苏科版八年级数学下册专题11.5反比例函数全章七类必考压轴题(原卷版+解析)

这是一份苏科版八年级数学下册专题11.5反比例函数全章七类必考压轴题(原卷版+解析)，共106页。

必考点1
反比例函数k的几何意义
1．（2022秋·山东济宁·九年级统考期中）函数 y=4x和y=1x在第一象限内的图象如图，点P是y=4x的图象上一动点PC⊥x轴于点C，交y=1x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B．给出如下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②PA与PB始终相等；
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；
④CA=13AP．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y轴上，D，E分别是AB，OA中点．过点D的双曲线y=kxk>0，x>0与BC交于点G．连接DC，F在DC上，且DF:FC=2:1，连接DE，EF．若△DEF的面积为4，则k的值为（ ）
A．8B．16C．24D．32
3．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点A1,A2,A3,⋯A2022在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3=⋯=A2021A2022，分别过点A1,A2,A3,⋯A2022作y轴的平行线与反比例函数y=2x（x＞0）的图象分别交于点B1,B2,B3,⋯B2022，分别过点B1,B2,B3,⋯B2022作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1,C2,C3,…,C2022，连接OB1,OB2,OB3,⋯OB2022，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为 _____．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A在第二象限，以AB为边在AB的左侧作菱形ABCD，满足BC∥x轴，过点B作BE⊥AD交AD于点E，AE=12DE，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点E，与BC边交于点F，分别连接EF，OE，OF．若S△EOF=196，则k的值为__________．
5．（2022秋·山东滨州·九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）如图，平行四边形OABC的顶点O，B在y轴上，顶点A在y=−2x上，顶点C在y=9x上，则平行四边形OABC的面积是_________．
6．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点M在函数y=5x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=2x（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为_________．
7．（2022春·四川乐山·八年级统考期末）如图，点A、B分别在反比例函数y1=k1x(x>0)和y2=k2x(x>0)的图象上，线段AB与x轴相交于点P．
(1)如图①，若AB⊥x轴，且|AP|=2|PB|，k1+k2=1．求k1、k2的值；
(2)如图②，若点P是线段AB的中点，且△OAB的面积为2．求k1−k2的值．
必考点2
反比例函数与x=a或y=a
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB边AB平行于y轴，函数y=kxk>0,x>0的图象经过点B，交边OA于点C，且OC=2AC，连结BC．若△OBC的面积为5，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
2．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴上，对角线BD平行于y轴，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过点D，与CD边交于点H，若DH=2CH，菱形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
3．（2022秋·湖南株洲·九年级校考期末）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kxk>0的图像交于点A1,m，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n0(1)求m的值和反比例函数的表达式；
(2)当n为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
4．（2022秋·河北唐山·九年级校考期末）如图直线y=2x+m与y=nx(n≠0)交于A，B两点，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求此直线和双曲线的表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)过x轴正半轴上一点M作平行于y轴的直线l，分别与直线y=2x+m和双曲线y=nx(n≠0)交于点P，Q，如果PQ=2QM，求点M的坐标．
5．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数y=kx(x>0)的图像交于点A（a，4－a）点B（b，4－b），其中a(1)求a+b的值；
(2)求直线l的函数表达式
(3)若a=1，过点P(0,t)(t>0)作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数y=kx的图象分别交于点E、F．
①当EF≤1时，求t的取值范围．
②若线段EF上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t的取值范围．
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx−4(k≠0)的图像与y轴交于点A，与反比例函数y=−12x(x<0)的图像交于点B(−6,b)．
（1）b= ；k= ；
（2）点C是线段AB上一点(不与A,B重合)，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接OC,OD,BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD=24，求点C的坐标；
（3）将第（2）小题中的ΔOCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O 的对应点O′恰好落在该反比例函数图像上(如图)，求此时点D的对应点D′的坐标．
7．（2022·北京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xy中，函数y=kx（x＜0）的图象与直线y=x+2交于点A（－3，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P（a，b）是直线y=x上，位于第三象限的点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x+2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=kx（x＜0）的图象于点N．
①当a=－1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM结合函数的图象，直接写出b的取值范围．
必考点3
反比例函数与全等
1.（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD顶点A的坐标为1,0，点D在反比例函数y=−6x的图像上，点B，C在反比例函数y=kxx>0的图像上，CD与y轴交于点E，若DE=CE，∠DAO=45°，则k的值为______．
2.（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期末）如图，直线y=ax+2与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,b．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移tt>0个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y=kxx>0的图像恰好经过C，D两点，连接AC，BD．
(1)a= ，b= ；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y=kxx>0的图像上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，点M的坐标 ．
3.（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A是函数y1=4xx>0图像上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个函数y2=kxk<0,x<0的图像于点B．
(1)若S△AOB=5，则k=________．
(2)当k=−8时，若点A的横坐标是1，则线段OB=________．
(3)若无论点A在何处，函数y2=kxk<0,x<0图像上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．
4.（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，正方形ABCO的边长为6，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，M是边AB上的一点，且BM=2AM．反比例函数的图象经过点M，并与边BC相交于点N．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)求△ONM的面积；
(3)求证：OB垂直平分线段MN．
5.（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，函数y=kxx>0的图象过点An,2和B85,2n−3两点．
(1)求n和k的值；
(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交y=kxx>0于点C，若S△ACO=6，求直线DE解析式；
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
必考点4
反比例函数与勾股定理
1．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O0,0，A0,4，B3,0为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（ ）
A．36B．25C．16D．9
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，点O为坐标原点，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点D，反比例函数y=kxx>0的图象经过点A和点D，若菱形OABC的面积为32，则点A的坐标为（ ）
A．22,2B．1,2C．34,2D．1,324
3．（2022秋·山东威海·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0),A(0,4),B(3,0)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则P点的横坐标为（ ）
A．5B．6C．7D．8
4.（2022秋·山东烟台·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点A在反比例函数y=kxk>0,x>0的图像上，点C的坐标为4,3，则k的值为______．
5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点B的坐标为2,m，点A在y轴正半轴上，将△ABO沿y轴向下平移得到△DEF，点B的对应点E恰好在反比例函数y=−6xx>0的图象上．
(1)求m的值；
(2)求△ABO平移的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，当△PEF的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及△PEF的周长．
6．（2022秋·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点A1，m．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
7．（2022春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为(3,1)，点B的坐标为(−2,m)
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积；
(3)观察图象直接写出ax+b>kx时x的取值范围是 ；
(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形OAP为等腰三角形时点P的坐标 ．
必考点5
反比例函数与图形变换
1．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将OA绕点O按顺时针旋转60°至OB，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点B，过A作AC∥BO交反比例函数图象于点C，若△BOC的面积为33，则k的值为（ ）
A．332B．−332C．33D．−33
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+5B．4+2C．4−2D．-1+5
3．（2022春·江苏南京·八年级期末）“卓越数学兴趣小组”准备对函数y=6x+1−3图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝6x的图像（如图1），然后画出了y=6x+1−3的图像，请在图1中画出此图像（草图）．
(2)他们发现函数y=6x+1−3图像可以由y＝6x的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数y=6x+1−3图像画出函数y=6x+1−3的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．
(4)他们研究后发现，方程6x+1−3=a中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究
(1)将反比例函数y=4x的图像向左平移一个单位，可以得到函数y=4x+1的图像（如图① ），观察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（ ）
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（ ）
③当x<0时，y随x的增大而减小．（ ）
(2)在图② 中画出函数y=4x+1−1的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质；
(3)问题解决：若函数y=2x+mx+1的图像可以由函数y=4x的图像通过平移得到，求m的值；
(4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程kx+b=axx+1均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系．
5．（2022秋·山西朔州·九年级统考期末）如图，OA所在直线的解析式为y=−2x，反比例函数y=−2x(x<0)的图象过点A，现将射线OA绕点O顺时针旋转90°与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点B，若OB=25，求k的值．
6．（2022秋·山东济南·九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OCB绕点O逆时针旋转，得到△OFG，点C的对应点为点F，点B的对应点为点G，且点G在y轴正半轴上，OF与AB相交于点D，反比例函数y=kx的图象经过点D，交BC于点E，点D的坐标是(2,4)．
(1)如图1，k＝______，点E的坐标为______；
(2)若P为第三象限反比例函数图象上一点，连接PD，当线段PD被y轴分成长度比为1:2的两部分时，求点P的横坐标；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）．设M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接DE，当四边形DENM是“完美筝形”时，直接写出M，N两点的坐标．
7．（2022秋·甘肃白银·九年级校联考期末）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A2,1，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过的B．
(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；
(2)如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；
(3)如图3，将线段OA延长交y=kx(x>0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．
8．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学统考一模）若将函数F的图象沿直线l对折，与函数G的图象重合，则称函数F与G互为“轴对称函数”，直线l叫作函数F与函数G的“轴直线”．如函数y=2x关于直线y轴的轴对称函数是y=−2x．
(1)若轴直线为x轴，求函数y=x+1的关于x轴的轴对称函数的解析式；
(2)若函数F：y=2x+b，轴直线为y轴，此时F的轴对称函数G的图象与函数y=2x的图象有且只有一个交点，求b的值；
(3)若函数F：y=−x2+9，轴直线为x=1，函数F的轴对称函数是G，当−1≤x≤5时，G的图象恒在y=kx+3k的图象的下方，求k的取值范围．
必考点6
反比例函数与定值、最值
1．（2022春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，点A(a,1)，B(−1,b)都在双曲线y=−3x(x<0)上，P,Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的表达式为( )
A．y=34x+94B．y=x+1C．y=x+2D．y=x+3
2．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是5,0，点B是函数y=6xx>0图像上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2xx<0的图像于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形ABCD的周长是定值；④四边形ABCD的面积是定值．所有正确结论的序号是______．
3．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）阅读理解：已知，对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．根据以上结论，解决以下问题：
(1)若a>0，当且仅当a=______时，a+1a有最小值，最小值为______．
(2)①如图13—1，已知点P为双曲线y=6xx>0上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；
②如图13—2，已知点Q是双曲线y=8xx>0上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
4．（2022秋·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC， S△ABC＝3，且CA⊥x轴．
(1)若点C在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，取OB的中点M，将线段OM沿着y轴上下移动，线段OM的对应线段是O1M1，直接写出四边形CM1O1N周长的最小值．
5．（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12x+2及双曲线y＝kx（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）．
