﹣1或2
【变式4-3】（2023秋•江汉区期末）若关于x的分式方程﹣＝1无解，则m的值为 ．
【考点五：分式方程的应用问题】
【典例5】（2023秋•信州区期末）某县为了落实中央的“强基惠民工程”，计划将某村的居民自来水管道进行改造．该工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数是规定天数的3倍．如果由甲、乙队先合做15天，那么余下的工程由甲队单独完成还需10天．
（1）这项工程的规定时间是多少天？
（2）已知甲队每天的施工费用为6500元，乙队每天的施工费用为3500元．为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙队合做来完成．则该工程施工费用是多少？
【变式5-1】（2023秋•藁城区期末）甲、乙两同学的家与学校的距离均为3000米．甲同学先步行600米，然后乘公交车去学校，乙同学骑自行车去学校．已知甲步行速度是乙骑自行车速度的，公交车的速度是乙骑自行车速度的2倍．甲、乙两同学同时从家里出发去学校，结果甲同学比乙同学早到2分钟．
（1）求乙骑自行车的速度；
（2）当甲到达学校时，乙同学离学校还有多远？
【变式5-2】（2023秋•商丘期末）某文具店老板第一次用1000元购进一批文具，很快销售完毕；第二次购进时发现每件文具进价比第一次上涨了2.5元．老板用2500元购进了第二批文具，所购进文具的数量是第一次购进数量的2倍，同样很快销售完毕，两批文具的售价为每件15元．
（1）问第二次购进了多少件文具？
（2）文具店老板第一次购进的文具有30元的损耗，第二次购进的文具有125元的损耗，问文具店老板在这两笔生意中是盈利还是亏本？请说明理由．
【变式5-3】（2023秋•恩施市期末）某单位为美化环境，计划对面积为1200平方米的区域进行绿化，现安排甲、乙两个工程队来完成．已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的1.5倍，并且在独立完成面积为360平方米区域的绿化时，甲队比乙队少用3天．
（1）甲、乙两工程队每天能绿化的面积分别是多少平方米？
（2）若该单位每天需付给甲队的绿化费用为700元，付给乙队的费用为500元，要使这次的绿化总费用不超过14500元，至少安排甲队工作多少天？
1．（2023秋•交口县期末）解方程，去分母后正确的是（ ）
A．3（x+1）＝1﹣x（x﹣1）
B．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x﹣1）
C．3（x+1）＝（x+1）（x﹣1）﹣x（x+1）
D．3（x﹣1）＝1﹣x（x+1）
2．（2023秋•阳新县期末）已知一艘轮船顺水航行46千米和逆水航行34千米共用的时间，正好等于船在静水中航行80千米所用的时间，并且水流的速度是2千米/小时，求设轮船在静水中的速度为x千米/小时，是下列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023秋•广平县期末）甲、乙两人分别从相距目的地6km和10km的两地同时出发，甲、乙的速度比是3：4，结果甲比乙提前20min到达目的地，设甲的速度为3x km/h．依题意，下面所列方程正确的是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2023秋•秦皇岛期末）已知关于x的分式方程的解是非负数，则m的取值范围是（ ）
A．m＞2B．m≥2C．m≥2且m≠3D．m＞2且m≠3
5．（2023秋•冠县期末）若解分式方程＝﹣3产生增根，则k的值为（ ）
A．2B．1C．0D．任何数
6．（2023秋•宜春期末）现定义一种新的运算：，例如：，若关于x的方程x⊕（2x﹣m）＝3的解为非负数，则m的取值范围为（ ）
A．m≤8B．m≤8且m≠7C．m≥﹣2且m≠7D．m≥﹣2
7．（2023秋•兰陵县期末）对于两个不相等的实数a，b，我们规定符号min{a，b}表示a，b中较小的值，如min{2，4}＝2，按照这个规定，方程min{，﹣}＝的解为（ ）
A．﹣1或2B．2C．﹣1D．无解
8．（2023秋•崆峒区期末）分式与互为相反数，则x的值为（ ）
A．1B．﹣1C．﹣2D．﹣3
9．（2023秋•罗山县期末）定义运算“※”：a※b＝，若5※x＝2，则x的值为（ ）
A．B．C．10D．或10
10．（2023秋•开州区期末）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程3﹣的解为正数，则所有满足条件的整数a的值的和为 ．
11．（2023秋•虹口区校级期末）若关于x的方程的解为负数，则a的取值范围是 ．
12．（2022秋•宁远县期末）若关于x的方程＝+1无解，则a的值是 ．
13.（2023秋•应城市期末）解下列分式方程．
（1）； （2）．
14．（2023秋•南宁期末）为提高快递包裹分拣效率，物流公司引进了快递自动分拣流水线．一条某型号的自动分拣流水线的工作效率是一名工人工作效率的4倍，用这条自动分拣流水线分拣3000件包裹比一名工人分拣这些包裹要少用3小时．
（1）这条自动分拣流水线每小时能分拣多少件包裹？
（2）新年将至，某转运中心预计每小时分拣的包裹量达15000件，则至少应购买多少条该型号的自动分拣流水线，才能完成分拣任务？
15．（2022秋•洪山区校级期末）春节前夕，某超市用6000元购进了一批箱装饮料，上市后很快售完，接着又用8800元购进第二批这种箱装饮料．已知第二批所购箱装饮料的进价比第一批每箱多20元，且数量是第一批箱数的倍．
（1）求第一批箱装饮料每箱的进价是多少元；
（2）若两批箱装饮料按相同的标价出售，为加快销售，商家决定最后的10箱饮料按八折出售，如果两批箱装饮料全部售完利润率不低于36%（不考虑其他因素），那么每箱饮料的标价至少多少元？