(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．
(2)如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD′交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，
①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．
②若k＝6，且满足m＝a﹣4+da，求d的最大值．
6．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，顶点A、D在反比例函数y=k1x(x>0)的图像上，点G在反比例函数y=k2x(x>0)的图像上，AC⊥x轴．
(1)若k1=5，k2=2，则菱形ABCD的面积为______；
(2)①当点B、C在坐标轴上时，求k2k1的值．
②如图2，当点B、O、C三点在同一直线上时，试判断k2k1是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．
7．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数y1=4x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 y2=1x （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 y③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
8．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A−1,2绕原点顺时针旋转90°至点B，恰好落在反比例函数y=kx的图像上，连接OA，OB，过点B作BC⊥x轴交于点C，点Pm,n是第一象限内双曲线上一动点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若S△POC=4S△PBC，求P的坐标；
(3)如图2，连接PO并延长交双曲线于C−m,−n，平面内有一点Qm−1,n+2，PQ与GA的延长线交于点H；
①若m=2，求点H的坐标；
②当m≠1时，记H的坐标为a,b，试判断a+2b−4是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．
必考点7
反比例函数的应用
1．（2022秋·江西宜春·九年级校考期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
(2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
2．（2022秋·陕西西安·九年级统考期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米(x>0)的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
3．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）为了预防新冠病毒的传播，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．
（1）问：室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间可达到几分钟？
（2）当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于30分钟时，才能完全有效杀灭传染病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
4．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
5．（2022春·河南洛阳·八年级统考期中）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由．
6．（2022·河北·统考中考真题）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v=2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
7．（2022·山东青岛·统考一模）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1与踏板上人的质量m之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻R0的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，然后把U0代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量m，
知识小链接：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=UR；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系；
(2)用含U0的代数式表示m；
(3)当电压表显示的读数U0为0.75伏时，求人的质量m．v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16
专题11.5 反比例函数全章七类必考压轴题
【苏科版】
必考点1
反比例函数k的几何意义
1．（2022秋·山东济宁·九年级统考期中）函数 y=4x和y=1x在第一象限内的图象如图，点P是y=4x的图象上一动点PC⊥x轴于点C，交y=1x的图象于点A，PD⊥y轴于点D，交y=1x的图象于点B．给出如下结论：
①△ODB与△OCA的面积相等；
②PA与PB始终相等；
③四边形PAOB的面积大小不会发生变化；
④CA=13AP．
其中所有正确结论有（ ）个．
A．1个B．2个C．3个D．4个
【答案】C
【分析】由于A、B是反比函数y=1x上的点，可得出S△OBD=S△OAC=12故①正确；当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；根据反比例函数系数k的几何意义可求出四边形PAOB的面积为定值，故③正确；连接PO，根据底面相同的三角形面积的比等于高的比即可得出结论．
【详解】解：∵A、B是反比函数y=1x上的点，
S△OBD=S△OAC=12，故①正确；
∵由图的直观性可知，P点至上而下运动时，PB在逐渐增大，而PA在逐渐减小，只有当P的横纵坐标相等时PA＝PB，故②错误；
∵P是y=4x的图像上一动点，
∴矩形PDOC的面积为4，
∴S四边形PAOB=S矩形PDOC−S△ODB−S△OAC＝4−12−12=3，故③正确；
连接OP，

∴S△POCS△OAC=PCAC=212=4，
∴AC=14PC，PA=34PC，
∴PAAC=3，
∴AC=13AP，故④正确；
综上所述，正确的结论有①③④．
故选：C．
【点睛】本题考查的是反比例函数综合题，熟知反比例函数中系数k的几何意义是解答此题的关键．
2．（2022秋·湖北十堰·九年级统考期末）如图，平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点B在第一象限，点C在x轴上，点A在y轴上，D，E分别是AB，OA中点．过点D的双曲线y=kxk>0，x>0与BC交于点G．连接DC，F在DC上，且DF:FC=2:1，连接DE，EF．若△DEF的面积为4，则k的值为（ ）
A．8B．16C．24D．32
【答案】A
【分析】设矩形OABC中OA=2a，AB=2b，然后表示出点D、E的坐标，过点F作FP⊥BC于点P，证明四边形OCPQ是矩形，证明△CFP∽△CDB，根据相似三角形的性质，得出CP=2a3，FP=b3，根据△DEF的面积为4，列出关于a、b的方程，求出ab=4，即可得出答案．
【详解】解：设矩形OABC中OA=2a，AB=2b，
∵D、E分别是AB，OA中点，
∴点D(b，2a)、E(0，a)，
过点F作FP⊥BC于点P，延长PF交OA于点Q，如图所示：
∵四边形OABC是矩形，
∴∠QOC=∠OCP=∠CPQ=90°，
∴四边形OCPQ是矩形，
∴OQ=PC，PQ=OC=2b，
∵FP⊥BC、AB⊥BC，
∴FP∥DB，
∴△CFP∽△CDB，
∴CPCB=FPDB=CFCD，
即CP2a=FPb=13，
可得：CP=2a3，FP=b3，
则EQ=EO−OQ=a−2a3=a3，FQ=PQ−PF=2b−b3=5b3，
∵△DEF的面积为4，
∴S梯形ADFQ−S△ADE−S△EFQ=4，
即12⋅(b+5b3)⋅4a3−12a⋅b−12×5b3⋅a3=4，
可得ab=4，
则k=2ab=8，故A正确．
故选：A．
【点睛】本题主要考查反比例函数系数的几何意义及相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质及三角形的面积、坐标与图形，利用相似三角形的判定与性质表示FP、CP是解题的关键．
3．（2022秋·贵州铜仁·九年级统考期中）如图，点A1,A2,A3,⋯A2022在x轴上，且OA1=A1A2=A2A3=⋯=A2021A2022，分别过点A1,A2,A3,⋯A2022作y轴的平行线与反比例函数y=2x（x＞0）的图象分别交于点B1,B2,B3,⋯B2022，分别过点B1,B2,B3,⋯B2022作x轴的平行线，分别于y轴交于点C1,C2,C3,…,C2022，连接OB1,OB2,OB3,⋯OB2022，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为 _____．
【答案】120222
【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k，则有SΔOB1C1=SΔOB2C2=SΔOB3C3=12|k|=1，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论．
【详解】解：根据题意可知SΔOB1C1=SΔOB2C2=SΔOB3C3=12|k|=1，
∵OA1=A1A2=A2A3，A1B1∥A2B2∥A3B3∥y轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为S1，S2，S3
则S1=12|k|=1，
∵OA1=A1A2=A2A3，
∴S2:S△OB2C2=1:4，S3:SΔOB3C3=1:9，
∴S2=122，S3=132•••，
∴第n的阴影部分的面积是：1n2，
∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：120222．
故答案为：120222．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，综合性比较强，解题的关键要熟练掌握反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的k．
4．（2022春·江苏无锡·八年级校联考期中）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点A在第二象限，以AB为边在AB的左侧作菱形ABCD，满足BC∥x轴，过点B作BE⊥AD交AD于点E，AE=12DE，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点E，与BC边交于点F，分别连接EF，OE，OF．若S△EOF=196，则k的值为__________．
【答案】−285
【分析】延长DA交y轴于点H，先证明△ABE≅△OAH(AAS)，由AE=12DE，及四边形ABCD是菱形，AB=AD；在直角三角形ABE中，BE:AE:AB=5:12:13，得出
BE:EM=BE:OH=5:12，FN:EM=7:12；再根据y=kx(k≠0)的图象经过点F和E，得k=xE⋅yE=xF⋅yF，设E(7m,12n)，F(12m,7n)，有S△EOF=S四EMNF=196，得mn=−115，即可求解．
【详解】解：延长DA交y轴于点H，
在△ABE,△OAH中，
∵AB=OA,∠AEB=∠OHA=90°，
根据∠EAB+∠HAO=∠HAO+∠HOA，
∴∠EAB=∠HOA，
∴△ABE≅△OAH(AAS)，
∴OH=AE；
由AE=12DE，
∴AD:AE=12:13，
又四边形ABCD是菱形，
∴AB=AD；
在直角三角形ABE中，
BE:AE:AB=5:12:13，
∴BE:EM=BE:OH=5:12，FN:EM=7:12；
又反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点F和E，
∵k=xE⋅yE=xF⋅yF，
设E(7m,12n)，F(12m,7n)，
∴S△EOF=S四EMNF=12(12n+7n)⋅(7m−12m)=196，
解得：mn=−115，
∴k=12m⋅7n=−285，
故答案为：−285．
【点睛】本题考查了反比例函数，三角形全等的判定及性质、菱形，解题的关键是掌握反比例函数k的几何意义．
5．（2022秋·山东滨州·九年级滨州市滨城区第三中学校考期末）如图，平行四边形OABC的顶点O，B在y轴上，顶点A在y=−2x上，顶点C在y=9x上，则平行四边形OABC的面积是_________．
【答案】11
【分析】过点A作AE⊥y于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，因为四边形OABC是平行四边形，可证得△AEO≌△CDBAAS，△AEB≌△CDOAAS，即S△AEO=S△CDB，S△AEB=S△CDO，再根据反比例函数的k的几何意义即可得到答案．
【详解】解：如图所示，过点A作AE⊥y于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴OA=BC，∠AOE=∠CBD，
∵AE⊥y，CD⊥y，
∴∠AEO=∠CDB=90°，
∴△AEO≌△CDBAAS，
∴ S△AEO=S△CDB，
同理可得：△AEB≌△CDOAAS，S△AEB=S△CDO，
∵点A在反比例函数y=−2x上，
∴S△AOE=S△CDB=12×−2=1，
∵点C在反比例函数y=9x上，
∴S△AEB=S△CDO=12×9=92，
∴平行四边形OABC的面积为：1×2+92×2=11，
故答案为：11．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k，且保持不变．
6．（2022春·江苏扬州·八年级统考期末）如图，点M在函数y=5x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=2x（x＞0）的图像于点B、C，连接OB、OC，则△OBC的面积为_________．
【答案】2.1
【分析】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，根据MB∥x轴，MC∥y轴，得到MB⊥y轴，MC⊥x轴，得到∠MEO=∠MDO=90°，根据∠EOD=90°，推出四边形EODM是矩形，设M(x,5x)，推出B(25x,5x)，C(x,2x)，得到S△OBC=S矩形EODM−S△OBE−S△OCD−S△BCM =5−12×2−12×2−12BM⋅CM =3−12(x−25x)(5x−2x)=2.1．
【详解】延长MB、MC，分别交y轴、x轴于点E、D，
∵MB∥x轴，MC∥y轴，
∴MB⊥y轴，MC⊥x轴，
∴∠MEO=∠MDO=90°，
∵∠EOD=90°，
∴四边形EODM是矩形，
设M(x,5x)，
则B(25x,5x)，C(x,2x)，
∴S△OBC=S矩形EODM−S△OBE−S△OCD−S△BCM
=5−12×2−12×2−12BM⋅CM
=3−12(x−25x)(5x−2x)
=2.1．
故答案为：2.1．
【点睛】本题主要考查了反比例函数，解决问题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质，k的几何意义．
7．（2022春·四川乐山·八年级统考期末）如图，点A、B分别在反比例函数y1=k1x(x>0)和y2=k2x(x>0)的图象上，线段AB与x轴相交于点P．
(1)如图①，若AB⊥x轴，且|AP|=2|PB|，k1+k2=1．求k1、k2的值；
(2)如图②，若点P是线段AB的中点，且△OAB的面积为2．求k1−k2的值．
【答案】(1)k1=2，k2=−1；
(2)k1−k2=4．
【分析】（1）连接OA、OB，根据反比例函数系数k的几何意义以及|AP|=2|PB|得到SΔAOP=2SΔBOP，即k1+2k2=0①，由k1+k2=1②．①−②得，k2=−1，进而求得k1=2；
（2）作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则SΔAOM=12k1，SΔBON=−12k2，根据题意得到SΔAOP=SΔBOP=1，SΔAPM=SΔBPN，即可得到12k1−1=1−(−12k2)，整理得k1−k2=4．
【详解】（1）解：如图①，连接OA、OB，
∵AB⊥x轴，
∴SΔAOP=12k1，SΔBOP=−12k2，
∵|AP|=2|PB|，
∴SΔAOP=2SΔBOP，即12k1=2×(−12k2)，
∴k1+2k2=0①，
∵k1+k2=1②．
①−②得，k2=−1，
∴k1=2；
（2）如图②，作AM⊥x轴于M，BN⊥x轴于N，则SΔAOM=12k1，SΔBON=−12k2，
∵点P是线段AB的中点，且ΔOAB的面积为2，
∴SΔAOP=SΔBOP=1，
在ΔAPM和ΔBPN中，
∠APM=∠BPN∠AMP=∠BNP=90°AP=BP，
∴ΔAPM≅ΔBPN(AAS)，
∴SΔAPM=SΔBPN，
∴ 12k1−1=1−(−12k2)，
整理得k1−k2=4．
【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，反比例函数的性质，正确作出辅助线是解题的关键．
必考点2
反比例函数与x=a或y=a
1．（2022秋·山东淄博·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，△OAB边AB平行于y轴，函数y=kxk>0,x>0的图象经过点B，交边OA于点C，且OC=2AC，连结BC．若△OBC的面积为5，则k的值为（ ）
A．4B．6C．8D．12
【答案】D
【分析】连接BC，过C作CE∥AB，交x轴于E，延长AB与x轴交于点D，得到S△OCE=S△OBD=12k，根据OA的中点C，利用△OCE∼△OAD得到面积比为4：9，代入可得结论．
【详解】解：连接BC，过C作CE∥AB，交x轴于E，延长AB与x轴交于点D，
∵AB∥y轴，
∴∠ADO=90°，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过OA于点C，且OC＝2AC，
∴S△COE=S△BOD=12k，S△AOB=32S△OBC=152，
∵CE∥AB，
∴△OCE∼△OAD，
∴SΔCOESΔAOD=OCOA2=49，
∴9S△OCE=4S△OAD，
∴9×12k=4152+12k，
∴k=12，
故选：D．
【点睛】本题考查了反比例函数比例系数k的几何意义：在反比例函数y=kx图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值k．在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是12k，且保持不变．也考查了相似三角形的判定与性质．
2．（2022秋·重庆沙坪坝·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点B在x轴上，对角线BD平行于y轴，反比例函数y=kxk>0,x>0的图象经过点D，与CD边交于点H，若DH=2CH，菱形ABCD的面积为6，则k的值为（ ）
A．2B．4C．6D．8
【答案】D
【分析】过点H作HM⊥BD,HN⊥AC，垂足为M、N，可设D（a,b），先通过菱形的面积和DH=2CH，设出点D，点H的坐标，代入反比例函数y=kxk>0,x>0，即可得到答案．
【详解】解：如图，过点H作HM⊥BD,HN⊥AC，垂足为M、N，可设D（a,b）．
∵菱形ABCD的面积为6，BD=b．
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD =6,则AC=12b，DP=12BD=b2．
∴PC=12AC=12⋅12b=6b．
∵对角线BD平行于y轴，HM⊥BD，HN⊥AC
∴MH//PC,HN//BD
∵DH=2CH
∴PN=23PC=23⋅6b=4b，DM=23DP=23⋅b2=b3
又∵D（a,b）
∴H（a+4b,b−b3）即H（a+4b,2b3）
将D（a,b），H（a+4b,2b3）代入y=kxk>0,x>0得
b=ka2b3=ka+4b
解得k=8
故选：D．
【点睛】本题考查反比例函数图象点的特点，菱形的性质和面积．通过菱形面积确定点的坐标是解题的关键．
3．（2022秋·湖南株洲·九年级校考期末）如图，直线y=2x+6与反比例函数y=kxk>0的图像交于点A1,m，与x轴交于点B，平行于x轴的直线y=n0(1)求m的值和反比例函数的表达式；
(2)当n为何值时，△BMN的面积最大？最大面积是多少？
【答案】(1)m=8，y=8x
(2)n=3，Smax=254
【分析】（1）将点A1,m代入直线y=2x+6即可求得m，代入反比例函数解析式接可求出；
（2）由y=n求得M、N的坐标，进而求得△BMN面积的表达式，然后根据二次函数的性质求最值即可.
【详解】（1）解：∵直线y=2x+6经过点A1,m，
∴m=2×1+6=8，
∴A1,8，
∵反比例函数y=kxk>0经过点A1,8，
∴k=8，
∴反比例函数的表达式为y=8x；
（2）解：由题意可知，
函数y=8x中，当y=n时，x=8n
函数y=2x+6中，当y=n时，x=n−62
∴点M，N的坐标为M8n,n，Nn−62,n，
∵0∴MN=8n−n−62，
∴S△BMN=12MN·n=12×8n−n−62×n
=−14n2+32n+4
∴S△BMN=−14n−32+254
∴n=3时，△BMN的面积最大，最大值为254．
【点睛】题考查了一次函数与反比例函数的综合，二次函数的最值；掌握数形结合的思维是解题关键．
4．（2022秋·河北唐山·九年级校考期末）如图直线y=2x+m与y=nx(n≠0)交于A，B两点，且点A的坐标为(1,4)．
(1)求此直线和双曲线的表达式；
(2)求点B的坐标；
(3)过x轴正半轴上一点M作平行于y轴的直线l，分别与直线y=2x+m和双曲线y=nx(n≠0)交于点P，Q，如果PQ=2QM，求点M的坐标．
【答案】(1)直线的解析式为y=2x+2，反比例函数的解析式为y=4x
(2)(−2,−2)
(3)(−3,0)或(2,0)
【分析】（1）将点A的坐标为(1,4)代入y=2x+m与y=nx(n≠0)得出m和n的值即可求出答案；
（2）将两个解析式组成方程组，解之即可；
（3）设M(a,0)，根据题意得出P(a,2a+2)，Q(a,4a)，再根据PQ=2QM得出方程|2a+2−4a|=|2×4a|，解之得出a的值即可得出M点的坐标．
【详解】（1）解：∵直线y=2x+m与y=nx(n≠0)交于A，B两点，且点A的坐标为(1,4)
∴2+m=4；n=4
∴m=2
∴直线的解析式为y=2x+2，反比例函数的解析式为y=4x
（2）y=2x+2y=4x解得：x=−2y=−2或x=1y=4
∴点B的坐标(−2,−2)
（3）设M(a,0)，
∵l∥y轴，∴P(a,2a+2)，Q(a,4a)，
∵PQ=2QM
∴|2a+2−4a|=|2×4a|，
∴a=2或a=−3
∴M(−3,0)或(2,0)．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：求反比例函数与一次函数的交点坐标，把两个函数关系式联立成方程组求解，若方程组有解则两者有交点，方程组无解，则两者无交点．用待定系数法求函数解析式是解题关键．
5．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l与反比例函数y=kx(x>0)的图像交于点A（a，4－a）点B（b，4－b），其中a(1)求a+b的值；
(2)求直线l的函数表达式
(3)若a=1，过点P(0,t)(t>0)作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数y=kx的图象分别交于点E、F．
①当EF≤1时，求t的取值范围．
②若线段EF上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），直接写出t的取值范围．
【答案】(1)a+b=4
(2)y=−x+4
(3)①52−132⩽t⩽52+132；②32【分析】（1）把A、B点坐标代入反比例函数解析式，得a、b的关系，再通过因式分解，解方程可得a+b的值；
（2）用待定系数法求解即可；
（3）①当a=1时，可得反比例函数的解析式为：y=3x，B(3,1)；根据题意可知，E(4−t,t)，F(3t，t)，再根据题意，对t进行讨论即可；②根据题意，作直线x=2，x=5，x=6，x=7，分别与反比例函数交于点H，D，E，F，结合图形可直接得出结论．
（1）
解：∵直线l与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点A(a,4−a)，点B(b,4−b)，
∴k=a(4−a)=b(4−b)，
∴(a−b)(a+b−4)=0，
∵a∴a−b<0，
∴a+b−4=0，
∴a+b=4；
（2）
设直线l的解析式为y=mx+n(m≠0)，把A(a,4−a)，点B(b,4−b)代入得，
am+n=4−abm+n=4−b，
解得，m=−1n=4，
∴直线l的解析式为y=−x+4；
（3）
①当a=1时，A(1,3)，
∴k=1×3=3，
∴反比例函数的解析式为：y=3x，
令3x=−x+4，解得x=1或x=3，
∴B(3,1)．
过点P(0，t)(t>0)作平行于x轴的直线与直线AB和反比例函数y=3x的图象分别交于点E、F，
∴E(4−t,t)，F(3t，t)，
当1∴EF=4−t−3t⩽1，整理得t2−3t+3⩾0，方程恒成立；
当t=1或t=3时，E，F重合，则EF=0；
当t>3或0整理得，t2−5t+3⩾0，解得52−132⩽t⩽52+132，
∴ 52−132⩽t<1或3综上，当EF⩽1时，t的取值范围为：52−132⩽t⩽52+132．
②如图，作直线x=2，x=5，x=6，x=7，分别与反比例函数交于点H，D，E，F，
∴H(2,32)，D(5,35)，E(6,12)，F(7,37)．
由图可知，若线段EF上横坐标为整数的点只有1个（不包括端点），则t的取值范围为：32【点睛】本题主要考查反比例函数的综合题，涉及待定系数法求函数解析式，反比例函数上的点的特征，数形结合思想，方程思想等相关内容，利用数形结合思想，画出给出图象是解题关键．
6．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图，一次函数y=kx−4(k≠0)的图像与y轴交于点A，与反比例函数y=−12x(x<0)的图像交于点B(−6,b)．
（1）b= ；k= ；
（2）点C是线段AB上一点(不与A,B重合)，过点C且平行于y轴的直线l交该反比例函数的图像于点D，连接OC,OD,BD，若四边形OCBD的面积S四边形OCBD=24，求点C的坐标；
（3）将第（2）小题中的ΔOCD沿射线AB方向平移一定的距离后，得到△O′C′D′，若点O 的对应点O′恰好落在该反比例函数图像上(如图)，求此时点D的对应点D′的坐标．
【答案】（1）2，-1；（2）C−2,−2；（3）−2−23,6+23
【分析】（1）先把B点坐标代入反比例函数求出b的值，得到完整的B点坐标，再代入一次函数求出k的值；
（2）设C点坐标为m,−m−4，再用m表示D点坐标，再表示出CD长，根据四边形OCBD的面积等于CD长乘以B、O两点之间的水平距离再除以2，列式求出m的值，得C点坐标；
（3）根据平移的性质得到直线OO′的解析式，求出它与反比例函数图象的交点，即点O′坐标，就知道图象是怎么平移的了，然后根据点坐标的平移求出点D′．
【详解】（1）将B−6,b坐标代入反比例函数y=−12x，得b=−12−6，解得b=2，
则B点坐标为−6,2，再代入一次函数y=kx−4，得2=−6k−4，解得k=−1，
故答案是：2；−1；
（2）设Cm,−m−4（−6∴CD=−12m+m+4，
∵S四边形OCBD=24，四边形OCBD的面积可以用CD长乘以B、O两点之间的水平距离再除以2得到，
∴12−12m+m+4×6=24，
∴m2−4m−12=0，
∴m1=−2，m2=6，
经检验：m1=−2，m2=6是原方程的解，
∵−6（3）由平移可知：OO′//AB，
∴直线OO′的解析式为y=−x，
由y=−xy=−12x，解得x=−23y=23或x=23y=−23（舍去），
∴O′−23,23，
∴O到O′是向左平移23个单位，向上平移23个单位，D到D′也是一样，
∵D−2,6，∴D′−2−23,6+23，
答：点D的对应点D′的坐标−2−23,6+23．
【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的综合，涉及函数解析式系数的求解，四边形面积的求解，函数图象的平移，解题的关键是掌握这些题型的解题技巧，并熟练掌握函数题的一些基本运算方法．
7．（2022·北京·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xy中，函数y=kx（x＜0）的图象与直线y=x+2交于点A（－3，m）．
（1）求k，m的值；
（2）已知点P（a，b）是直线y=x上，位于第三象限的点，过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x+2于点M，过点P作平行于y轴的直线，交函数y=kx（x＜0）的图象于点N．
①当a=－1时，判断线段PM与PN的数量关系，并说明理由；
②若PN≥PM结合函数的图象，直接写出b的取值范围．
【答案】（1）k=3，m=－1；（2）①PM=PN；②-1≤b﹤0或b≤-3．
【详解】试题分析：（1）将A点代入y=x+2中即可求出m的值，然后将A的坐标代入反比例函数中即可求出k的值．
（2）①当a=-1时，分别求出M、N两点的坐标即可求出PM与PN的关系；
②由题意可知：P的坐标为（b，b）(b<0)，由于PN≥PM，从而可知PN≥2，根据图象可求出b的范围．
解：（1）∵函数y=kx(x<0)的图象与直线y=x+2交于点A（-3，m），
∴m=-3+2=-1，
∴A（-3，-1）． k=-1×（-3）=3
即k的值是3，m的值是-1
（2）①当a =-1时，又点P（a，b）是直线y=x-2上，
∴P（-1，-1）
令y=-1，代入y=x+2,得：x=-3，
∴M（-3，-1），
PM=2
令x=-1，代入y=kx(x<0)，得y=-3，
∴N（-1，-3），
∴PN=2
∴PM=PN
②P（b，b），b<0
点P在直线y=x上，
过点P作平行于x轴的直线，交直线y=x+2于点M，
M（b+2，b），
∴PM=2，
∵PN≥PM，
即PN≥2，
∵PN=|3b−b|,
∴|3b−b|≥2
∴-1≤b﹤0或b≤-3
必考点3
反比例函数与全等
1.（2022秋·四川成都·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标中，平行四边形ABCD顶点A的坐标为1,0，点D在反比例函数y=−6x的图像上，点B，C在反比例函数y=kxx>0的图像上，CD与y轴交于点E，若DE=CE，∠DAO=45°，则k的值为______．
【答案】10
【分析】过D作DF⊥OA于F，过C作CM⊥OA于M，过B作BG⊥CM于G，过D作DK⊥CM于M,交OE于E，设D的横坐标为xx<0，结合已知通过DF=AF求出xx<0，由DE=CE，依次求出K、C的坐标即可，结合ABCD是平行四边形证△DFA≌△CGBAAS依次求出B、G的坐标，CG=DF=3即可求解．
【详解】如图：
过D作DF⊥OA于F，过C作CM⊥OA于M，过B作BG⊥CM于G，过D作DK⊥CM于M,交OE于E，
设D的横坐标为xx<0，
点D在反比例函数y=−6x的图像上，
Dx,−6x，点A的坐标为1,0，
∴DF=−6x，AF=−x+1，
∵∠DAO=45°，
∴DF=AF，
即：−x+1=−6x，
解得x=−2，x=3（舍去），
∴D−2,3，
∴DF=AF=3，
∴AD=CD=32，
由题意可知CK∥EN，DE=CE，
∴DK=2DN=4，
∴K2,3，
C在反比例函数y=kxx>0的图像上,
∴C2,k2，
ABCD是平行四边形，
∠1=∠2=∠3，AD=BC，
在△DAF与△CBG中，
∠3=∠1∠DFA=∠CGBAD=BC
∴△DFA≌△CGBAAS，
BG=AF=3，CG=DF=3，
所以B的横坐标为5，
B在反比例函数y=kxx>0的图像上,
∴B5,k5，则G2,k5，
CG=k2−k5=3k10=3，
解得k=10，
故答案为：10．
【点睛】本题考查了反比例函数解析式、等腰直角三角形的性质、菱形的性质、平行线分线段成比例以及全等三角形的判定和性质；巧设未知数，建立方程求相关点的坐标是解题的关键．
2.（2022秋·湖南益阳·九年级校联考期末）如图，直线y=ax+2与x轴交于点A1,0，与y轴交于点B0,b．将线段AB先向右平移1个单位长度、再向上平移tt>0个单位长度，得到对应线段CD，反比例函数y=kxx>0的图像恰好经过C，D两点，连接AC，BD．
(1)a= ，b= ；
(2)求反比例函数的表达式；
(3)点N在x轴正半轴上，点M是反比例函数y=kxx>0的图像上的一个点，若△CMN是以CM为直角边的等腰直角三角形时，点M的坐标 ．
【答案】(1)−2；2
(2)y=4x
(3)4,1或5+1,5−1
【分析】（1）利用坐标轴上的点的特点即可得出结论；
（2）先表示出点C ，D 坐标，进而代入反比例函数解析式中求解得出k ，再判断出BC⊥AD ，最后用对角线积的一半即可求出四边形的面积；
（3）分两种情况，构造全等的直角三角形即可得出结论．
【详解】（1）将点A1，0 代入y=ax+2 ，得0=a+2，∴a=−2 ，
∴ 直线的解析式为y=−2x+2 ，
将x=0 代入y=−2x+2，得y=2 ，
∴b=2
（2）由（1）知，b=2，
∴B0,2，
由平移可得：设点C2,t，D1,2+t．
将点C2,t，D1,2+t 分别代入 y=kx，得 t=k22+t=k1
∴k=4t=2
∴反比例函数的解析式为y=4x
（3）①当∠NCM=90° 、CM=CN 时，如图2，过点C 作直线l∥x 轴，交y 轴于点G ．过点M 作MF⊥l于点F ，交x 轴于点H ．过点N 作NE⊥l于点E
设点Nm，0 （其中m>0 ），则ON=m ，CE=2−m ．
∵∠MCN=90° ，
∴∠MCF+∠NCE=90° ．
∵NE⊥l于点E，
∴∠ENC+∠NCE=90° ，
∴∠MCF=∠ENC ．
∵∠MFC=∠NEC=90° ，CN=CM ，
∴△NEC≌△CFM ，
∴CF=EN=2 ，FM=CE=2−m ，
∴FG=CG+CF=2+2=4 ，
∴xM=4 ．
将x=4 代入y=4x ，得y=1 ，
∴ 点M4，1 ；
②当∠NMC=90° 、MC=MN 时，如图3，过点C 作直线l⊥y 轴与点F ，则
CF=xC=2 ．过点M 作MG⊥x 轴于点G ，MG 交直线l 与点E，则MG⊥l于点E ，EG=yC=2 ．
∵∠CMN=90° ，
∴∠CME+∠NMG=90° ．
∵ME⊥l于点E ，
∴∠ECM+∠CME=90° ，
∴∠NMG=∠ECM ．
又∵∠CEM=∠NGM=90° ，CM=MN ，∴△CEM≌△MGN ，∴CE=MG ，EM=NG ．
设CE=MG=a ，则yM=a ，xM=CF+CE=2+a ，∴ 点M2+a，a ．
将点M2+a，a 代入y=4x ，得a=42+a ．解得a1=5−1，a2=−5−1，
∴ xM=2+a=5+1，
∴ 点M5+1，5−1
综合①②可知：点M的坐标为4，1 或5+1，5−1．
【点睛】本题是综合考查反比例函数待定系数法，全等三角形的判定和性质，四边形的面积的计算方法，构造出全等三角形是解本题的关键．
3.（2022春·吉林长春·八年级统考期末）如图，点A是函数y1=4xx>0图像上的任意一点，过点A作AB∥x轴，交另一个函数y2=kxk<0,x<0的图像于点B．
(1)若S△AOB=5，则k=________．
(2)当k=−8时，若点A的横坐标是1，则线段OB=________．
(3)若无论点A在何处，函数y2=kxk<0,x<0图像上总存在一点D，使得四边形AOBD为平行四边形，求k的值．
【答案】(1)－6
(2)25
(3)存在，k=−8
【分析】（1）如图：AB交y轴于M，根据反比例函数的比例系数的几何意义得S△AOM=12×4=2，S△BOM=12k=−12k，由于S△AOB=5，则2−12k=5，即可得出k的值；
（2）由y1=4xx>0可得出A1,4，再由y2=−8xx<0可得出B−2,4，即可得出OB的长度；
（3）如图，作AH⊥x轴于点H，DF⊥AB于点F，证△DBF≅△AOH，得出D点的坐标即可得出k的值．
【详解】（1）解：如图：AB交y轴于M，
∵点A是函数y1=4xx>0，点B是函数y2=kxk<0,x<0，
∴由反比例函数的比例系数的几何意义得：S△AOM=12×4=2，S△BOM=12k=−12k,
∵S△AOB=S△AOM+S△HOM=5,
∴2−12k=5,
∴k=−6；
故答案为：−6；
（2）由题意得：
当x=1时，y=44=1，
∴A1,4，
当k=−8时，y2=−8xx<0，
当y=4时，4=−8x，
∴x=−2，
∴B−2,4，
∴OB=−2−02+4−02=25；
故答案为：25；
（3）存在，点D在点B上方，
如图，作AH⊥x轴于点H，DF⊥AB于点F，
设Aa,4a，则Bka4,4a，则AH=4a，OH=a，
∵四边形AOBD为平行四边形，
∴BD=AO，BD//AO，
∴∠DBF=∠BAO，
∵AB//x轴，
∴∠AOH=∠BAO，
∴△DBF≅△AOH，
∴BF=OH=a，DF=AH=4a，
∴Dka4+a,8a，
∴ka4+a⋅8a=k，
解得k=−8．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合题：掌握反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数的比例系数的几何意义和平行四边形的性质是解题的关键．
4.（2022秋·上海·八年级校考期中）如图，正方形ABCO的边长为6，点A在x轴的正半轴上，点C在y轴的正半轴上，M是边AB上的一点，且BM=2AM．反比例函数的图象经过点M，并与边BC相交于点N．
(1)求这个反比例函数的解析式；
(2)求△ONM的面积；
(3)求证：OB垂直平分线段MN．
【答案】(1)y=12x
(2)16
(3)见解析
【分析】（1）根据正方形的性质及条件BM=2AM确定点M坐标，利用待定系数法求反比例函数解析式；
（2）令Nn,6，在y=12x上，则12n=6，解得n=2，得到CN=2=AM，则点N2,6，BN=BC−CN=4，利用S△ONM=S正方形ABCO−S△CON−S△AOM−S△BMN即可求解；
（3）根据点N在反比例函数图象上求点N坐标，通过全等证得OM=ON，进而证明BN=BM，即可证得OB垂直平分线段MN.
【详解】（1）设反比例函数的解析式为：y=kxk≠0，
∵正方形ABCO边长为6，BM=2AM，
∴BM=4，AM=2，
∴点M的坐标为6,2，
∵点M6,2在反比例函数y=kx的图象上
∴2=k6，
解得：k=12，
∴反比例函数的解析式为：y=12x；
（2）令Nn,6，在y=12x上，则12n=6，解得n=2，
所以CN=2=AM，
∴点N2,6，BN=BC−CN=4，则
S△ONM=S正方形ABCO−S△CON−S△AOM−S△BMN =6×6−12×2×6−12×2×6−12×4×4=16；
即△ONM的面积为16；
（3）在△AOM和△CON中，
AO=CO∠OAM=∠OCN=90°AM=CN，
∴△AOM≌△CONSAS，
∴OM=ON，
∴O在MN的中垂线上，
∵CN=AM，
∴BC−CN=AB−AM，
∴BN=BM，
∴B在MN的中垂线上
∴OB垂直平分线段MN
【点睛】本题主要考查了反比函数和正方形的性质以及垂直平分线的判定，点坐标和线段长度的相互转换，即数形结合是解答此题的关键.
5.（2022秋·山东济南·九年级统考期中）如图，函数y=kxx>0的图象过点An,2和B85,2n−3两点．
(1)求n和k的值；
(2)将直线OA沿x轴向左移动得直线DE，交x 轴于点D，交y 轴于点E，交y=kxx>0于点C，若S△ACO=6，求直线DE解析式；
(3)在（2）的条件下，第二象限内是否存在点F，使得△DEF是以DE为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)n=4,k=8
(2)y=12x+3
(3)F1(−9,6)，F2(−3,9)
【分析】（1）将A、B两点的坐标分别代入反比例函数解析式，解方程组得n、k的值；
（2）设点C(m,8m)，过点C做CG⊥x轴于点G，交OA于点H，以CH为底，由△AOC的面积解出点C坐标，进而求出直线DE的解析式；
（3）分两种情况进行讨论：①以DE为直角边，D为直角顶点；②以DE为直角边，E为直角顶点．再观察图形并利用点的移动特点写出答案．
【详解】（1）解：∵函数y=kxx>0的图像过点An,2和B85,2n−3两点，
∴2n=k85(2n−3)=k，
解得n=4k=8，
故n和k的值分别为4，8；
（2）解：∵n=4,k=8，
∴A(4,2), B(85,5)，直线OA的解析式为：y=12x，
过点C作CG⊥x轴于点G，交直线OA于点H，
设C(m,8m)(m>0)，
∴H(m,12m)，
∴SΔAOC=12CH⋅xA=6，
∴12(8m−12m)×4=6，
∴m=2或m=8（不符合题意舍去）
∴C(2,4)，
∵DE∥OA，
∴设直线DE的解析式为：y=12x+b，
∵点C在直线DE上，
∴4=12×2+b，即b=3，
∴直线DE的解析式为：y=12x+3；
（3）F1(−9,6)，F2(−3,9)
解：∵直线DE的解析式为：y=12x+3，
当x=0时，y=3，
∴E0,3，OE=3
当y=0时，x=−6，
∴D−6,0，OD=6
根据题意，分两种情况进行讨论：
①以DE为直角边，D为直角顶点；
如图，过F1做FK⊥x轴于点K，可知：∠F1KD=∠DOE=90°，
∵∠F1DE=90°，
∴∠F1DK+∠EDO=90°，
又∵∠DEO+∠EDO=90°，
∴∠F1DK=∠DEO，又DF1=DE，
∴△F1KD≌△DOE，
∴F1K=DO=6,KD=OE=3，
故点D到点F1的平移规律是：D向左移3个单位，向上移6个单位得点F1坐标，
∵D(−6,0)，且F在第二象限，
∴F1(−6−3,0+6)即F1(−9,6)；
②以DE为直角边，E为直角顶点；同①理，将E点向左移3个单位，向上移6个单位得点F坐标，得F2(−3,9)．
综上所述：点F(−9,6)或(−3,9)
【点睛】此题考查关于一次函数、反比例函数与动态三角形的综合题，熟练运用待定系数法求函数解析式，准确完整地讨论等腰直角三角形的各种可能的情况是解此题的关键．
必考点4
反比例函数与勾股定理
1．（2022秋·四川达州·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O0,0，A0,4，B3,0为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则k的值为（ ）
A．36B．25C．16D．9
【答案】A
【分析】过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图，利用勾股定理计算出AB=5，根据角平分线的性质得PE=PC=PD，设Pt,t，利用面积的和差求出t得到P点坐标，然后把P点坐标代入y=kx中求出k的值．
【详解】解：过P分别作AB、x轴、y轴的垂线，垂足分别为C、D、E，如图所示，
∵A0,4，B3,0
∴OA=4，OB=3，
∴AB=OA2+OB2=5，
∵△OAB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PE=PC，PD=PC，
∴PE=PC=PD，
设Pt，t，则PC＝t，
∵S△PAE+S△PAB+S△PBD+S△OAB=S矩形PEOD，
∴12tt−4+12×5t+12tt−3+12×3×4=t2，
解得t=6，
∴P6，6，
把P6，6代入y=kx得k=6×6=36．
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了角平分线的性质和三角形面积公式．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，点O为坐标原点，菱形OABC的边OC在x轴的正半轴上，对角线AC、BD交于点D，反比例函数y=kxx>0的图象经过点A和点D，若菱形OABC的面积为32，则点A的坐标为（ ）
A．22,2B．1,2C．34,2D．1,324
【答案】A
【分析】过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，设点A（m，n），根据题意将点D的坐标表示出来，即可求出AD所在直线的函数表达式，再求出点C的坐标；根据菱形的性质可得AO=CO，结合勾股定理即可表示出AE，最后根据菱形的面积求出m即可．
【详解】
过点A和点D作x轴的垂线，与x轴分别相交于点E和点F，
设点A（m，n），
∵AE⊥x轴，DF⊥x轴，
∴AE∥DF，
∵四边形OABC为菱形，则点D为AC中点，
∴DF=12AE，即点D的纵坐标为n2，
∵反比例函数y=kx的图象经过点A和点D，
∴D（2m，n2），
设AD所在的直线函数表达式为：y=kx+b，
将A（m，n），D（2m，n2）代入得：n=km+bn2=2km+b，
解得：k=−n2mb=3n2，
∴AD所在的直线函数表达式为：y=−n2m·x+3n2，
当y=0时，解得x=3m，
∴C（3m，0），
∴OA=OC=3m，
在Rt△OAE中，AE=OA2−OE2=(3m)2−m2=22m，
∵菱形OABC的面积为32，
∴OC×AE=3m×22m=32，解得：m=22，
∴AE=22m=22×22=2，
∴A（22，2），
故选：A
【点睛】本题主要考查了菱形的性质以及反比例函数的图象和性质，熟练地掌握相关性质内容，结合图形表示出点C的坐标是解题的关键．
3．（2022秋·山东威海·九年级统考期中）如图，在直角坐标系中，以坐标原点O(0,0),A(0,4),B(3,0)为顶点的Rt△AOB，其两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，且点P恰好在反比例函数y=kx的图象上，则P点的横坐标为（ ）
A．5B．6C．7D．8
【答案】B
【分析】如图，过点P分别作：PC⊥OB,PD⊥AB,PE⊥OA，利用角平分线的性质，可得：PC=PD=PE，进而得到四边形OCPE为正方形，通过全等，得到BC=BD,AE=AD，设BC=a，列方程求出a的值，进而确定点P的横坐标．
【详解】解：如图，过点P分别作：PC⊥OB,PD⊥AB,PE⊥OA，
∵Rt△AOB的两个锐角对应的外角角平分线相交于点P，
∴PC=PD=PE，
∴四边形OCPE为正方形，
∵PD=PC,PB=PB，
∴△PCB≌△PDB（HL），
∴BC=BD，
同法可得：AD=AE，
设BC=a，则：OE=OC=OB+BC=a+4,BD=a，
∵O(0,0),A(0,4),B(3,0)，
∴OB=4,OA=3，
∴AB=32+42=5,AE=OE−OA=a+4−3=a+1，
∴AD=5−a，
∴a+1=5−a，解得：a=2，
∴OC=4+a=4+2=6；
∴点P的横坐标为：6．
故选B．
【点睛】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理．熟练掌握角平分线上的点到角两边的距离相等，是解题的关键．
4.（2022秋·山东烟台·九年级统考期中）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABOC的顶点A在反比例函数y=kxk>0,x>0的图像上，点C的坐标为4,3，则k的值为______．
【答案】32
【分析】根据点C的坐标为4,3，得到OC=AB=32+42=5，根据菱形ABOC，将点C向上平移5个单位长度，得到点A4,8，根据题意计算k=4×8=32即可．
【详解】解：因为点C的坐标为4,3，
所以OC=AB=32+42=5，
因为菱形ABOC，
所以将点C向上平移5个单位长度，得到点A4,8，
所以k=4×8=32．
故答案为：32．
【点睛】本题考查了原点的距离，菱形的性质，平移的性质，反比例函数的解析式，熟练掌握菱形的性质，平移的规律和反比例函数的性质是解题的关键．
5．（2022秋·辽宁沈阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰直角三角形ABO的直角顶点B的坐标为2,m，点A在y轴正半轴上，将△ABO沿y轴向下平移得到△DEF，点B的对应点E恰好在反比例函数y=−6xx>0的图象上．
(1)求m的值；
(2)求△ABO平移的距离；
(3)点P是x轴上的一个动点，当△PEF的周长最小时，请直接写出此时点P的坐标及△PEF的周长．
【答案】(1)m=2；
(2)5个单位长度；
(3)P54,0，217+22
【分析】（1）过点B作BC⊥x轴，易得△BCO为等腰直角三角形，即可得解；
（2）根据平移规则，E点横坐标为2，设E2,n，根据点E在反比例函数y=−6xx>0的图象上，求出n的值，即可得解；
（3）△PEF的周长=PE+PF+EF，EF为定长，则当PE+PF的值最小时，△PEF的周长最小，作点E关于x轴的对称点E′，PE+PF=PE′+PF≥E′F，当且仅当P,E′,F三点共线时，PE+PF的值最小，连接E′F，E′F与x轴的交点即为点P，求出E′F的解析式，进而求出P点坐标，即可得解．
【详解】（1）解：过点B作BC⊥x轴于点C，
∵△ABO是等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∴∠COB=45°，
∴△BCO为等腰直角三角形，
∴BC=OC，
∵点B的坐标为2,m，
∴BC=OC=2，即：m=2；
（2）解：将△ABO沿y轴向下平移得到△DEF，点B的对应点为E，
∴E点横坐标为2，设E2,n，
∵点E在反比例函数y=−6xx>0的图象上，
∴2n=−6，
∴n=−3，
∴E2,−3；
∴△ABO平移的距离为：2−−3=5；
（3）解：∵△PEF的周长=PE+PF+EF，EF为定长，
∴当PE+PF的值最小时，△PEF的周长最小，
作点E关于x轴的对称点E′，PE+PF=PE′+PF≥E′F，当且仅当P,E′,F三点共线时，PE+PF的值最小，连接E′F，E′F与x轴的交点即为点P，如图，
则：E′2,3，根据平移规则，可得：F0,−5，
设直线E′F的解析式为：y=kx+b，
则：2k+b=3b=−5，解得：k=4b=−5，
∴y=4x−5，
当y=0时，x=54，
∴P54,0，
∵E2,−3，F0,−5，P54,0，
∴EF=2−02+−3−−52=22,EP=2−542+32=3417,FP=542+52=5417，
∴△PEF的周长=PE+PF+EF=3417+5417+22=217+22．
【点睛】本题考查坐标与图形，以及坐标系下的平移，轴对称，同时考查了反比例函数图象上的点的特征，以及一次函数与坐标轴的交点．本题的综合性较强，熟练掌握相关知识点，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键．
6．（2022秋·辽宁朝阳·九年级统考期末）如图，正比例函数y=2x的图象与反比例函数y=kx的图象交于A、B两点，过点A作AC垂直x轴于点C，连接BC，点A1，m．
(1)求m和k的值；
(2)x轴上是否存在一点D，使△ABD为直角三角形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)m=2，k=2
(2)存在，5，0或5，0或−5，0或−5，0
【分析】（1）先把点A坐标代入直线解析式中求出m的值即可求出点A的坐标，再把点A的坐标代入反比例函数解析式求出k的值即可；
（2）先由对称性求出点B的坐标，设点D的坐标为t，0，利用勾股定理求出AD2=t−12+22，BD2=t+12+22，AB2=20；再分当∠BAD=90°时，当∠BDA=90°时，当∠ABD=90°时，三种情况利用勾股定理建立方程求解即可．
【详解】（1）解：把将A1，m代入y=2x中得：m=2×1=2，
∴A1，2，
将A1，2代入y=kx中得：k=xy=2×1=2，
∴m=2，k=2；
（2）解：∵直线y=2x和y=2x交于点A、B，
∴A和B关于原点成中心对称，
∴B−1，−2，
设点D的坐标为t，0，
∴AD2=t−12+22，BD2=t+12+22，AB2=−1−12+−2−22=20；
当∠BAD=90°时，则AB2+AD2=BD2，
∴t−12+22+20=t+12+22，
解得t=5，
∴点D的坐标为5，0；
当∠BDA=90°时，则AB2=AD2+BD2，
∴20=t+12+22+t−12+22，
∴2t2=10，
解得t=±5，
∴点D的坐标为5，0或−5，0，
当∠ABD=90°时，则AD2=BD2+AB2，
∴t−12+22=t+12+22+20，
解得t=−5，
∴点D的坐标为−5，0；
综上所述，x轴上是否存在一点D5，0或5，0或−5，0或−5，0使得△ABD为直角三角形．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，勾股定理，利用分类讨论的思想求解是解题的关键．
7．（2022春·黑龙江大庆·八年级大庆市第六十九中学校考期末）如图，一次函数y=ax+b的图象与反比例函数y=kx的图象交于A，B两点，与x轴交于点C，与y轴交于点D，已知点A坐标为(3,1)，点B的坐标为(−2,m)
(1)求反比例函数的解析式和一次函数的解析式；
(2)连接OA、OB，求△AOB的面积；
(3)观察图象直接写出ax+b>kx时x的取值范围是 ；
(4)直接写出：P为x轴上一动点，当三角形OAP为等腰三角形时点P的坐标 ．
【答案】(1)y=3x，y=12x−12；
(2)S△AOB=54
(3)x>3或−2(4)10,0或−10,0，0)或(6,0)或53,0
【分析】（1）利用待定系数法求两函数的解析式；
（2）根据两三角形面积和可得结论；
（3）直接由图象一次函数在反比例函数上边时对应x的取值；
（4）存在三种情况：OA=OP，OA=AP，AP=OP，根据点A的坐标综合图形可得点P的坐标．
【详解】（1）解：∵点A坐标为(3,1)
把点A的坐标代入y=kx中得：k=3
∴反比例函数的解析式是：y=3x
把点B的坐标为(−2,m)代入y=3x中，得：−2m=3，m=−32
∴B(−2,−32)
把A、B两点的坐标代入y=ax+b中得：3a+b=1−2a+b=−32，解得：a=12b=−12
∴一次函数的解析式为：y=12x−12；
（2）解：如图1，当y=0时，12x−12=0，x=1，
∴C(1,0)，
∴S△AOB=S△AOC+S△BOC=12×1×1+12×1×32=54；
（3）解：由图象得：ax+b>kx时x的取值范围是：x>3或−2（4）解：当ΔAOP是等腰三角形时，存在以下三种情况：
①当OA=OP时，如图2，
∵A(3,1)，
∴OA=10，
∴P1(−10，0)或P2(10，0)；
②当OA=AP时，如图3，
∴P(6,0)；
③当OP=AP时，如图4，过A作AE⊥x轴于E，
设OP=x，则AP=x，PE=3−x，
∴AP2=AE2+PE2，
∴12+(3−x)2=x2，
x=53，
∴P(53，0)；
综上，P的坐标为10,0或−10,0，0)或(6,0)或53,0．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，考查了利用待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式，等腰三角形的判定，三角形面积公式，本题难度适中，并运用了分类讨论的思想解决问题．
必考点5
反比例函数与图形变换
1．（2022秋·四川绵阳·九年级统考期末）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A为x轴上的一点，将OA绕点O按顺时针旋转60°至OB，反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点B，过A作AC∥BO交反比例函数图象于点C，若△BOC的面积为33，则k的值为（ ）
A．332B．−332C．33D．−33
【答案】D
【分析】过B点作BE⊥AO于E点，根据旋转的性质可得：OA=OB，∠AOB=60°，即有△OAB是等边三角形，则有AE=EO=12AO，BE=BO2−EO2=3EO，根据AC∥BO，可得S△BCO=S△BAO，即可得3EO2=33，解方程可得EO=3（负值舍去），则有B−3,3，问题随之得解．
【详解】解：过B点作BE⊥AO于E点，如图，
根据旋转的性质可得：OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
∵BE⊥AO，
∴AE=EO=12AO，
∴在Rt△BEO中，BE=BO2−EO2=3EO，
∵AC∥BO，
∴S△BCO=S△BAO，
∵S△BAO=12×AO×BE=12×2EO×3EO=3EO2，S△BCO=33，
∴3EO2=33，
∴EO=3（负值舍去），
∴BE=3，
∴B−3,3，
∵反比例函数y=kx(k≠0)的图象经过点B，
∴k=xy=−3×3=−33，
故选：D．
【点睛】本题考查了旋转的性质，勾股定理，反比例函数的性质等知识，根据AC∥BO，得到S△BCO=S△BAO，是解答本题的关键．
2．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，反比例函数y＝kx（x＜0）的图象经过点A（﹣2，2），过点A作AB⊥y轴，垂足为B，在y轴的正半轴上取一点P（0，t），过点P作直线OA的垂线l，以直线l为对称轴，点B经轴对称变换得到的点B'在此反比例函数的图象上，则t的值是（ ）
A．1+5B．4+2C．4−2D．-1+5
【答案】A
【分析】根据反比例函数图象上点的坐标特征由A点坐标为（-2，2）得到k=-4，即反比例函数解析式为y=-4x，且OB=AB=2，则可判断△OAB为等腰直角三角形，所以∠AOB=45°，再利用PQ⊥OA可得到∠OPQ=45°，然后轴对称的性质得PB=PB′，BB′⊥PQ，所以∠BPQ=∠B′PQ=45°，于是得到B′P⊥y轴，则点B的坐标可表示为（-4t，t），于是利用PB=PB′得t-2=|-4t|=4t，然后解方程可得到满足条件的t的值．
【详解】如图，
∵点A坐标为（-2，2），
∴k=-2×2=-4，
∴反比例函数解析式为y=-4x，
∵OB=AB=2，
∴△OAB为等腰直角三角形，
∴∠AOB=45°，
∵PQ⊥OA，
∴∠OPQ=45°，
∵点B和点B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，BB′⊥PQ，
∴∠B′PQ=∠OPQ=45°，∠B′PB=90°，
∴B′P⊥y轴，
∴点B′的坐标为（-4t ，t），
∵PB=PB′，
∴t-2=|-4t|=4t，
整理得t2-2t-4=0，解得t1=1+5 ，t2=1-5 （不符合题意，舍去），
∴t的值为1+5．
故选A．
【点睛】本题是反比例函数的综合题，解决本题要掌握反比例函数图象上点的坐标特征、等腰直角三角形的性质和轴对称的性质及会用求根公式法解一元二次方程．
3．（2022春·江苏南京·八年级期末）“卓越数学兴趣小组”准备对函数y=6x+1−3图像和性质进行探究，他们制定了以下探究步骤：
(1)该小组认为此函数与反比例函数有关，于是他们首先画出了反比例函数y＝6x的图像（如图1），然后画出了y=6x+1−3的图像，请在图1中画出此图像（草图）．
(2)他们发现函数y=6x+1−3图像可以由y＝6x的图像平移得到，请写出平移过程．
(3)他们发现可以根据函数y=6x+1−3图像画出函数y=6x+1−3的图像，请在图2中画出此图像（草图），并写出其中的两条函数性质．
(4)他们研究后发现，方程6x+1−3=a中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化，请结合图像，就a的取值范围讨论方程解的情况．
【答案】(1)见解析
(2)向左平移1个单位，再向下平移3个单位
(3)见解析
(4)当a＜0时，方程无解；当a＞3或0＜a＜3时，方程有两个解；当a＝0或a＝3时，方程有一个解
【分析】（1）画出函数y=6x+1−3的图像即可；
（2）观察图像即可得到结论；
（3）作出函数值小于零的部分图像关于x轴的轴对称图形得到函数图像，然后根据图像写出两条性质即可；
（4）分a＜0，a=0或a=3，0＜a＜3或a＞3三种情况，分别根据函数图像求解即可．
【详解】（1）解：如图①所示即为所求．
（2）解：将y＝6x的图像向左平移1个单位，再向下平移3个单位可得y＝6x+1－3的图像．
（3）解：函数图像如图②，性质如下（不唯一）：
①函数有最小值，最小值为0，
②当x＞1时，y随着x的增大而增大，x＜－1时，y随着x的增大而增大．
（4）解：方程6x+1−3=a中，随着a的变化，方程的解的个数也会有所变化
当a＜0时，方程6x+1−3=a无解；
当a＞3或0＜a＜3时，方程6x+1−3=a有两个解；
当a＝0或a＝3时，方程6x+1−3=a有一个解．
【点睛】本题主要考查了函数图像的平移、反比例函数图像和性质、函数与方程的关系等知识点，正确画出函数图像是解答本题的关键．
4．（2022春·江苏南京·八年级校联考期末）我们研究反比例函数图像平移后的性质．初步探究
(1)将反比例函数y=4x的图像向左平移一个单位，可以得到函数y=4x+1的图像（如图① ），观察图像，判断以下结论是否正确（正确的打“√”，错误的打“×”）：
①该函数图像与y轴的交点坐标是（0，4）；（ ）
②该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，0）；（ ）
③当x<0时，y随x的增大而减小．（ ）
(2)在图② 中画出函数y=4x+1−1的图像，根据图像写出其两条不同类型的性质；
(3)问题解决：若函数y=2x+mx+1的图像可以由函数y=4x的图像通过平移得到，求m的值；
(4)深入思考：当a>0时，对于任意正数k，方程kx+b=axx+1均无解，直接写出a，b，k满足的数量关系．
【答案】(1)①对；②对；③错
(2)图见解析，性质见解析
(3)m＝6
(4)a－b＋k＝0
【分析】（1）通过观察图象，分析图象性质即可判断是否正确；
（2）利用5点作图法在坐标轴上描点即可作图；
（3）通过化简运算，结合题意，即可求m的值；
（3）由反比例函数无解时的性质，即可写出a，b，k满足的数量关系．
【详解】（1）观察图可得，该函数图象与y轴的交点坐标是（0，4），故①√；
该函数是反比例函数，是中心对称图形，对称中心易知是（-1，0），故②√；
当-1＜x＜0时，y随x的增大而减小，当x＜-1，y随x的增大而减小，但并不连续区间，故不为单调递减，③错误；
故答案为：①√；②√；③×；
（2）函数图像如图所示．
两条不同类型的性质是：
例如：
① 当x<－1时，y随x的四大而被小，当x>－1时，y随x的增大而减小；
② 无论x取何值，图数值不等于－1；
③ 该图数图像与y轴的交点坐标是（0，3）；
④该图数图像与x轴的交点坐标是（3，0）；
⑤该函数图像是中心对称图形，对称中心是（－1，－1）；
⑥ 该函数图像是轴对称图形，对称轴是直线y＝x和y＝－x－2．
（3）y=2x+mx+1=2x+2+m−2x+1=2x+2x+1+m−2x+1=2+m−2x+1；
根据题意，得m－2＝4，
解得m＝6．
（4）kx+b=axx+1，
kx+b=ax+a−ax+1=a+−ax+1，
kx+b=a+−ax+1，
∵对于任意k，方程均无解，当x=-1时分式无意义，
∴a+k-b=0
【点睛】本题考查了反比例函数的图象与性质；正确作图、理解题意、综合分析是本题解题的关键．
5．（2022秋·山西朔州·九年级统考期末）如图，OA所在直线的解析式为y=−2x，反比例函数y=−2x(x<0)的图象过点A，现将射线OA绕点O顺时针旋转90°与反比例函数y=kx(x>0)的图象交于点B，若OB=25，求k的值．
【答案】8
【分析】设Aa,−2a，分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，证明△AOC∽△OBD，得到ACOD=OCBD，代入得到OD=2BD，根据OB=25，利用勾股定理求出BD，从而得到点B坐标，即可求出k值．
【详解】解：∵点A在y=−2x上，
∴设Aa,−2a，
分别过A，B作x轴的垂线，垂足分别为C，D，
由旋转可知：∠AOB=90°，
∴∠AOC+∠BOD=90°，
∵∠AOC+∠CAO=90°，
∴∠CAO=∠BOD，又∠ACO=∠BDO=90°，
∴△AOC∽△OBD，
∴ACOD=OCBD，即−2aOD=−aBD，
∴OD=2BD，
∵OB=25，
∴BD2+OD2=BD2+4BD2=25，
∴BD=2，
∴OD=4，
∴点B坐标为4,2，
∴k的值为4×2=8．
【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数综合，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解题的关键是构造相似三角形，找到边与边之间的关系．
6．（2022秋·山东济南·九年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形OABC的边OC，OA分别在x轴和y轴正半轴上，连接OB．将△OCB绕点O逆时针旋转，得到△OFG，点C的对应点为点F，点B的对应点为点G，且点G在y轴正半轴上，OF与AB相交于点D，反比例函数y=kx的图象经过点D，交BC于点E，点D的坐标是(2,4)．
(1)如图1，k＝______，点E的坐标为______；
(2)若P为第三象限反比例函数图象上一点，连接PD，当线段PD被y轴分成长度比为1:2的两部分时，求点P的横坐标；
(3)我们把有两个内角是直角，且一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形称为“完美筝形”（如图2）．设M是第三象限内的反比例函数图象上一点，N是平面内一点，连接DE，当四边形DENM是“完美筝形”时，直接写出M，N两点的坐标．
【答案】(1)8；(8,1)
(2)−4,−2或−1,−8
(3)M−2,−4，N345,−285
【分析】（1）在Rt△ADO中，tan∠AOD=ADAO=24=tan∠BOC，在Rt△BCO中，tan∠BOC=BCOC=4CO=24，解得：OC=8，即可求解；
（2）当线段PD被y轴分成长度比为1:2的两部分时，则DTPT=12或2，即ADPH=DTPT=12或2，即可求解；
（3）证明∠RDE=∠GMD，则tan∠RDE=ERDR=36=12=tan∠GMD=DGMG=2−x4−y，求出M的坐标为(−2,−4)，进而求解．
【详解】（1）解：将点D的坐标代入反比例函数表达式得：4=k2，解得：k=8，
则反比例函数表达式为：y=8x，
由图形的旋转知：∠AOD=∠BOC，CB=AO=4，
在Rt△ADO中，tan∠AOD=ADAO=24=tan∠BOC，
在Rt△BCO中，tan∠BOC=BCOC=4CO=24，解得：OC=8，
当x=8时，y=8x=1，故点E的坐标为(8,1)，
故答案为：8，(8,1)；
（2）设PD交y轴于点T，
当线段PD被y轴分成长度比为1:2的两部分时，则DTPT=12或2，
过点P作PH⊥y轴于点H，
∴AD∥PH，
∴ ADPH=DTPT=12或2，
∴ 2PH=12或2，
解得PH=4或1，
即点P的横坐标为−4或−1；
（3）过点D作x轴的平行线交过点M与y轴的平行线于点G，交过点E与y轴的平行线于点R，
由（1）知，点E(8,1)、D(2,4)、R(8,4)，设点M(x,y)，
∵∠RDE+∠GDM=90°，∠GDM+∠GMD=90°，
∴∠RDE=∠GMD，
∴tan∠RDE=ERDR=36=12=tan∠GMD=DGMG=2−x4−y①，
∵y=8x②，
联立上述①②并解得x=−2y=−4，
即点M的坐标为(−2,−4)，
由点M、E的坐标得，直线ME得表达式为y=12x−3③，
根据筝形的定义ND⊥ME，设ND交ME于点H，则H是DN的中点，
则设直线DN的表达式为y=−2x+s，
将点D的坐标代入上式得：4=−2×2+s，解得s=8，
故直线ND得表达式为y=−2x+8④，
联立③④并解得x=225y=−45，
即点H的坐标为(225，−45)，
∵H是DN的中点，
由中点坐标公式得，点N的坐标为(345，−285)，
即点M、N的坐标分别为(−2,−4)、(345，−285)．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、解直角三角形和待定系数法等知识，灵活运用这些性质解决问题是解题的关键．
7．（2022秋·甘肃白银·九年级校联考期末）如图1，▱OABC的边OC在y轴的正半轴上，OC=3，A2,1，反比例函数y=kx(x>0)的图象经过的B．
(1)求点B的坐标和反比例函数的关系式；
(2)如图2，直线MN分别与x轴、y轴的正半轴交于M，N两点，若点O和点B关于直线MN成轴对称，求线段ON的长；
(3)如图3，将线段OA延长交y=kx(x>0)的图象于点D，过B，D的直线分别交x轴、y轴于E，F两点，请探究线段ED与BF的数量关系，并说明理由．
【答案】(1)反比例函数的解析式为y=8x；
(2)ON=52；
(3)结论：BF=DE.理由见解析.
【分析】（1）利用平行四边形的性质求出点B的坐标即可解决问题；
（2）根据两直线垂直的条件，求出直线MN的解析式即可解决问题；
（3）结论：BF=DE．如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK//EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=kn，DM=km．由ΔEDM∽ΔEBN，推出EMEN=DMBN，即am+a−n=kmkn，可得a=n，由ΔKNO≌ΔDEM，推出DE=KN，再证明四边形NKFB是平行四边形，即可解决问题；
【详解】（1）如图1中，
∵四边形OABC是平行四边形，
∴AB=OC=3，
∵A(2,1)，
∴B(2,4)，
把B(2,4)代入y=kx中，得到k=8，
∴反比例函数的解析式为y=8x．
（2）如图2中，设K是OB的中点，则K(1,2)．
∵直线OB的解析式为y=2x，
∴直线MN的解析式为y=−12x+52，
∴N(0,52)，
∴ON=52．
（3）结论：BF=DE．理由如下：
如图3中，延长BA交x轴于N，作DM⊥x轴于M，作NK∥EF交y轴于K．设ON=n，OM=m，ME=a．则BN=kn，DM=km．
∴ΔEDM∽ΔEBN，
∴ EMEN=DMBN，
∴ am+a−n=kmkn，可得a=n，
∵NK∥EF，
∴∠KNO=∠DEM，
∵∠KON=∠DME=90°，ON=EM，
∴ΔKNO≌ΔDEM，
∴DE=KN，
∵FK∥BN，NK∥FB，
∴四边形NKFB是平行四边形，
∴NK=BF，
∴BF=DE．
【点睛】本题考查一次函数，反比例函数、平行四边形，全等三角形，相似三角形等几何知识结合在一起，综合性比较强，要求学生有较强的分析问题好解决问题的能力．
8．（2022·湖南长沙·长沙市长郡双语实验中学统考一模）若将函数F的图象沿直线l对折，与函数G的图象重合，则称函数F与G互为“轴对称函数”，直线l叫作函数F与函数G的“轴直线”．如函数y=2x关于直线y轴的轴对称函数是y=−2x．
(1)若轴直线为x轴，求函数y=x+1的关于x轴的轴对称函数的解析式；
(2)若函数F：y=2x+b，轴直线为y轴，此时F的轴对称函数G的图象与函数y=2x的图象有且只有一个交点，求b的值；
(3)若函数F：y=−x2+9，轴直线为x=1，函数F的轴对称函数是G，当−1≤x≤5时，G的图象恒在y=kx+3k的图象的下方，求k的取值范围．
【答案】(1)（1）y=−x−1
(2)（2）b=±4
(3)（3）k>2
【分析】（1）在函数y=x+1轴对称函数上任意一点（x，y）则该点关于x轴的对称点（x，-y），代入函数解析式y=x+1即可求解；
（2）由（1）先求出C2的解析式为y=-2x+b，再联立-2x+b=2x，根据题意Δ=0即可；
（3）设函数C2上任意一点（x，y），则该点关于x=1的对称点为（2-x，y），将点（2-x，y）代入y=-x2+9即可求出C2的解析式为y=-（2-x）2+9，联立kx+3k=-（2-x）2+9，求出Δ=0时k的值，再由题意可得k的取值范围．
（1）
设函数y=x+1的轴对称函数上任意一点（x，y），则该点关于x轴的对称点为（x，-y），
∴点（x，-y）在y=x+1的上，
∴C2的解析式为y=-x-1；
（2）
设函数y=2x+b上任意一点（x，y），则该点关于y轴的对称点为（-x，y），
∴点（-x，y）在y=2x+b的轴对称函数上，
∴C2的解析式为y=-2x+b，
联立-2x+b=2x，
得2x2-bx+2=0，
∵函数C2的图象与函数y＝2x的图象有且只有一个交点，
∴Δ=b2-16=0，
∴b=±4；
（3）
设函数C2上任意一点（x，y），则该点关于x=1的对称点为（2-x，y），
∵点（2-x，y）在y=-x2+9的轴对称函数上，
∴C2的解析式为y=-（2-x）2+9，
∵y=kx+3k=k（x+3），
∴直线y=kx+3k恒过定点（-3，0），
联立kx+3k=-（2-x）2+9，
得x2+（k-4）x+3k-5=0，
∴Δ=（k-4）2-4（3k-5）=0，
∴k=2或k=18（舍），
∴k＞2时，C2的图象恒在y=kx+3k的图象的下方．
【点睛】本题考查函数的综合应用，理解轴对称函数的概念，利用点的对称关系求函数解析式是解题的关键．
必考点6
反比例函数与定值、最值
1．（2022春·江苏苏州·八年级统考期中）如图，点A(a,1)，B(−1,b)都在双曲线y=−3x(x<0)上，P,Q分别是x轴，y轴上的动点，当四边形PABQ的周长取最小值时，PQ所在直线的表达式为( )
A．y=34x+94B．y=x+1C．y=x+2D．y=x+3
【答案】C
【分析】先求出A、B的坐标，如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接CD与x轴、y轴的交点即为点P、Q，从而求出PQ所在直线解析式．
【详解】∵点A(a,1)，B(−1,b)都在双曲线y=−3x上
∴A(-3，1)，B(-1，3)
如下图，分别作点A、B关于x轴、y轴的对称点C、D，连接CD与x轴、y轴交于点M、N
则点C(-3，-1)，D(1，3)
∵四边形ABQP的周长=AB+BQ+PQ+PA
其中，AB是定值，BQ=DQ，AP=CP，PQ=PQ
如上图，当点P、Q为M、N两点时
则CP、PQ、QD三段直线共线，距离最小
∴上图中点M、N即为P、Q
则将C、D两点代入，可求得PQ所在直线解析式为：y=x+2
故选：C．
【点睛】本题考查最值问题，解题关键是利用对称，将几段线段长转化为一段线段的长，从而求得最短距离．
2．（2022春·江苏南京·八年级统考期末）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标是5,0，点B是函数y=6xx>0图像上的一个动点，过点B作BC⊥y轴交函数y=−2xx<0的图像于点C，点D在x轴上（D在A的左侧），且AD=BC，连接AB，CD．有如下四个结论：①四边形ABCD可能是菱形；②四边形ABCD可能是正方形；③四边形ABCD的周长是定值；④四边形ABCD的面积是定值．所有正确结论的序号是______．
【答案】①④
【分析】①由BC⊥y轴得到AD∥BC，结合AD=BC，得到四边形ABCD是平行四边形，设点Ba,6a，则C−a3,6a，得到BC的长，再表示AB的长，利用菱形的性质列出方程求得a的值，即可判断结论；
②当x=5时，求得点B的坐标，然后判断四边形ABCD是否为正方形；
③任取两个点B的坐标，求得AB和BC的长，然后判断四边形ABCD的周长是否为定值；
④过点C作CE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，将四边形ABCD的面积转化为四边形EFBC的面积，进而利用反比例系数k的几何意义判断四边形ABCD的面积是否为定值．
【详解】①如图，过点B作BF⊥x轴于点F，
∴∠BFA=90°，
∵BC⊥y轴，
∴AD∥BC，
又∵AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵点B在函数y=6x图像上，点C在函数y=−2x图像上，
设Ba,6a，则C−a3,6a，
∴BC=a−−a3=43a，
又∵点A的坐标是5,0，
在Rt△BFA中，AB=AF2+BF2=5−a2+6a2，
当a=5时，BC=203，AB=65，
此时，AB∴四边形ABCD可能是菱形，
∴①符合题意；
②由①得，当a=5时，BC=203，AB=65，
∴BC≠AB，
此时B5,65，
∵点A的坐标是5,0，
∴AB⊥x轴，
∴∠BAD=90°，
由①知，四边形ABCD是平行四边形，
∴当a=5时，四边形ABCD是矩形，但BC≠AB，
∴四边形ABCD不为正方形，
∴②不符合题意；
③由①得，当点B的横坐标为5时，BC=203，AB=65，
∴四边形ABCD的周长为：2BC+AB=2203+65=23615，
当点B的横坐标为1时，B1,6，则C−13,6，
∴BC=43，AB=5−12+62=213，
∴四边形ABCD的周长为：2BC+AB=243+213=83+413≠23615，
∴四边形ABCD的周长不为定值，
∴③不符合题意；
④如图，过点C作CE⊥x轴于点E，
又∵BF⊥x，
∴∠CEF=∠BFE=90°
∵BC⊥y轴，
∴AD∥BC，
∴∠EFB=180°−90°=90°，
∴四边形ABCD为矩形，
∴S四边形ABCD=S四边形EFBC=−2+6=8，
∴四边形ABCD的面积为定值，
∴④符合题意．
故答案为：①④．
【点睛】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，平行四边形的判定与性质，矩形的判定和性质，菱形的判定和性质，正方形的判定和性质，勾股定理等知识．解题的关键是熟知反比例函数图像_上点的坐标特征．
3．（2022秋·河南平顶山·九年级校考期中）阅读理解：已知，对于实数a≥0，b≥0，满足a+b≥2ab，当且仅当a=b时，等号成立，此时取得代数式a+b的最小值．根据以上结论，解决以下问题：
(1)若a>0，当且仅当a=______时，a+1a有最小值，最小值为______．
(2)①如图13—1，已知点P为双曲线y=6xx>0上的任意一点，过点P作PA⊥x轴，PB⊥y轴，四边形OAPB的周长取得最小值时，求出点P的坐标及周长最小值；
②如图13—2，已知点Q是双曲线y=8xx>0上一点，且PQ∥x轴，连接OP、OQ，当线段OP取得最小值时，在平面内是否存在一点C，使得以O、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点C的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)1，2
(2)①P6,6，周长最小值为46；②存在，63,0或−63,0或763,26
【分析】（1）根据题意即可完成解答；
（2）①设Px,6x，则可得周长2x+6x，由题意即可求得周长的最小值及点P的坐标；
②由于OP=x2+6x2=x+6x2−12，由题意可求得OP的最小值，从而求得点P的坐标；由PQ∥x轴且点Q在y=8xx>0，可求得点Q的坐标，再分三种情况考虑，利用平行四边形的性质即可求得点C的坐标．
【详解】（1）解：由题意，当且仅当a=1a，即a=±1（负值舍去）时，a+1a≥2a×1a=2，即a+1a有最小值，最小值为2；
故答案为：1，2；
（2）解：①∵点P为双曲线y=6xx>0上的任意一点，
∴设Px,6x，
∴四边形OAPB的周长=2PB+2PA=2x+6x，
∴当四边形OAPB的周长取得最小值时，即2x+6x≥22x⋅6x=46，
即2x+6x的最小值为46，此时x=6x，解得：x=±6（负值舍去），
∴P6,6，周长最小值为46；
②存在．
∵点P为双曲线y=6xx>0上的任意一点，
∴设Px,6x，
∴OP=x2+6x2=x+6x2−12，
∵x+6x≥2x⋅6x=26，
当x=6x时，解得：x=±6（负值舍去），
即当x=6时，x+6x有最小值，从而OP有最小值，
∴P6,6；
∵PQ∥x轴，且点Q在y=8xx>0，
∴点Q的纵坐标为6，且6=8x
∴x=463，即Q463,6，
∴PQ=463−6=63；
当以OP、PQ为平行四边形的邻边时，则PQ∥OC，OC=PQ=63，
∴C63,0；
当以OQ、PQ为平行四边形的邻边时，则PQ∥OC，OC=PQ=63，
∴C−63,0；
当以OQ、OP为平行四边形的邻边时，则OP∥QC，
只要把点Q沿OP方向平移，平移距离为OP长度，即可得到点C，
∴C763,26
综上，点C坐标为63,0或−63,0或763,26．
【点睛】本题是材料阅读题，考查了反比例函数的图象与性质，坐标与图形、平行四边形的性质，勾股定理等知识，读懂材料提供的方法并能灵活运用是解题的关键．
4．（2022秋·重庆·九年级重庆第二外国语学校校考期中）如图，点A、B分别在x轴和y轴的正半轴上，以线段AB为边在第一象限作等边△ABC， S△ABC＝3，且CA⊥x轴．
(1)若点C在反比例函数y=kx（k≠0）的图象上，求该反比例函数的解析式；
(2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点N，使四边形ABCN是菱形，若存在请求出点N坐标，若不存在，请说明理由；
(3)在（2）的条件下，取OB的中点M，将线段OM沿着y轴上下移动，线段OM的对应线段是O1M1，直接写出四边形CM1O1N周长的最小值．
【答案】(1)y=23x
(2)存在，N(23,1)
(3)5+1092
【分析】（1）如图1中，作CD⊥y轴于D．首先证明四边形OACD是矩形，利用反比例函数k的几何意义解决问题即可．
（2）如图2中，作BN⊥AC于D，交反比例函数图象于N，连接CN，AN．求出D的坐标，证明四边形ABCN是菱形即可．
（3）作点C关于y轴对称点C1，过点N作ND∥y轴，交C1C延长线于点D，在ND上截取NN1=O1M1，连接C1N1交y轴于M1，此时，四边形CM1O1N最小，最小值为CM1+O1M1+O1N+CN，求得NN1=O1M1=OM=12，CN=2，CM1+O1N=C1M1+M1N1=C1N1=1092，代入即可求解．
【详解】（1）解：（1）如图1中，作CD⊥y轴于D．
∵CA∥y轴，CD⊥y轴，
∴CD∥OA，AC∥OD，
∴四边形OACD是平行四边形，
∵∠AOD=90°，
∴四边形OACD是矩形，
∴k=S矩形OACD=2SΔABC=23，
∴反比例函数的解析式为y=23x．
（2）解：如图2中，作BN⊥AC于D，交反比例函数图象于N，连接CN，AN．
∵ΔABC是等边三角形，面积为3，设CD=AD=m，则BD=3m，
∴ 12×2m×3m=3，
∴m=1或−1（舍弃），
∴B(0,1)，C3,2，A3,0，
∴N点纵坐标为1，
代入y=23x可得x=23，
∴N23,1，
∴BD=DN，
∵AC⊥BN，
∴CB=CN，AB=AN，
∵AB=BC，
∴AB=BC=CN=AN，
∴四边形ABCN是菱形，
∴存在点N，使四边形ABCN是菱形，此时N(23,1)．
（3）解：如图，作点C关于y轴对称点C1，过点N作ND∥y轴，交C1C延长线于点D，在ND上截取NN1=O1M1，连接C1N1交y轴于M1，此时，四边形CM1O1N最小，最小值为CM1+O1M1+O1N+CN，

∵点M是OB的中点，
∴OM=12OB=12，
∴NN1=O1M1=OM=12，
由（2）知，C3,2，N(23,1)，
∴C1−3,2，D23,2，
∴CN=23−32+2−12=2，CD=23−3=3，C1D=33，
∴DN=CN2−CD2=1，
∴DN1=12，
∴C1N1=C1D2+DN12=1092，
∵C关于y轴对称点C1，
∴CM1=C1M1，
∵NN1∥O1M1 ，NN1=O1M1，
∴四边形O1M1NN1是平行四边形，
∴O1N=M1N1
∴CM1+O1N=C1M1+M1N1=C1N1=1092
∴CM1+O1M1+O1N+CN=12+1092+2=5+1092
∴四边形CM1O1N周长的最小值为5+1092．
【点睛】本题属于反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，等边三角形的性质，菱形的判定和性质，利用轴对称求最短距离问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．
5．（2022春·江苏泰州·八年级校考期末）如图在平面直角坐标系中，已知直线y＝﹣12x+2及双曲线y＝kx（k＞0，x＞0）．直线交y轴于A点，x轴于B点，C、D为双曲线上的两点，它们的横坐标分别为a，a+m（m＞0）．
(1)如图①连接AC、DB、CD，当四边形CABD为平行四边形且a＝2时，求k的值．
(2)如图②过C、D两点分别作CC′∥y轴∥DD′交直线AB于C'，D'，当CD∥AB时，
①对于确定的k值，求证：a（a+m）的值也为定值．
②若k＝6，且满足m＝a﹣4+da，求d的最大值．
【答案】(1)k＝6
(2)①见解析；②当a＝1时，d的最大值为14
【分析】（1）先求出点A，点B坐标，由平行四边形的性质列出方程组，即可求解；
（2）①先证四边形CDD′C′是平行四边形，可得CC′=DD′，列出方程可求解；
②将k和m代入k=12a(a+m)，再利用二次函数的性质可求解．
【详解】（1）解：∵直线y=−12x+2交y轴于A点，交x轴于B点，
∴点A(0,2)，点B(4,0)，
∵C、D为双曲线上的两点，
∴点C(2,k2)，点D(2+m,k2+m)，
∵四边形CABD为平行四边形，
∴AD与BC互相平分，
∴ 0+2+m2=4+22，2+ k2+m2=0+k22，
解得：m=4，k=6；
（2）证明：∵CC′∥y轴∥DD′，CD∥AB，
∴四边形CDD′C′是平行四边形，
∴CC′=DD′，
∵C、D为双曲线上的两点，
∴点C(a,ka)，点D(a+m,ka+m)，
∵CC′∥y轴∥DD′，
∴点C′的横坐标为a，点D的横坐标为a+m，
∴点C′(a,−12a+2)，点D′(a+m,−12a−12m+2)，
∴ ka+12a−2=ka+m+12a+12m−2，
∴k=12a(a+m)，
∴当k为定值时，a(a+m)为定值；
②解：∵k=6，
∴6=12a(a+m)，
∴a2+am=12，
∵m=a−4+da，
∴a2+a(a−4+da)=12，
∴d=−2a2+4a+12=−2(a−1)2+14，
∴当a=1时，d的最大值为14．
【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数的性质，平行四边形的性质，二次函数的性质等知识，利用参数表示点的坐标是解题的关键．
6．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图1，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点G，顶点A、D在反比例函数y=k1x(x>0)的图像上，点G在反比例函数y=k2x(x>0)的图像上，AC⊥x轴．
(1)若k1=5，k2=2，则菱形ABCD的面积为______；
(2)①当点B、C在坐标轴上时，求k2k1的值．
②如图2，当点B、O、C三点在同一直线上时，试判断k2k1是否为定值．若是，求出该定值；若不是，说明理由．
【答案】(1)9；
(2)①12；②是，k2k1的值为13
【分析】（1）设点G的横坐标为m，则G(m,2m)，由题意可知，BD∥ x轴，则A(m,5m)，D(52m，2m)．所以AG=3m，DG=32m，由菱形的性质可知，AC=2AG=6m，BD=2DG=3m，所以S菱形ABCD=12AC⋅BD=12⋅6m⋅3m=9．
（2）①由题意可知，点B在y轴上，点C在x轴上，设点G的横坐标为m，则G(m,k2m)，同上可知BD∥ x轴，所以A(m,k1m)，D(k1k2m，k2m)．因为点G是BC的中点，C(m,2k2−k1m)，B(2k2−k1k2m，k2m)．由点B，C在坐标轴上，建立方程即可得出结论；
②设点G的横坐标为m，则G(m,k2m)，同上可知，A(m,k1m)，D(k1k2m，k2m)．C(m,2k2−k1m)，B(2k2−k1k2m，k2m)．设直线OC所在的直线为y=kx，利用待定系数法可求出k=2k2−k1m2．所以直线OC的解析式为：y=2k2−k1m2x．因为点B，O，C三点共线，所以将点B的坐标代入可得2k2−k1m2⋅2k2−k1k2m=k2m，整理该等式即可得出结论．
（1）
解：设点G的横坐标为m，则G(m,2m)，
∵AC⊥x轴，AC⊥BD，
∴BD∥ x轴，
∴A(m,5m)，D(52m，2m)．
∴AG=3m，DG=32m，
∴AC=2AG=6m，BD=2DG=3m，
∴S菱形ABCD=12AC⋅BD=12⋅6m⋅3m=9．
故答案为：9．
（2）
解：①由题意可知，点B在y轴上，点C在x轴上，
设点G的横坐标为m，则G(m,k2m)，
∵AC⊥x轴，AC⊥BD，
∴BD∥ x轴，
∴A(m,k1m)，D(k1k2m，k2m)．
∵点G是BC的中点，
∴C(m,2k2m−k1m)，B(2m−k1k2m，k2m)，即C(m,2k2−k1m)，B(2k2−k1k2m，k2m)．
∵点B在y轴上，点C在x轴上，
∴ 2k2−k1m=0且2k2−k1k2m=0，
∴ k2k1=12；
②是，理由如下：
设点G的横坐标为m，则G(m,k2m)，
∵AC⊥x轴，AC⊥BD，
∴BD∥ x轴，
∴A(m,k1m)，D(k1k2m，k2m)．
∴C(m,2k2m−k1m)，B(2m−k1k2m，k2m)，即C(m,2k2−k1m)，B(2k2−k1k2m，k2m)．
设直线OC所在的直线为y=kx，
∴mk=2k2m−k1m，即k=2k2−k1m2．
∴直线OC的解析式为：y=2k2−k1m2x．
∵点B，O，C三点共线，
∴ 2k2−k1m2⋅2k2−k1k2m=k2m，整理得k2k1=13或1（舍)．
综上，k2k1的值为13．
【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合题，待定系数法求函数解析式，菱形的性质，中点坐标公式等知识，解题的关键是设出关键点G的坐标，利用菱形的性质去表达A，B，C，D的坐标．
7．（2022春·江苏无锡·八年级统考期末）如图，动点M在函数y1=4x（x＞0）的图像上，过点M分别作x轴和y平行线，交函数 y2=1x （x＞0）的图像于点B、C，作直线BC，设直线BC的函数表达式为y ＝kx＋b．
(1)若点M的坐标为（1，4）．
①直线BC的函数表达式为______；
②当 y③点D在x轴上，点E在y轴上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是平行四边形，请直接写出点D、E的坐标；
(2)连接BO、CO．求证：△BOC的面积是个定值．
【答案】(1)①y＝－4x＋5；② 0＜x＜14或x＞1；③ D（34，0）E（0，3）或D（－34，0）E（0，－3）
(2)见解析
【分析】（1）①首先求出点B和C的坐标，代入直线BC的函数表达式为y＝kx+b，解方程即可；
②首先求出直线BC与x轴交点横坐标，再根据图象可得答案；
③设D（m，0），E（0，n），分三种情形，分别根据平行四边形的性质和中点坐标公式可得答案；
（2）延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，4a），表示出△OBC的面积即可．
（1）
解：①当M（1，4）时，则B14,4，C（1，1），
∴14k+b=4k+b=1 ，
解得k=−4b=5 ，
∴直线BC的解析式为y＝﹣4x+5，
故答案为：y＝﹣4x+5；
②当y＝0时，x＝54，
由图象知，当0＜x＜14或1＜x＜54时，y＜y2，
故答案为：0＜x＜14或1＜x＜54；
③设D（m，0），E（0，n），
当BD、CE为对角线时，14+m=14=1+n ，
∴m=34n=3 ，
∴D（34，0）E（0，3），
当BC、DE为对角线时，14+1=m4+1=n，
∴m=54n=5，
此时点B、C、D、E共线，故舍去，
当BE、CD为对角线时，14=1+m4+n=1，
∴m=−34n=−3，
∴D（−34，0）E（0，﹣3），
综上：D（34，0）E（0，3）或D（−34，0）E（0，﹣3）；
（2）
解：证明：延长MC、MB分别交x轴于G，交y轴于H，设m（a，4a），
∴B（a4,4a），C（a，1a），
∴S△OBC＝S矩形OGMH﹣S△OCG﹣S△BCM﹣S△BHO
＝a×4a﹣12﹣12×（4a−1a）×a−a4﹣12
＝4﹣12−98−12
＝158，
∴△BOC的面积是个定值．
【点睛】本题是反比例函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，反比例函数图象上点的坐标的特征，平行四边形的性质，三角形的面积等知识，由特殊到一般，设出点M的坐标，从而得出点B和C的坐标是解决问题（2）的关键．
8．（2022春·江苏泰州·八年级统考期末）如图1，在平面直角坐标系中，点A−1,2绕原点顺时针旋转90°至点B，恰好落在反比例函数y=kx的图像上，连接OA，OB，过点B作BC⊥x轴交于点C，点Pm,n是第一象限内双曲线上一动点．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)若S△POC=4S△PBC，求P的坐标；
(3)如图2，连接PO并延长交双曲线于C−m,−n，平面内有一点Qm−1,n+2，PQ与GA的延长线交于点H；
①若m=2，求点H的坐标；
②当m≠1时，记H的坐标为a,b，试判断a+2b−4是否为定值？若为定值，求出该值；若不为定值，说明理由．
【答案】(1)y=2x
(2)点P的坐标为（1，2）或(1+2,22−2)
(3)①点H（0，5）；②（a+2）（b-4）=2，为定值．
【分析】（1）过点A作AH⊥x轴于点H，根据旋转的性质易证△AHO≌△OCB（AAS），根据全等三角形的性质可得点B坐标，进一步即可求出反比例函数解析式；
（2）设点P坐标为（p，2p），表示出△POC的面积，当点P在点B左侧的双曲线上，当点P在点B右侧的双曲线上，分别表示出△PBC的面积，根据S△POC=4S△PBC，列方程，求解即可；
（3）①先求出点P坐标，进一步求出点G和点Q坐标，待定系数法求直线AG和直线PQ的解析式，联立两直线解析式即可求出交点H的坐标；
②先待定系数法求出直线AG和直线PQ的解析式，联立两解析式求出交点H的坐标，可得a=m-2，b=n+4，进一步即可求出（a+2）（b-4）的值．
（1）
解：过点A作AH⊥x轴于点H，如图所示：
则∠AHO=90°，
∴∠HAO+∠AOH=90°，
∵BC⊥x轴，
∴∠BCO=90°，
∴∠AHO=∠BCO，
∵点A（-1，2）绕原点顺时针旋转90°至点B，
∴AO=BO，∠AOB=90°，AH=2，OH=1，
∴∠AOH+∠BOC=90°，
∴∠HAO=∠BOC，
∴△AHO≌△OCB（AAS），
∴OC=AH=2，BC=OH=1，
∴点B坐标为（2，1），
将点B坐标代入反比例函数y=kx，
得k=2×1=2，
∴反比例函数解析式：y=2x；
（2）
设点P坐标为（p，2p），
则S△POC＝12×2×2p=2p，
当点P在点B左侧的双曲线上，
S△PBC＝12×1×(2−p)=2−p2，
∵S△POC=4S△PBC，
∴2p=4×2−p2，
解得p1=p2=1，
∴点P坐标为（1，2）；
当点P在点B右侧的双曲线上，
S△PBC＝12×1×(p−2)= p−22，
∵S△POC=4S△PBC，
∴2p=4×p−22，
解得p1=1+2,p2=1−2（不符合题意，舍去），
∴点P坐标为(1+2,22−2)，
∴符合条件的点P坐标为（1，2）或(1+2,22−2)；
（3）
①当m=2时，
根据题意，可得mn=2，
即2n=2，
∴n=1，
∴点P坐标为（2，1），点G坐标为（-2，-1），点Q坐标为（1，3），
设直线GA的解析式为y=kx+b（k≠0），
将点A和点G坐标代入解析式，
得−k+b=2−2k+b=−1，
解得k=3b=5，
∴直线AG的解析式为y=3x+5，
设直线PQ的解析式为y=k1x+b1 k1≠0，
将点P和点Q坐标代入解析式，
得2k1+b1=1k1+b1=3，
解得k1=−2b1=5，
∴直线PQ的解析式为y=-2x+5，
联立y=3x+5y=−2x+5，
解得x=0y=5，
∴点H坐标为（0，5）；
②（a+2）（b-4）是定值，
∵P（m，n），G（-m，-n），A（-1，2），Q（m-1，n+2），
设直线AG的解析式为y=dx+c（d≠0），
代入点A和点G的坐标，得−d+c=2−md+c=−n，
解得d=n+2m−1c=2m+nm−1，
∴直线AG的解析式为y=n+2m−1x+2m+nm−1，
设直线PQ的解析式为y=ex+f（e≠0），
代入点P和点Q坐标，得me+f=n(m−1)e+f=n+2，
解得e=−2f=2m+n，
∴直线PQ的解析式为y=-2x+2m+n，
联立y=n+2m−1x+2m+nm−1y=−2x+2m+n，
解得x=m−2y=n+4，
∴点H（m-2，n+4），
∵记H的坐标为（a，b），
∴a=m-2，b=n+4，
∴（a+2）（b-4）=mn，
∵点P（m，n）是第一象限内双曲线上一动点，
∴mn=2，
∴（a+2）（b-4）=2．
【点睛】本题考查了反比例函数的综合应用，涉及反比例函数图象上点的坐标特征，待定系数法求解析式，全等三角形的性质和判定，一次函数的交点，旋转的性质，三角形的面积，定值问题等，本题综合性较强，难度较大．
必考点7
反比例函数的应用
1．（2022秋·江西宜春·九年级校考期末）某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB，BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
(1)求y与x（10≤x≤24）的函数表达式；
(2)大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，若某天恒温系统开启前的温度是10℃，那么这种蔬菜一天内最适合生长的时间有多长？
(3)若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多长时间，才能使蔬菜避免受到伤害？
【答案】(1)y=200x10≤x≤24
(2)这种蔬菜一天内最适合生长的时间为473h
(3)恒温系统最多可以关闭10h，才能使蔬菜避免受到伤害
【分析】（1）当10≤x≤24时，设双曲线的解析式为y=kx，把C10，20的坐标代入y=kx，得出20=k10，解出即可得出答案；
（2）根据待定系数法求出线段AB解析式，再根据题意：大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，结合图象，把y=12代入线段AB的解析式，得出时间，再把y=12代入（1）中双曲线y=200x10≤x≤24，得出时间，两时间相减，即可得出答案；
（3）先求解y=10时，对应的双曲线函数图象上点的横坐标，再利用坐标含义可得答案．
【详解】（1）解：当10≤x≤24时，设双曲线的解析式为y=kx，
∵C10，20过双曲线y=kx，
∴把C10，20的坐标代入y=kx，
可得：20=k10，
解得：k=200，
∴函数表达式为：y=200x10≤x≤24；
（2）解：设线段AB解析式为y=kx+bk≠0，
∵线段AB过点0，10，5，20，
代入得b=105k+b=20，
解得：k=2b=10，
∴AB解析式为：y=2x+100≤x≤5，
∵大棚里栽培的一种蔬菜在温度为12℃到20℃的条件下最适合生长，
当y=12时，代入y=2x+100≤x≤5，
可得：12=2x+10，
解得：x=1，
当y=12，代入y=200x10≤x≤24，
可得：12=200x，
解得：x=503，
经检验：x=503是原方程的解，且符合题意，
∵503−1=473（h），
∴这种蔬菜一天内最适合生长的时间为473h；
（3）解：当y=10时，可得：200x=10，
解得：x=20，
经检验：x=20是原方程的解，且符合题意，
∴20−10=10（h），
∴恒温系统最多可以关闭10h，才能使蔬菜避免受到伤害．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，利用待定系数法求解反比例函数的解析式和一次函数解析式，反比例函数的性质，理解反比例函数图象上的点的坐标含义是解本题的关键．
2．（2022秋·陕西西安·九年级统考期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米(x>0)的反比例函数，其图象如下图所示所示．请根据图象中的信息解决下列问题：
(1)求y与x之间的函数表达式；
(2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？
(3)若某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是多少厘米？
【答案】(1)y=14x；
(2)半径为28米；
(3)最多是0.4厘米．
【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx，解方程即可得到结论；
（2）把x=0.5代入反比例函数的解析式即可得到结论；
（3）根据题意列不等式即可得到结论．
【详解】（1）设y与x之间的函数表达式为y=kx，
∴7=k2，
∴k=14，
∴y与x之间的函数表达式为y=14x；
（2）当x=0.5时，y=140.5=28米，
∴当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为28米；
（3）当y≥35时，即14x≥35，
∴x≤0.4，
∴某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径不小于35米，则其两腿迈出的步长之差最多是0.4厘米．
【点睛】本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键．
3．（2022春·福建泉州·八年级统考期末）为了预防新冠病毒的传播，某校对教室采取喷洒药物消毒，在对某教室进行消毒的过程中，先经过5分钟的集中药物喷洒，再封闭教室10分钟，然后打开门窗进行通风，室内每立方米空气中含药量y（mg/m3）与药物在空气中的持续时间x（分钟）之间的函数关系，在打开门窗通风前分别满足两一次函数，在通风后又成反比例，如图所示．
（1）问：室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间可达到几分钟？
（2）当室内空气中的含药量不低于5mg/m3且持续时间不低于30分钟时，才能完全有效杀灭传染病毒．试通过分析判断此次消毒是否完全有效？
【答案】（1）11分钟；（2）此次消毒不完全有效，分析见解析．
【分析】（1）由题意得b=15，由A(5,10)可求得直线OA的解析式，将y=8代入即可求出时间x，从而得出答案；
（2）利用B(15,8)求出反比例函数的解析式再分别计算出y=5时的x的值，进而可得答案．
【详解】（1）解：由题意得：b=15，A(5,10)，
设直线OA的解析式为：y=kx，
把A(5,10)代入得：10=5k，
解得：k=2，
∴y=2x，
把y=8代入得：8=2x，
解得：x=4，
15−4=11（分钟），
答：室内空气中的含药量不低于8mg/m3的持续时间可达到11分钟．
（2）解：设反比例函数的解析式为y=mx，
把B(15,8)代入得：8=m15，
解得：m=120，
∴ y=120x，
把y=5代入得：5=120x，
解得：x=24，
把y=5代入y=2x得：5=2x，
解得：x=2.5
24−2.5=21.5<30，
∴此次消毒是不完全有效．
答：此次消毒不完全有效．
【点睛】本题主要考查了正比例函数和反比例函数的应用，掌握正比例函数和反比例函数图象的形状，掌握两个函数的解析式的形式是解题的关键．
4．（2022秋·湖南永州·九年级统考期中）为了预防疾病，某单位对办公室采用药熏消毒法进行消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y(毫克)与时间x(分钟)成为正比例，药物燃烧后，y与x成反比例(如图)，现测得药物8分钟燃毕，此时室内空气中每立方米的含药量6毫克，请根据题中所提供的信息，解答下列问题：
（1）药物燃烧时与药物燃烧后，y关于x的函数关系式．
（2）研究表明，当空气中每立方米的含药量低于1.6毫克时员工方可进办公室，那么从消毒开始，至少需要经过几分钟后，员工才能回到办公室；
（3）研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于3毫克且持续时间不低于10分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌，那么此次消毒是否有效？为什么？
【答案】（1）y=34x0≤x≤848x(x>8)；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由见解析
【分析】（1）药物燃烧时，设出y与x之间的解析式y=k1x，把点（8，6）代入即可，从图上读出x的取值范围；药物燃烧后，设出y与x之间的解析式y=k2x，把点（8，6）代入即可；
（2）把y=1.6代入反比例函数解析式，求出相应的x；
（3）把y=3代入正比例函数解析式和反比例函数解析式，求出相应的x，两数之差与10进行比较，大于或等于10就有效．
【详解】（1）设药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=k1x（k1＞0）代入（8，6）为6=8k1
∴k1=34
设药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=k2x（k2＞0）代入（8，6）为6=k28，
∴k2=48
∴药物燃烧时y关于x的函数关系式为y=34x（0≤x≤8），药物燃烧后y关于x的函数关系式为y=48x（x＞8）
∴y=34x0≤x≤848x(x>8)
（2）结合实际，令y=48x中y≤1.6得x≥30
即从消毒开始，至少需要30分钟后生才能进入教室．
（3）把y=3代入y=34x，得：x=4
把y=3代入y=48x，得：x=16
∵16﹣4=12
∴这次消毒是有效的．
故答案为（1）y=34x0≤x≤848x(x>8)；（2）至少需要30分钟；（3）消毒有效，理由如上．
【点睛】本题考查了一次函数和反比例函数的综合应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用待定系数法求出它们的关系式．
5．（2022春·河南洛阳·八年级统考期中）超越公司将某品牌农副产品运往新时代市场进行销售，记汽车行驶时为t小时，平均速度为v千米/小时（汽车行驶速度不超过100千米/小时）．根据经验，v，t的一组对应值如下表：
（1）根据表中的数据，求出平均速度v（千米/小时）关于行驶时间t（小时）的函数表达式；
（2）汽车上午7：30从超越公司出发，能否在上午10：00之前到达新时代市场？请说明理由．
【答案】（1）v=300t，（2）不能在上午10：00之前到达新时代市场，见解析.
【分析】根据数据猜想v是t的反比例函数，应用待定系数法求k，将t＝10﹣7.5＝2.5代入比较即可．
【详解】（1）根据表格中数据，可知V＝kt，
∵v＝75时，t＝4，
∴k＝75×4＝300
∴V＝300t
经检验，其它数据满足该函数关系式．
（2）不能
∵10﹣7.5＝2.5
∴t＝2.5时，V＝3002.5＝120＞100，
∴汽车上午7：30从超越公司出发，不能在上午10：00之前到达新时代市场
【点睛】本题为反比例函数的应用题，考查了反比例函数的待定系数法及应用函数解析式解决实际问题．
6．（2022·河北·统考中考真题）长为300m的春游队伍，以v（m/s）的速度向东行进，如图1和图2，当队伍排尾行进到位置O时，在排尾处的甲有一物品要送到排头，送到后立即返回排尾，甲的往返速度均为2v（m/s），当甲返回排尾后，他及队伍均停止行进．设排尾从位置O开始行进的时间为t（s），排头与O的距离为S头（m）．
（1）当v=2时，解答：
①求S头与t的函数关系式（不写t的取值范围）；
②当甲赶到排头位置时，求S头的值；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m），求S甲与t的函数关系式（不写t的取值范围）
（2）设甲这次往返队伍的总时间为T（s），求T与v的函数关系式（不写v的取值范围），并写出队伍在此过程中行进的路程．
【答案】（1）①S头＝2t+300；②S甲=−4t+1200；（2）T与v的函数关系式为：T=400v，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【分析】（1）①排头与O的距离为S头（m）．等于排头行走的路程+队伍的长300，而排头行进的时间也是t（s），速度是2m/s，可以求出S头与t的函数关系式；
②甲赶到排头位置的时间可以根据追及问题的数量关系得出，代入求S即可；在甲从排头返回到排尾过程中，设甲与位置O的距离为S甲（m）是在S的基础上减少甲返回的路程，而甲返回的时间=总时间t－甲从排尾赶到排头的时间，于是可以求S甲与t的函数关系式；
（2）甲这次往返队伍的总时间为T（s），是甲从排尾追到排头用的时间与从排头返回排尾用时的和，可以根据追及问题和相遇问题的数量关系得出结果；在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程=队伍速度×返回时间．
【详解】（1）①排尾从位置O开始行进的时间为t（s），则排头也离开原排头t（s），∴S头=2t+300；
②甲从排尾赶到排头的时间为300÷（2v﹣v）=300÷v=300÷2=150 s，此时S头=2t+300=600 m，甲返回时间为：（t﹣150）s，∴S甲=S头﹣S甲回=2×150+300﹣4（t﹣150）=﹣4t+1200；
因此，S头与t的函数关系式为S头=2t+300，当甲赶到排头位置时，S的值为600m，在甲从排头返回到排尾过程中，S甲与t的函数关系式为S甲=﹣4t+1200．
（2）T=t追及+t返回=3002v−v+3002v+v=400v，在甲这次往返队伍的过程中队伍行进的路程为：v×400v=400；
因此T与v的函数关系式为：T=400v，此时队伍在此过程中行进的路程为400m．
【点睛】本题考查了行程问题中相遇、追及问题，同时还考查了函数思想方法的应用，切实理解变量之间的变化关系，由于时间有重合的部分，容易出现错误．
7．（2022·山东青岛·统考一模）某综合实践活动小组设计了一个简易电子体重秤，已知装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻R1与踏板上人的质量m之间满足一次函数关系，共图象如图1所示；图2的电路中，电源电压恒为3伏，定值电阻R0的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电压表显示的读数为U0，然后把U0代入相应的关系式，该读数就可以换算为人的质量m，
知识小链接：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式I=UR；②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压．
(1)求可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系；
(2)用含U0的代数式表示m；
(3)当电压表显示的读数U0为0.75伏时，求人的质量m．
【答案】(1)R1=−2m+260
(2)m=150−60U0
(3)70
【分析】（1）设可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系为R1=km+b(k≠0)，直接用待定系数法求解即可；
（2）由题意可得，3−U0R1=U0R0，再结合（1）的解析式，求解即可；
（3）将U0=0.75代入m=150−60U0，计算即可．
【详解】（1）解：设可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系为R1=km+b(k≠0)，
把（0，260），（130，0）代入R1=km+b(k≠0)得，
260=b0=130k+b，
解得k=−2b=260，
∴可变电阻R1与人的质量m之间的函数关系为R1=−2m+260；
（2）由题意得，可变电阻两端的电压之和=电源电压-电表电压，
即可变电阻两端的电压之和=3−U0，
∵I=UR，串联电路中电流处处相等，
∴3−U0R1=U0R0，
∵定值电阻R0的阻值为40欧，R1=−2m+260，
∴3−U0−2m+260=U040，
整理得 m=150−60U0；
（3）当U0=0.75时，
m=150−600.75=150−80=70.
【点睛】本题以物理中的电路问题为背景，考查了待定系数法求一次函数解析式、反比例函数解析式即代入求值，准确理解题意并熟练掌握知识点是解题的关键．v（千米/小时）
75
80
85
90
95
t（小时）
4.00
3.75
3.53
3.33
3.16